Suites numériques(suite et fin)

# Suites numériques(suite et fin) ## Représentation graphique des premiers termes consécutifs d’une suite numérique. ### Introduction Dans les leçons précédentes, nous avons découvert ce qu'est une suite numérique et comment définir ses termes. Une suite numérique est comme une liste ordonnée de nombres. Aujourd'hui, nous allons apprendre à "voir" ces suites en les représentant graphiquement. La représentation graphique est un outil puissant qui nous aide à comprendre le comportement d'une suite : si elle augmente, diminue, ou si elle se rapproche d'une certaine valeur. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une suite numérique ? (Rappel) Une suite numérique est une fonction dont l'ensemble de définition est un sous-ensemble des nombres entiers naturels. Chaque terme de la suite est repéré par un indice. On la note souvent \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ou \( (u_n)_{n \ge n_0} \). Les termes successifs sont \( u_0, u_1, u_2, \dots \). #### Méthode 1 : Représentation ponctuelle dans un plan cartésien C'est la méthode la plus courante pour visualiser les termes d'une suite. * **Principe :** Chaque terme \( u_n \) de la suite est associé à un point \( P_n \) de coordonnées \( (n, u_n) \) dans un repère cartésien. * **Axes :** * L'axe des abscisses (horizontal) représente l'indice \( n \). * L'axe des ordonnées (vertical) représente la valeur du terme \( u_n \). * **Démarche :** 1. Calculez les premiers termes de la suite : \( u_0, u_1, u_2, \dots \). 2. Pour chaque terme \( u_n \), placez le point \( (n, u_n) \) dans le repère. 3. Les points ainsi obtenus forment la représentation graphique de la suite. * **Observation :** Les points ne sont généralement pas reliés, car la suite n'est définie que pour des indices entiers. #### Méthode 2 : Représentation graphique des termes d'une suite récurrente (diagramme en toile d'araignée ou en escalier) Cette méthode est particulièrement utile pour les suites définies par une relation de récurrence de la forme \( u_{n+1} = f(u_n) \). * **Principe :** On utilise la courbe représentative de la fonction \( f \) associée à la relation de récurrence et la droite d'équation \( y=x \). * **Démarche :** 1. Tracez la courbe \( ext{C}_f \) de la fonction \( f(x) \) et la droite \( D \) d'équation \( y=x \) dans un repère orthogonal. 2. Placez le premier terme \( u_0 \) sur l'axe des abscisses. 3. Pour trouver \( u_1 \) : * Partez de \( u_0 \) sur l'axe des abscisses, montez (ou descendez) verticalement jusqu'à la courbe \( ext{C}_f \). Le point d'intersection a pour ordonnée \( f(u_0) = u_1 \). * Partez de ce point et déplacez-vous horizontalement jusqu'à la droite \( D \) (d'équation \( y=x \)). Le point d'intersection a pour abscisse \( u_1 \). * Ceci permet de reporter la valeur de \( u_1 \) de l'axe des ordonnées à l'axe des abscisses. 4. Répétez l'étape 3 en partant de \( u_1 \) sur l'axe des abscisses pour trouver \( u_2 \), puis \( u_3 \), et ainsi de suite. On obtient une succession de segments formant un "escalier" ou une "toile d'araignée". * **Intérêt :** Cette méthode permet de visualiser la convergence ou la divergence de la suite et de déterminer graphiquement une éventuelle limite. ### Vocabulaire * **Suite numérique :** Une liste ordonnée de nombres, où chaque nombre correspond à un indice entier. * **Terme :** Un élément de la suite, noté \( u_n \) où \( n \) est l'indice. * **Indice :** Le nombre entier qui indique la position d'un terme dans la suite (ex: \( n \) pour \( u_n \)). * **Représentation graphique :** La visualisation d'une suite sous forme de points dans un repère ou d'un tracé dynamique pour les suites récurrentes. * **Plan cartésien :** Un système de coordonnées (avec des axes x et y) utilisé pour localiser des points. * **Axe des abscisses :** L'axe horizontal dans un repère cartésien, souvent utilisé pour l'indice \( n \). * **Axe des ordonnées :** L'axe vertical dans un repère cartésien, souvent utilisé pour la valeur du terme \( u_n \). * **Point \( (n, u_n) \) :** Coordonnées d'un point représentant le \( n \)-ième terme de la suite. * **Suite arithmétique :** Une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante (sa représentation ponctuelle est alignée sur une droite). * **Suite géométrique :** Une suite où le rapport entre deux termes consécutifs est constant (sa représentation ponctuelle se trouve sur une courbe exponentielle). * **Suite définie par récurrence :** Une suite dont chaque terme est défini à partir du (ou des) terme(s) précédent(s), comme \( u_{n+1} = f(u_n) \). * **Courbe représentative \( ext{C}_f \) :** Le graphe d'une fonction \( f \) sur lequel on lit les valeurs \( f(x) \). * **Droite \( y=x \) :** Une droite où l'ordonnée est égale à l'abscisse, utilisée pour reporter des valeurs sur l'axe des abscisses dans la méthode des suites récurrentes. ### Exemples #### Exemple 1 : Suite arithmétique (Méthode 1) Considérons la suite définie par \( u_n = 2n - 1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). 