Vecteurs du plan

# Vecteurs du plan ## Construction et égalité de vecteurs ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les vecteurs ! Les vecteurs sont des outils mathématiques fondamentaux qui nous permettent de décrire des déplacements, des forces ou des vitesses. En Seconde, nous allons apprendre à les visualiser, à comprendre leurs caractéristiques et à déterminer quand deux vecteurs sont considérés comme égaux. Préparez-vous à explorer le monde des mouvements et des directions ! ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un vecteur ? Un vecteur est un objet mathématique qui représente un déplacement d'un point à un autre. Il est caractérisé par trois éléments : * **Sa direction** : la droite sur laquelle se fait le déplacement. * **Son sens** : l'orientation du déplacement sur cette droite (par exemple, de gauche à droite ou de droite à gauche). * **Sa norme (ou longueur)** : la distance parcourue lors de ce déplacement. #### Notation d'un vecteur Un vecteur peut être noté de plusieurs manières : * Avec une flèche au-dessus de deux points, son origine et son extrémité : \( \vec{AB} \) (vecteur allant de A vers B). * Avec une flèche au-dessus d'une lettre minuscule : \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), etc. #### Représentation graphique d'un vecteur Un vecteur est représenté graphiquement par une flèche : * Le point de départ de la flèche est appelé l'**origine** du vecteur. * Le point d'arrivée de la flèche est appelé l'**extrémité** du vecteur. * La droite qui porte la flèche donne la **direction**. * La pointe de la flèche indique le **sens**. * La longueur de la flèche représente la **norme**. #### Caractéristiques d'un vecteur en détail * **Direction** : C'est la droite qui supporte le segment [AB]. Toute droite parallèle à (AB) a la même direction que \( \vec{AB} \). * **Sens** : Pour le vecteur \( \vec{AB} \), le sens est de A vers B. Le vecteur \( \vec{BA} \) a la même direction mais le sens opposé. * **Norme** : La norme du vecteur \( \vec{AB} \), notée \( \|\vec{AB}\| \), est simplement la longueur du segment [AB]. On peut aussi la noter \( AB \). #### Égalité de vecteurs Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont **égaux** si et seulement s'ils ont : 1. La même direction. 2. Le même sens. 3. La même norme. L'égalité \( \vec{AB} = \vec{CD} \) signifie que le déplacement de A vers B est identique au déplacement de C vers D. **Conséquence géométrique** : Si \( \vec{AB} = \vec{CD} \), alors le quadrilatère ABDC (faites attention à l'ordre des lettres lors de la lecture des points) est un parallélogramme. Cela implique également que les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. #### Vecteur nul Le **vecteur nul**, noté \( \vec{0} \), est un vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. Sa norme est nulle. Par exemple, \( \vec{AA} = \vec{0} \). ### Vocabulaire * **Vecteur** : Objet mathématique représentant un déplacement ayant une direction, un sens et une norme. * **Origine (ou point d'application)** : Point de départ d'un vecteur. * **Extrémité** : Point d'arrivée d'un vecteur. * **Direction** : Support rectiligne d'un vecteur. * **Sens** : Orientation le long de la direction. * **Norme (ou longueur)** : Distance entre l'origine et l'extrémité du vecteur. * **Vecteurs égaux** : Vecteurs ayant la même direction, le même sens et la même norme. * **Parallélogramme** : Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. * **Vecteur nul** : Vecteur de norme nulle, noté \( \vec{0} \). ### Exemples #### Exemple 1 : Construction d'un vecteur égal Soient les points A, B, C non alignés. Construire le point D tel que \( \vec{CD} = \vec{AB} \). **Solution :** Pour que \( \vec{CD} = \vec{AB} \), le déplacement de C vers D doit être le même que de A vers B. Cela signifie que le segment [CD] doit être parallèle et de même longueur que [AB], et avoir le même sens. On construit D de sorte que ABDC soit un parallélogramme. Le point D est alors l'unique point tel que A, B, D, C forment un parallélogramme. #### Exemple 2 : Identification de vecteurs égaux dans un parallélogramme Soit un parallélogramme EFGH. **Questions :** 1. Quel vecteur est égal à \( \vec{EF} \) ? 