Chap1: Nombres réels

# Chap1: Nombres réels ## Icalculs dans R (utilisation des calculatrices) ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les nombres réels et les calculs fondamentaux. Dans ce cours, nous allons revoir les différentes catégories de nombres, les règles de priorité des opérations, et surtout, apprendre à utiliser efficacement et correctement votre calculatrice pour réaliser des calculs complexes sur l'ensemble des nombres réels (\( \mathbb{R} \)). Une bonne maîtrise de votre calculatrice est essentielle pour la Seconde et les années à venir. ### Concepts Clés #### 1. Les Nombres Réels (\( \mathbb{R} \)) L'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) englobe tous les nombres que nous utilisons au quotidien et qui peuvent être placés sur une droite numérique. Il est composé de plusieurs sous-ensembles: * **Nombres entiers naturels (\( \mathbb{N} \)):** \( \{0, 1, 2, 3, ...\} \) * **Nombres entiers relatifs (\( \mathbb{Z} \)):** \( \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} \) * **Nombres décimaux (\( \mathbb{D} \)):** Nombres qui peuvent s'écrire sous la forme \( \frac{a}{10^n} \) où \( a \) est un entier et \( n \) un entier naturel (ex: \( 0.5, -3.25, 12 \)) * **Nombres rationnels (\( \mathbb{Q} \)):** Nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction \( \frac{a}{b} \) où \( a \) est un entier et \( b \) un entier non nul (ex: \( \frac{1}{3}, -\frac{5}{7} \)). Tous les décimaux sont des rationnels. * **Nombres irrationnels:** Nombres réels qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction. Leur écriture décimale est infinie et non périodique (ex: \( \sqrt{2}, \pi \)). #### 2. Opérations Fondamentales et Priorités Sur les nombres réels, nous pouvons effectuer les quatre opérations fondamentales: addition, soustraction, multiplication et division. Il est crucial de respecter les priorités des opérations pour obtenir le bon résultat. L'ordre est le suivant (mnémotechnique: PEMDAS pour Parenthèses, Exposants, Multiplications/Divisions, Additions/Soustractions): 1. **Parenthèses** (et crochets, accolades) : Les calculs à l'intérieur des parenthèses sont effectués en premier. 2. **Puissances et Racines** : Les exposants et les racines carrées (ou autres) sont calculés ensuite. 3. **Multiplications et Divisions** : Ces opérations sont effectuées de gauche à droite. 4. **Additions et Soustractions** : Ces opérations sont effectuées de gauche à droite en dernier. #### 3. Utilisation des Calculatrices Votre calculatrice est un outil puissant, mais elle ne remplace pas la compréhension des concepts. Il faut savoir l'utiliser correctement. ##### 3.1. Saisie des Nombres et Opérations * **Fractions:** Utilisez la touche \( \boxed{a\ b/c} \) ou \( \boxed{N/D} \) pour entrer des fractions ou les convertir. * **Racines carrées:** Utilisez la touche \( \boxed{\sqrt{}} \). * **Puissances:** Utilisez la touche \( \boxed{x^y} \) ou \( \boxed{\wedge} \) pour les exposants quelconques, et \( \boxed{x^2} \) pour les carrés. * **Nombres négatifs:** Utilisez la touche \( \boxed{(-)} \) pour le signe négatif d'un nombre, et non le signe \( \boxed{-} \) de soustraction. * **Parenthèses:** Indispensables pour respecter la priorité des opérations, surtout pour les numérateurs/dénominateurs complexes de fractions ou les exposants. ##### 3.2. Arrondis et Troncatures Les calculatrices donnent souvent des résultats avec de nombreuses décimales. Il est important de savoir les simplifier si on vous demande une valeur approchée. * **Arrondi:** On donne la valeur approchée la plus proche du nombre. Si le chiffre suivant le rang d'arrondi est 5 ou plus, on arrondit au supérieur. Sinon, on garde le chiffre tel quel. * Exemple: L'arrondi au centième de \( 3.14159 \) est \( 3.14 \). L'arrondi au centième de \( 3.1456 \) est \( 3.15 \). * **Troncature:** On coupe simplement le nombre après le rang demandé, sans se soucier du chiffre suivant. * Exemple: La troncature au centième de \( 3.14159 \) est \( 3.14 \). La troncature au centième de \( 3.1456 \) est \( 3.14 \). ### Vocabulaire * **Nombre réel (\( \mathbb{R} \)):** Tout nombre, positif ou négatif, avec ou sans décimales, qui peut être représenté sur une ligne numérique. