Chap2: Vecteurs du plan

# Chap2: Vecteurs du plan ## Représentation et égalité de vecteurs ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les vecteurs ! Les vecteurs sont des outils fondamentaux en mathématiques et en physique. Ils nous permettent de modéliser des déplacements, des forces ou des vitesses. Comprendre leur représentation et leurs propriétés d'égalité est essentiel pour la suite. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un vecteur ? Un vecteur est un objet mathématique qui représente un "déplacement". Il est entièrement caractérisé par trois éléments : * **Une direction :** La droite sur laquelle le vecteur se trouve (ou toute droite parallèle). Pensez à l'inclinaison d'une route. * **Un sens :** L'orientation sur cette direction. Par exemple, vers le haut ou vers le bas, vers la droite ou vers la gauche. Pensez à monter ou descendre la route. * **Une norme (ou longueur) :** La distance entre son point de départ et son point d'arrivée. Pensez à la distance parcourue sur la route. #### Représentation graphique d'un vecteur Un vecteur est représenté graphiquement par une flèche : * La **queue** de la flèche est l'**origine** du vecteur (point de départ). * La **pointe** de la flèche est l'**extrémité** du vecteur (point d'arrivée). * La **droite** qui porte la flèche donne la **direction**. * La **pointe** indique le **sens**. * La **longueur** de la flèche est la **norme** du vecteur. #### Notation des vecteurs * Un vecteur est souvent noté avec une lettre minuscule surmontée d'une flèche, par exemple \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \). * Si un vecteur part d'un point A et arrive à un point B, il est noté \( \vec{AB} \). A est l'origine, B est l'extrémité. * La norme d'un vecteur \( \vec{u} \) est notée \( \|\vec{u}\| \) ou \( \|\vec{AB}\| \) pour le vecteur \( \vec{AB} \). #### Vecteur nul * Le **vecteur nul** est le vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. Sa norme est égale à zéro. Il n'a ni direction ni sens défini. * Il est noté \( \vec{0} \) (ou \( \vec{AA} \), \( \vec{BB} \), etc.). #### Vecteurs égaux Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont dits **égaux** si et seulement s'ils ont : 1. La même **direction**. 2. Le même **sens**. 3. La même **norme**. Graphiquement, des vecteurs égaux sont des flèches que l'on peut faire coïncider par simple translation (sans rotation ni agrandissement/réduction). #### Composantes d'un vecteur dans un repère Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \) : * Si le point A a pour coordonnées \( (x_A, y_A) \) et le point B a pour coordonnées \( (x_B, y_B) \), * alors les **composantes** du vecteur \( \vec{AB} \) sont \( (x_B - x_A, y_B - y_A) \). * On les note souvent sous forme de colonne : \[ \vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \] **Condition d'égalité avec les composantes :** Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs composantes sont égales. * Si \( \vec{u} = \begin{pmatrix} x_u \\ y_u \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} = \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \end{pmatrix} \), alors \( \vec{u} = \vec{v} \) si et seulement si \( x_u = x_v \) et \( y_u = y_v \). #### Relation de Chasles Pour trois points A, B et C quelconques, la **relation de Chasles** permet d'additionner des vecteurs en les "mettant bout à bout" : \[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \] Cela signifie que faire le trajet de A à B, puis de B à C, revient au même que de faire le trajet direct de A à C. ### Vocabulaire * **Vecteur :** Objet mathématique représentant un déplacement, défini par une direction, un sens et une norme. * **Origine :** Le point de départ du vecteur (la queue de la flèche). * **Extrémité :** Le point d'arrivée du vecteur (la pointe de la flèche). * **Direction :** La droite qui porte le vecteur (ou toute droite parallèle). * **Sens :** L'orientation sur la direction (ex: de A vers B). * **Norme (Longueur ou Magnitude) :** La longueur du segment représenté par le vecteur, notée \( \|\vec{AB}\| \). * **Vecteur nul :** Vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. Sa norme est 0 (ex: \( \vec{AA} \) ). * **Vecteurs égaux :** Deux vecteurs ayant la même direction, le même sens et la même norme (ou les mêmes composantes). * **Représentant d'un vecteur :** Un segment fléché particulier (ex: \( \vec{AB} \)) qui représente un vecteur donné. Un vecteur a une infinité de représentants distincts. * **Composantes d'un vecteur :** Les coordonnées du vecteur dans un repère (ex: \( (x_u, y_u) \)). ### Exemples #### Exemple 1: Calcul des composantes et de la norme d'un vecteur Soient les points A(1, 2) et B(4, 6) dans un repère orthonormé. 