Chap5: Suites numériques

# Chap5: Suites numériques ## Description de situations concrètes et définition. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les suites numériques ! Dans la vie de tous les jours, nous rencontrons souvent des situations où des nombres se succèdent de manière ordonnée. Pensez à l'évolution d'une population, à la quantité d'argent sur un compte d'épargne, ou à la progression de la taille d'une figure géométrique. Toutes ces situations peuvent être modélisées par ce que l'on appelle des « suites numériques ». Ce cours vous permettra de comprendre ce qu'est une suite, comment la décrire et comment la définir. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce qu'une suite numérique ? Une **suite numérique** est une liste ordonnée de nombres réels. Ces nombres sont appelés les **termes** de la suite. Chaque terme est repéré par son **rang** ou son **indice**. * On note généralement une suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ou \( (u_n)_{n \ge n_0} \) si la suite commence à un certain indice \( n_0 \). * Le terme de rang \( n \) est noté \( u_n \). L'indice \( n \) est un nombre entier naturel. * Souvent, l'indice commence à \( 0 \) (on parle alors de \( u_0 \) pour le premier terme) ou à \( 1 \) (on parle de \( u_1 \) pour le premier terme). Exemple : La suite des nombres pairs est \( 0, 2, 4, 6, 8, ... \). Ici, \( u_0 = 0 \), \( u_1 = 2 \), \( u_2 = 4 \), etc. #### 2. Comment définir une suite numérique ? Il existe principalement deux façons de définir une suite numérique : ##### a. Définition par une formule explicite Une suite est définie de manière explicite si l'on peut calculer n'importe quel terme de la suite directement à partir de son rang \( n \). La formule explicite donne \( u_n \) en fonction de \( n \). Exemple : Si une suite est définie par la formule explicite \[ u_n = 2n + 3 \] * Le premier terme (pour \( n=0 \)) est \( u_0 = 2(0) + 3 = 3 \). * Le deuxième terme (pour \( n=1 \)) est \( u_1 = 2(1) + 3 = 5 \). * Le centième terme (pour \( n=99 \)) est \( u_{99} = 2(99) + 3 = 198 + 3 = 201 \). ##### b. Définition par une relation de récurrence Une suite est définie par une relation de récurrence si chaque terme est calculé à partir du ou des termes précédents. Pour que la suite soit bien définie, il faut impérativement connaître au moins le premier terme (ou les premiers termes). La relation de récurrence donne \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \). Exemple : Soit une suite définie par \[ u_{n+1} = u_n - 4 \] et son premier terme \( u_0 = 10 \). * \( u_1 = u_0 - 4 = 10 - 4 = 6 \). * \( u_2 = u_1 - 4 = 6 - 4 = 2 \). * \( u_3 = u_2 - 4 = 2 - 4 = -2 \). ### Vocabulaire * **Suite numérique** : Une liste ordonnée de nombres. * **Terme** : Chacun des nombres qui composent une suite. Noté \( u_n \). * **Rang (ou indice)** : Le numéro d'ordre d'un terme dans la suite. Il s'agit d'un entier naturel \( n \). * **Formule explicite** : Une expression qui permet de calculer un terme \( u_n \) directement en fonction de son rang \( n \). * **Relation de récurrence** : Une expression qui permet de calculer un terme \( u_{n+1} \) à partir du terme précédent \( u_n \) (ou des précédents). * **Premier terme** : Le premier nombre de la suite, souvent noté \( u_0 \) ou \( u_1 \). ### Exemples #### Exemple 1 : Croissance bactérienne Une population de bactéries double toutes les heures. Initialement, il y a 100 bactéries. * Soit \( P_n \) le nombre de bactéries après \( n \) heures. * \( P_0 = 100 \) (initialement). * \( P_1 = 2 \times P_0 = 200 \). * \( P_2 = 2 \times P_1 = 400 \). Cette suite peut être définie par une relation de récurrence : \[ P_{n+1} = 2P_n \] avec \( P_0 = 100 \). On peut aussi trouver une formule explicite : \[ P_n = 100 imes 2^n \]. #### Exemple 2 : Épargne mensuelle Chaque mois, une personne dépose 50 € sur un compte d'épargne. Elle commence avec 200 €. * Soit \( M_n \) la somme d'argent sur le compte après \( n \) mois. * \( M_0 = 200 \). * \( M_1 = M_0 + 50 = 250 \). * \( M_2 = M_1 + 50 = 300 \). Cette suite peut être définie par une relation de récurrence : \[ M_{n+1} = M_n + 50 \] avec \( M_0 = 200 \). On peut aussi trouver une formule explicite : \[ M_n = 200 + 50n \]. ### Exercices 1. **Calcul de termes :** Soit la suite \( (u_n) \) définie par la formule explicite \[ u_n = n^2 - 1 \]. Calculez les quatre premiers termes de la suite (\( u_0, u_1, u_2, u_3 \)). 