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous étudions en Seconde. * **Nombre rationnel (\( \mathbb{Q} \)):** Un nombre qui peut être exprimé comme une fraction \( \frac{a}{b} \) où \( a \) est un entier et \( b \) est un entier non nul. * **Nombre irrationnel:** Un nombre réel qui ne peut pas être exprimé comme une fraction. Son développement décimal est infini et non périodique (ex: \( \sqrt{2} \), \( \pi \)). * **Arrondi:** Une valeur approchée d'un nombre obtenue en le ramenant à un certain nombre de décimales, en ajustant la dernière décimale en fonction du chiffre suivant. * **Troncature:** Une valeur approchée d'un nombre obtenue en coupant les décimales au-delà d'un certain rang, sans ajustement. ### Exemples #### Exemple 1: Priorités des opérations Calculez \( A = 5 + 3 \times (8 - 2)^2 \div 4 \) 1. **Parenthèses:** \( 8 - 2 = 6 \) \( A = 5 + 3 \times 6^2 \div 4 \) 2. **Puissances:** \( 6^2 = 36 \) \( A = 5 + 3 \times 36 \div 4 \) 3. **Multiplication/Division (de gauche à droite):** \( 3 \times 36 = 108 \) \( A = 5 + 108 \div 4 \) \( 108 \div 4 = 27 \) \( A = 5 + 27 \) 4. **Addition:** \( A = 32 \) #### Exemple 2: Utilisation de la calculatrice avec des fractions et racines Calculez \[ B = \frac{3}{4} + \sqrt{25} - \left(\frac{1}{2}\right)^3 \] 1. **Saisie sur calculatrice:** * Entrez `3/4` (ou `3` puis `a b/c` puis `4`) * Ajoutez `+ sqrt(25)` * Soustrayez `(1/2)^3` (n'oubliez pas les parenthèses autour de la fraction pour la puissance). 2. **Calcul détaillé:** \( B = 0.75 + 5 - \frac{1}{8} \) \( B = 5.75 - 0.125 \) \( B = 5.625 \) #### Exemple 3: Arrondi et Troncature Soit le nombre \( C = \frac{100}{7} \approx 14.285714... \) * **Arrondi au centième:** Le troisième chiffre après la virgule est 5, donc on arrondit au supérieur. \( C \approx 14.29 \) * **Troncature au millième:** On coupe après le troisième chiffre. \( C \approx 14.285 \) ### Exercices 1. Calculez la valeur exacte de \( A = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right) \times \frac{9}{4} \). 2. Donnez une valeur approchée au millième près (arrondi) de \( B = \frac{\sqrt{3} + 5}{2 \times \pi} \). 3. Calculez \( C = -3^2 + (5 - 8)^3 - \frac{15}{3} \). 4. Sans utiliser la calculatrice, déterminez si l'affirmation suivante est vraie ou fausse: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \). 5. Sachant que \( D = 1.23456 \), donnez: * Sa troncature au dixième. * Son arrondi au millième. ### Devoirs 1. Calculez la valeur exacte de \( E = \frac{4}{5} \div \left(\frac{7}{10} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{2}\right)^2 \). 2. Un champ rectangulaire mesure 125,5 m de long et 80,3 m de large. Calculez son aire. Si le propriétaire veut clôturer le champ, quelle longueur de clôture lui faudra-t-il? (Donnez les résultats avec une décimale). 3. Utilisez votre calculatrice pour trouver une valeur approchée au cent-millième près (arrondi) de \( F = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) (le nombre d'or). 4. Placez les nombres suivants dans les ensembles de nombres correspondants (\( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)): \( -7; 0; \frac{3}{4}; 2.5; \sqrt{7}; -\frac{12}{3}; 10^3; \pi \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré l'ensemble des nombres réels et révisé les opérations fondamentales. La clé est de toujours respecter les **priorités des opérations** (Parenthèses, Exposants, Multiplications/Divisions, Additions/Soustractions). Nous avons également vu comment utiliser efficacement votre calculatrice pour les calculs complexes, en prêtant attention à la **saisie correcte** des nombres (fractions, racines, puissances, nombres négatifs) et l'utilisation judicieuse des **parenthèses**. Enfin, nous avons différencié l'**arrondi** de la **troncature** pour donner des valeurs approchées précises. Une bonne maîtrise de ces notions est fondamentale pour tous vos futurs cours de mathématiques. ## Calcul dans R (utilisation des calculatrices) ### Introduction Bienvenue à cette première leçon sur les Nombres Réels! Après avoir découvert ce qu'est l'ensemble \( \mathbb{R} \) des nombres réels, nous allons nous concentrer sur la manière d'effectuer des calculs avec ces nombres. Que ce soit des entiers, des décimaux, des fractions, des puissances ou des racines carrées, il est essentiel de maîtriser les techniques de calcul. De nos jours, les calculatrices sont des outils puissants, mais elles ne sont utiles que si l'on sait les utiliser correctement. Cette leçon vous guidera à travers les règles fondamentales du calcul et l'utilisation efficace de votre calculatrice pour obtenir des résultats précis. ### Concepts Clés #### Rappel sur l'ensemble \( \mathbb{R} \) des Nombres Réels L'ensemble \( \mathbb{R} \) des nombres réels inclut tous les nombres que l'on peut trouver sur une droite numérique: les nombres entiers (positifs et négatifs), les nombres décimaux, les fractions, les nombres irrationnels comme \( \sqrt{2} \) ou \( \pi \). #### Priorité des Opérations Pour effectuer un calcul avec plusieurs opérations, il faut respecter un ordre précis: 1. **Parenthèses (et crochets)**: Effectuer d'abord les calculs situés à l'intérieur des parenthèses, en commençant par les plus intérieures. 2. **Puissances et Racines**: Calculer ensuite les puissances et les racines carrées. 3. **Multiplications et Divisions**: Effectuer ces opérations de gauche à droite. 