Chap6 : Statistiques

# Chap6 : Statistiques ## Introduction et vocabulaire, ### 1. Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié aux statistiques ! Les statistiques sont une branche des mathématiques qui nous aide à comprendre et à interpréter le monde qui nous entoure. Elles sont utilisées partout, que ce soit pour les sondages politiques, les études de marché, les recherches scientifiques ou même pour analyser les performances sportives. Dans cette leçon, nous allons découvrir les bases des statistiques, apprendre le vocabulaire essentiel et identifier les différents types de données que l'on peut rencontrer. ### 2. Concepts Clés #### Qu'est-ce que la Statistique ? La **statistique** est la science qui a pour objet de recueillir, de traiter, d'analyser et d'interpréter des données concernant un ensemble d'individus ou d'objets. #### Population, Individu et Caractère ##### La Population La **population** est l'ensemble de tous les individus (ou objets) sur lesquels porte l'étude statistique. Cet ensemble doit être clairement défini. * **Exemples :** Tous les élèves de votre lycée, toutes les voitures vendues en France en une année, tous les arbres d'une forêt. ##### L'Individu (ou Unité Statistique) Un **individu** (ou unité statistique) est un élément de la population étudiée. * **Exemples :** Un élève de votre lycée, une voiture vendue, un arbre. ##### Le Caractère (ou Variable Statistique) Le **caractère** (ou variable statistique) est la propriété ou la particularité que l'on étudie sur chaque individu de la population. * **Exemples :** La couleur des yeux des élèves, le prix d'une voiture, la hauteur d'un arbre. #### Types de Caractères Il existe deux grandes catégories de caractères : ##### Caractère Qualitatif Un caractère est dit **qualitatif** s'il ne peut pas être mesuré numériquement. Il exprime une qualité, une catégorie ou une caractéristique non mesurable. Les différentes réponses possibles sont appelées **modalités**. * **Exemples :** * Couleur préférée (Bleu, Rouge, Vert...) * Catégorie socio-professionnelle (Ouvrier, Cadre, Étudiant...) * Marque de téléphone (Apple, Samsung, Xiaomi...) ##### Caractère Quantitatif Un caractère est dit **quantitatif** s'il peut être mesuré numériquement. Il s'exprime par des nombres. Il existe deux sous-types de caractères quantitatifs : ###### Caractère Quantitatif Discret Un caractère quantitatif est **discret** s'il ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs isolées, souvent des nombres entiers. Il s'agit généralement de comptage. * **Exemples :** * Nombre d'enfants par famille (0, 1, 2, 3...) * Nombre de voitures possédées par un foyer * Nombre de buts marqués lors d'un match de football ###### Caractère Quantitatif Continu Un caractère quantitatif est **continu** s'il peut prendre n'importe quelle valeur (décimale) dans un intervalle donné. Il s'agit souvent de mesures. * **Exemples :** * La taille des élèves (1,65 m, 1,72 m...) * Le poids des bébés à la naissance (3,2 kg, 4,1 kg...) * Le temps de trajet pour se rendre au collège (15,5 min, 23,7 min...) Pour les caractères quantitatifs continus, on regroupe souvent les valeurs en **classes** (intervalles). #### Effectifs et Fréquences Une fois les données collectées, il faut les organiser. ##### L'Effectif (absolu) L'**effectif** (ou effectif absolu) d'une valeur ou d'une modalité est le nombre d'individus de la population qui présentent cette valeur ou cette modalité. Il est souvent noté \( n_i \). L'**effectif total**, noté \( N \) (ou \( n \)), est le nombre total d'individus de la population étudiée. ##### La Fréquence La **fréquence** d'une valeur ou d'une modalité est la proportion d'individus présentant cette valeur ou cette modalité par rapport à l'effectif total. Elle est obtenue en divisant l'effectif de la valeur par l'effectif total. La fréquence \( f_i \) est calculée par la formule : \[ f_i = \frac{n_i}{N} \] La fréquence peut être exprimée sous forme décimale ou en pourcentage. La somme des fréquences de toutes les modalités ou valeurs doit toujours être égale à 1 (ou 100%). ### 3. Vocabulaire Voici les termes clés de cette leçon : * **Statistique :** Science de la collecte, du traitement et de l'analyse des données. * **Population :** Ensemble sur lequel porte l'étude statistique. * **Individu (ou Unité Statistique) :** Élément de la population. * **Caractère (ou Variable Statistique) :** Propriété étudiée sur les individus. * **Caractère qualitatif :** Caractère non mesurable numériquement (ex: couleur). * **Modalité :** Réponse possible pour un caractère qualitatif. * **Caractère quantitatif :** Caractère mesurable numériquement (ex: taille). * **Caractère quantitatif discret :** Prend des valeurs isolées, souvent entières (ex: nombre d'enfants). * **Caractère quantitatif continu :** Peut prendre toute valeur dans un intervalle (ex: taille). * **Effectif (absolu) :** Nombre d'individus qui présentent une certaine valeur ou modalité. * **Effectif total :** Nombre total d'individus dans la population. * **Fréquence :** Proportion d'individus présentant une certaine valeur ou modalité par rapport à l'effectif total.