2. **Suite par récurrence :** Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 5 \) et la relation de récurrence \[ v_{n+1} = 2v_n - 3 \]. Calculez les termes \( v_1, v_2, v_3 \). 3. **Identification de la définition :** Pour chaque suite, indiquez si elle est définie par une formule explicite ou par une relation de récurrence : a. \( a_n = 3n + 5 \) b. \( b_{n+1} = b_n imes 0.5 \) avec \( b_0 = 100 \) c. \( c_n = rac{n}{n+1} \) ### Devoir à la maison 1. **Génération de suite :** Un architecte dessine une série de carrés. Le premier carré a un côté de 10 cm. Chaque carré suivant a un côté 1 cm plus court que le précédent. a. Définissez la suite \( (C_n) \) qui représente la longueur du côté du \( n \)-ième carré, en commençant par \( n=1 \). b. Donnez la relation de récurrence et la formule explicite pour cette suite. c. Quel est le côté du 7ème carré ? d. À partir de quel rang la longueur du côté sera-t-elle négative ou nulle ? (Interprétez ce résultat). 2. **Suite géométrique :** Soit la suite \( (w_n) \) définie par \( w_0 = 1 \) et \( w_{n+1} = 3w_n \). a. Calculez les quatre premiers termes de la suite (\( w_0, w_1, w_2, w_3 \)). b. Essayez de trouver une formule explicite pour \( w_n \). 3. **Problème ouvert :** Un escargot se déplace de 50 cm le premier jour. Chaque jour suivant, il se fatigue et parcourt 10% de moins que la veille. Quelle distance totale aura-t-il parcourue après 3 jours ? Écrivez les premiers termes de la suite de distances parcourues quotidiennement. ### Résumé * Une **suite numérique** est une liste ordonnée de nombres, appelés **termes**, indexés par des entiers naturels (leur **rang**). * Les suites peuvent être définies de deux manières principales : * Par une **formule explicite**, où \( u_n \) est donné en fonction de \( n \). * Par une **relation de récurrence**, où \( u_{n+1} \) est donné en fonction de \( u_n \) (ou des termes précédents), nécessitant un (ou des) premier(s) terme(s). * Comprendre ces deux modes de définition est fondamental pour analyser et utiliser les suites numériques dans diverses situations concrètes. ## Suites arithmétiques; suites géométriques. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les suites numériques ! Les suites sont des outils fondamentaux en mathématiques qui nous permettent de modéliser des phénomènes où les quantités évoluent de manière ordonnée. Imaginez une population qui augmente chaque année d'un certain nombre d'individus, ou le capital placé en banque qui génère des intérêts. Ces situations peuvent être décrites et analysées grâce aux suites numériques. Dans cette leçon, nous allons nous concentrer sur deux types de suites très importantes : les suites arithmétiques et les suites géométriques. Nous apprendrons à les reconnaître, à calculer leurs termes et à en déterminer les sommes. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une suite numérique ? Une suite numérique est une liste de nombres ordonnés, souvent en relation les uns avec les autres par une certaine règle. Chaque nombre de la suite est appelé un **terme**. * **Notation :** On note généralement une suite \( (u_n) \) ou \( (v_n) \), etc. Le terme de rang \( n \) est noté \( u_n \). L'indice \( n \) est un entier naturel (\( n \in \mathbb{N} \)) qui représente le rang du terme dans la suite. Le premier terme est souvent \( u_0 \) ou \( u_1 \). * **Exemple :** La suite des nombres pairs peut s'écrire \( u_n = 2n \) avec \( u_0 = 0, u_1 = 2, u_2 = 4, \ldots \). ##### Modes de définition d'une suite Une suite peut être définie de deux manières principales : * **Par une formule explicite :** Le terme \( u_n \) est donné directement en fonction de son rang \( n \). **Exemple :** Si \( u_n = 2n + 1 \), alors \( u_0 = 1 \), \( u_1 = 3 \), \( u_2 = 5 \), etc. * **Par une formule de récurrence :** Le terme \( u_{n+1} \) est défini en fonction du terme précédent \( u_n \). Pour définir une suite par récurrence, il faut toujours préciser le premier terme. **Exemple :** Si \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = u_n + 2 \), alors \( u_1 = u_0 + 2 = 1+2=3 \), \( u_2 = u_1 + 2 = 3+2=5 \), etc. #### Suites arithmétiques ##### Définition Une suite est dite **arithmétique** si chaque terme (à partir du second) s'obtient en ajoutant une constante au terme précédent. Cette constante est appelée la **raison** de la suite, et est généralement notée \( r \). * **Formule de récurrence :** \[ u_{n+1} = u_n + r \] ##### Caractérisation Une suite \( (u_n) \) est arithmétique si et seulement si la différence entre deux termes consécutifs est constante : * Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \[ u_{n+1} - u_n = r \] ##### Formule explicite Si \( (u_n) \) est une suite arithmétique de raison \( r \) : * Si le premier terme est \( u_0 \) : \[ u_n = u_0 + nr \] * Si le premier terme est \( u_1 \) : \[ u_n = u_1 + (n-1)r \] * Plus généralement, pour tous entiers naturels \( n \) et \( p \) : \[ u_n = u_p + (n-p)r \] ##### Somme des premiers termes d'une suite arithmétique La somme des \( N \) premiers termes d'une suite arithmétique (de \( u_p \) à \( u_k \)) est donnée par la formule : * \[ S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2} \] * Si la somme commence à \( u_0 \) et va jusqu'à \( u_n \) (il y a \( n+1 \) termes) : \[ S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1) \frac{u_0 + u_n}{2} \] #### Suites géométriques ##### Définition Une suite est dite **géométrique** si chaque terme (à partir du second) s'obtient en multipliant le terme précédent par une constante. Cette constante est appelée la **raison** de la suite, et est généralement notée \( q \). * **Formule de récurrence :** \[ u_{n+1} = u_n \times q \] ##### Caractérisation Une suite \( (u_n) \) est géométrique si et seulement si le rapport entre deux termes consécutifs est constant (pourvu que les termes soient non nuls) : * Pour tout \( n \in \mathbb{N} \) (si \( u_n \neq 0 \)) : \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = q \] ##### Formule explicite Si \( (u_n) \) est une suite géométrique de raison \( q \) : * Si le premier terme est \( u_0 \) : \[ u_n = u_0 \times q^n \] * Si le premier terme est \( u_1 \) : \[ u_n = u_1 \times q^{n-1} \] * Plus généralement, pour tous entiers naturels \( n \) et \( p \) : \[ u_n = u_p \times q^{n-p} \] ##### Somme des premiers termes d'une suite géométrique La somme des \( N \) premiers termes d'une suite géométrique de raison \( q \) (avec \( q \neq 1 \)) est donnée par la formule : * Si la somme commence à \( u_0 \) et va jusqu'à \( u_n \) (il y a \( n+1 \) termes) : \[ S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \] * Si \( q=1 \), alors la suite est constante et \( S_n = (n+1)u_0 \). ### Vocabulaire * **Suite numérique :** Liste ordonnée de nombres. * **Terme :** Chacun des nombres qui composent une suite. * **Rang (ou indice) :** Position d'un terme dans la suite, généralement noté \( n \). * **Suite arithmétique :** Suite dont chaque terme est obtenu en ajoutant une constante au précédent. * **Raison (arithmétique) :** La constante ajoutée pour passer d'un terme au suivant dans une suite arithmétique. * **Suite géométrique :** Suite dont chaque terme est obtenu en multipliant par une constante le précédent. * **Raison (géométrique) :** La constante par laquelle on multiplie pour passer d'un terme au suivant dans une suite géométrique. * **Formule explicite :** Formule qui exprime \( u_n \) directement en fonction de \( n \). * **Formule de récurrence :** Formule qui exprime \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \). ### Exemples #### Exemple 1 : Suite arithmétique Soit la suite arithmétique \( (u_n) \) de premier terme \( u_0 = 5 \) et de raison \( r = 3 \). 1. **Calcul des premiers termes :** * \( u_1 = u_0 + r = 5 + 3 = 8 \) * \( u_2 = u_1 + r = 8 + 3 = 11 \) * \( u_3 = u_2 + r = 11 + 3 = 14 \) 2. **Calcul du 10ème terme (\( u_9 \) si on commence à \( u_0 \)) :** * En utilisant la formule explicite \( u_n = u_0 + nr \) : * \( u_9 = 5 + 9 \times 3 = 5 + 27 = 32 \) 3. **Calcul de la somme des 5 premiers termes (de \( u_0 \) à \( u_4 \)) :** * D'abord, calculons \( u_4 = 5 + 4 \times 3 = 17 \) * La somme \( S_4 = (4+1) \frac{u_0 + u_4}{2} = 5 \times \frac{5 + 17}{2} = 5 \times \frac{22}{2} = 5 \times 11 = 55 \) #### Exemple 2 : Suite géométrique Soit la suite géométrique \( (v_n) \) de premier terme \( v_0 = 2 \) et de raison \( q = 2 \). 