Calculs dans IR (suite)

# Calculs dans IR (suite) ## Comparaisons - Encadrement d’un réel. ### Introduction Dans le monde des mathématiques, il est souvent nécessaire de comparer des nombres, de savoir lequel est plus grand, plus petit ou s'ils sont égaux. Cette leçon vous permettra de maîtriser les techniques de comparaison des nombres réels et d'apprendre à manipuler les encadrements. Ces compétences sont fondamentales pour résoudre des problèmes et comprendre d'autres concepts mathématiques plus avancés. ### Concepts Clés #### 1. Comparaison de Nombres Réels Deux nombres réels \(a\) et \(b\) peuvent être comparés de la manière suivante : * \(a \le b\) (\(a\) est inférieur ou égal à \(b\)) si et seulement si \(b-a \ge 0\). * \(a < b\) (\(a\) est strictement inférieur à \(b\)) si et seulement si \(b-a > 0\). * \(a = b\) si et seulement si \(b-a = 0\). #### 2. Propriétés des Inégalités ##### a. Addition et Soustraction Si vous ajoutez ou soustrayez le même nombre aux deux membres d'une inégalité, le sens de l'inégalité ne change pas. * Si \(a \le b\), alors \(a+c \le b+c\). * Si \(a \le b\), alors \(a-c \le b-c\). ##### b. Multiplication et Division * **Par un nombre strictement positif :** Le sens de l'inégalité ne change pas. * Si \(a \le b\) et \(c > 0\), alors \(ac \le bc\). * Si \(a \le b\) et \(c > 0\), alors \( \frac{a}{c} \le \frac{b}{c} \). * **Par un nombre strictement négatif :** Le sens de l'inégalité est inversé. * Si \(a \le b\) et \(c < 0\), alors \(ac \ge bc\). * Si \(a \le b\) et \(c < 0\), alors \( \frac{a}{c} \ge \frac{b}{c} \). ##### c. Règles sur les Inverses * Si \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels strictement positifs, alors \(a \le b\) si et seulement si \( \frac{1}{a} \ge \frac{1}{b} \). * Si \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels strictement négatifs, alors \(a \le b\) si et seulement si \( \frac{1}{a} \ge \frac{1}{b} \). * Attention : Si \(a\) et \(b\) sont de signes différents ou si l'un d'eux est nul, cette propriété ne s'applique pas directement. ##### d. Règles sur les Carrés * Si \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\), alors \(a \le b\) si et seulement si \(a^2 \le b^2\). * Attention : Si les nombres sont négatifs, cette propriété ne s'applique pas. Par exemple, \(-3 \le -2\) mais \((-3)^2 = 9\) et \((-2)^2 = 4\), donc \(9 \ge 4\). #### 3. Encadrement d'un Nombre Réel Un encadrement d'un nombre réel \(x\) est une double inégalité de la forme \(a \le x \le b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels tels que \(a \le b\). * \(a\) est la borne inférieure et \(b\) est la borne supérieure de l'encadrement. * L'amplitude de l'encadrement est la valeur \(b-a\). ##### Opérations sur les Encadrements * **Addition :** Si \(a \le x \le b\) et \(c \le y \le d\), alors \(a+c \le x+y \le b+d\). * **Soustraction :** Si \(a \le x \le b\) et \(c \le y \le d\), alors \(a-d \le x-y \le b-c\). * *Rappel :* Soustraire \(y\) revient à ajouter \(-y\). Si \(c \le y \le d\), alors \(-d \le -y \le -c\). * Donc, \(x-y = x+(-y)\), ce qui donne \(a+(-d) \le x+(-y) \le b+(-c)\). * **Multiplication (pour des nombres positifs) :** Si \(0 \le a \le x \le b\) et \(0 \le c \le y \le d\), alors \(ac \le xy \le bd\). * Attention aux signes lorsque les bornes peuvent être négatives. * **Division (pour des nombres positifs) :** Si \(0 < a \le x \le b\) et \(0 < c \le y \le d\), alors \( \frac{a}{d} \le \frac{x}{y} \le \frac{b}{c} \). * *Rappel :* Diviser par \(y\) revient à multiplier par \( \frac{1}{y} \). Si \(0 < c \le y \le d\), alors \( \frac{1}{d} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{c} \). * Puis on multiplie l'encadrement de \(x\) par celui de \( \frac{1}{y} \). ### Vocabulaire * **Nombre réel :** Tout nombre pouvant être représenté sur une droite numérique (entiers, décimaux, fractions, racines carrées, \( \pi \), etc.). * **Inégalité :** Relation mathématique entre deux expressions qui ne sont pas nécessairement égales (symboles \( <, \le, >, \ge \)). * **Comparaison :** Action de déterminer la relation d'ordre entre deux nombres ou expressions. * **Encadrement :** Expression d'un nombre réel entre deux bornes (par exemple, \(2 \le x \le 5\)). * **Amplitude :** Différence entre la borne supérieure et la borne inférieure d'un encadrement.\( (b-a) \) * **Intervalle :** Un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Un encadrement \(a \le x \le b\) signifie que \(x\) appartient à l'intervalle fermé \( [a, b] \). ### Exemples #### Exemple 1 : Comparer des nombres * Comparer \( \sqrt{5} \) et \( 2.23 \). On sait que \( (2.23)^2 = 4.9729 \) et \( ( \sqrt{5} )^2 = 5 \). Puisque \( 4.9729 < 5 \) et que les nombres sont positifs, on a \( 2.23 < \sqrt{5} \). * Comparer \( -\frac{2}{3} \) et \( -0.67 \). \( -\frac{2}{3} \approx -0.666... \). On peut écrire \( -0.67 = -\frac{67}{100} \). Pour comparer \( -\frac{2}{3} \) et \( -\frac{67}{100} \), on les met au même dénominateur (300) : \( -\frac{200}{300} \) et \( -\frac{201}{300} \). Puisque \( -200 > -201 \), alors \( -\frac{200}{300} > -\frac{201}{300} \), donc \( -\frac{2}{3} > -0.67 \). #### Exemple 2 : Encadrer une expression Soit \(x\) un nombre réel tel que \(1 \le x \le 4\). Donner un encadrement de \(2x-3\). 1. On multiplie par 2 (nombre positif, le sens ne change pas) : \(2 \times 1 \le 2x \le 2 \times 4\), ce qui donne \(2 \le 2x \le 8\). 2. On soustrait 3 (le sens ne change pas) : \(2-3 \le 2x-3 \le 8-3\), ce qui donne \(-1 \le 2x-3 \le 5\). L'encadrement de \(2x-3\) est donc \( [-1, 5] \). #### Exemple 3 : Encadrement avec multiplication et division Soient \(x\) et \(y\) des nombres réels tels que \(2 \le x \le 3\) et \(4 \le y \le 5\). * Encadrer \(x+y\) : \(2+4 \le x+y \le 3+5\), donc \(6 \le x+y \le 8\). * Encadrer \(x-y\) : D'abord, encadrer \(-y\) : Si \(4 \le y \le 5\), alors \(-5 \le -y \le -4\). Puis additionner : \(2+(-5) \le x+(-y) \le 3+(-4)\), donc \(-3 \le x-y \le -1\). * Encadrer \(xy\) : Puisque toutes les bornes sont positives : \(2 \times 4 \le xy \le 3 \times 5\), donc \(8 \le xy \le 15\). * Encadrer \( \frac{x}{y} \) : D'abord, encadrer \( \frac{1}{y} \) : Si \(4 \le y \le 5\), alors \( \frac{1}{5} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{4} \). Puis multiplier les encadrements de \(x\) et \( \frac{1}{y} \) (toutes les bornes sont positives) : \(2 \times \frac{1}{5} \le x \times \frac{1}{y} \le 3 \times \frac{1}{4} \), donc \( \frac{2}{5} \le \frac{x}{y} \le \frac{3}{4} \). ### Exercices 1. **Vrai ou Faux ?** Justifiez votre réponse. a. Si \(a \le b\), alors \(-a \le -b\). b. Si \(a \ge 3\), alors \(a^2 \ge 9\). c. Si \(a < 0\), alors \(a^2 > a\). d. Si \(a \le b\), alors \( \frac{1}{a} \ge \frac{1}{b} \). 