\( \left( f_i = \frac{n_i}{N} \right) \) ### 4. Exemples #### Exemple 1 : Sondage sur la couleur des yeux Une étude est menée sur les élèves d'une classe de Seconde pour connaître la couleur de leurs yeux. * **Population :** Les 30 élèves de la classe de Seconde. * **Individu :** Un élève de cette classe. * **Caractère :** La couleur des yeux (Bleu, Marron, Vert, Noir). * **Type de caractère :** Qualitatif. Voici les résultats : | Couleur des yeux | Effectif (\( n_i \)) | Fréquence (\( f_i \)) | Fréquence en % | | :--------------- | :------------------: | :-------------------: | :-------------: | | Bleu | 8 | \( 8/30 \approx 0,267 \) | 26,7% | | Marron | 15 | \( 15/30 = 0,5 \) | 50% | | Vert | 5 | \( 5/30 \approx 0,167 \) | 16,7% | | Noir | 2 | \( 2/30 \approx 0,067 \) | 6,7% | | **Total** | **30** | **1** | **100%** | #### Exemple 2 : Nombre de livres lus par mois On interroge 25 personnes sur le nombre de livres qu'elles lisent en moyenne par mois. * **Population :** Les 25 personnes interrogées. * **Individu :** Une personne interrogée. * **Caractère :** Le nombre de livres lus par mois (0, 1, 2, 3, 4...). * **Type de caractère :** Quantitatif discret. Résultats : | Nombre de livres lus | Effectif (\( n_i \)) | Fréquence (\( f_i \)) | Fréquence en % | | :------------------- | :------------------: | :-------------------: | :-------------: | | 0 | 5 | \( 5/25 = 0,2 \) | 20% | | 1 | 10 | \( 10/25 = 0,4 \) | 40% | | 2 | 7 | \( 7/25 = 0,28 \) | 28% | | 3 | 3 | \( 3/25 = 0,12 \) | 12% | | **Total** | **25** | **1** | **100%** | #### Exemple 3 : Taille des joueurs d'une équipe Une équipe de basket est composée de 12 joueurs dont les tailles (en cm) sont : 185, 192, 188, 201, 195, 180, 190, 192, 187, 199, 193, 186. * **Population :** Les 12 joueurs de l'équipe. * **Individu :** Un joueur de l'équipe. * **Caractère :** La taille des joueurs. * **Type de caractère :** Quantitatif continu. Pour ce type de caractère, on regrouperait les tailles en classes (ex: [180; 190[, [190; 200[, etc.) pour une analyse plus approfondie, ce que nous verrons dans les prochaines leçons. ### 5. Exercices 1. Pour chacune des études statistiques suivantes, identifiez : * La population * Un individu * Le caractère étudié * Le type du caractère (qualitatif, quantitatif discret, quantitatif continu) a. On relève la pointure des chaussures de tous les élèves de 5ème d'un collège. b. On mesure le temps passé devant un écran par jour par les habitants d'une ville. c. On demande la marque de voiture préférée à un groupe de 100 personnes. d. On compte le nombre de feux tricolores sur le trajet de la maison au lycée pour chaque élève. 2. Voici le nombre de bonnes réponses obtenues par 20 élèves à un QCM sur 10 questions : 8, 7, 9, 6, 8, 7, 10, 5, 8, 9, 7, 6, 8, 7, 9, 8, 7, 10, 6, 8. * Quel est l'effectif total ? * Calculez l'effectif pour chaque nombre de bonnes réponses. * Calculez la fréquence (en valeur décimale et en pourcentage) pour chaque nombre de bonnes réponses. * Présentez ces résultats dans un tableau. ### 6. Devoirs 1. **Identification :** Choisissez un journal (ou un site d'actualités) et trouvez un article qui utilise des statistiques. Identifiez : * La population étudiée. * Le caractère étudié et son type. * Si l'article mentionne des effectifs ou des fréquences, essayez de les repérer. 2. **Collecte et organisation de données :** Interrogez 15 personnes (amis, famille, voisins) sur leur saison préférée (printemps, été, automne, hiver). * Identifiez la population, l'individu, le caractère et son type. * Créez un tableau qui regroupe les effectifs et les fréquences (en pourcentage) pour chaque saison. * Quelle est la saison la plus populaire dans votre échantillon ? ### 7. Résumé Dans cette première leçon de statistiques, nous avons posé les bases : la **population** est l'ensemble étudié, l'**individu** en est un élément, et le **caractère** est la propriété observée. Nous avons distingué les caractères **qualitatifs** (qui décrivent une qualité) des caractères **quantitatifs** (qui sont mesurables numériquement), en subdivisant ces derniers en **discrets** (valeurs isolées) et **continus** (valeurs dans un intervalle). Enfin, nous avons appris à calculer l'**effectif** (le nombre d'individus pour une modalité) et la **fréquence** (la proportion) pour organiser et résumer les données. Ces notions sont fondamentales pour toute étude statistique à venir. ## Caractères quantitatifs et caractères qualitatifs. ### Introduction Bienvenue dans le monde des statistiques ! Les statistiques sont une branche des mathématiques qui nous aide à collecter, organiser, analyser et interpréter des données. Dans notre vie quotidienne, nous sommes constamment entourés de données : les résultats d'un sondage, les performances sportives, les prévisions météorologiques. Pour bien utiliser ces données, la première étape fondamentale est de savoir les classer. C'est ce que nous allons apprendre dans cette leçon en distinguant les différents types de caractères étudiés. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une étude statistique ? Une étude statistique vise à analyser une **population** en observant une ou plusieurs de ses **caractéristiques** sur chacun de ses **individus**. * **Population :** L'ensemble des éléments que l'on étudie. Il peut s'agir de personnes, d'objets, d'animaux, etc. * _Exemple :_ Tous les élèves d'un lycée, toutes les voitures produites par une usine. * **Individu (ou unité statistique) :** Un élément de la population. * _Exemple :_ Un élève du lycée, une voiture produite par l'usine. * **Caractère (ou variable statistique) :** La propriété ou la caractéristique que l'on étudie sur chaque individu de la population. * _Exemple :_ La taille des élèves, la couleur des voitures. * **Modalité :** Une des différentes valeurs que peut prendre un caractère. * _Exemple :_ Si