4. **Additions et Soustractions**: Effectuer ces opérations de gauche à droite. #### Opérations avec les Fractions Les fractions sont des nombres réels particuliers. Il est crucial de savoir les manipuler correctement: * **Simplification**: Diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD) pour obtenir une fraction irréductible. * **Addition/Souraction**: Mettre les fractions au même dénominateur avant d'additionner ou de soustraire les numérateurs. Exemple: \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \) * **Multiplication**: Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Exemple: \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \) * **Division**: Multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde. Exemple: \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \) #### Opérations avec les Puissances Une puissance \( a^n \) représente le produit de \( n \) facteurs égaux à \( a \). * **Produit de puissances**: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) * **Quotient de puissances**: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (avec \( a \ne 0 \)) * **Puissance d'une puissance**: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) * **Puissance d'un produit**: \( (ab)^n = a^n b^n \) * **Puissance d'un quotient**: \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \) (avec \( b \ne 0 \)) * **Exposant négatif**: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (avec \( a \ne 0 \)) * **Notation scientifique**: Écrire un nombre sous la forme \( a \times 10^n \), où \( 1 \le |a| < 10 \) et \( n \) est un entier relatif. #### Opérations avec les Racines Carrées La racine carrée d'un nombre positif \( a \), notée \( \sqrt{a} \), est le nombre positif dont le carré est \( a \). * \( \sqrt{a^2} = |a| \) * \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) (pour \( a, b \ge 0 \)) * \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (pour \( a \ge 0, b > 0 \)) * **Simplification**: Rechercher les carrés parfaits sous la racine. Exemple: \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) #### Utilisation de la Calculatrice Votre calculatrice est un outil précieux. Voici comment l'utiliser au mieux: * **Saisie des expressions**: Tapez les expressions exactement comme elles sont écrites, en respectant la priorité des opérations. * **Parenthèses**: **Utilisez les parenthèses sans modération!** C'est la cause la plus fréquente d'erreurs. Par exemple, pour calculer \( \frac{3+5}{2} \), vous devez taper `(3+5)/2` et non `3+5/2`. * **Touches spécifiques**: Familiarisez-vous avec les touches pour les fractions (souvent `a b/c` ou `/`), les puissances (`^` ou `x^y`), les racines carrées (`\sqrt{x}`), les puissances de 10 (`EXP` ou `x10^x`). * **Mode exact/approché**: Les calculatrices peuvent donner des résultats exacts (fractions, racines simplifiées) ou approchés (nombres décimaux). Apprenez à basculer entre les modes (`MODE` ou `Frac->Dec`). * **Arrondis et Troncatures**: Comprenez la différence entre un arrondi (on regarde le chiffre suivant pour décider d'arrondir ou non) et une troncature (on coupe le nombre après un certain nombre de décimales). Exemple: \( 1/3 \approx 0.333333... \) * Arrondi au centième: \( 0.33 \) * Troncature au centième: \( 0.33 \) Exemple: \( 2/3 \approx 0.666666... \) * Arrondi au centième: \( 0.67 \) * Troncature au centième: \( 0.66 \) ### Vocabulaire Clé * **Nombre réel**: Tout nombre pouvant être représenté sur une droite numérique (\( \mathbb{R} \)). * **Priorité des opérations**: L'ordre dans lequel les opérations mathématiques doivent être effectuées. * **Fraction irréductible**: Une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que 1. * **Puissance**: Le résultat de la multiplication répétée d'un nombre par lui-même (ex: \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 \)). * **Exposant**: Le petit nombre en haut à droite dans une puissance, indiquant combien de fois le nombre de base est multiplié par lui-même. * **Racine carrée**: L'opération inverse de l'élévation au carré, qui donne un nombre positif (ex: \( \sqrt{9} = 3 \)). * **Notation scientifique**: Méthode d'écriture des nombres très grands ou très petits sous la forme \( a \times 10^n \). * **Arrondi**: Approximer un nombre en le modifiant à la dernière décimale pour être le plus proche de la valeur exacte. * **Troncature**: Approximer un nombre en coupant simplement les décimales après un certain rang, sans ajustement. * **Valeur exacte**: Le résultat précis d'un calcul, souvent sous forme de fraction ou de racine simplifiée. * **Valeur approchée**: Le résultat d'un calcul exprimé sous forme décimale, avec une certaine précision. ### Exemples 1. **Priorité des opérations**: Calculez \( 5 + 3 \times (7 - 2)^2 \). * \( 5 + 3 \times (5)^2 \) * \( 5 + 3 \times 25 \) * \( 5 + 75 \) * \( 80 \) Sur la calculatrice: `5 + 3 * (7 - 2)^2` (le `^` est pour la puissance) 2. **Opérations avec des fractions**: Calculez \( \frac{1}{3} + \frac{2}{5} \times \frac{15}{4} \). * Multiplication d'abord: \( \frac{2}{5} \times \frac{15}{4} = \frac{2 \times 15}{5 \times 4} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} \) * Addition: \( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{2}{6} + \frac{9}{6} = \frac{11}{6} \) Sur la calculatrice, utilisez les touches de fraction et les parenthèses si nécessaire: `1/3 + (2/5) * (15/4)` 3. **Puissances et notation scientifique**: Exprimez \( (2 \times 10^3)^2 \times 3 \times 10^{-5} \) en notation scientifique. * \( (2 \times 10^3)^2 = 2^2 \times (10^3)^2 = 4 \times 10^{3 \times 2} = 4 \times 10^6 \) * \( 4 \times 10^6 \times 3 \times 10^{-5} = (4 \times 3) \times (10^6 \times 10^{-5}) = 12 \times 10^{6-5} = 12 \times 10^1 \) * En notation scientifique: \( 1.2 \times 10^1 \times 10^1 = 1.2 \times 10^2 \) Sur la calculatrice: `(2E3)^2 * 3E-5` (où `E` représente \( \times 10^ \)). 4. **Simplification de racines**: Simplifiez \( \sqrt{75} - \sqrt{27} \). * \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \) * \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) * \( 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \) Sur la calculatrice, vous pouvez calculer les valeurs approchées pour vérifier: `sqrt(75) - sqrt(27)` devrait être environ `3.464...` et `2*sqrt(3)` est également `3.464...`. ### Exercices 1. Effectuez les calculs suivants en respectant les priorités: a) \( 12 - 4 \times 2 + 6 \div 3 \) b) \( (8 + 2) \div 5 - 3^2 \) c) \( 4 \times (\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) \) 2. Calculez et donnez le résultat sous forme de fraction irréductible: a) \( \frac{7}{6} - \frac{2}{9} \) b) \( \frac{5}{12} \div \frac{15}{8} \) c) \( (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{9}{4}) \) 3. Simplifiez les expressions suivantes (donnez le résultat sous la forme \( a\sqrt{b} \)): a) \( \sqrt{50} + \sqrt{32} \) b) \( \sqrt{200} - 3\sqrt{2} \) 4. Utilisez votre calculatrice pour donner une valeur approchée au millième près de: a) \( \frac{1}{7} + \frac{\sqrt{3}}{2} \) b) \( (1.05)^{12} \) (arrondi) ### Devoirs 1. Calculez la valeur exacte des expressions suivantes, puis vérifiez avec votre calculatrice: a) \( (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \div (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) \) b) \( (\frac{3}{5})^{-2} \times (\frac{2}{3})^3 \) 2. Exprimez les nombres suivants en notation scientifique: a) \( 0.000000045 \) b) \( 123450000000 \) c) \( (5 \times 10^7) \div (2 \times 10^{-3}) \) 3. Un carré a une aire de \( 72 \text{ cm}^2 \). Donnez la longueur exacte de son côté sous la forme \( a\sqrt{b} \) où \( b \) est le plus petit entier possible. 4. Utilisez votre calculatrice pour évaluer \( \frac{3.14 \times (1.23)^2}{0.456 \times \sqrt{7.89}} \) et donnez le résultat arrondi au centième. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons revu et approfondi les méthodes de calcul dans l'ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \). Il est crucial de maîtriser la **priorité des opérations** (parenthèses, puissances/racines, multiplications/divisions, additions/soustractions) et les règles spécifiques aux **fractions**, **puissances** et **racines carrées**. Nous avons également souligné l'importance d'utiliser la **calculatrice de manière efficace**, en particulier pour la saisie d'expressions complexes avec des parenthèses, et pour faire la distinction entre les **valeurs exactes et les valeurs approchées** (arrondis, troncatures). Un bon maniement de ces outils vous garantira précision et réussite dans vos futurs problèmes mathématiques. ## Factorisations simples ### Introduction La factorisation est une compétence essentielle en mathématiques, particulièrement en algèbre. C'est l'opération inverse du développement. Alors que développer consiste à transformer un produit en une somme (ou une différence), factoriser consiste à transformer une somme (ou une différence) en un produit. Cette compétence est cruciale pour simplifier des expressions, résoudre des équations et étudier des fonctions. Dans ce chapitre, nous allons revoir les techniques de factorisation les plus courantes, notamment l'utilisation d'un facteur commun et des identités remarquables. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la factorisation ? Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs. Par exemple, l'expression \( 3x + 6 \) est une somme. Sa forme factorisée est \( 3(x+2) \), qui est un produit. #### Factoriser avec un facteur commun C'est la méthode la plus fondamentale. Elle repose sur la propriété de distributivité : ##### Le principe Nous savons que \( k \times (a+b) = k \times a + k \times b \). La factorisation par un facteur commun utilise cette propriété dans le sens inverse : \[ ka + kb = k(a+b) \] Ici, \( k \) est le **facteur commun** aux termes \( ka \) et \( kb \). ##### Étapes 1. **Identifier le facteur commun** : C'est un nombre, une variable, ou une expression entière qui apparaît dans tous les termes de la somme ou de la différence. 