Chap2 : Equations,Inéquations, systèmes

# Chap2 : Equations,Inéquations, systèmes ## Equations du second degré à une inconnue (forme canonique). ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les équations du second degré ! Nous allons explorer une manière particulière et très utile d'écrire ces équations, appelée la "forme canonique". Cette forme nous aidera à comprendre plus facilement les propriétés de ces équations et à les résoudre efficacement. Une équation du second degré est une équation où l'inconnue est élevée à la puissance 2. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce qu'une équation du second degré ? Une équation du second degré à une inconnue est une équation qui peut s'écrire sous la forme générale : \[ ax^2 + bx + c = 0 \] où \( x \) est l'inconnue, et \( a \), \( b \), \( c \) sont des nombres réels, avec \( a \neq 0 \). * \( ax^2 \) est le terme du second degré. * \( bx \) est le terme du premier degré. * \( c \) est le terme constant. #### 2. La Forme Canonique La forme canonique d'une équation du second degré est une autre façon d'écrire \( ax^2 + bx + c = 0 \). Elle se présente sous la forme : \[ a(x-\alpha)^2 + \beta = 0 \] où \( \alpha \) (alpha) et \( \beta \) (bêta) sont des nombres réels qui dépendent de \( a \), \( b \) et \( c \). **Comment passer de la forme générale à la forme canonique ?** On peut déterminer \( \alpha \) et \( \beta \) à l'aide des formules suivantes : * \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) * \( \beta = a\alpha^2 + b\alpha + c \) (ou plus simplement, \( \beta \) est la valeur de la fonction \( f(x)=ax^2+bx+c \) lorsque \( x = \alpha \)). Une autre formule pour \( \beta \) est \( \beta = -\frac{b^2-4ac}{4a} \). **Intérêt de la forme canonique :** * Elle permet de visualiser facilement l'axe de symétrie de la parabole associée à la fonction \( f(x) = ax^2 + bx + c \) (l'axe est \( x=\alpha \)). * Elle facilite la résolution de l'équation car l'inconnue \( x \) n'apparaît qu'une seule fois dans un carré. #### 3. Résolution d'équations du second degré sous forme canonique Pour résoudre une équation de la forme \( a(x-\alpha)^2 + \beta = 0 \), nous suivons ces étapes : 1. Isoler le terme \( (x-\alpha)^2 \): \( a(x-\alpha)^2 = -\beta \) \( (x-\alpha)^2 = -\frac{\beta}{a} \) 2. Posons \( K = -\frac{\beta}{a} \). Nous avons alors \( (x-\alpha)^2 = K \). 3. Analyser les cas possibles pour \( K \) : * **Cas 1 : \( K > 0 \)** L'équation \( (x-\alpha)^2 = K \) a deux solutions réelles : \( x-\alpha = \sqrt{K} \) ou \( x-\alpha = -\sqrt{K} \) Donc, \( x_1 = \alpha + \sqrt{K} \) et \( x_2 = \alpha - \sqrt{K} \). * **Cas 2 : \( K = 0 \)** L'équation \( (x-\alpha)^2 = 0 \) a une seule solution réelle : \( x-\alpha = 0 \) Donc, \( x = \alpha \). * **Cas 3 : \( K < 0 \)** L'équation \( (x-\alpha)^2 = K \) n'a aucune solution réelle, car un carré ne peut jamais être négatif dans l'ensemble des nombres réels. ### Vocabulaire * **Équation du second degré :** Équation où la plus haute puissance de l'inconnue est 2. * **Forme générale :** Écriture \( ax^2 + bx + c = 0 \). * **Forme canonique :** Écriture \( a(x-\alpha)^2 + \beta = 0 \). * **Coefficient :** Nombre réel multipliant une inconnue ou un terme constant dans une équation (\( a \), \( b \), \( c \)). * **Inconnue :** La variable que l'on cherche à déterminer (souvent \( x \)). * **Solution (ou racine) :** Valeur(s) de l'inconnue qui rendent l'équation vraie. ### Exemples #### Exemple 1 : Passage de la forme générale à la forme canonique Convertir l'équation \( 2x^2 - 12x + 10 = 0 \) en forme canonique. Ici, \( a=2 \), \( b=-12 \), \( c=10 \). 