2. **Comparaison :** Comparez les nombres suivants. a. \( \frac{7}{4} \) et \( 1.75 \) b. \( \sqrt{10} \) et \( 3.16 \) c. \( -\frac{5}{6} \) et \( -0.83 \) d. \( (\pi - 3)^2 \) et \( 0.002 \) 3. **Encadrement d'expressions :** Soit \(x\) un réel tel que \(-2 \le x \le 3\). Donnez un encadrement pour : a. \(x+5\) b. \(3x\) c. \(-2x\) d. \(x-7\) e. \(4x+1\) f. \( \frac{1}{x} \) (pour cet encadrement, diviser en deux cas: \( -2 \le x < 0 \) et \( 0 < x \le 3 \) car \(x=0\) est dans l'intervalle initial. Ou dire que l'encadrement n'est pas possible sur un intervalle contenant 0). 4. **Opérations sur des encadrements :** Soient \(x\) et \(y\) des réels tels que \(1 \le x \le 2\) et \(3 \le y \le 5\). Donnez un encadrement pour : a. \(x+y\) b. \(x-y\) c. \(xy\) d. \( \frac{x}{y} \) ### Devoirs 1. **Problème d'encadrement :** La longueur \(L\) d'un rectangle est encadrée par \(4.5 \le L \le 4.6\) cm et sa largeur \(l\) par \(2.1 \le l \le 2.2\) cm. a. Encadrer le périmètre de ce rectangle. b. Encadrer l'aire de ce rectangle. 2. **Encadrement complexe :** Soit \(x\) un réel tel que \(1 \le x \le 3\). Donnez un encadrement pour l'expression \( \frac{2x+1}{x+1} \). *(Indice : Vous pouvez écrire \( \frac{2x+1}{x+1} = \frac{2(x+1)-1}{x+1} = 2 - \frac{1}{x+1} \) et ensuite encadrer \( \frac{1}{x+1} \).) 3. **Comparaison avec la calculatrice :** Utilisez votre calculatrice pour trouver un encadrement de \( \sqrt{7} \) à \(10^{-2}\) près. Ensuite, comparez \( \sqrt{7} + 2 \) et \( 2 \sqrt{7} - 1 \) sans utiliser la calculatrice pour la comparaison finale (seulement pour l'encadrement initial de \( \sqrt{7} \)). ### Résumé * Pour **comparer** \(a\) et \(b\), on étudie le signe de \(b-a\). * Les **inégalités** se comportent comme les égalités pour l'addition et la soustraction. Pour la multiplication et la division, le sens change si le nombre est négatif. * Les propriétés des inverses et des carrés nécessitent une attention particulière aux signes des nombres. * Un **encadrement** de \(x\) est de la forme \(a \le x \le b\). L'amplitude est \(b-a\). * Les **opérations sur les encadrements** suivent les mêmes règles que les inégalités, en faisant attention aux inversions de sens lors des multiplications/divisions par des nombres négatifs ou lors de la prise de l'inverse. La soustraction d'un encadrement revient à ajouter son opposé encadré. La division par un encadrement revient à multiplier par l'inverse de l'encadrement (en prenant soin des signes et de la non-annulation). * Ces notions sont fondamentales pour l'analyse des fonctions et la résolution d'équations et inéquations. ## Valeur absolue d’un réel: · Définitions: · Propriétés: ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la valeur absolue d'un nombre réel ! En mathématiques, la valeur absolue est un concept fondamental qui mesure la distance d'un nombre par rapport à zéro sur la droite numérique, sans tenir compte de sa direction. C'est un outil très utile pour comprendre les distances, les erreurs et pour résoudre certains types d'équations et d'inéquations. Dans cette leçon, nous allons explorer sa définition, ses propriétés essentielles et ses applications concrètes. ### Concepts Clés #### Définition de la Valeur Absolue La valeur absolue d'un nombre réel \( x \), notée \( |x| \), représente sa distance par rapport à l'origine (zéro) sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle. * **Définition Géométrique :** La