2. **Mettre en évidence le facteur commun** : Réécrivez chaque terme de l'expression pour faire apparaître clairement le facteur commun. 3. **Factoriser** : Appliquez la propriété de distributivité inverse en "sortant" le facteur commun et en regroupant les termes restants entre parenthèses. ##### Cas où le facteur commun est une expression Le facteur commun peut être une expression entière placée entre parenthèses. Par exemple : \( (x+1)(2x-3) + (x+1)(x+5) \) Ici, le facteur commun est \( (x+1) \). #### Factoriser avec les identités remarquables Les identités remarquables sont des égalités très utiles pour factoriser certaines expressions qui ne contiennent pas de facteur commun apparent. ##### Rappel des identités remarquables Voici les trois identités remarquables à connaître absolument : 1. **Carré d'une somme** : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) 2. **Carré d'une différence** : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) 3. **Différence de deux carrés** : \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) Pour la factorisation, nous utilisons ces identités dans le sens inverse, en reconnaissant la forme développée pour retrouver la forme factorisée. ##### Application pour la factorisation * Si vous voyez une expression de la forme \( a^2 + 2ab + b^2 \), vous pouvez la factoriser en \( (a+b)^2 \). * Si vous voyez une expression de la forme \( a^2 - 2ab + b^2 \), vous pouvez la factoriser en \( (a-b)^2 \). * Si vous voyez une expression de la forme \( a^2 - b^2 \) (une différence de deux carrés), vous pouvez la factoriser en \( (a-b)(a+b) \). C'est l'identité la plus fréquemment utilisée pour la factorisation directe. ### Vocabulaire * **Factoriser** : Transformer une somme ou une différence en un produit de facteurs. * **Facteur commun** : Un terme (nombre, variable ou expression) qui est présent dans chacun des termes d'une somme ou d'une différence que l'on souhaite factoriser. * **Identité remarquable** : Une égalité algébrique particulière qui facilite le développement ou la factorisation d'expressions. * **Développer** : Transformer un produit en une somme ou une différence. * **Terme** : Chacune des parties d'une somme ou d'une différence. ### Exemples #### Factorisation par facteur commun 1. **Exemple simple** : Factoriser \( A = 6x + 9 \). * Le facteur commun est \( 3 \). * \( A = 3 \times 2x + 3 \times 3 \) * \( A = 3(2x + 3) \) 2. **Avec une variable** : Factoriser \( B = 5x^2 - 10x \). * Le facteur commun est \( 5x \). * \( B = 5x \times x - 5x \times 2 \) * \( B = 5x(x - 2) \) 3. **Avec une expression** : Factoriser \( C = (x+2)(3x-1) - (x+2)(x+4) \). * Le facteur commun est \( (x+2) \). * \( C = (x+2) [ (3x-1) - (x+4) ] \) * \( C = (x+2) [ 3x-1-x-4 ] \) * \( C = (x+2) (2x-5) \) #### Factorisation avec les identités remarquables 1. **Différence de deux carrés** (forme \( a^2 - b^2 \)) : Factoriser \( D = x^2 - 9 \). * On reconnaît \( a^2 - b^2 \) avec \( a=x \) et \( b=3 \) (car \( 9 = 3^2 \)). * \( D = (x-3)(x+3) \) 2. **Carré d'une somme** (forme \( a^2 + 2ab + b^2 \)) : Factoriser \( E = x^2 + 6x + 9 \). * On reconnaît \( a^2 + 2ab + b^2 \) avec \( a=x \) et \( b=3 \) (car \( x^2 \), \( 9=3^2 \) et \( 6x = 2 \times x \times 3 \)). * \( E = (x+3)^2 \) 3. **Carré d'une différence** (forme \( a^2 - 2ab + b^2 \)) : Factoriser \( F = 4x^2 - 12x + 9 \). * On reconnaît \( a^2 - 2ab + b^2 \) avec \( a=2x \) (car \( 4x^2 = (2x)^2 \)) et \( b=3 \) (car \( 9=3^2 \)). * Vérification du terme du milieu : \( 2ab = 2 \times (2x) \times 3 = 12x \). C'est bien \( -12x \), donc \( a^2 - 2ab + b^2 \). * \( F = (2x-3)^2 \) ### Exercices Factorisez les expressions suivantes : 1. \( A = 7x + 14 \) 2. \( B = 3x^2 - 6x \) 3. \( C = (2x-1)(x+3) + (2x-1)(4x-2) \) 4. \( D = 16 - y^2 \) 5. \( E = 25x^2 - 100 \) 6. \( F = x^2 - 8x + 16 \) 7. \( G = 9x^2 + 30x + 25 \) ### Devoir Maison Factorisez les expressions suivantes : 1. \( H = 12a - 18ab \) 2. \( I = (x+5)(2x-7) - (x+5)(x+1) \) 3. \( J = (3x+2)^2 - (x-4)(3x+2) \) 4. \( K = 49 - 36x^2 \) 5. \( L = (x-3)^2 - 25 \) 6. \( M = x^2 - 14x + 49 \) 7. \( N = 16x^2 + 8x + 1 \) ### Résumé La factorisation est une technique cruciale en algèbre, permettant de transformer une somme ou une différence en un produit. Les deux méthodes principales abordées sont : * **La factorisation par un facteur commun** : On identifie un terme (nombre, variable ou expression) qui est commun à tous les termes et on l'utilise comme facteur commun en appliquant la distributivité inverse : \( ka + kb = k(a+b) \). * **La factorisation à l'aide des identités remarquables** : En reconnaissant la forme développée d'une identité remarquable, on peut retrouver directement sa forme factorisée : * \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \) * \( a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \) * \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) Maîtriser ces techniques est fondamental pour la suite de votre parcours en mathématiques. ## Factorisations simples ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les nombres réels! Aujourd'hui, nous allons explorer une technique essentielle en algèbre appelée la **factorisation simple**. La factorisation est le processus inverse du développement. Elle nous permet de transformer une expression qui est une somme ou une différence en un produit. Cette compétence est fondamentale pour simplifier des expressions, résoudre des équations et comprendre plus profondément la structure des polynômes. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la factorisation? Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs. Autrement dit, on passe d'une somme (ou différence) à un produit. Par exemple: * Somme: \( 2x + 6 \) * Produit: \( 2(x + 3) \) #### Rappel de la Distributivité (le développement) La factorisation est l'opération inverse du développement. Rappelons la propriété de distributivité: * **Simple distributivité:** \[ k(a+b) = ka + kb \] \[ k(a-b) = ka - kb \] * **Double distributivité:** \[ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd \] La factorisation consiste à passer de \( ka + kb \) à \( k(a+b) \) ou de \( ka - kb \) à \( k(a-b) \). #### Méthodes de Factorisation Il existe principalement deux méthodes de factorisation simple que nous allons étudier: ##### 1. Factorisation par un facteur commun Cette méthode consiste à identifier un terme (nombre, lettre ou expression) qui est présent dans tous les termes de la somme ou de la différence. Ce terme est appelé le **facteur commun**. **Étapes:** 1. Identifier le facteur commun. C'est le plus grand diviseur commun (PGCD) des coefficients et la plus petite puissance des variables communes. 2. Mettre le facteur commun en évidence (devant une parenthèse). 3. Écrire ce qui reste dans la parenthèse après avoir «divisé» chaque terme par le facteur commun. **Exemples:** * Factoriser \( 3x + 12 \) * Le facteur commun est \( 3 \). * \( 3x + 12 = 3 \times x + 3 \times 4 = 3(x+4) \) * Factoriser \( 5y^2 - 10y \) * Le facteur commun est \( 5y \) (car \( 5y^2 = 5y \times y \) et \( 10y = 5y \times 2 \)). * \( 5y^2 - 10y = 5y(y-2) \) * Factoriser \( (x+1)(2x-3) - (x+1)(5-x) \) * Le facteur commun est \( (x+1) \). * \( (x+1)(2x-3) - (x+1)(5-x) = (x+1)[(2x-3) - (5-x)] \) * \( = (x+1)[2x-3-5+x] \) * \( = (x+1)(3x-8) \) ##### 2. Factorisation avec les identités remarquables Les identités remarquables sont des formules de développement que l'on peut aussi utiliser à l'envers pour factoriser. **Rappel des identités remarquables:** 1. **Carré d'une somme:** \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \) 2. **Carré d'une différence:** \( a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \) 3. **Différence de deux carrés:** \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) **Comment les reconnaître pour factoriser?** * **Pour \( (a+b)^2 \) ou \( (a-b)^2 \):** Cherchez trois termes, dont deux sont des carrés parfaits et le troisième est le double produit. Le signe du double produit détermine si c'est une somme ou une différence. * Exemple: Factoriser \( x^2 + 6x + 9 \) * Reconnaissez \( x^2 \) comme \( a^2 \) (donc \( a=x \)). * Reconnaissez \( 9 \) comme \( b^2 \) (donc \( b=3 \)). * Vérifiez le double produit: \( 2ab = 2 \times x \times 3 = 6x \). Cela correspond! * Donc, \( x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \) * Exemple: Factoriser \( 4x^2 - 4x + 1 \) * \( a^2 = 4x^2 \implies a = 2x \) * \( b^2 = 1 \implies b = 1 \) * \( 2ab = 2 \times 2x \times 1 = 4x \). Le terme du milieu est \( -4x \), donc c'est l'identité \( (a-b)^2 \). * Donc, \( 4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2 \) * **Pour \( (a-b)(a+b) \):** Cherchez une différence entre deux termes qui sont des carrés parfaits. * Exemple: Factoriser \( x^2 - 25 \) * Reconnaissez \( x^2 \) comme \( a^2 \) (donc \( a=x \)). * Reconnaissez \( 25 \) comme \( b^2 \) (donc \( b=5 \)). * C'est une différence de deux carrés. \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \) * Exemple: Factoriser \( 36 - 49y^2 \) * \( a^2 = 36 \implies a = 6 \) * \( b^2 = 49y^2 \implies b = 7y \) * Donc, \( 36 - 49y^2 = (6-7y)(6+7y) \) ### Vocabulaire * **Factorisation:** Opération qui consiste à transformer une somme ou une différence en un produit. * **Facteur commun:** Terme (nombre, variable ou expression) présent dans tous les termes d'une somme/différence et que l'on met en évidence lors de la factorisation. * **Terme:** Partie d'une somme ou d'une différence, séparée par un signe \( + \) ou \( - \). * **Produit:** Résultat d'une multiplication. * **Somme:** Résultat