1. **Calcul des premiers termes :** * \( u_0 = 2(0) - 1 = -1 \) * \( u_1 = 2(1) - 1 = 1 \) * \( u_2 = 2(2) - 1 = 3 \) * \( u_3 = 2(3) - 1 = 5 \) 2. **Représentation graphique :** On place les points \( (0, -1) \), \( (1, 1) \), \( (2, 3) \), \( (3, 5) \) dans un repère. Vous observerez que ces points sont alignés sur une droite. #### Exemple 2 : Suite géométrique (Méthode 1) Considérons la suite définie par \( u_n = 3 \times (0.5)^n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). 1. **Calcul des premiers termes :** * \( u_0 = 3 \times (0.5)^0 = 3 \times 1 = 3 \) * \( u_1 = 3 \times (0.5)^1 = 1.5 \) * \( u_2 = 3 \times (0.5)^2 = 3 \times 0.25 = 0.75 \) * \( u_3 = 3 \times (0.5)^3 = 3 \times 0.125 = 0.375 \) 2. **Représentation graphique :** On place les points \( (0, 3) \), \( (1, 1.5) \), \( (2, 0.75) \), \( (3, 0.375) \) dans un repère. Les points forment une courbe décroissante qui se rapproche de l'axe des abscisses, typique des fonctions exponentielles décroissantes. #### Exemple 3 : Suite définie par récurrence (Méthode 2) Considérons la suite définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = 0.5 u_n + 2 \). 1. **Calcul des premiers termes :** * \( u_0 = 1 \) * \( u_1 = 0.5(1) + 2 = 2.5 \) * \( u_2 = 0.5(2.5) + 2 = 1.25 + 2 = 3.25 \) * \( u_3 = 0.5(3.25) + 2 = 1.625 + 2 = 3.625 \) 2. **Représentation graphique :** * Tracez la droite \( D \) d'équation \( y = x \). * Tracez la courbe \( ext{C}_f \) de la fonction \( f(x) = 0.5x + 2 \) (qui est une droite dans ce cas). * Placez \( u_0 = 1 \) sur l'axe des abscisses. * Montez jusqu'à \( ext{C}_f \) pour trouver \( u_1 \) sur l'axe des ordonnées. Reportez \( u_1 \) sur l'axe des abscisses en allant horizontalement jusqu'à \( D \). * Répétez le processus : de \( u_1 \) sur l'axe des abscisses, montez à \( ext{C}_f \), puis horizontalement à \( D \) pour obtenir \( u_2 \) sur l'axe des abscisses, et ainsi de suite. * Vous verrez les points \( u_n \) s'approcher d'un point fixe, l'intersection de \( ext{C}_f \) et \( D \), qui est la limite de la suite (ici, 4). ### Exercices #### Exercice 1 Représentez graphiquement les 4 premiers termes de la suite \( u_n = n^2 - 3 \) pour \( n \in \mathbb{N} \). #### Exercice 2 Représentez graphiquement les 3 premiers termes de la suite \( v_n = (-1)^n \times n \) pour \( n \in \mathbb{N} \). #### Exercice 3 Une suite est définie par \( w_0 = 5 \) et \( w_{n+1} = \frac{1}{2} w_n + 1 \). 1. Calculez les termes \( w_1, w_2, w_3 \). 2. Représentez ces termes graphiquement en utilisant la droite \( y=x \) et la fonction \( f(x) = \frac{1}{2}x + 1 \). ### Devoir Maison #### Devoir 1 Représentez graphiquement les 5 premiers termes de la suite \( a_n = 3n - 5 \) pour \( n \in \mathbb{N} \). #### Devoir 2 Représentez graphiquement les 4 premiers termes de la suite \( b_n = (2)^n \) pour \( n \in \mathbb{N} \). #### Devoir 3 Une suite est définie par \( c_0 = 10 \) et \( c_{n+1} = 0.8 c_n + 1 \). 1. Calculez les termes \( c_1, c_2, c_3, c_4 \). 2. En utilisant le graphique de la fonction \( f(x) = 0.8x + 1 \) et la droite \( y=x \), tracez les premiers termes de la suite. Que pouvez-vous observer sur son comportement ? ### Résumé Nous avons exploré deux méthodes principales pour représenter graphiquement les suites numériques : 1. **La représentation ponctuelle :** Chaque terme \( u_n \) est un point \( (n, u_n) \) dans un repère, l'axe des abscisses étant l'indice et l'axe des ordonnées la valeur du terme. Cette méthode est universelle pour toutes les suites. 2. **La représentation par diagramme en escalier/toile d'araignée :** Utilisée pour les suites définies par récurrence \( u_{n+1} = f(u_n) \), elle implique de tracer la fonction \( f(x) \) et la droite \( y=x \) pour visualiser la progression des termes. Cette méthode est très efficace pour analyser la convergence ou la divergence d'une suite. La représentation graphique est un outil essentiel pour comprendre visuellement le comportement des suites numériques, qu'elles soient croissantes, décroissantes, convergentes ou divergentes.