le caractère est la couleur des yeux, les modalités pourraient être "bleu", "marron", "vert". #### Les caractères qualitatifs Un caractère est dit **qualitatif** lorsqu'il ne peut pas être mesuré numériquement. Il décrit une qualité ou une catégorie. * **Définition :** Ses modalités sont des catégories, des noms, des descriptions. * **Caractéristiques :** On ne peut pas effectuer de calculs (addition, soustraction, moyenne) sur les modalités d'un caractère qualitatif. * **Exemples :** * La couleur des yeux (bleu, vert, marron) * La catégorie socio-professionnelle (ouvrier, employé, cadre) * La marque de téléphone (Apple, Samsung, Huawei) * Le sport préféré (football, basket, natation) * La mention au bac (Passable, Assez bien, Bien, Très bien) #### Les caractères quantitatifs Un caractère est dit **quantitatif** lorsqu'il peut être mesuré numériquement. Ses modalités sont des nombres. * **Définition :** Ses modalités sont des valeurs numériques sur lesquelles des opérations mathématiques peuvent avoir un sens. * **Caractéristiques :** On peut calculer des indicateurs statistiques (moyenne, médiane, étendue, etc.) à partir de ces valeurs. * Il existe deux types de caractères quantitatifs : ##### Caractères quantitatifs discrets * **Définition :** Ses modalités sont des nombres entiers isolés, souvent le résultat d'un comptage. Il n'y a pas de valeurs intermédiaires possibles entre deux modalités consécutives. * **Exemples :** * Le nombre d'enfants dans une famille (1, 2, 3...) * Le nombre de pièces dans une maison (2, 3, 4...) * Le nombre de frères et sœurs d'un élève (0, 1, 2...) * Le nombre de buts marqués lors d'un match de football ##### Caractères quantitatifs continus * **Définition :** Ses modalités peuvent prendre n'importe quelle valeur numérique dans un intervalle donné. Elles sont souvent le résultat d'une mesure et peuvent comporter des décimales. * **Caractéristiques :** Pour faciliter l'analyse, ces données sont souvent regroupées en **classes** (des intervalles de valeurs). * **Exemples :** * La taille des élèves (1,65 m, 1,72 m, 1,80 m...) * Le poids des personnes (60,5 kg, 72,1 kg...) * La durée d'un trajet (25 minutes, 1h30 minutes...) * La température (22,5°C, -3°C...) * Le salaire mensuel (2000,50 €, 3500 €...) ### Vocabulaire * **Population :** L'ensemble des éléments étudiés. * **Individu (ou unité statistique) :** Un élément de la population. * **Caractère (ou variable statistique) :** La propriété étudiée sur les individus. * **Modalité :** Une des différentes valeurs que peut prendre un caractère. * **Caractère qualitatif :** Caractère non mesurable numériquement (ex: couleur des yeux). * **Caractère quantitatif :** Caractère mesurable numériquement. * **Caractère quantitatif discret :** Caractère dont les modalités sont des nombres entiers isolés (ex: nombre d'enfants). * **Caractère quantitatif continu :** Caractère dont les modalités peuvent prendre toute valeur dans un intervalle, souvent le résultat d'une mesure (ex: taille). ### Exemples Pour chaque situation, identifiez la population, les individus, le caractère étudié et sa nature (qualitatif, quantitatif discret ou quantitatif continu). 1. **Situation :** Une étude sur la couleur de cheveux des acteurs d'un film. * **Population :** Les acteurs du film. * **Individu :** Un acteur du film. * **Caractère :** La couleur des cheveux. * **Nature du caractère :** Qualitatif. 2. **Situation :** Un sondage sur le nombre de téléviseurs par foyer dans une ville. * **Population :** Les foyers de la ville. * **Individu :** Un foyer de la ville. * **Caractère :** Le nombre de téléviseurs. * **Nature du caractère :** Quantitatif discret. 3. **Situation :** Une recherche sur la durée de vie des ampoules LED d'un lot de production. * **Population :** Les ampoules LED du lot de production. * **Individu :** Une ampoule LED. * **Caractère :** La durée de vie. * **Nature du caractère :** Quantitatif continu. 4. **Situation :** L'analyse des marques de voitures possédées par les habitants d'un village. * **Population :** Les habitants d'un village. * **Individu :** Un habitant du village. * **Caractère :** La marque de voiture possédée. * **Nature du caractère :** Qualitatif. ### Exercices **Exercice 1 :** Classez les caractères suivants en : Qualitatif (Q), Quantitatif discret (QD) ou Quantitatif continu (QC). 1. La pointure de chaussures : \( 38, 39, 40 \ldots \) 2. Le type de musique préféré : pop, rock, classique, rap 3. Le temps passé à faire ses devoirs chaque jour : 1h30, 2h, 45 min 4. Le nombre d'animaux de compagnie : 0, 1, 2, 3 5. Le groupe sanguin : A, B, AB, O 6. Le nombre de livres lus en un an 7. La note obtenue à un examen : \( 12/20, 15,5/20 \ldots \) 8. La ville de naissance 9. La distance parcourue en vélo : \( 10,5 \text{ km}, 20 \text{ km} \ldots \) **Exercice 2 :** Pour chaque étude statistique, indiquez la population, un individu et la nature du caractère étudié. 1. On mesure la taille de 100 chênes dans une forêt. 2. On demande la couleur préférée à 500 personnes dans un centre commercial. 3. On compte le nombre de défauts sur 200 objets fabriqués par une machine. ### Devoirs **Devoir 1 :** Donnez un exemple de caractère pour chacun des types suivants : 1. Qualitatif 2. Quantitatif discret 3. Quantitatif continu **Devoir 2 :** Un professeur souhaite étudier les résultats de sa classe de Seconde au dernier devoir de mathématiques. 1. Quelle est la population étudiée ? 2. Quel est l'individu ? 3. Quel est le caractère étudié ? 