d'une addition. * **Différence:** Résultat d'une soustraction. * **Identité remarquable:** Égalité vraie pour toutes les valeurs des variables qui la composent, souvent utilisée pour accélérer le calcul ou la factorisation. ### Exemples Voici des exemples détaillés pour bien comprendre: 1. **Factorisation par facteur commun:** * \( A = 7x + 14 = 7 \times x + 7 \times 2 = 7(x+2) \) * \( B = 6a^2 - 9a = 3a \times 2a - 3a \times 3 = 3a(2a-3) \) * \( C = (x+2)(3x-1) + (x+2)(x+5) \) \( C = (x+2) \left[ (3x-1) + (x+5) \right] \) \( C = (x+2)(3x-1+x+5) \) \( C = (x+2)(4x+4) \) \( C = 4(x+2)(x+1) \) (on peut encore factoriser \( 4x+4 \)) 2. **Factorisation avec les identités remarquables:** * \( D = x^2 - 10x + 25 \) (ressemble à \( a^2 - 2ab + b^2 \)) \( a = x \), \( b = 5 \) Vérification: \( 2ab = 2 \times x \times 5 = 10x \) Donc, \( D = (x-5)^2 \) * \( E = 49y^2 + 28y + 4 \) (ressemble à \( a^2 + 2ab + b^2 \)) \( a = 7y \), \( b = 2 \) Vérification: \( 2ab = 2 \times 7y \times 2 = 28y \) Donc, \( E = (7y+2)^2 \) * \( F = 81 - z^2 \) (ressemble à \( a^2 - b^2 \)) \( a = 9 \), \( b = z \) Donc, \( F = (9-z)(9+z) \) ### Exercices Factoriser les expressions suivantes: 1. \( 5x - 20 \) 2. \( 8y^2 + 12y \) 3. \( 4a - 4b + 4c \) 4. \( x(x-3) + 7(x-3) \) 5. \( (2x+1)(x+4) - (2x+1)(3x-2) \) 6. \( x^2 + 12x + 36 \) 7. \( 9y^2 - 24y + 16 \) 8. \( 100 - t^2 \) 9. \( (3x-2)^2 - 25 \) 10. \( 49x^2 - 1 \) ### Devoirs Factoriser les expressions suivantes. Soyez attentifs et cherchez la méthode la plus appropriée (facteur commun ou identité remarquable, voire une combinaison des deux). 1. \( A = 3x^2 + 6x \) 2. \( B = 16 - (x+3)^2 \) 3. \( C = (2x-5)(x+1) + (2x-5)(3x-7) \) 4. \( D = 25y^2 - 30y + 9 \) 5. \( E = x^2 - 81 \) 6. \( F = (x+4)^2 - 2(x+4) \) ### Résumé Nous avons appris que la **factorisation** est l'opération inverse du développement, permettant de transformer une somme ou une différence en un produit. Deux méthodes principales ont été abordées: * **La factorisation par un facteur commun**: Identifier un terme commun à tous les membres de l'expression et le mettre en évidence. * **La factorisation à l'aide des identités remarquables**: Reconnaître les formes \( a^2+2ab+b^2 \), \( a^2-2ab+b^2 \) ou \( a^2-b^2 \) pour les écrire sous forme de \( (a+b)^2 \), \( (a-b)^2 \) ou \( (a-b)(a+b) \) respectivement. Maîtriser la factorisation est essentiel pour simplifier les calculs et préparer la résolution d'équations plus complexes. ## Simplification des fractions rationnelles ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les nombres réels! Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur une compétence essentielle en algèbre : la simplification des fractions rationnelles. Comprendre comment simplifier ces fractions nous permettra de travailler avec des expressions plus complexes de manière plus efficace et de résoudre des problèmes plus facilement. Une fraction rationnelle est une expression qui peut être écrite comme le rapport de deux polynômes. Apprenons ensemble à les rendre plus simples! ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ? Une fraction rationnelle est une expression de la forme \[ \frac{P(x)}{Q(x)} \] où \( P(x) \) et \( Q(x) \) sont des polynômes. Le polynôme \( P(x) \) est le **numérateur** et \( Q(x) \) est le **dénominateur**. Une condition cruciale est que le dénominateur \( Q(x) \) ne doit jamais être égal à zéro. Les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( Q(x) = 0 \) sont appelées des **valeurs interdites**. #### Pourquoi simplifier une fraction rationnelle ? La simplification d'une fraction rationnelle consiste à la transformer en une forme équivalente mais plus simple, où le numérateur et le dénominateur n'ont plus de facteurs communs (autres que 1 ou -1). Cela rend les calculs ultérieurs (comme l'addition, la soustraction ou la multiplication de fractions) beaucoup plus aisés. #### Méthode de simplification La simplification d'une fraction rationnelle se fait en suivant trois étapes principales : ##### Étape 1 : Factorisation * Factorisez complètement le numérateur \( P(x) \) et le dénominateur \( Q(x) \). Pour cela, vous utiliserez les méthodes de factorisation que vous connaissez : * Mise en évidence d'un facteur commun. * Utilisation des identités remarquables (par exemple, \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \), \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \)). * Factorisation d'un trinôme du second degré (si nécessaire, nous verrons cela plus tard, ou en utilisant des techniques comme la décomposition pour \( ax^2+bx+c \)). ##### Étape 2 : Identification des facteurs communs * Une fois le numérateur et le dénominateur factorisés, identifiez les facteurs qui sont présents à la fois au numérateur et au dénominateur. ##### Étape 3 : Annulation des facteurs communs * Divisez le numérateur et le dénominateur par