Chap3: Equations et inéquations

# Chap3: Equations et inéquations ## Équations et inéquations du 1er degré dans ℝ ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre essentiel des mathématiques de Seconde ! Les équations et inéquations du premier degré sont des outils fondamentaux non seulement en algèbre, mais aussi dans de nombreux domaines de la science, de l'ingénierie et même de la vie quotidienne pour modéliser et résoudre des problèmes. Dans ces notes, nous allons revoir les méthodes de résolution et apprendre à interpréter les solutions sous différentes formes. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une équation du 1er degré ? Une **équation** est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues, généralement représentées par des lettres (comme \(x\)). Une équation du premier degré est une équation où l'inconnue n'est élevée qu'à la puissance 1 (pas de \(x^2\), \(x^3\), etc.). **Exemple :** \( 2x + 3 = 7 \) #### Résolution d'une équation du 1er degré Résoudre une équation signifie trouver la valeur (ou les valeurs) de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Pour cela, nous utilisons des règles d'équivalence : * **Règle 1 :** On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation sans changer ses solutions. **Exemple :** Si \( x - 5 = 2 \), alors \( x - 5 + 5 = 2 + 5 \), ce qui donne \( x = 7 \). * **Règle 2 :** On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par un même nombre *non nul* sans changer ses solutions. **Exemple :** Si \( 3x = 12 \), alors \( rac{3x}{3} = rac{12}{3} \), ce qui donne \( x = 4 \). **Méthode générale :** Le but est d'isoler l'inconnue (\(x\)) d'un côté de l'égalité. #### Qu'est-ce qu'une inéquation du 1er degré ? Une **inéquation** est une inégalité qui contient une ou plusieurs inconnues. Comme pour les équations du premier degré, l'inconnue n'est élevée qu'à la puissance 1. Les symboles d'inégalité sont : * \( < \) : inférieur à * \( > \) : supérieur à * \( ahydro \) : inférieur ou égal à * \( ho \) : supérieur ou égal à **Exemple :** \( 2x + 1 < 5 \) #### Résolution d'une inéquation du 1er degré Les règles de résolution sont similaires à celles des équations, à une exception près : * **Règle 1 :** On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inéquation sans changer le sens de l'inégalité. * **Règle 2 :** On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par un même nombre *positif* sans changer le sens de l'inégalité. * **Règle 3 :** Si l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un même nombre *négatif*, il faut **inverser le sens de l'inégalité**. **Exemple :** Si \( -2x ho 6 \), alors \( rac{-2x}{-2} ahydro rac{6}{-2} \), ce qui donne \( x ahydro -3 \). #### Représentation des solutions et intervalles Les solutions d'une inéquation sont souvent un ensemble de nombres. On peut les représenter de trois manières : 1. **Par une inégalité :** Par exemple, \( x < 4 \). 2. **Sur une droite numérique :** On hachure la partie de la droite correspondant aux solutions. Les crochets indiquent si les bornes sont incluses ou exclues. * `[` ou `]` pour les bornes incluses (\( ahydro \) ou \( ho \)). * `(` ou `)` pour les bornes exclues (\( < \) ou \( > \)). 3. **Par un intervalle :** C'est une notation compacte pour représenter un ensemble de nombres réels. Le tableau suivant récapitule les correspondances : | Inégalité | Représentation sur la droite numérique | Intervalle | | :----------------- | :------------------------------------- | :----------------- | | \( x \rho a \) | | \( [a, + ho[ \) | | \( x > a \) | | \( ]a, + ho[ \) | | \( x \rahydro a \) | | \( ]- ho, a] \) | | \( x < a \) | | \( ]- ho, a[ \) | | \( a \rahydro x \rahydro b \) | | \( [a, b] \) | | \( a < x < b \) | | \( ]a, b[ \) | ### Vocabulaire * **Équation :** Égalité avec une ou plusieurs inconnues. Le but est de trouver les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'égalité. * **Inconnue :** La lettre (souvent \(x\)) dont on cherche la valeur dans une équation ou une inéquation. * **Membre :** Chacune des expressions de part et d'autre du signe égal (=) ou d'inégalité (\( < \), \( > \), etc.). * **Solution :** La ou les valeurs de l'inconnue