4. De quel type de caractère s'agit-il ? Justifiez votre réponse. **Devoir 3 :** Trouvez un article de journal ou une enquête qui utilise des statistiques. Décrivez l'étude en identifiant la population, le caractère étudié et sa nature. Si plusieurs caractères sont étudiés, identifiez-en au moins deux de types différents. ### Résumé Pour conclure, la distinction entre caractères qualitatifs et quantitatifs est la première étape cruciale de toute analyse statistique. Les **caractères qualitatifs** décrivent des qualités ou des catégories et ne peuvent pas être mesurés numériquement. Les **caractères quantitatifs**, eux, sont mesurables numériquement et peuvent être **discrets** (valeurs isolées obtenues par comptage) ou **continus** (valeurs dans un intervalle obtenues par mesure). Bien identifier la nature d'un caractère est essentiel pour choisir les méthodes statistiques appropriées à son analyse. ## Effectifs; effectifs cumulés ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre de statistiques! Dans le monde qui nous entoure, nous sommes constamment confrontés à des données. Que ce soit les résultats d'un sondage, les notes d'une classe, ou les tailles des habitants d'une ville, toutes ces informations brutes ont besoin d'être organisées et analysées pour devenir compréhensibles. Les statistiques nous offrent les outils pour le faire. Dans cette leçon, nous allons apprendre à organiser les données en les comptant, ce que nous appelons les **effectifs**, et à les cumuler pour répondre à des questions comme "combien d'individus ont telle caractéristique ou moins?" ou "combien ont telle caractéristique ou plus?". C'est l'essence des **effectifs cumulés**. ### Concepts Clés #### 1. Série Statistique Une **série statistique** est un ensemble de données brutes collectées lors d'une étude. * **Population:** L'ensemble des éléments étudiés (ex: tous les élèves d'un lycée). * **Individu (ou unité statistique):** Chaque élément de la population (ex: un élève). * **Caractère (ou variable statistique):** La propriété étudiée sur chaque individu (ex: la note à un devoir, la couleur des yeux). * **Caractère quantitatif:** Se mesure par un nombre (ex: taille, âge, note). * **Discret:** Prend des valeurs isolées (ex: nombre de frères et sœurs: 0, 1, 2...). Il n'y a pas de valeur intermédiaire entre 0 et 1. * **Continu:** Peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (ex: taille: 1,75m; 1,755m...). Souvent regroupé en classes. * **Caractère qualitatif:** Ne se mesure pas par un nombre (ex: couleur préférée, profession). #### 2. Effectifs L'**effectif** d'une valeur (ou d'une modalité) est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série statistique. * **Effectif total (N):** C'est le nombre total d'individus dans la population étudiée. Il est égal à la somme de tous les effectifs. \[ N = \sum_{i=1}^{k} f_i \] où \( f_i \) est l'effectif de la valeur \( i \) et \( k \) est le nombre de valeurs distinctes. **Exemple:** Soit la série de notes suivantes obtenues par 10 élèves : 8, 12, 10, 8, 15, 10, 12, 14, 8, 15. Pour la note 8, l'effectif est 3 car elle apparaît 3 fois. Pour la note 10, l'effectif est 2. Pour la note 12, l'effectif est 2. Pour la note 14, l'effectif est 1. Pour la note 15, l'effectif est 2. L'effectif total est \( 3+2+2+1+2 = 10 \) élèves. #### 3. Effectifs Cumulés Croissants (ECC) L'**effectif cumulé croissant** d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur. Il s'obtient en ajoutant l'effectif de la valeur actuelle à l'effectif cumulé croissant de la valeur précédente. **Exemple (suite des notes):** | Notes | Effectif | ECC | | :---- | :------- | :-- | | 8 | 3 | 3 | | 10 | 2 | \( 3+2=5 \) | | 12 | 2 | \( 5+2=7 \) | | 14 | 1 | \( 7+1=8 \) | | 15 | 2 | \( 8+2=10 \) | L'ECC pour la note 10 est 5, ce qui signifie que 5 élèves ont eu une note inférieure ou égale à 10. Le dernier ECC doit toujours être égal à l'effectif total. #### 4. Effectifs Cumulés Décroissants (ECD) L'**effectif cumulé décroissant** d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs supérieures ou égales à cette valeur. Il s'obtient en retranchant l'effectif cumulé croissant de la valeur précédente à l'effectif total, ou en partant du bas du tableau et en remontant. **Exemple (suite des notes):** | Notes | Effectif | ECC | ECD | | :---- | :------- | :-- | :-- | | 8 | 3 | 3 | \( 10 \) | | 10 | 2 | 5 | \( 10-3 = 7 \) | | 12 | 2 | 7 | \( 7-2 = 5 \) | | 14 | 1 | 8 | \( 5-2 = 3 \) | | 15 | 2 | 10 | \( 3-1 = 2 \) | L'ECD pour la note 12 est 5, ce qui signifie que 5 élèves ont eu une note supérieure ou égale à 12. Le premier ECD doit toujours être égal à l'effectif total. Le dernier ECD est égal à l'effectif de la dernière valeur. ### Vocabulaire * **Série Statistique:** Ensemble des données collectées. * **Population:** Ensemble sur lequel porte l'étude statistique. * **Individu:** Élément de la population. * **Caractère:** Propriété étudiée sur les individus (peut être quantitatif ou qualitatif). * **Effectif:** Nombre de fois qu'une valeur ou une modalité apparaît dans la série. * **Effectif Total:** Somme de tous les effectifs, correspondant au nombre total d'individus. * **Effectif Cumulé Croissant (ECC):** Somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à une valeur donnée. * **Effectif Cumulé Décroissant (ECD):** Somme des effectifs des valeurs supérieures ou égales à une valeur donnée. ### Exemples Pratiques #### Exemple 1: Nombre de frères et sœurs Dans une classe de Seconde de 25 élèves, on a relevé le nombre de frères et sœurs de chacun: 0, 1, 2, 0, 3, 1, 1, 0, 2, 1, 4, 0, 1, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 1. Organisons ces données dans un tableau avec les effectifs, les effectifs cumulés croissants et décroissants. 