Chap5: Fonctions numériques d'une variabble réelle

# Chap5: Fonctions numériques d'une variabble réelle ## Fonctions et applications ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre essentiel des mathématiques de Seconde ! Les fonctions sont un outil fondamental pour décrire et analyser les relations entre différentes quantités. Que ce soit pour modéliser le mouvement d'un objet, l'évolution d'une population ou le coût d'un produit, les fonctions sont partout. Dans ce cours, nous allons découvrir ce qu'est une fonction, comment elle "transforme" un nombre en un autre, et comment la représenter. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une fonction numérique ? Une fonction numérique est un processus qui, à un nombre donné, associe un unique autre nombre. C'est comme une "machine" : on y met un nombre (l'entrée), et elle nous en donne un autre (la sortie). * **Notation :** Une fonction est souvent notée avec une lettre, comme \(f\), \(g\), \(h\), etc. Si \(x\) est le nombre d'entrée, le nombre de sortie est noté \(f(x)\). On lit "f de x". * **Exemple :** Soit la fonction \(f\) qui à un nombre \(x\) associe son carré. On écrit \(f(x) = x^2\). * Si on donne \(x=3\) à la fonction \(f\), la sortie est \(f(3) = 3^2 = 9\). * Si on donne \(x=-2\) à la fonction \(f\), la sortie est \(f(-2) = (-2)^2 = 4\). #### Antécédent et image * **Image :** Si \(y = f(x)\), on dit que \(y\) est l'**image** de \(x\) par la fonction \(f\). * **Antécédent :** Si \(y = f(x)\), on dit que \(x\) est un **antécédent** de \(y\) par la fonction \(f\). * Un nombre \(x\) a toujours une unique image par une fonction. * Un nombre \(y\) peut avoir plusieurs antécédents, un seul antécédent, ou aucun antécédent. #### Ensemble de définition L'**ensemble de définition** (ou domaine de définition) d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres \(x\) pour lesquels la fonction \(f(x)\) est calculable. On le note souvent \(D_f\). * **Exemples de restrictions :** * On ne peut pas diviser par zéro. Donc si \(f(x) = rac{1}{x}\), \(x\) ne peut pas être \(0\). \(D_f = \mathbb{R}^*\) (tous les réels sauf 0). * On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif. Donc si \(f(x) = \sqrt{x}\), \(x\) doit être positif ou nul. \(D_f = [0, +\infty[\). #### Représentations d'une fonction Une fonction peut être représentée de plusieurs manières : ##### 1. Par une formule (expression algébrique) C'est la manière la plus courante de définir une fonction. Exemples : * \(f(x) = 2x + 1\) * \(g(x) = x^2 - 3x + 5\) * \(h(x) = rac{x-1}{x+2}\) ##### 2. Par un tableau de valeurs On liste les valeurs de \(x\) et leurs images \(f(x)\) correspondantes. | \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | | :---- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | | \(f(x)\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | ##### 3. Par une courbe représentative (graphique) Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction \(f\) est l'ensemble de tous les points de coordonnées \((x, f(x))\). * **Lecture d'une image :** Pour trouver l'image de \(x=a\), on trace la droite verticale \(x=a\). L'ordonnée du point d'intersection avec la courbe est \(f(a)\). * **Lecture d'un antécédent :** Pour trouver les antécédents de \(y=b\), on trace la droite horizontale \(y=b\). Les abscisses des points d'intersection avec la courbe sont les antécédents de \(b\). #### Sens de variation d'une fonction * **Fonction croissante :** Si, lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi. La courbe "monte". * **Fonction décroissante :** Si, lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue. La courbe "descend". * **Fonction constante :** Si, lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) reste le même. La courbe est une droite horizontale. ### Vocabulaire * **Fonction numérique :** Un processus qui associe un unique nombre de sortie à chaque nombre d'entrée. * **Variable :** Le symbole \(x\) représentant le nombre d'entrée (variable indépendante). * **Image :** Le nombre de sortie \(f(x)\) correspondant à une valeur \(x\) donnée. * **Antécédent :** Le ou les nombres \(x\) qui ont pour image une valeur \(y\) donnée. * **Ensemble de définition (Domaine de définition) :** L'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) est calculable. * **Courbe représentative :** L'ensemble des points \((x, f(x))\) dans un repère. * **Repère :** Un système d'axes (abscisses et ordonnées) pour localiser des points. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul d'images et d'antécédents Soit la fonction \(f(x) = 3x - 5\). 1. **Calculer l'image de 2 :** \(f(2) = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1\). L'image de 2 est 1. 2. **Calculer l'antécédent de 7 :** On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 7\). \(3x - 5 = 7\) \(3x = 7 + 5\) \(3x = 12\) \(x = rac{12}{3}\) \(x = 4\). L'antécédent de 7 est 4. #### Exemple 2 : Problème de modélisation Un libraire vend des livres à 15€ l'unité. Il y a un coût de livraison fixe de 5€ par commande. 1. **Définir une fonction :** Soit \(x\) le nombre de livres achetés et \(C(x)\) le coût total de la commande. La fonction qui modélise le coût est \[ C(x) = 15x + 5 \] 2. **Calculer le coût pour 3 livres :** \(C(3) = 15(3) + 5 = 45 + 5 = 50\). Le coût pour 3 livres est 50€. 3. **Combien de livres peut-on acheter avec 80€ ?** On cherche \(x\) tel que \(C(x) = 80\). \(15x + 5 = 80\) \(15x = 75\) \(x = rac{75}{15}\) \(x = 5\). On peut acheter 5 livres avec 80€. ### Exercices (à faire en classe) 1. Soit la fonction \(g(x) = x^2 - 4x + 1\). a. Calculez \(g(0)\), \(g(1)\) et \(g(-1)\). b. Montrez que 1 est un antécédent de -2. 2. Déterminez l'ensemble de définition des fonctions suivantes : a. \(f(x) = rac{2x}{x-3}\) b. \(h(x) = \sqrt{x+5}\) 3. Voici la courbe représentative d'une fonction \(f\). (Imaginez une courbe qui passe par les points (0,1), (1,2), (2,1), (3,0), (4,1)) a. Donnez l'image de 0, de 2 et de 4 par \(f\). b. Donnez les antécédents de 1 et de 0 par \(f\). ### Devoir (à faire à la maison) 1. Soit la fonction \(f(x) = -2x + 7\). a. Calculez \(f(5)\) et \(f(-3)\). b. Déterminez l'antécédent de 1 par \(f\). c. Le point \((4, -1)\) appartient-il à la courbe représentative de \(f\) ? Justifiez. 2. Un taxi facture une prise en charge de 3€ et un prix de 2€ par kilomètre parcouru. a. Exprimez le coût \(P(x)\) d'une course en fonction de la distance \(x\) (en km). b. Quel est le coût d'une course de 10 km ? c. Quelle distance a-t-on parcourue si la course a coûté 25€ ? 3. On considère la fonction \(h(x) = rac{x+1}{2x-4}\). a. Quel est l'ensemble de définition de \(h\) ? b. Calculez \(h(0)\) et \(h(3)\). ### Résumé * Une fonction \(f\) associe à chaque nombre \(x\) un unique nombre \(f(x)\) (son image). * \(x\) est un antécédent de \(f(x)\). * L'ensemble de définition est l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) existe. * Une fonction peut être représentée par une formule, un tableau de valeurs, ou une courbe. * Savoir lire une image et un antécédent sur une courbe est essentiel. * Comprendre le sens de variation (croissante, décroissante, constante) d'une fonction est important pour analyser son comportement. ## Taux d'accroissement d'une fonction ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons découvrir une notion fondamentale en mathématiques : le taux d'accroissement d'une fonction. Ce concept nous permet de mesurer la "vitesse" à laquelle une fonction évolue entre deux points donnés. Il est essentiel pour comprendre le comportement des fonctions et prépare les bases de concepts plus avancés comme la dérivée. ### Concepts Clés #### Définition du taux d'accroissement Le taux d'accroissement d'une fonction numérique \( f \) entre deux valeurs distinctes \( a \) et \( b \) de son ensemble de définition mesure la variation moyenne de la fonction par unité de variation de la variable. La formule du taux d'accroissement \( T \) est donnée par : \[ T = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] On peut aussi l'exprimer en utilisant \( h \), la différence entre \( b \) et \( a \) (donc \( b = a + h \) et \( h \neq 0 \)) : \[ T = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \] #### Interprétation Géométrique Géométriquement, le taux d'accroissement d'une fonction \( f \) entre \( a \) et \( b \) représente le **coefficient directeur** (ou la pente) de la droite sécante qui passe par les points \( A(a, f(a)) \) et \( B(b, f(b)) \) de la courbe représentative de \( f \). * Si le taux d'accroissement est positif, la fonction est en moyenne croissante sur l'intervalle. La sécante "monte". * Si le taux d'accroissement est négatif, la fonction est en moyenne décroissante sur l'intervalle. La sécante "descend". * Si le taux d'accroissement est nul, la fonction est en moyenne constante sur l'intervalle. La sécante est horizontale. #### Méthode de Calcul Pour calculer le taux d'accroissement : 1. Identifiez la fonction \( f(x) \). 