1. Calculons \( \alpha \) : \( \alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \times 2} = -\frac{-12}{4} = 3 \) 2. Calculons \( \beta \) : \( \beta = a\alpha^2 + b\alpha + c = 2(3)^2 - 12(3) + 10 = 2(9) - 36 + 10 = 18 - 36 + 10 = -8 \) 3. La forme canonique est donc : \( 2(x-3)^2 - 8 = 0 \) #### Exemple 2 : Résolution d'une équation sous forme canonique (deux solutions) Résoudre l'équation \( 3(x-1)^2 - 12 = 0 \). 1. Isolons le terme au carré : \( 3(x-1)^2 = 12 \) \( (x-1)^2 = \frac{12}{3} \) \( (x-1)^2 = 4 \) 2. Prenons la racine carrée des deux côtés : \( x-1 = \sqrt{4} \) ou \( x-1 = -\sqrt{4} \) \( x-1 = 2 \) ou \( x-1 = -2 \) 3. Résolvons pour \( x \) : \( x = 2 + 1 = 3 \) ou \( x = -2 + 1 = -1 \) Les solutions sont \( x_1 = 3 \) et \( x_2 = -1 \). #### Exemple 3 : Résolution d'une équation sous forme canonique (pas de solution) Résoudre l'équation \( 2(x-3)^2 + 8 = 0 \). 1. Isolons le terme au carré : \( 2(x-3)^2 = -8 \) \( (x-3)^2 = -\frac{8}{2} \) \( (x-3)^2 = -4 \) 2. Un carré ne peut jamais être négatif dans l'ensemble des nombres réels. Donc, cette équation n'a **aucune solution réelle**. ### Exercices 1. Donnez la forme canonique de l'équation \( x^2 + 6x + 5 = 0 \). 2. Résolvez les équations suivantes : a. \( 4(x+2)^2 - 16 = 0 \) b. \( -(x-5)^2 + 9 = 0 \) c. \( 2(x-1)^2 + 2 = 0 \) d. \( 3(x+4)^2 = 0 \) ### Devoirs 1. Convertissez en forme canonique puis résolvez si possible : a. \( x^2 - 8x + 15 = 0 \) b. \( 3x^2 + 6x + 3 = 0 \) c. \( -2x^2 + 4x - 5 = 0 \) 2. Trouvez les valeurs de \( x \) pour lesquelles l'aire d'un carré de côté \( (x+3) \) est égale à 25 unités carrées. Écrivez l'équation sous forme canonique avant de la résoudre. 3. Un projectile est lancé et sa hauteur \( h \) (en mètres) en fonction du temps \( t \) (en secondes) est donnée par \( h(t) = -5t^2 + 20t + 10 \). Mettez cette expression sous forme canonique. À quel moment le projectile atteint-il sa hauteur maximale et quelle est cette hauteur ? (Indice : la forme canonique vous donne le maximum/minimum d'une parabole). ### Résumé * Une équation du second degré s'écrit \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a \neq 0 \). * Sa forme canonique est \( a(x-\alpha)^2 + \beta = 0 \). * On trouve \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) et \( \beta = a\alpha^2 + b\alpha + c \). * La forme canonique facilite la résolution en isolant le carré de \( (x-\alpha) \). * La résolution de \( (x-\alpha)^2 = K \) dépend du signe de \( K \): * Si \( K > 0 \), il y a deux solutions réelles. * Si \( K = 0 \), il y a une solution réelle unique. * Si \( K < 0 \), il n'y a pas de solution réelle. ## Système d’équations linéaires dans IR² ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les systèmes d'équations linéaires ! En mathématiques, il est fréquent de rencontrer des problèmes où plusieurs informations sont liées et où l'on cherche à déterminer plusieurs inconnues simultanément. C'est précisément le rôle des systèmes d'équations. Dans ce cours, nous allons nous concentrer sur les systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues dans l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R}^2 \). Vous apprendrez à les résoudre par différentes méthodes et à interpréter leurs solutions. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un système d'équations linéaires dans \( \mathbb{R}^2 \) ? Une **équation linéaire à deux inconnues** \( x \) et \( y \) est une équation qui peut s'écrire sous la forme \( ax + by = c \), où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels, avec \( a \neq 0 \) ou \( b \neq 0 \). Graphiquement, une telle équation représente une droite dans le plan. Un **système de deux équations linéaires à deux inconnues** est la combinaison de deux de ces équations. Il s'écrit généralement sous la forme : \[ \begin{cases} ax + by = c \quad (L_1) \a'x + b'y = c' \quad (L_2) \end{cases} \] Où \( a, b, c, a', b', c' \) sont des coefficients réels connus, et \( x, y \) sont les inconnues. Une **solution** de ce système est un couple de nombres \( (x_0, y_0) \) qui vérifie *simultanément* les deux équations \( L_1 \) et \( L_2 \). #### Méthodes de résolution ##### 1. Méthode par substitution Cette méthode consiste à exprimer une des inconnues en fonction de l'autre à partir de l'une des équations, puis à substituer cette expression dans la deuxième équation. Cela permet de ramener le système à une seule équation à une seule inconnue. * **Étape 1 :** Choisir une équation et exprimer une des inconnues (par exemple \( x \)) en fonction de l'autre (ici \( y \)). * **Étape 2 :** Substituer cette expression dans la *seconde* équation. Vous obtiendrez une équation à une seule inconnue (ici \( y \)). * **Étape 3 :** Résoudre cette équation pour trouver la valeur de cette inconnue. * **Étape 4 :** Substituer la valeur trouvée dans l'expression de l'étape 1 pour trouver la valeur de la première inconnue. * **Étape 5 :** Vérifier le couple solution \( (x, y) \) dans les deux équations du système initial. ##### 2. Méthode par élimination (ou combinaison linéaire) Cette méthode vise à éliminer une des inconnues en multipliant chaque équation par un nombre judicieusement choisi, de sorte que les coefficients de cette inconnue deviennent opposés. En additionnant les deux équations, l'inconnue s'élimine. * **Étape 1 :** Choisir l'inconnue à éliminer (par exemple \( x \)). * **Étape 2 :** Multiplier chaque équation par un nombre (différent de zéro) de manière à ce que les coefficients de l'inconnue choisie soient opposés dans les deux nouvelles équations. * Exemple : si vous avez \( 2x \) et \( 3x \), multipliez la première par 3 et la seconde par -2 pour obtenir \( 6x \) et \( -6x \). * **Étape 3 :** Additionner les deux nouvelles équations membre à membre. L'inconnue choisie doit s'annuler, laissant une équation à une seule inconnue. * **Étape 4 :** Résoudre cette équation pour trouver la valeur de l'inconnue restante. * **Étape 5 :** Substituer cette valeur dans l'une des équations initiales pour trouver la valeur de la première inconnue, ou répéter le processus pour l'autre inconnue. * **Étape 6 :** Vérifier le couple solution \( (x, y) \) dans les deux équations du système initial. #### Nombre de solutions pour un système linéaire Graphiquement, chaque équation linéaire représente une droite dans le plan. La solution d'un système correspond au point d'intersection de ces deux droites. Il y a trois cas possibles : 1. **Une solution unique :** Les deux droites sont sécantes (elles se coupent en un seul point). C'est le cas le plus fréquent. 2. **Aucune solution :** Les deux droites sont parallèles et distinctes (elles ne se coupent jamais). Le système est alors dit **incompatible**. 