1. **Ordonner les valeurs distinctes:** 0, 1, 2, 3, 4. 2. **Calculer les effectifs:** * Nombre 0: 7 élèves * Nombre 1: 10 élèves * Nombre 2: 5 élèves * Nombre 3: 2 élèves * Nombre 4: 1 élève Effectif total: \( 7+10+5+2+1 = 25 \) élèves. 3. **Construire le tableau:** | Nombre de frères et sœurs | Effectif | ECC | ECD | | :------------------------ | :------- | :-- | :-- | | 0 | 7 | 7 | 25 | | 1 | 10 | 17 | 18 | | 2 | 5 | 22 | 8 | | 3 | 2 | 24 | 3 | | 4 | 1 | 25 | 1 | **Interprétation des résultats:** * L'ECC pour '1' est 17: 17 élèves ont 1 frère/sœur ou moins. * L'ECD pour '2' est 8: 8 élèves ont 2 frères/sœurs ou plus. * L'ECD pour '4' est 1: 1 élève a 4 frères/sœurs ou plus (c'est-à-dire exactement 4). ### Exercices **Exercice 1:** Une enquête a été menée auprès de 20 familles pour connaître le nombre d'ordinateurs qu'elles possèdent. Voici les résultats: 1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 3. 1. Identifier la population, l'individu et le caractère étudié. 2. Quel est l'effectif total de cette série? 3. Établir un tableau présentant le nombre d'ordinateurs, les effectifs, les effectifs cumulés croissants et les effectifs cumulés décroissants. 4. Combien de familles possèdent moins de 2 ordinateurs? 5. Combien de familles possèdent au moins 2 ordinateurs? **Exercice 2:** Lors d'un contrôle de SVT, voici les notes (sur 20) obtenues par les 30 élèves d'une classe: 10, 12, 8, 15, 11, 12, 10, 13, 9, 14, 12, 10, 16, 8, 11, 13, 10, 12, 15, 9, 14, 10, 11, 13, 12, 10, 15, 11, 13, 12. 1. Construire le tableau des effectifs, ECC et ECD pour cette série de notes. 2. Combien d'élèves ont obtenu une note strictement inférieure à 10? 3. Combien d'élèves ont obtenu une note supérieure ou égale à 13? 4. Quelle est la note maximale? Quelle est son effectif? ### Devoir à la maison Un bibliothécaire a enregistré le nombre de livres empruntés par jour au cours des 25 derniers jours ouvrés: 15, 20, 18, 25, 15, 22, 18, 15, 20, 25, 18, 20, 22, 15, 20, 18, 25, 22, 20, 15, 22, 18, 20, 25, 15. 1. Identifiez la population, l'individu et le caractère étudié. Précisez si le caractère est quantitatif (discret ou continu) ou qualitatif. 2. Réalisez le tableau complet des effectifs, des effectifs cumulés croissants et des effectifs cumulés décroissants pour cette série. 3. Combien de jours y a-t-il eu moins de 20 livres empruntés? 4. Combien de jours y a-t-il eu 20 livres ou plus d'empruntés? 5. Quel est le nombre de livres le plus fréquemment emprunté? Quel est son effectif? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les outils fondamentaux pour organiser et comprendre les données statistiques: * L'**effectif** compte le nombre d'apparitions d'une valeur dans une série. * L'**effectif total** est la somme de tous les effectifs. * Les **effectifs cumulés croissants (ECC)** permettent de savoir combien d'individus ont une caractéristique *inférieure ou égale* à une certaine valeur. * Les **effectifs cumulés décroissants (ECD)** permettent de savoir combien d'individus ont une caractéristique *supérieure ou égale* à une certaine valeur. Ces concepts sont essentiels pour toute analyse statistique et constituent la base pour des calculs plus avancés comme les fréquences et les représentations graphiques, que nous verrons dans les prochaines leçons. Maîtriser l'organisation des données en tableaux d'effectifs et d'effectifs cumulés est une étape cruciale pour l'interprétation de toute série statistique. ## Fréquences; fréquences cumulées. ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir nos connaissances en statistiques. Après avoir revu les notions d'effectif, nous aborderons les concepts de fréquences, d'effectifs cumulés et de fréquences cumulées. Ces outils sont essentiels pour analyser et interpréter des données de manière efficace. ### Concepts clés #### Rappels sur les séries statistiques et les effectifs * **Série statistique:** C'est l'ensemble des données recueillies lors d'une étude statistique. * **Population:** L'ensemble sur lequel porte l'étude (ex: tous les élèves d'une classe). * **Individu:** Un élément de la population (ex: un élève). * **Caractère:** La propriété étudiée sur la population. Il peut être : * **Quantitatif:** La valeur est un nombre (ex: taille, âge, note). * **Qualitatif:** La valeur n'est pas un nombre (ex: couleur des yeux, mode de transport). * **Effectif (ou fréquence absolue):** C'est le nombre de fois qu'une valeur ou une modalité apparaît dans une série statistique. * **Effectif total:** C'est le nombre total d'individus dans la série. #### Fréquence * **Définition:** La fréquence d'une valeur est la proportion de cette valeur par rapport à l'effectif total. Elle s'exprime sous forme de fraction, de nombre décimal (entre 0 et 1) ou de pourcentage. * **Formule:** La fréquence \( f \) d'une valeur est donnée par : \[ f = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}} \] * **Propriétés:** * La somme de toutes les fréquences (exprimées en décimal) est égale à 1. * La somme de toutes les fréquences (exprimées en pourcentage) est égale à 100%. * Une fréquence est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%). #### Effectifs cumulés croissants * **Définition:** L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur. Ce