1. **Calculer les composantes du vecteur \( \vec{AB} \) :** \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 6 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \) Les composantes de \( \vec{AB} \) sont \( (3, 4) \). 2. **Calculer la norme du vecteur \( \vec{AB} \) :** La norme \( \|\vec{AB}\| \) est la distance entre A et B. Elle se calcule avec la formule : \[ \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] La norme du vecteur \( \vec{AB} \) est 5. #### Exemple 2: Vérifier l'égalité de vecteurs par les composantes Soient les points C(-1, 3) et D(2, 7). Les vecteurs \( \vec{AB} \) (de l'exemple 1) et \( \vec{CD} \) sont-ils égaux ? 1. **Calculer les composantes de \( \vec{CD} \) :** \( \vec{CD} = \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ 7 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \) 2. **Comparer les composantes :** Les composantes de \( \vec{AB} \) sont \( (3, 4) \). Les composantes de \( \vec{CD} \) sont \( (3, 4) \). Puisque \( x_{AB} = x_{CD} \) (\( 3=3 \)) et \( y_{AB} = y_{CD} \) (\( 4=4 \)), alors les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{CD} \) sont égaux : \( \vec{AB} = \vec{CD} \). #### Exemple 3: Utilisation de la relation de Chasles Simplifier l'expression vectorielle suivante : \( \vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PQ} \). En utilisant la relation de Chasles de manière progressive : \( (\vec{MN} + \vec{NP}) + \vec{PQ} \) \( = \vec{MP} + \vec{PQ} \) (d'après Chasles pour M, N, P) \( = \vec{MQ} \) (d'après Chasles pour M, P, Q) ### Exercices 1. Dans un repère orthonormé, placez les points E(0, 1), F(3, 1), G(1, 4), H(4, 4). a. Dessinez les vecteurs \( \vec{EF} \) et \( \vec{GH} \). b. Calculez les composantes de \( \vec{EF} \) et \( \vec{GH} \). c. Ces vecteurs sont-ils égaux ? Justifiez votre réponse par le calcul. 2. Simplifiez l'expression vectorielle suivante : \( \vec{AX} + \vec{XB} + \vec{BC} \). 3. Soient A(1, 2), B(4, 3) et C(2, 5). Déterminer les coordonnées du point D tel que \( \vec{AB} = \vec{CD} \). ### Devoirs 1. Dans un repère orthonormé, placez les points P(-2, 1), Q(3, 1), R(1, -3), S(6, -3). a. Déterminez les composantes des vecteurs \( \vec{PQ} \) et \( \vec{RS} \). b. Que pouvez-vous en conclure sur ces deux vecteurs ? c. Calculez la norme de \( \vec{PQ} \) et de \( \vec{RS} \). 2. On donne les points M(0, 0), N(5, 2), O(2, 4). a. Calculez les composantes du vecteur \( \vec{MN} \). b. Calculez les composantes du vecteur \( \vec{NO} \). c. Utilisez la relation de Chasles pour trouver les composantes du vecteur \( \vec{MO} \) à partir des composantes de \( \vec{MN} \) et \( \vec{NO} \). Vérifiez votre résultat en calculant directement les composantes de \( \vec{MO} \). 3. Soient U, V, W des points. Simplifiez l'expression vectorielle suivante : \( \vec{UV} - \vec{WV} \). (Rappel : soustraire un vecteur \( \vec{WV} \) revient à additionner son opposé, c'est-à-dire \( \vec{VW} \) ). ### Résumé * Un vecteur représente un déplacement et est caractérisé par sa **direction**, son **sens** et sa **norme** (longueur). * Il est noté \( \vec{u} \) ou \( \vec{AB} \) (de l'origine A à l'extrémité B). * Deux vecteurs sont **égaux** s'ils ont les mêmes direction, sens et norme. En coordonnées, cela signifie qu'ils ont les mêmes **composantes**. * Les composantes d'un vecteur \( \vec{AB} \) avec \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) sont \( (x_B - x_A, y_B - y_A) \). * La **relation de Chasles** est fondamentale pour l'addition de vecteurs : \[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \] * La norme d'un vecteur \( \vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) est \( \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \). ## Combinaisons linéaires et bases ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre compréhension des vecteurs en explorant comment ils peuvent être combinés et comment certains vecteurs peuvent servir de "fondation" pour décrire tous les autres vecteurs dans un plan. C'est ce que nous appelons les combinaisons linéaires et les bases. Ces concepts sont fondamentaux en géométrie et en physique pour