3. **Une infinité de solutions :** Les deux droites sont confondues (elles représentent la même droite). Toute solution de l'une est solution de l'autre. Le système est alors dit **indéterminé**. ### Vocabulaire * **Équation linéaire :** Équation de la forme \( ax + by = c \). * **Inconnue :** Variable dont on cherche la valeur (souvent \( x \) et \( y \)). * **Système d'équations linéaires :** Ensemble de plusieurs équations linéaires à résoudre simultanément. * **Solution d'un système :** Couple (ou n-uplet) de valeurs qui vérifie toutes les équations du système. * **Méthode par substitution :** Technique de résolution où l'on exprime une inconnue en fonction de l'autre. * **Méthode par élimination (ou combinaison linéaire) :** Technique de résolution où l'on additionne des équations pour éliminer une inconnue. * **Couple de nombres :** Représentation d'une solution pour deux inconnues, noté \( (x, y) \). * **Droites sécantes :** Droites qui se coupent en un unique point. * **Droites parallèles (et distinctes) :** Droites qui ne se coupent jamais. * **Droites confondues :** Deux équations qui représentent la même droite. ### Exemples #### Exemple 1 : Résolution par substitution Résolvons le système : \[ \begin{cases} x + 2y = 7 \quad (L_1) \3x - y = 0 \quad (L_2) \end{cases} \] 1. De \( L_2 \), on exprime \( y \) en fonction de \( x \) : \( y = 3x \). 2. Substituons cette expression dans \( L_1 \) : \( x + 2(3x) = 7 \) \( x + 6x = 7 \) \( 7x = 7 \) \( x = 1 \) 3. Substituons \( x=1 \) dans \( y = 3x \) : \( y = 3(1) = 3 \) 4. La solution est le couple \( (1, 3) \). 5. Vérification : \( L_1: 1 + 2(3) = 1 + 6 = 7 \) (Vrai) \( L_2: 3(1) - 3 = 3 - 3 = 0 \) (Vrai) #### Exemple 2 : Résolution par élimination Résolvons le système : \[ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \quad (L_1) \5x - 2y = 11 \quad (L_2) \end{cases} \] 1. Éliminons \( y \). Multiplions \( L_1 \) par 2 et \( L_2 \) par 3 : \( (L_1) \times 2 \implies 4x + 6y = 24 \quad (L_3) \) \( (L_2) \times 3 \implies 15x - 6y = 33 \quad (L_4) \) 2. Additionnons \( L_3 \) et \( L_4 \) : \( (4x + 6y) + (15x - 6y) = 24 + 33 \) \( 19x = 57 \) \( x = \frac{57}{19} = 3 \) 3. Substituons \( x=3 \) dans \( L_1 \) : \( 2(3) + 3y = 12 \) \( 6 + 3y = 12 \) \( 3y = 6 \) \( y = 2 \) 4. La solution est le couple \( (3, 2) \). 5. Vérification : \( L_1: 2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12 \) (Vrai) \( L_2: 5(3) - 2(2) = 15 - 4 = 11 \) (Vrai) #### Exemple 3 : Cas particuliers * **Pas de solution :** \[ \begin{cases} x + y = 3 \2x + 2y = 1 \end{cases} \] Si l'on multiplie la première équation par 2, on obtient \( 2x + 2y = 6 \). Or la deuxième équation est \( 2x + 2y = 1 \). Cela implique \( 6 = 1 \), ce qui est absurde. Donc, pas de solution. * **Infinité de solutions :** \[ \begin{cases} x - y = 1 \2x - 2y = 2 \end{cases} \] La deuxième équation est le double de la première. Les deux équations représentent la même droite. Il y a une infinité de solutions, toutes les paires \( (x,y) \) telles que \( y = x - 1 \). ### Exercices Résolvez les systèmes d'équations suivants par la méthode de votre choix et vérifiez vos solutions : 1. \[ \begin{cases} x + y = 5 \x - y = 1 \end{cases} \] 2. \[ \begin{cases} 2x + y = 8 \3x - 2y = 5 \end{cases} \] 3. Un problème en deux inconnues : La somme de deux nombres est 15. Leur différence est 3. Quels sont ces deux nombres ? (Commencez par poser le système d'équations). ### Devoir 1. Résolvez les systèmes suivants en utilisant **la méthode par substitution** pour le premier et **la méthode par élimination** pour le second : a. \[ \begin{cases} 4x - y = 10 \x + 3y = -2 \end{cases} \] b. \[ \begin{cases} 5x + 2y = 1 \2x + 3y = 8 \end{cases} \] 2. Problème : Un fermier possède des poulets et des lapins. Il compte 30 têtes et 84 pattes au total. Combien le fermier a-t-il de poulets et de lapins ? *(Conseil : Posez \( p \) pour le nombre de poulets et \( l \) pour le nombre de lapins, et traduisez les informations en deux équations).