concept n'a de sens que pour les caractères quantitatifs (ou qualitatifs ordonnables). * **Utilité:** Il permet de répondre rapidement à des questions du type "Combien d'individus ont une caractéristique inférieure ou égale à X ?". #### Fréquences cumulées croissantes * **Définition:** La fréquence cumulée croissante d'une valeur est la somme des fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur. Elle peut aussi être calculée en divisant l'effectif cumulé par l'effectif total. Ce concept n'a de sens que pour les caractères quantitatifs (ou qualitatifs ordonnables). * **Formule:** La fréquence cumulée \( F \) d'une valeur est donnée par : \[ F = \frac{\text{Effectif cumulé de la valeur}}{\text{Effectif total}} \] ou \[ F = \sum_{i \le \text{valeur}} f_i \] (somme des fréquences individuelles jusqu'à cette valeur) * **Propriétés:** * La dernière fréquence cumulée est toujours égale à 1 (ou 100%). * Elles sont utiles pour déterminer des indicateurs de position comme la médiane ou les quartiles (nous les verrons plus tard). ### Vocabulaire * **Série statistique:** L'ensemble des données étudiées. * **Effectif:** Le nombre d'apparitions d'une valeur dans une série. * **Fréquence:** La proportion d'une valeur dans la série (effectif de la valeur divisé par l'effectif total). * **Effectif cumulé croissant:** La somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à une valeur donnée. * **Fréquence cumulée croissante:** La somme des fréquences des valeurs inférieures ou égales à une valeur donnée (ou l'effectif cumulé divisé par l'effectif total). ### Exemples #### Exemple 1: Notes à un contrôle Voici les notes obtenues par 20 élèves à un contrôle de mathématiques (sur 10) : 6, 7, 5, 8, 7, 6, 9, 7, 5, 8, 6, 7, 10, 6, 7, 5, 8, 7, 6, 7 **1. Ordonner la série (facultatif mais recommandé pour les cumulés) :** 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10 **2. Tableau des effectifs, fréquences, effectifs cumulés et fréquences cumulées :** | Note | Effectif | Fréquence (fraction) | Fréquence (décimal, arrondi à 0.01) | Fréquence (%) | Effectif cumulé | Fréquence cumulée (décimal) | Fréquence cumulée (%) | |---|---|---|---|---|---|---|---| | 5 | 3 | \( \frac{3}{20} \) | 0.15 | 15% | 3 | 0.15 | 15% | | 6 | 5 | \( \frac{5}{20} \) | 0.25 | 25% | 3 + 5 = 8 | 0.15 + 0.25 = 0.40 | 40% | | 7 | 7 | \( \frac{7}{20} \) | 0.35 | 35% | 8 + 7 = 15 | 0.40 + 0.35 = 0.75 | 75% | | 8 | 3 | \( \frac{3}{20} \) | 0.15 | 15% | 15 + 3 = 18 | 0.75 + 0.15 = 0.90 | 90% | | 9 | 1 | \( \frac{1}{20} \) | 0.05 | 5% | 18 + 1 = 19 | 0.90 + 0.05 = 0.95 | 95% | | 10 | 1 | \( \frac{1}{20} \) | 0.05 | 5% | 19 + 1 = 20 | 0.95 + 0.05 = 1.00 | 100% | | **Total** | 20 | \( \frac{20}{20} \) | 1.00 | 100% | - | - | - | **Analyse des résultats :** * **Fréquence:** 35% des élèves ont obtenu la note de 7. * **Effectif cumulé:** 15 élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 7. * **Fréquence cumulée:** 75% des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 7. ### Exercices #### Exercice 1 Une enquête a été menée auprès de 25 personnes sur le nombre de livres qu'elles ont lus le mois dernier. Voici les résultats : 2, 1, 3, 2, 4, 1, 0, 3, 2, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 0, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 1, 0 1. Ordonnez cette série statistique. 2. Construisez un tableau regroupant les effectifs, les fréquences (en décimal et en pourcentage), les effectifs cumulés croissants et les fréquences cumulées croissantes. 3. Combien de personnes ont lu 2 livres ou moins ? 4. Quel pourcentage de personnes ont lu plus de 3 livres ? #### Exercice 2 Dans un parking, on a relevé la couleur des 30 voitures stationnées : Rouge, Bleu, Gris, Noir, Rouge, Vert, Bleu, Noir, Gris, Rouge, Rouge, Bleu, Noir, Vert, Gris, Rouge, Bleu, Noir, Rouge, Gris, Noir, Rouge, Bleu, Gris, Noir, Rouge, Vert, Bleu, Noir, Rouge 1. S'agit-il d'un caractère quantitatif ou qualitatif ? 2. Construisez un tableau des effectifs et des fréquences (en pourcentage). Expliquez pourquoi les effectifs et fréquences cumulées n'ont pas de sens ici. ### Devoirs à la maison #### Exercice à la maison 1 Voici le nombre de films vus par 15 étudiants en un mois : 3, 5, 2, 4, 3, 5, 1, 4, 2, 3, 5, 4, 3, 2, 4 1. Organisez ces données dans un tableau des effectifs, fréquences (décimal et pourcentage), effectifs cumulés et fréquences cumulées (décimal et pourcentage). 2. Combien d'étudiants ont vu moins de 3 films ? 3. Quel est le pourcentage d'étudiants ayant vu 4 films ou plus ? #### Exercice à la maison 2 Un professeur a interrogé ses 28 élèves sur leur mode de transport préféré pour venir à l'école. Les résultats sont : Bus, Vélo, Marche, Voiture, Bus, Vélo, Bus, Marche, Voiture, Vélo, Bus, Marche, Vélo, Bus, Marche, Voiture, Bus, Vélo, Marche, Bus, Voiture, Vélo, Bus, Marche, Vélo, Bus, Voiture, Marche 1. Quel est l'effectif total ? 2. Réalisez un tableau des effectifs et des fréquences (en pourcentage) pour chaque mode de transport. 