qui rendent l'équation ou l'inéquation vraie. Pour une inéquation, c'est souvent un ensemble de solutions. * **Inéquation :** Inégalité avec une ou plusieurs inconnues. Le but est de trouver l'ensemble des valeurs de l'inconnue qui vérifient l'inégalité. * **Inégalité :** Relation entre deux expressions indiquant qu'elles ne sont pas égales, utilisant les symboles \( <, >, ahydro, ho \). * **Intervalle :** Un sous-ensemble des nombres réels, représenté par ses bornes et des crochets indiquant si les bornes sont incluses ou exclues. * **Ensemble de solutions :** L'ensemble de toutes les valeurs possibles de l'inconnue qui satisfont une équation ou une inéquation. ### Exemples #### Exemple 1 : Résoudre une équation simple Résoudre l'équation suivante : \[ 4x - 7 = 13 \] * Ajouter 7 aux deux membres : \( 4x - 7 + 7 = 13 + 7 \) \( ho \) \( 4x = 20 \) * Diviser par 4 aux deux membres : \( rac{4x}{4} = rac{20}{4} \) \( ho \) \( x = 5 \) La solution est \( x = 5 \). #### Exemple 2 : Résoudre une équation avec parenthèses Résoudre l'équation suivante : \[ 2(x+3) = 5x - 1 \] * Développer le côté gauche : \( 2x + 6 = 5x - 1 \) * Soustraire \( 2x \) aux deux membres : \( 6 = 3x - 1 \) * Ajouter 1 aux deux membres : \( 7 = 3x \) * Diviser par 3 aux deux membres : \( x = rac{7}{3} \) La solution est \( x = rac{7}{3} \). #### Exemple 3 : Résoudre une inéquation simple Résoudre l'inéquation suivante : \[ 5x + 2 > 17 \] * Soustraire 2 aux deux membres : \( 5x + 2 - 2 > 17 - 2 \) \( ho \) \( 5x > 15 \) * Diviser par 5 (nombre positif) aux deux membres : \( rac{5x}{5} > rac{15}{5} \) \( ho \) \( x > 3 \) L'ensemble des solutions est \( ]3, + ho[ \). #### Exemple 4 : Résoudre une inéquation avec division par un nombre négatif Résoudre l'inéquation suivante : \[ -3x + 4 ahydro 10 \] * Soustraire 4 aux deux membres : \( -3x + 4 - 4 ahydro 10 - 4 \) \( ho \) \( -3x ahydro 6 \) * Diviser par -3 (nombre négatif) aux deux membres et **inverser le sens de l'inégalité** : \( rac{-3x}{-3} ho rac{6}{-3} \) \( ho \) \( x ho -2 \) L'ensemble des solutions est \( [-2, + ho[ \). #### Exemple 5 : Résoudre une inéquation avec parenthèses et représentation Résoudre l'inéquation suivante : \[ 2(x-1) < 4x + 6 \] * Développer le côté gauche : \( 2x - 2 < 4x + 6 \) * Soustraire \( 2x \) aux deux membres : \( -2 < 2x + 6 \) * Soustraire 6 aux deux membres : \( -2 - 6 < 2x \) \( ho \) \( -8 < 2x \) * Diviser par 2 (nombre positif) aux deux membres : \( rac{-8}{2} < rac{2x}{2} \) \( ho \) \( -4 < x \) L'ensemble des solutions est \( ]-4, + ho[ \). Sur la droite numérique, on hachurerait tout ce qui est à droite de -4, avec un crochet ouvrant vers l'extérieur au niveau de -4. ### Exercices Résolvez les équations et inéquations suivantes et, pour les inéquations, donnez l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. 1. \( 7x - 1 = 20 \) 2. \( 3(x+2) = 2x - 1 \) 3. \( 4x - 5 ho 7 \) 4. \( -x + 8 < 2x - 1 \) ### Devoirs 1. **Résoudre les équations et inéquations suivantes :** a. \( rac{x}{2} + rac{1}{3} = rac{5}{6} \) b. \( 5 - (2x + 3) > 4x - 1 \) c. \( 2(3x - 4) etrahydro 5(x + 1) \) 2. **Problème :** Un abonnement téléphonique coûte 15 € par mois, plus 0,10 € par minute de communication. Combien de minutes maximum peut-on communiquer par mois si l'on ne veut pas dépasser 25 € ? ### Résumé Ce chapitre vous a permis de maîtriser les bases des équations et inéquations du 1er degré dans \( ho \). Rappelez-vous les points essentiels : * **Équations :** Le but est d'isoler l'inconnue. On effectue les mêmes opérations (addition, soustraction, multiplication, division par un non-nul) des deux côtés de l'égalité. * **Inéquations :** Les règles sont similaires, mais attention ! Lorsque l'on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut **inverser le sens de l'inégalité**. * **Solutions :** Les solutions d'une équation sont des valeurs précises. Celles d'une inéquation sont des ensembles de nombres, souvent représentés par un intervalle sur une droite numérique. Maîtriser la notation des intervalles est crucial. Ces compétences sont fondamentales pour les futurs chapitres de mathématiques et pour résoudre des problèmes concrets. Continuez à vous entraîner !