2. Quel vecteur est égal à \( \vec{FG} \) ? **Solutions :** 1. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. De plus, le sens est le même. Donc, \( \vec{EF} = \vec{HG} \) (attention à l'ordre des lettres !). 2. De même, \( \vec{FG} = \vec{EH} \). ### Exercices #### Exercice 1 Sur une feuille quadrillée, placez les points suivants : A(1,2), B(4,3), C(2,0). 1. Dessinez le vecteur \( \vec{AB} \). 2. Construisez le point D tel que \( \vec{CD} = \vec{AB} \). Quelles sont les coordonnées de D ? 3. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? #### Exercice 2 Soit un rectangle RSTU. 1. Écrivez deux paires de vecteurs égaux. 2. Que pouvez-vous dire des vecteurs \( \vec{RS} \) et \( \vec{SR} \) ? Sont-ils égaux ? Expliquez. ### Devoir #### Devoir Maison 1 Soit un triangle MNP. 1. Construire le point Q tel que \( \vec{MQ} = \vec{NP} \). 2. Construire le point R tel que \( \vec{NR} = \vec{MP} \). 3. Quelle est la nature des quadrilatères MNQP et MPRN ? 4. Que pouvez-vous dire du point N par rapport au segment QR ? Justifiez votre réponse. #### Devoir Maison 2 Complétez les phrases suivantes en utilisant les termes appropriés : 1. Un vecteur est caractérisé par sa _____, son _____ et sa _____. Elles sont essentielles pour définir son _____, qui est le déplacement qu'il représente. 2. Deux vecteurs sont considérés comme _____ s'ils ont les mêmes trois caractéristiques. 3. Si \( \vec{UV} = \vec{XY} \), alors les points U, V, Y, X forment un _____. Cela implique que les segments [UY] et [VX] ont le même _____. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris les bases des vecteurs. Retenez les points clés suivants : * Un vecteur est un outil qui représente un déplacement et possède une **direction**, un **sens** et une **norme (longueur)**. * Il est noté \( \vec{AB} \) ou \( \vec{u} \). * Deux vecteurs sont **égaux** s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. \( \vec{AB} = \vec{CD} \) implique que ABDC est un parallélogramme. * Le vecteur nul, \( \vec{0} \), a une norme de zéro et ses points d'origine et d'extrémité sont confondus. Les vecteurs sont essentiels pour comprendre de nombreux phénomènes en physique et en mathématiques. Continuez à pratiquer la construction et l'identification des vecteurs pour maîtriser ces concepts fondamentaux ! ## Combinaisons linéaires et bases ### Introduction Dans le monde des vecteurs, nous avons appris à les additionner et à les multiplier par un nombre. Aujourd'hui, nous allons approfondir ces opérations en explorant les "combinaisons linéaires" de vecteurs, ce qui nous permettra de comprendre comment un vecteur peut être "construit" à partir d'autres. Nous découvrirons également la notion de "base", un concept fondamental qui nous permet de repérer et de décrire tous les vecteurs du plan de manière unique. ### Concepts Clés #### Combinaison Linéaire de Vecteurs Une combinaison linéaire de deux vecteurs `\(\vec{u}\)` et `\(\vec{v}\)` est un vecteur `\(\vec{w}\)` qui peut être écrit sous la forme: \[ \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \] où `\(a\)` et `\(b\)` sont des nombres réels (scalaires). En d'autres termes, `\(\vec{w}\)` est obtenu en additionnant des multiples de `\(\vec{u}\)` et `\(\vec{v}\)`. * **Interprétation Géométrique:** Cela signifie que l'on peut atteindre le point final du vecteur `\(\vec{w}\)` en suivant d'abord `\(a\)` fois le vecteur `\(\vec{u}\)`, puis `\(b\)` fois le vecteur `\(\vec{v}\)`. Si `\(\vec{w}\)` est une combinaison linéaire de `\(\vec{u}\)` et `\(\vec{v}\)`, alors les trois vecteurs sont coplanaires (ils sont dans le même plan). Dans le plan, c'est toujours le cas. #### Colinéarité Deux vecteurs `\(\vec{u}\)` et `\(\vec{v}\)` sont dits **colinéaires** s'il existe un nombre réel `\(k\)` tel que `\(\vec{u} = k\vec{v}\)` (ou `\(\vec{v} = k\vec{u}\)`). * Géométriquement, cela signifie que les vecteurs ont la même direction (ils sont parallèles). Ils pointent soit dans le même sens, soit dans des sens opposés. * En termes de combinaisons linéaires, si `\(\vec{u}\)` et `\(\vec{v}\)` sont colinéaires, alors l'un est une combinaison linéaire de l'autre de manière triviale (`\(\vec{u} = k\vec{v} + 0\vec{w}\)` si `\(k eq 0\)`). #### Base du Plan Une **base** du plan est un ensemble de deux vecteurs non colinéaires `\((\vec{i}, \vec{j})\)`. * **Pourquoi non colinéaires?