* ### Résumé Pour conclure, un système d'équations linéaires à deux inconnues dans \( \mathbb{R}^2 \) est un ensemble de deux équations de la forme \( ax + by = c \) que l'on doit résoudre simultanément pour trouver un couple \( (x, y) \) qui les vérifie toutes les deux. Nous avons exploré deux méthodes principales de résolution : * La **méthode par substitution**, où l'on exprime une inconnue en fonction de l'autre pour la remplacer dans la seconde équation. * La **méthode par élimination (ou combinaison linéaire)**, où l'on manipule les équations pour que l'addition permette d'annuler une des inconnues. Il est important de se souvenir que ces systèmes peuvent avoir une solution unique (droites sécantes), aucune solution (droites parallèles et distinctes), ou une infinité de solutions (droites confondues). La maîtrise de ces techniques est fondamentale pour aborder des problèmes plus complexes en mathématiques et dans d'autres disciplines. ## Résolution de problèmes se ramenant à la résolution d’équations ### Introduction Dans de nombreuses situations de la vie courante, nous sommes confrontés à des problèmes qui peuvent être résolus grâce aux mathématiques. Une méthode puissante pour aborder ces problèmes est de les traduire en équations. Cette leçon vous guidera à travers les étapes essentielles pour transformer un problème concret en une équation mathématique, résoudre cette équation, puis interpréter le résultat pour trouver la solution au problème initial. Une approche méthodique est la clé du succès ! ### Concepts Clés #### La démarche de résolution d'un problème Pour résoudre efficacement un problème qui se ramène à une équation, nous suivons généralement une série d'étapes structurées : ##### Étape 1 : Choisir l'inconnue * Lisez attentivement l'énoncé du problème pour identifier ce que vous cherchez à déterminer. * Désignez cette quantité inconnue par une lettre, le plus souvent \( x \) (mais toute autre lettre peut convenir, comme \( y \), \( L \) pour longueur, etc.). * Précisez l'unité de cette inconnue si cela a un sens (par exemple, des années, des centimètres, des euros). ##### Étape 2 : Mettre le problème en équation * Traduisez chaque information de l'énoncé en une expression mathématique utilisant l'inconnue que vous avez choisie. * Recherchez une relation (souvent une égalité) qui lie ces expressions entre elles. Cette égalité constituera votre équation. ##### Étape 3 : Résoudre l'équation * Utilisez les techniques de résolution d'équations que vous avez apprises (développer, réduire, transposer les termes, isoler l'inconnue) pour trouver la valeur de \( x \). * N'oubliez pas les règles de calcul algébrique pour éviter les erreurs. ##### Étape 4 : Vérifier le résultat * Une fois la valeur de l'inconnue trouvée, remplacez-la dans l'équation que vous avez établie à l'étape 2. Assurez-vous que l'égalité est vérifiée. * Plus important encore, vérifiez si cette solution a du sens dans le contexte du problème initial. Par exemple, une longueur ne peut pas être négative, un nombre de personnes ne peut pas être décimal. ##### Étape 5 : Conclure et répondre à la question posée * Formulez une phrase claire et concise qui répond à la question posée dans l'énoncé du problème. * N'oubliez pas d'inclure les unités appropriées dans votre réponse. ### Vocabulaire * **Inconnue :** La valeur ou la quantité que l'on cherche à déterminer dans un problème, souvent représentée par une lettre comme \( x \). * **Équation :** Une égalité mathématique qui contient une ou plusieurs inconnues. Par exemple, \( 2x + 3 = 7 \). * **Résoudre une équation :** Le processus de trouver la valeur (ou les valeurs) de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. * **Mettre