représenter des forces, des déplacements ou des vitesses. ### Concepts Clés #### Vecteurs Colinéaires Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont dits colinéaires s'il existe un nombre réel \( k \) (un scalaire) tel que \( \vec{v} = k\vec{u} \) (ou \( \vec{u} = k\vec{v} \) ). Géométriquement, cela signifie qu'ils ont la même direction. #### Combinaison Linéaire de Deux Vecteurs Une combinaison linéaire de deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) est un nouveau vecteur \( \vec{w} \) obtenu en additionnant des multiples de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \). Autrement dit, pour deux nombres réels \( a \) et \( b \) (scalaires), le vecteur \( \vec{w} \) est défini par : \[ \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \] Si les vecteurs sont donnés par leurs coordonnées dans un repère \( (O;\vec{i},\vec{j}) \) : * \( \vec{u} = (x_u, y_u) \) * \( \vec{v} = (x_v, y_v) \) Alors les coordonnées du vecteur \( \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \) sont : \[ \vec{w} = (a x_u + b x_v, a y_u + b y_v) \] #### Base du Plan Une **base** du plan est un couple de deux vecteurs non colinéaires, généralement notés \( (\vec{u}, \vec{v}) \) ou \( (\vec{i}, \vec{j}) \). La condition essentielle est qu'ils ne soient pas colinéaires, car s'ils l'étaient, ils ne pourraient décrire que des vecteurs situés sur une seule ligne (ou parallèle à celle-ci). * **Propriété fondamentale :** Si \( (\vec{u}, \vec{v}) \) est une base du plan, alors **tout vecteur** \( \vec{w} \) du plan peut être exprimé de manière unique comme une combinaison linéaire de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \). \[ \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \] où \( a \) et \( b \) sont des scalaires uniques. * **Base canonique :** Dans un repère orthonormé, les vecteurs \( \vec{i}=(1,0) \) et \( \vec{j}=(0,1) \) forment une base canonique. Tout vecteur \( \vec{v}=(x,y) \) s'écrit \( \vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} \). #### Coordonnées d'un Vecteur dans une Base Lorsque \( (\vec{u}, \vec{v}) \) est une base du plan, et que \( \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \), les nombres \( a \) et \( b \) sont appelés les **coordonnées** du vecteur \( \vec{w} \) dans la base \( (\vec{u}, \vec{v}) \). On écrit alors \( \vec{w}(a,b) \) dans cette base. Il est important de noter que ces coordonnées dépendent de la base choisie. ### Vocabulaire * **Vecteur :** Un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). Représenté par une flèche. Soit un vecteur \( \vec{u} \). * **Vecteurs colinéaires :** Deux vecteurs ayant la même direction. * **Combinaison linéaire :** Une somme de multiples scalaires de vecteurs. Ex: \( a\vec{u} + b\vec{v} \). * **Scalaire :** Un nombre réel qui multiplie un vecteur (par opposition à un vecteur lui-même). Ex: \( a \) et \( b \) dans \( a\vec{u} + b\vec{v} \). * **Base du plan :** Un couple de deux vecteurs non colinéaires qui peuvent être utilisés pour représenter tout autre vecteur du plan. * **Coordonnées d'un vecteur :** Les coefficients uniques \( (a,b) \) qui expriment un vecteur \( \vec{w} \) comme une combinaison linéaire d'une base \( (\vec{u}, \vec{v}) \), c'est-à-dire \( \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \). ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul d'une combinaison linéaire Soient \( \vec{u}=(2,1) \) et \( \vec{v}=(-1,3) \) dans un repère orthonormé. Calculez les coordonnées du vecteur \( \vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v} \). * **Solution :** \( 3\vec{u} = 3(2,1) = (3 \times 2, 3 \times 1) = (6,3) \) \( 2\vec{v} = 2(-1,3) = (2 \times -1, 2 \times 3) = (-2,6) \) \( \vec{w} = (6,3) + (-2,6) = (6-2, 3+6) = (4,9) \) Donc, \( \vec{w}=(4,9) \). #### Exemple 2 : Vérifier si un vecteur est une combinaison linéaire Soient \( \vec{u}=(1,2) \) et \( \vec{v}=(3,1) \). Le vecteur \( \vec{w}=(7,-3) \) est-il une combinaison linéaire de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \)? Si oui, trouvez les coefficients \( a \) et \( b \). * **Solution :** Nous cherchons \( a \) et \( b \) tels que \( a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{w} \). Cela donne le système d'équations : \( a(1) + b(3) = 7 \Rightarrow a + 3b = 7 \) (1) \( a(2) + b(1) = -3 \Rightarrow 2a + b = -3 \) (2) De (2), on tire \( b = -3 - 2a \). Substituons dans (1) : \( a + 3(-3 - 2a) = 7 \) \( a - 9 - 6a = 7 \) \( -5a = 16 \Rightarrow a = -\frac{16}{5} \) Maintenant, trouvons \( b \) : \( b = -3 - 2(-\frac{16}{5}) = -3 + \frac{32}{5} = -\frac{15}{5} + \frac{32}{5} = \frac{17}{5} \) Oui, \( \vec{w} \) est une combinaison linéaire de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) avec \( a = -\frac{16}{5} \) et \( b = \frac{17}{5} \). #### Exemple 3 : Déterminer si deux vecteurs forment une base et exprimer un vecteur dans cette base Soient \( \vec{u}=(1,1) \) et \( \vec{v}=(-1,1) \). Forment-ils une base du plan? Si oui, donnez les coordonnées de \( \vec{w}=(3,5) \) dans cette base. * **Solution :** 1. **Vérifier s'ils forment une base :** Pour cela, ils ne doivent pas être colinéaires. On vérifie si le déterminant est nul ou si un vecteur est un multiple de l'autre. Si \( \vec{v} = k\vec{u} \), alors \( (-1,1) = k(1,1) \), ce qui impliquerait \( -1=k \) et \( 1=k \) simultanément, ce qui est impossible. Donc, \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) ne sont pas colinéaires. Ils forment donc une base du plan. 2. **Exprimer \( \vec{w}=(3,5) \) dans cette base :** Nous cherchons \( a \) et \( b \) tels que \( a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{w} \). \( a(1,1) + b(-1,1) = (3,5) \) Cela donne le système : \( a - b = 3 \) (1) \( a + b = 5 \) (2) Additionnons (1) et (2) : \( (a-b) + (a+b) = 3+5 \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4 \). Substituons \( a=4 \) dans (2) : \( 4 + b = 5 \Rightarrow b = 1 \). Donc, les coordonnées de \( \vec{w} \) dans la base \( (\vec{u}, \vec{v}) \) sont \( (4,1) \). ### Exercices 1. Soient \( \vec{e_1}=(3,-2) \) et \( \vec{e_2}=(1,4) \). Calculez les coordonnées des vecteurs suivants : a) \( 2\vec{e_1} + \vec{e_2} \) b) \( -\vec{e_1} + 3\vec{e_2} \) c) \( \frac{1}{2}\vec{e_1} - \frac{3}{2}\vec{e_2} \) 2. Soient \( \vec{u}=(2,-1) \) et \( \vec{v}=(-4,2) \). Sont-ils colinéaires ? Justifiez votre réponse. Que pouvez-vous en déduire concernant la possibilité qu'ils forment une base ? 3. Soient \( \vec{a}=(1,3) \) et \( \vec{b}=(2,1) \). Montrez que \( (\vec{a}, \vec{b}) \) est une base du plan. Trouvez ensuite les coordonnées du vecteur \( \vec{c}=(5,7) \) dans cette base. 4. On donne les vecteurs \( \vec{u}=(2,3) \), \( \vec{v}=(x,6) \) et \( \vec{w}=(1,y) \). a) Déterminez \( x \) pour que \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) soient colinéaires. b) Déterminez \( y \) pour que \( \vec{u} + \vec{w} \) ait une ordonnée nulle. ### Devoirs 1. Soient trois points \( A(-1,2) \), \( B(3,0) \) et \( C(1,-2) \). a) Déterminez les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \). b) Montrez que les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) ne sont pas colinéaires. Que pouvez-vous en conclure pour les points A, B et C ? c) Déterminez les coordonnées du point \( D \) tel que \( \vec{AD} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC} \). 2. Dans un repère, on considère les vecteurs \( \vec{u}=(m, 2) \) et \( \vec{v}=(1, m+1) \). a) Pour quelle(s) valeur(s) de \( m \) les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont-ils colinéaires ? b) Pour quelle(s) valeur(s) de \( m \) le couple \( (\vec{u}, \vec{v}) \) forme-t-il une base du plan ? 3. On donne une base \( (\vec{e_1}, \vec{e_2}) \). Soient les vecteurs \( \vec{x} = 2\vec{e_1} - \vec{e_2} \) et \( \vec{y} = -\vec{e_1} + 3\vec{e_2} \). a) Montrez que \( (\vec{x}, \vec{y}) \) est une base du plan. b) Exprimez le vecteur \( \vec{z} = 3\vec{e_1} + 2\vec{e_2} \) comme une combinaison linéaire de \( \vec{x} \) et \( \vec{y} \) (c'est-à-dire trouvez ses coordonnées dans la base \( (\vec{x}, \vec{y}) \) ). ### Résumé Nous avons exploré les concepts de combinaisons linéaires et de bases du plan. Une **combinaison linéaire** permet de créer un nouveau vecteur à partir de multiples de vecteurs existants, comme \( \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \). Un couple de vecteurs \( (\vec{u}, \vec{v}) \) forme une **base** du plan si et seulement s'ils ne sont pas colinéaires. L'importance d'une base réside dans le fait que tout vecteur du plan peut être exprimé de manière **unique** comme une combinaison linéaire de ces vecteurs de base. Les coefficients \( (a,b) \) de cette combinaison linéaire sont les **coordonnées** du vecteur dans cette base spécifique. Ces concepts sont cruciaux pour la manipulation des vecteurs et la compréhension de l'espace géométrique.