3. Quel mode de transport est le plus populaire ? ### En résumé * **Effectif:** Le nombre de fois qu'une valeur apparaît dans une série statistique. * **Fréquence:** La proportion d'une valeur par rapport à l'effectif total. \( f = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}} \). La somme des fréquences est égale à 1 (ou 100%). * **Effectif cumulé croissant:** La somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à une valeur donnée. * **Fréquence cumulée croissante:** La somme des fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à une valeur donnée. La dernière fréquence cumulée est égale à 1 (ou 100%). * Ces outils sont fondamentaux pour organiser, analyser et interpréter des données, surtout pour les caractères quantitatifs. ## Représentations graphiques: diagrammes à bandes, à bâtons et circulaire. ### Introduction Les statistiques nous aident à organiser et à comprendre de grandes quantités de données. Cependant, les tableaux de données peuvent être difficiles à interpréter rapidement. C'est là qu'interviennent les représentations graphiques! Elles transforment les chiffres en images claires et faciles à comprendre. Dans ce chapitre, nous allons explorer trois types de diagrammes fondamentaux: le diagramme à bâtons, le diagramme à bandes et le diagramme circulaire, et apprendre quand et comment les utiliser pour présenter efficacement vos données. ### Concepts Clés #### Rappels sur les séries statistiques Avant de plonger dans les représentations graphiques, rappelons quelques notions essentielles: * **Population**: L'ensemble des individus étudiés (ex: tous les élèves d'une classe). * **Individu**: Un élément de la population (ex: un élève). * **Caractère**: La propriété étudiée sur chaque individu (ex: la couleur des yeux, le nombre de frères et sœurs). * **Caractère qualitatif**: Ne peut pas être mesuré par un nombre (ex: couleur, profession). * **Caractère quantitatif**: Peut être mesuré par un nombre. * **Caractère quantitatif discret**: Ne prend que des valeurs isolées (ex: nombre de frères et sœurs, note sur 20). * **Caractère quantitatif continu**: Peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (ex: taille, poids). * **Modalité**: Les différentes valeurs que peut prendre un caractère (ex: bleu, vert pour la couleur des yeux; 0, 1, 2 pour le nombre de frères et sœurs). * **Effectif (\(n_i\))**: Le nombre de fois qu'une modalité apparaît dans la série. * **Effectif total (\(N\))**: La somme de tous les effectifs. * **Fréquence (\(f_i\))**: La proportion d'une modalité par rapport à l'effectif total. Elle est calculée par la formule: \[ f_i = \frac{n_i}{N} \] La fréquence est souvent exprimée en pourcentage. #### Le Diagramme à Bâtons Un diagramme à bâtons est idéal pour représenter un caractère quantitatif discret. ##### Quand l'utiliser? * Pour visualiser la distribution des effectifs (ou des fréquences) pour des valeurs discrètes. * Quand le nombre de modalités est relativement petit. ##### Comment le construire? 1. **Axes**: Dessinez deux axes perpendiculaires. * L'axe horizontal (abscisses) représente les modalités du caractère étudié. * L'axe vertical (ordonnées) représente les effectifs ou les fréquences. 2. **Échelle**: Choisissez des échelles appropriées pour chaque axe. 3. **Bâtons**: Pour chaque modalité, tracez un bâton vertical depuis l'axe horizontal jusqu'à la hauteur correspondant à son effectif (ou sa fréquence) sur l'axe vertical. * Les bâtons sont fins et espacés. 4. **Titre et Légendes**: N'oubliez pas un titre pour le graphique et des légendes pour chaque axe. #### Le Diagramme à Bandes Le diagramme à bandes (parfois appelé diagramme en barres) est souvent utilisé pour représenter un caractère qualitatif ou un caractère quantitatif discret avec peu de modalités. ##### Quand l'utiliser? * Pour comparer les effectifs ou les fréquences de différentes catégories (modalités). * Très similaire au diagramme à bâtons, mais les bandes peuvent être plus épaisses et parfois horizontales. ##### Comment le construire? 1. **Axes**: Dessinez deux axes perpendiculaires. * L'axe horizontal (ou vertical si les bandes sont horizontales) représente les modalités du caractère. * L'axe vertical (ou horizontal) représente les effectifs ou les fréquences. 2. **Échelle**: Choisissez des échelles appropriées. 3. **Bandes**: Pour chaque modalité, dessinez une bande dont la longueur (ou hauteur) est proportionnelle à son effectif (ou sa fréquence). * Les bandes sont généralement de même largeur et séparées par un espace. 4. **Titre et Légendes**: Indispensables pour la clarté. #### Le Diagramme Circulaire (ou semi-circulaire) Un diagramme circulaire (aussi appelé "camembert") est excellent pour montrer la proportion de chaque modalité par rapport au total. ##### Quand l'utiliser? * Lorsque l'on veut visualiser la répartition d'un tout en ses différentes parties. * Le caractère peut être qualitatif ou quantitatif discret. * Attention: il est préférable de l'utiliser quand il n'y a pas trop de modalités (sinon, le graphique devient illisible). ##### Comment le construire? 1. **Calcul des angles**: Pour chaque modalité, calculez l'angle du secteur circulaire correspondant. L'angle est proportionnel à l'effectif ou à la fréquence de la modalité. * Si on utilise les effectifs: \[ \text{Angle} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \times 360^ ext{o} \] * Si on utilise les fréquences (en proportion décimale): \[ \text{Angle} = \text{Fréquence} \times 360^ ext{o} \] La somme de tous les angles doit être \(360^ ext{o}\). 2. **Dessin du cercle**: Tracez un cercle. 3. **Tracé des secteurs**: À l'aide d'un rapporteur, tracez chaque secteur en utilisant les angles calculés. 4. **Légendes**: Indiquez le nom de chaque modalité (et éventuellement son pourcentage) dans le secteur ou à l'extérieur avec une légende colorée. 