en équation :** L'action de traduire un problème écrit en une équation mathématique. * **Solution (d'une équation) :** La valeur numérique de l'inconnue qui satisfait l'équation, c'est-à-dire qui rend l'égalité vraie. ### Exemples #### Exemple 1 : Problème d'âge **Énoncé :** Thomas a 5 ans de plus que sa sœur Léa. À eux deux, ils ont 27 ans. Quel est l'âge de chacun ? * **Étape 1 : Choisir l'inconnue** Soit \( x \) l'âge de Léa (en années). Alors, l'âge de Thomas est \( x + 5 \) (en années). * **Étape 2 : Mettre le problème en équation** L'âge de Léa plus l'âge de Thomas est égal à 27 ans : \[ x + (x+5) = 27 \] * **Étape 3 : Résoudre l'équation** \( x + x + 5 = 27 \) \( 2x + 5 = 27 \) \( 2x = 27 - 5 \) \( 2x = 22 \) \( x = \frac{22}{2} \) \( x = 11 \) * **Étape 4 : Vérifier le résultat** Si Léa a 11 ans, alors Thomas a \( 11 + 5 = 16 \) ans. Ensemble, ils ont \( 11 + 16 = 27 \) ans. Le total est correct. * **Étape 5 : Conclure et répondre à la question posée** Léa a 11 ans et Thomas a 16 ans. #### Exemple 2 : Problème de géométrie **Énoncé :** Le périmètre d'un rectangle est de 40 cm. Sa longueur est 4 cm de plus que sa largeur. Quelles sont les dimensions du rectangle ? * **Étape 1 : Choisir l'inconnue** Soit \( L_a \) la largeur du rectangle (en cm). Alors, la longueur du rectangle est \( L_a + 4 \) (en cm). * **Étape 2 : Mettre le problème en équation** Le périmètre d'un rectangle est donné par la formule \[ P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) \] Donc, nous avons : \[ 2 \times ((L_a + 4) + L_a) = 40 \] * **Étape 3 : Résoudre l'équation** \( 2 \times (2L_a + 4) = 40 \) \( 4L_a + 8 = 40 \) \( 4L_a = 40 - 8 \) \( 4L_a = 32 \) \( L_a = \frac{32}{4} \) \( L_a = 8 \) * **Étape 4 : Vérifier le résultat** Si la largeur est 8 cm, alors la longueur est \( 8 + 4 = 12 \) cm. Le périmètre est \( 2 \times (12 + 8) = 2 \times 20 = 40 \) cm. Le périmètre est correct. * **Étape 5 : Conclure et répondre à la question posée** La largeur du rectangle est 8 cm et sa longueur est 12 cm. ### Exercices #### Exercice 1 Un père a 32 ans et son fils a 5 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le triple de celui de son fils ? #### Exercice 2 Une boîte contient des billes rouges et des billes bleues. Il y a deux fois plus de billes bleues que de billes rouges. Si l'on ajoute 6 billes rouges, le nombre de billes rouges devient égal au nombre de billes bleues. Combien y avait-il de billes de chaque couleur au départ ? ### Devoir #### Devoir 1 Trois amis, Antoine, Benoît et Charles, se partagent une somme de 120 euros. Benoît reçoit le double de la part d'Antoine, et Charles reçoit 10 euros de moins que Benoît. Quelle est la part de chacun ? #### Devoir 2 Un agriculteur clôture un champ rectangulaire. Il utilise 150 mètres de clôture. La longueur du champ est le double de sa largeur. Quelles sont les dimensions du champ ? ### Résumé La résolution de problèmes par la mise en équation est une compétence fondamentale en mathématiques. Rappelez-vous les cinq étapes clés : 1. **Choisir l'inconnue** : Définir clairement ce que l'on cherche. 2. **Mettre le problème en équation** : Traduire l'énoncé en langage mathématique. 3. **Résoudre l'équation** : Appliquer les techniques algébriques pour trouver la valeur de l'inconnue. 4. **Vérifier le résultat** : S'assurer que la solution est correcte et cohérente. 5. **Conclure** : Répondre à la question du problème de manière claire et complète. En pratiquant régulièrement ces étapes, vous développerez votre capacité à aborder et à résoudre une grande variété de problèmes !