** Si les vecteurs étaient colinéaires, ils pointeraient dans la même direction et ne permettraient pas de couvrir l'ensemble du plan. Ils ne pourraient décrire que des vecteurs qui leur sont parallèles. * **Propriété fondamentale:** Dans une base `\((\vec{i}, \vec{j})\)`, tout vecteur `\(\vec{u}\)` du plan peut s'écrire de manière **unique** comme une combinaison linéaire de `\(\vec{i}\)` et `\(\vec{j}\)`: \[ \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} \] Les nombres réels `\(x\)` et `\(y\)` sont appelés les **coordonnées** du vecteur `\(\vec{u}\)` dans la base `\((\vec{i}, \vec{j})\)`. On note `\(\vec{u}(x;y)\)` ou `\(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)`. #### Repère du Plan Un **repère** du plan est un ensemble composé d'un point d'origine `\(O\)` et d'une base `\((\vec{i}, \vec{j})\)`. On le note `\((O; \vec{i}, \vec{j})\)`. * **Coordonnées d'un point:** Dans un repère `\((O; \vec{i}, \vec{j})\)`, tout point `\(M\)` du plan est repéré de manière unique par ses coordonnées `\((x;y)\)` telles que `\(\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\)`. * **Coordonnées d'un vecteur entre deux points:** Si `\(A(x_A; y_A)\)` et `\(B(x_B; y_B)\)` sont deux points du plan, alors les coordonnées du vecteur `\(\vec{AB}\)` sont: \[ \vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \] * **Base orthonormée / Repère orthonormé:** Une base `\((\vec{i}, \vec{j})\)` est dite orthonormée si les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) et de même longueur (généralement 1). Un repère `\((O; \vec{i}, \vec{j})\)` est dit orthonormé si sa base est orthonormée. C'est le type de repère que vous utilisez le plus souvent avec les axes `\(x\)` et `\(y\)`. ### Vocabulaire * **Vecteur:** Un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur. * **Combinaison Linéaire:** Un vecteur formé par la somme de multiples d'autres vecteurs. * **Scalaire:** Un nombre réel (par opposition à un vecteur). * **Colinéaire:** Deux vecteurs qui ont la même direction. * **Base:** Un ensemble de deux vecteurs non colinéaires qui permettent de décrire tout vecteur du plan. * **Repère:** Un ensemble composé d'un point d'origine et d'une base, permettant de localiser les points du plan. * **Coordonnées:** Les nombres qui définissent l'emplacement d'un point ou la composition d'un vecteur dans un repère ou une base donnée. * **Orthonormé:** Se dit d'une base ou d'un repère où les vecteurs de base sont orthogonaux et de longueur unitaire. ### Exemples #### Exemple 1: Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire Soient `\(\vec{u}(2;1)\)` et `\(\vec{v}(1;-1)\)`. Exprimons `\(\vec{w}(5;-1)\)` comme une combinaison linéaire de `\(\vec{u}\)` et `\(\vec{v}\)`. Nous cherchons `\(a\)` et `\(b\)` tels que `\(a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{w}\)`. En termes de coordonnées: `\(a\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}\)` Ce qui donne le système d'équations: `\begin{cases} 2a + b = 5 \\ a - b = -1 \end{cases}\)` En additionnant les deux équations: `\((2a+b) + (a-b) = 5 + (-1) \implies 3a = 4 \implies a = \frac{4}{3}\)`. En substituant `\(a\)` dans la deuxième équation: `\(\frac{4}{3} - b = -1 \implies b = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}\)`. Donc, `\(\vec{w} = \frac{4}{3}\vec{u} + \frac{7}{3}\vec{v}\)`. #### Exemple 2: Vérifier si deux vecteurs forment une base Soient `\(\vec{e_1}(1;2)\)` et `\(\vec{e_2}(3;5)\)`. Forment-ils une base du plan? Pour former une base, ils ne doivent pas être colinéaires. Deux vecteurs `\(\vec{u}(x;y)\)` et `\(\vec{v}(x';y')\)` sont colinéaires si et seulement si `\(xy' - yx' = 0\)` (le déterminant est nul). Pour `\(\vec{e_1}(1;2)\)` et `\(\vec{e_2}(3;5)\)`: `\(1 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1\)`. Puisque `\(-1 \neq 0\)`, les vecteurs `\(\vec{e_1}\)` et `\(\vec{e_2}\)` ne sont pas colinéaires. Ils forment donc une base du plan. #### Exemple 3: Coordonnées d'un vecteur dans une base différente Reprenons la base `\((\vec{e_1}, \vec{e_2})\)` où `\(\vec{e_1}(1;2)\)` et `\(\vec{e_2}(3;5)\)` sont exprimés dans la base canonique `\((\vec{i}, \vec{j})\)`. Trouvons les coordonnées du vecteur `\(\vec{v}(7;12)\)` dans la base `\((\vec{e_1}, \vec{e_2})\)`. Nous cherchons `\(x\)` et `\(y\)` tels que `\(x\vec{e_1} + y\vec{e_2} = \vec{v}\)`. `\(x\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 12 \end{pmatrix}\)` Ce qui donne le système: `\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 2x + 5y = 12 \end{cases}\)` Multiplions la première équation par 2: `\(2x + 6y = 14\)`. Soustraire la deuxième équation de cette nouvelle équation: `\((2x+6y) - (2x+5y) = 14 - 12 \implies y = 2\)`. Substituer `\(y=2\)` dans la première équation: `\(x + 3(2) = 7 \implies x + 6 = 7 \implies x = 1\)`. Donc, les coordonnées de `\(\vec{v}\)` dans la base `\((\vec{e_1}, \vec{e_2})\)` sont `\((1;2)\)`. ### Exercices 1. Soient les vecteurs `\(\vec{a}(1;-2)\)`, `\(\vec{b}(3;1)\)` et `\(\vec{c}(-1;5)\)` dans un repère orthonormé `\((O; \vec{i}, \vec{j})\)`. * a) Vérifiez si `\((\vec{a}, \vec{b})\)` forme une base du plan. Justifiez votre réponse. * b) Exprimez le vecteur `\(\vec{c}\)` comme une combinaison linéaire de `\(\vec{a}\)` et `\(\vec{b}\)`. Trouvez les scalaires `\(k_1\)` et `\(k_2\)` tels que `\(\vec{c} = k_1\vec{a} + k_2\vec{b}\)`. 2. Dans un repère `\((O; \vec{i}, \vec{j})\)`, placez les points `\(A(2;1)\)`, `\(B(-1;3)\)` et `\(C(0;-2)\)`. * a) Déterminez les coordonnées du vecteur `\(\vec{AB}\)`. * b) Calculez les coordonnées du vecteur `\(\vec{V} = 2\vec{AB} - \vec{OC}\)`. ### Devoir à la maison 1. Soit `\((\vec{u}, \vec{v})\)` une base du plan. On définit deux nouveaux vecteurs `\(\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}\)` et `\(\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}\)`. * Montrez que `\((\vec{a}, \vec{b})\)` est également une base du plan. (Indice: supposez qu'ils sont colinéaires et arrivez à une contradiction avec le fait que `\((\vec{u}, \vec{v})\)` est une base). 2. Dans un repère `\((O; \vec{i}, \vec{j})\)`, on considère les points `\(A(1;2)\)`, `\(B(4;-1)\)` et `\(C(-2;-3)\)`. * a) Déterminez les coordonnées du point `\(M\)` tel que `\(\vec{AM} = \vec{BC}\)`. * b) Les points `\(A\)`, `\(B\)` et `\(C\)` sont-ils alignés ? Justifiez votre réponse en utilisant la colinéarité de vecteurs. 3. **Défi :** Soit `\((\vec{i}, \vec{j})\)` une base du plan. Existe-t-il un vecteur `\(\vec{w}\)` non nul qui peut s'écrire à la fois sous la forme `\(\vec{w} = k\vec{i}\)` et `\(\vec{w} = l\vec{j}\)` pour des réels `\(k\)` et `\(l\)` non nuls? Expliquez pourquoi. ### Résumé * Une **combinaison linéaire** de vecteurs `\(\vec{u}\)` et `\(\vec{v}\)` est un vecteur `\(a\vec{u} + b\vec{v}\)`. * Deux vecteurs sont **colinéaires** s'ils ont la même direction, c'est-à-dire si l'un est un multiple de l'autre. Le critère de colinéarité pour `\(\vec{u}(x;y)\)` et `\(\vec{v}(x';y')\)` est `\(xy' - yx' = 0\)`. * Une **base** du plan est formée par deux vecteurs non colinéaires. Cette propriété est essentielle pour pouvoir exprimer tout vecteur du plan de manière unique. * Dans une base `\((\vec{i}, \vec{j})\)`, tout vecteur `\(\vec{u}\)` a des **coordonnées** `\((x;y)\)` telles que `\(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\)`. * Un **repère** du plan est défini par une origine et une base, permettant de situer précisément les points et les vecteurs dans le plan.