les facteurs communs identifiés. C'est l'étape de simplification à proprement parler. Il est important de se rappeler que diviser par zéro est impossible. Par conséquent, les valeurs de \( x \) qui annulent ces facteurs communs (et donc le dénominateur d'origine) doivent être exclues du domaine de définition de la fraction simplifiée. ### Vocabulaire * **Fraction rationnelle :** Rapport de deux polynômes, \( \frac{P(x)}{Q(x)} \). * **Numérateur :** Le polynôme \( P(x) \) situé au-dessus de la barre de fraction. * **Dénominateur :** Le polynôme \( Q(x) \) situé en dessous de la barre de fraction. * **Polynôme :** Expression algébrique composée de termes (monômes) où les variables ont des exposants entiers non négatifs (ex: \( 3x^2 - 2x + 5 \)). * **Factorisation :** Opération qui consiste à écrire un nombre ou une expression sous la forme d'un produit de facteurs. * **Simplification :** Rendre une expression plus simple en divisant le numérateur et le dénominateur par leurs facteurs communs. * **Valeur interdite :** Une valeur de la variable \( x \) pour laquelle le dénominateur d'une fraction rationnelle est nul. Pour ces valeurs, la fraction n'est pas définie. ### Exemples Voici quelques exemples pour illustrer la méthode de simplification : #### Exemple 1 Simplifier la fraction \( \frac{2x+4}{x+2} \). 1. **Factorisation :** * Numérateur : \( 2x+4 = 2(x+2) \) * Dénominateur : \( x+2 \) (déjà factorisé) 2. **Valeur interdite :** Le dénominateur \( x+2 \) ne doit pas être nul, donc \( x \neq -2 \). 3. **Facteurs communs :** Le facteur commun est \( (x+2) \). 4. **Annulation :** \[ \frac{2(x+2)}{x+2} = 2 \] Donc, \( \frac{2x+4}{x+2} = 2 \) pour tout \( x \neq -2 \). #### Exemple 2 Simplifier la fraction \( \frac{x^2-9}{x-3} \). 1. **Factorisation :** * Numérateur : \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \) (identité remarquable \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \)) * Dénominateur : \( x-3 \) (déjà factorisé) 2. **Valeur interdite :** Le dénominateur \( x-3 \) ne doit pas être nul, donc \( x \neq 3 \). 3. **Facteurs communs :** Le facteur commun est \( (x-3) \). 4. **Annulation :** \[ \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 \] Donc, \( \frac{x^2-9}{x-3} = x+3 \) pour tout \( x \neq 3 \). #### Exemple 3 Simplifier la fraction \( \frac{x^2+5x+6}{x+2} \). 1. **Factorisation :** * Numérateur : \( x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) \) (recherche de deux nombres dont la somme est 5 et le produit est 6) * Dénominateur : \( x+2 \) (déjà factorisé) 2. **Valeur interdite :** Le dénominateur \( x+2 \) ne doit pas être nul, donc \( x \neq -2 \). 3. **Facteurs communs :** Le facteur commun est \( (x+2) \). 4. **Annulation :** \[ \frac{(x+2)(x+3)}{x+2} = x+3 \] Donc, \( \frac{x^2+5x+6}{x+2} = x+3 \) pour tout \( x \neq -2 \). #### Exemple 4 Simplifier la fraction \( \frac{x^2-4x+4}{x^2-4} \). 1. **Factorisation :** * Numérateur : \( x^2-4x+4 = (x-2)^2 \) (identité remarquable \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \)) * Dénominateur : \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \) (identité remarquable \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \)) 2. **Valeurs interdites :** Le dénominateur initial \( (x-2)(x+2) \) ne doit pas être nul, donc \( x \neq 2 \) et \( x \neq -2 \). 3. **Facteurs communs :** Le facteur commun est \( (x-2) \). 4. **Annulation :** \[ \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2} \] Donc, \( \frac{x^2-4x+4}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} \) pour tout \( x \neq 2 \) et \( x \neq -2 \). ### Exercices Simplifiez les expressions rationnelles suivantes en précisant les valeurs interdites pour chaque expression : 1. \( \frac{5x-10}{x-2} \) 2. \( \frac{x^2-16}{x+4} \) 3. \( \frac{3x^2+9x}{x+3} \) 4. \( \frac{x^2-6x+9}{x-3} \) 5. \( \frac{6x-12}{3x-6} \) ### Devoirs Pour continuer à pratiquer et maîtriser la simplification des fractions rationnelles, faites les exercices suivants : Simplifiez les expressions rationnelles suivantes. N'oubliez pas de déterminer les valeurs interdites pour chaque cas. 1. \( \frac{4x^2-1}{2x+1} \) 2. \( \frac{x^3-x}{x^2-x} \) 3. \( \frac{x^2+7x+10}{x^2+4x+4} \) 4. \( \frac{2x^2-8}{x^2-4x+4} \) 5. \( \frac{x^2-2x-3}{x^2-9} \) ### Résumé La simplification des fractions rationnelles est une compétence fondamentale en algèbre. Elle repose sur la capacité à factoriser les polynômes du numérateur et du dénominateur, à identifier leurs facteurs communs, puis à les annuler. N'oubliez jamais de déterminer les **valeurs interdites** pour la variable, c'est-à-dire les valeurs qui rendent le dénominateur nul. Maîtriser cette technique vous ouvrira la porte à des résolutions de problèmes plus complexes et rendra vos expressions algébriques plus gérables. Continuez à pratiquer, et la simplification deviendra une seconde nature!