5. **Titre**: Un titre clair pour le graphique. ### Vocabulaire * **Série statistique**: Ensemble de données collectées sur une population. * **Caractère**: Ce qui est étudié sur les individus (qualitatif ou quantitatif). * **Modalité**: Les différentes catégories ou valeurs que peut prendre un caractère. * **Effectif**: Nombre d'individus présentant une certaine modalité. * **Effectif total**: Nombre total d'individus dans la série. * **Fréquence**: Proportion d'une modalité (\(f = \text{effectif} / \text{effectif total}\)). * **Diagramme à bâtons**: Représentation graphique pour caractères quantitatifs discrets avec des bâtons verticaux. * **Diagramme à bandes**: Représentation graphique pour caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets avec des bandes (verticales ou horizontales). * **Diagramme circulaire**: Représentation graphique pour montrer la proportion des parties d'un tout (secteurs d'un cercle). * **Secteur circulaire**: Portion d'un disque délimitée par deux rayons et un arc de cercle. ### Exemples #### Exemple 1: Nombre d'enfants par famille (Diagramme à bâtons) Une enquête auprès de 20 familles a donné le nombre d'enfants suivant: 1, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 1 1. **Tableau des effectifs et fréquences**: | Nombre d'enfants | Effectif (\(n_i\)) | Fréquence (\(f_i\)) | Fréquence (%) | | :--------------- | :------------------ | :------------------- | :------------ | | 0 | 4 | \(4/20 = 0.2\) | 20% | | 1 | 8 | \(8/20 = 0.4\) | 40% | | 2 | 7 | \(7/20 = 0.35\) | 35% | | 3 | 1 | \(1/20 = 0.05\) | 5% | | **Total** | **20** | **1** | **100%** | 2. **Construction du diagramme à bâtons**: * Sur l'axe des abscisses, on place les nombres d'enfants (0, 1, 2, 3). * Sur l'axe des ordonnées, on place les effectifs (ou fréquences). * On trace des bâtons de hauteur 4 pour 0 enfant, 8 pour 1 enfant, 7 pour 2 enfants, et 1 pour 3 enfants. #### Exemple 2: Couleurs préférées (Diagramme à bandes) Voici les couleurs préférées d'un groupe d'élèves: | Couleur | Effectif | | :------ | :------- | | Bleu | 12 | | Rouge | 8 | | Vert | 6 | | Jaune | 4 | | **Total** | **30** | 1. **Construction du diagramme à bandes**: * Sur l'axe horizontal, on place les couleurs (Bleu, Rouge, Vert, Jaune). * Sur l'axe vertical, on place les effectifs. * On dessine des bandes dont la hauteur correspond à l'effectif de chaque couleur. #### Exemple 3: Moyen de transport pour aller au collège (Diagramme circulaire) Voici les moyens de transport utilisés par 50 élèves pour se rendre au collège: | Moyen de transport | Effectif | | :----------------- | :------- | | Marche | 20 | | Bus | 15 | | Vélo | 10 | | Voiture | 5 | | **Total** | **50** | 1. **Calcul des angles**: * **Marche**: \( \frac{20}{50} \times 360^ ext{o} = 0.4 \times 360^ ext{o} = 144^ ext{o} \) * **Bus**: \( \frac{15}{50} \times 360^ ext{o} = 0.3 \times 360^ ext{o} = 108^ ext{o} \) * **Vélo**: \( \frac{10}{50} \times 360^ ext{o} = 0.2 \times 360^ ext{o} = 72^ ext{o} \) * **Voiture**: \( \frac{5}{50} \times 360^ ext{o} = 0.1 \times 360^ ext{o} = 36^ ext{o} \) * **Vérification**: \(144^ ext{o} + 108^ ext{o} + 72^ ext{o} + 36^ ext{o} = 360^ ext{o}\) 2. **Construction du diagramme circulaire**: * Dessinez un cercle. * À l'aide d'un rapporteur, tracez des secteurs correspondant aux angles calculés. * Identifiez chaque secteur avec le moyen de transport correspondant et son pourcentage. ### Exercices #### Exercice 1 Voici les notes obtenues par 25 élèves à un contrôle de mathématiques (sur 20): 12, 10, 15, 8, 12, 10, 18, 5, 12, 15, 10, 12, 14, 10, 12, 10, 15, 8, 12, 10, 16, 12, 10, 14, 12. 1. Construisez le tableau des effectifs et des fréquences (en pourcentage). 2. Réalisez un diagramme à bâtons représentant cette série. #### Exercice 2 Un sondage auprès de 40 personnes sur leur type de film préféré a donné les résultats suivants: | Type de film | Effectif | | :----------- | :------- | | Action | 15 | | Comédie | 10 | | Drame | 8 | | Science-fiction | 7 | 1. Calculez la fréquence de chaque type de film. 2. Construisez un diagramme circulaire pour représenter ces données. ### Devoir à la maison #### Problème 1 La couleur des yeux des élèves d'une classe de Seconde est la suivante: Bleu: 8 élèves Marron: 14 élèves Vert: 3 élèves Autres: 1 élève 1. Quel est l'effectif total de cette classe? 2. Calculez la fréquence pour chaque couleur d'yeux. 3. Représentez cette série statistique par un diagramme à bandes. 4. Représentez la même série par un diagramme circulaire. #### Problème 2 Le nombre de livres lus par mois par les membres d'un club de lecture a été relevé pendant un an: 2, 3, 1, 0, 2, 4, 1, 3, 2, 1, 0, 2 1. Construisez le tableau des effectifs et des fréquences (en pourcentage). 2. Quel est le type de caractère étudié? 3. Tracez le diagramme à bâtons correspondant à cette série. ### Résumé Les représentations graphiques sont des outils essentiels pour visualiser et interpréter les données statistiques. Nous avons vu trois types principaux de diagrammes: * Le **diagramme à bâtons** est idéal pour les caractères quantitatifs discrets, montrant la distribution des effectifs pour chaque valeur. * Le **diagramme à bandes** est polyvalent pour les caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets, permettant de comparer des catégories. * Le **diagramme circulaire** est parfait pour illustrer la proportion de chaque partie par rapport à un tout, en utilisant des angles proportionnels aux fréquences. Il est crucial de toujours choisir le type de graphique le plus adapté au type de données et à l'information que l'on souhaite communiquer, en veillant à la clarté des légendes et des titres.