2. Identifiez les deux points \( a \) et \( b \) (ou \( a \) et \( a+h \)). 3. Calculez \( f(a) \) et \( f(b) \) (ou \( f(a) \) et \( f(a+h) \)). 4. Appliquez la formule du taux d'accroissement. 5. Simplifiez l'expression obtenue. ### Vocabulaire * **Taux d'accroissement :** Mesure de la variation moyenne d'une fonction par rapport à la variation de sa variable. * **Fonction numérique :** Fonction dont les variables et les valeurs sont des nombres réels. * **Variable réelle :** Une variable qui peut prendre n'importe quelle valeur numérique réelle. * **Sécante :** Une droite qui coupe une courbe en deux points ou plus. * **Coefficient directeur (ou pente) :** Nombre qui indique l'inclinaison d'une droite. Pour une droite passant par \( (x_1, y_1) \) et \( (x_2, y_2) \), il est donné par \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \). ### Exemples #### Exemple 1: Fonction linéaire Soit la fonction \( f(x) = 3x - 2 \). Calculons le taux d'accroissement entre \( a=1 \) et \( b=4 \). 1. \( f(1) = 3(1) - 2 = 1 \) 2. \( f(4) = 3(4) - 2 = 10 \) 3. Taux d'accroissement : \[ \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{10 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] *Remarque :* Pour une fonction linéaire \( f(x) = mx+p \), le taux d'accroissement est toujours égal à \( m \), le coefficient directeur de la droite. #### Exemple 2: Fonction quadratique Soit la fonction \( f(x) = x^2 \). Calculons le taux d'accroissement entre \( a=-1 \) et \( b=2 \). 1. \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \) 2. \( f(2) = (2)^2 = 4 \) 3. Taux d'accroissement : \[ \frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{4 - 1}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1 \] #### Exemple 3: Avec un pas \( h \) Soit la fonction \( f(x) = x^2 + x \). Calculons le taux d'accroissement entre \( x \) et \( x+h \). 1. \( f(x) = x^2 + x \) 2. \( f(x+h) = (x+h)^2 + (x+h) = x^2 + 2xh + h^2 + x + h \) 3. Taux d'accroissement : \[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x^2 + 2xh + h^2 + x + h) - (x^2 + x)}{h} \] \[ = \frac{x^2 + 2xh + h^2 + x + h - x^2 - x}{h} = \frac{2xh + h^2 + h}{h} \] \[ = \frac{h(2x + h + 1)}{h} = 2x + h + 1 \] ### Exercices 1. Calculez le taux d'accroissement de la fonction \( f(x) = 5x + 7 \) entre \( x=0 \) et \( x=2 \). 2. Calculez le taux d'accroissement de la fonction \( g(x) = x^2 - 3x \) entre \( x=1 \) et \( x=3 \). 3. Calculez le taux d'accroissement de la fonction \( h(x) = \frac{1}{x} \) entre \( x=1 \) et \( x=4 \). 4. Pour la fonction \( k(x) = 2x^2 - 1 \), exprimez le taux d'accroissement entre \( x \) et \( x+h \). ### Devoir maison 1. La température \( T \) (en degrés Celsius) d'un four en fonction du temps \( t \) (en minutes) est donnée par \( T(t) = 10t^2 + 50 \) pour \( 0 \le t \le 10 \). * Calculez le taux d'accroissement de la température entre \( t=0 \) et \( t=5 \) minutes. * Calculez le taux d'accroissement de la température entre \( t=5 \) et \( t=10 \) minutes. * Interprétez la signification de ces résultats par rapport à l'évolution de la température du four. 2. La position \( p \) (en mètres) d'une voiture sur une piste est donnée par la fonction \( p(t) = 4t^2 + 2t + 10 \), où \( t \) est le temps en secondes. * Déterminez la position de la voiture à \( t=1 \) seconde et à \( t=3 \) secondes. * Calculez le taux d'accroissement de la position entre ces deux instants. Que représente ce taux dans ce contexte physique ? ### Résumé * Le **taux d'accroissement** d'une fonction \( f \) entre deux points \( a \) et \( b \) est donné par la formule \[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]. * Il mesure la **variation moyenne** de la fonction sur l'intervalle \( [a, b] \). * Géométriquement, il représente le **coefficient directeur de la sécante** passant par les points \( (a, f(a)) \) et \( (b, f(b)) \) de la courbe de \( f \). * Ce concept est fondamental pour comprendre la **croissance ou la décroissance** d'une fonction et est un précurseur à la notion de dérivée.