1. **Calcul des premiers termes :** * \( v_1 = v_0 \times q = 2 \times 2 = 4 \) * \( v_2 = v_1 \times q = 4 \times 2 = 8 \) * \( v_3 = v_2 \times q = 8 \times 2 = 16 \) 2. **Calcul du 6ème terme (\( v_5 \) si on commence à \( v_0 \)) :** * En utilisant la formule explicite \( v_n = v_0 \times q^n \) : * \( v_5 = 2 \times 2^5 = 2 \times 32 = 64 \) 3. **Calcul de la somme des 4 premiers termes (de \( v_0 \) à \( v_3 \)) :** * La somme \( S_3 = v_0 \frac{1 - q^{3+1}}{1 - q} = 2 \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 2 \frac{1 - 16}{-1} = 2 \frac{-15}{-1} = 2 \times 15 = 30 \) ### Exercices 1. **Identification de suites :** Pour chacune des suites suivantes, indiquez si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'un ni l'autre. Justifiez votre réponse et, si possible, donnez sa raison et son premier terme. * a) \( 2, 5, 8, 11, 14, \ldots \) * b) \( 1, 3, 9, 27, 81, \ldots \) * c) \( 1, 2, 4, 7, 11, \ldots \) * d) \( u_n = 3n - 7 \) * e) \( v_n = 5 \times (0.5)^n \) 2. **Calcul de termes :** Soit \( (u_n) \) une suite arithmétique de premier terme \( u_0 = -4 \) et de raison \( r = 5 \). * a) Calculez \( u_1, u_2, u_3 \). * b) Calculez \( u_{15} \). 3. **Calcul de termes :** Soit \( (v_n) \) une suite géométrique de premier terme \( v_1 = 3 \) et de raison \( q = 2 \). * a) Calculez \( v_2, v_3, v_4 \). * b) Calculez \( v_7 \). 4. **Somme de suite arithmétique :** Calculez la somme des 20 premiers entiers naturels non nuls : \( S = 1 + 2 + 3 + \dots + 20 \). 5. **Somme de suite géométrique :** Calculez la somme \( S = 1 + 3 + 9 + 27 + \dots + 3^5 \). ### Devoir à la maison 1. **Problème de la culture bactérienne :** Une colonie de bactéries double sa population toutes les heures. Au début de l'expérience (à l'heure 0), il y a 100 bactéries. * a) Modélisez la population de bactéries par une suite numérique \( (P_n) \) où \( P_n \) est le nombre de bactéries après \( n \) heures. Quel est le type de cette suite ? Quelle est sa raison ? * b) Donnez la formule explicite de \( P_n \). * c) Combien de bactéries y aura-t-il après 5 heures ? * d) Au bout de combien d'heures la population dépassera-t-elle 10000 bactéries ? 2. **Économies :** Un élève décide d'économiser de l'argent. Le premier jour, il met 2€ dans sa tirelire. Chaque jour suivant, il ajoute 3€ de plus que le jour précédent. * a) Quel est le montant économisé le 10ème jour ? (Le 1er jour correspond à \( n=1 \)). * b) Quel est le montant total économisé après 10 jours ? 3. **Termes intermédiaires :** Soit \( (u_n) \) une suite arithmétique telle que \( u_3 = 10 \) et \( u_7 = 26 \). * a) Déterminez la raison \( r \) de cette suite. * b) Déterminez le premier terme \( u_0 \). * c) Écrivez la formule explicite de \( u_n \). 4. **Termes intermédiaires (suite géométrique) :** Soit \( (v_n) \) une suite géométrique à termes positifs telle que \( v_2 = 12 \) et \( v_4 = 48 \). * a) Déterminez la raison \( q \) de cette suite. * b) Déterminez le premier terme \( v_0 \). * c) Écrivez la formule explicite de \( v_n \). ### Résumé Ce chapitre nous a introduit aux **suites numériques**, des listes ordonnées de nombres. Nous avons exploré en détail deux types fondamentaux : * Les **suites arithmétiques** : chaque terme est obtenu en ajoutant une **raison** \( r \) constante au terme précédent. * Formule de récurrence : \( u_{n+1} = u_n + r \) * Formule explicite : \( u_n = u_0 + nr \) (si \( u_0 \) est le premier terme) * Somme des termes : \( S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2} \) * Les **suites géométriques** : chaque terme est obtenu en multipliant par une **raison** \( q \) constante le terme précédent. * Formule de récurrence : \( u_{n+1} = u_n \times q \) * Formule explicite : \( u_n = u_0 \times q^n \) (si \( u_0 \) est le premier terme) * Somme des termes (si \( q \neq 1 \)) : \( S_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \) Comprendre la distinction entre ces deux types de suites et maîtriser leurs formules explicites et de somme est essentiel pour résoudre de nombreux problèmes en mathématiques et dans des applications concrètes.