valeur absolue de \( x \) est la distance entre le point d'abscisse \( x \) et le point d'abscisse \( 0 \) sur la droite des nombres réels. * Par exemple, \( |5| \) est la distance entre \( 5 \) et \( 0 \), qui est \( 5 \). * \( |-5| \) est la distance entre \( -5 \) et \( 0 \), qui est également \( 5 \). * **Définition Algébrique :** Pour tout nombre réel \( x \) : * Si \( x \ge 0 \), alors \( |x| = x \). * Si \( x < 0 \), alors \( |x| = -x \). Exemples : * \( |7| = 7 \) (car \( 7 \ge 0 \)) * \( |-3| = -(-3) = 3 \) (car \( -3 < 0 \)) * \( |\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1 \) (car \( \sqrt{2}-1 > 0 \)) * \( |1-\sqrt{2}| = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1 \) (car \( 1-\sqrt{2} < 0 \)) #### Propriétés de la Valeur Absolue Voici les principales propriétés de la valeur absolue pour des nombres réels \( a \) et \( b \) : 1. **Non-négativité :** La valeur absolue d'un nombre est toujours positive ou nulle. \[ |x| \ge 0 \] 2. **Nullité :** La valeur absolue d'un nombre est nulle si et seulement si le nombre est nul. \[ |x| = 0 \iff x = 0 \] 3. **Symétrie :** La valeur absolue d'un nombre et de son opposé sont égales. \[ |-x| = |x| \] 4. **Produit :** La valeur absolue d'un produit est le produit des valeurs absolues. \[ |ab| = |a||b| \] 5. **Quotient :** La valeur absolue d'un quotient est le quotient des valeurs absolues (avec le dénominateur non nul). \[ \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} \quad (b \neq 0) \] 6. **Inégalité Triangulaire :** La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues. \[ |a+b| \le |a|+|b| \] 7. **Relation avec la racine carrée :** Pour tout nombre réel \( x \), \[ \sqrt{x^2} = |x| \] **Attention :** \( \sqrt{x^2} \) n'est pas toujours égal à \( x \). Par exemple, \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \), et non \( -3 \). 8. **Distance entre deux nombres :** La distance entre deux nombres réels \( a \) et \( b \) sur la droite numérique est donnée par \( |a-b| \) ou \( |b-a| \). Exemple : La distance entre \( 3 \) et \( -2 \) est \( |3 - (-2)| = |3+2| = |5| = 5 \). #### Résolution d'équations et d'inéquations avec la Valeur Absolue * **Équations de la forme \( |x| = a \) :** * Si \( a < 0 \), l'équation n'a pas de solution (car \( |x| \ge 0 \)). * Si \( a \ge 0 \), l'équation \( |x| = a \) est équivalente à \( x = a \) ou \( x = -a \). * Plus généralement, \( |f(x)| = a \) est équivalent à \( f(x) = a \) ou \( f(x) = -a \) (si \( a \ge 0 \)). * **Inéquations de la forme \( |x| < a \) :** * Si \( a \le 0 \), l'inéquation n'a pas de solution (ensemble vide). * Si \( a > 0 \), l'inéquation \( |x| < a \) est équivalente à \( -a < x < a \). * Plus généralement, \( |f(x)| < a \) est équivalent à \( -a < f(x) < a \) (si \( a > 0 \)). * **Inéquations de la forme \( |x| > a \) :** * Si \( a < 0 \), l'inéquation est vraie pour tout \( x \in \mathbb{R} \) (l'ensemble des solutions est \( \mathbb{R} \)). * Si \( a \ge 0 \), l'inéquation \( |x| > a \) est équivalente à \( x < -a \) ou \( x > a \). * Plus généralement, \( |f(x)| > a \) est équivalent à \( f(x) < -a \) ou \( f(x) > a \) (si \( a \ge 0 \)). ### Vocabulaire * **Valeur absolue :** La distance d'un nombre réel à zéro sur la droite numérique. Toujours positive ou nulle. * **Nombre réel (\( \mathbb{R} \)) :** Tout nombre qui peut être représenté sur une droite numérique (inclut les nombres rationnels et irrationnels). * **Opposé :** Pour un nombre \( x \), son opposé est \( -x \). * **Inégalité triangulaire :** Une propriété de la valeur absolue qui établit que \( |a+b| \le |a|+|b| \). * **Équation :** Une égalité contenant une ou plusieurs variables. * **Inéquation :** Une inégalité contenant une ou plusieurs variables. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de valeurs absolues * Calculer \( |-12| \). * Solution : Puisque \( -12 < 0 \), \( |-12| = -(-12) = 12 \). * Calculer \( |\pi-4| \). * Solution : Puisque \( \pi \approx 3.14 \), \( \pi-4 \approx -0.86 \), donc \( \pi-4 < 0 \). \( |\pi-4| = -(\pi-4) = 4-\pi \). #### Exemple 2 : Résolution d'une équation simple * Résoudre l'équation \( |x| = 6 \). * Solution : D'après la propriété \( |x|=a \iff x=a \text{ ou } x=-a \), on a \( x = 6 \) ou \( x = -6 \). L'ensemble des solutions est \( \{-6, 6\} \). #### Exemple 3 : Résolution d'une équation plus complexe * Résoudre l'équation \( |2x-1| = 5 \). * Solution : D'après la propriété, \( 2x-1 = 5 \) ou \( 2x-1 = -5 \). * Cas 1 : \( 2x-1 = 5 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \). * Cas 2 : \( 2x-1 = -5 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \). L'ensemble des solutions est \( \{-2, 3\} \). #### Exemple 4 : Résolution d'une inéquation de type \( |x| < a \) * Résoudre l'inéquation \( |x| < 3 \). * Solution : D'après la propriété, \( -3 < x < 3 \). L'ensemble des solutions est l'intervalle ouvert \( ]-3, 3[ \). #### Exemple 5 : Résolution d'une inéquation de type \( |x| \ge a \) * Résoudre l'inéquation \( |x+2| \ge 4 \). * Solution : D'après la propriété, \( x+2 \le -4 \) ou \( x+2 \ge 4 \). * Cas 1 : \( x+2 \le -4 \implies x \le -6 \). * Cas 2 : \( x+2 \ge 4 \implies x \ge 2 \). L'ensemble des solutions est l'union des intervalles \( ]-\infty, -6] \cup [2, +\infty[ \). ### Exercices 1. Calculer les valeurs absolues suivantes : a. \( |-9| \) b. \( |\frac{1}{2}| \) c. \( |7-10| \) d. \( |3-\sqrt{5}| \) 2. Déterminer la distance entre les nombres suivants sur la droite numérique : a. \( 4 \) et \( -3 \) b. \( -5 \) et \( -1 \) 3. Résoudre les équations suivantes : a. \( |x| = 8 \) b. \( |x-5| = 2 \) c. \( |3x+6| = 0 \) 4. Résoudre les inéquations suivantes et donner les solutions sous forme d'intervalle : a. \( |x| \le 5 \) b. \( |x+1| < 7 \) c. \( |x-3| > 1 \) ### Devoirs 1. Simplifier les expressions suivantes : a. \( |\frac{12}{-4}| \) b. \( |x-y| \) si \( x < y \) c. \( |\sqrt{3}-2| + |1-\sqrt{3}| \) 2. Résoudre les équations suivantes : a. \( |2x+7| = 9 \) b. \( |4-x| = 1 \) c. \( |x-3| = |2x+1| \) (Indice : Pour \( |A| = |B| \), on a \( A=B \) ou \( A=-B \)) 3. Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite numérique : a. \( |2x-5| < 3 \) b. \( |1-3x| \ge 4 \) c. \( -2|x+4| < -6 \) 4. Trouver tous les nombres réels \( x \) tels que la distance entre \( x \) et \( -2 \) soit égale à \( 5 \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré la valeur absolue d'un nombre réel. Nous avons appris que : * La valeur absolue \( |x| \) est la distance de \( x \) à zéro sur la droite numérique, toujours positive ou nulle. * Elle est définie algébriquement par \( |x|=x \) si \( x \ge 0 \) et \( |x|=-x \) si \( x < 0 \). * Les propriétés clés incluent la non-négativité, la symétrie \( |-x|=|x| \), la relation avec la multiplication et la division, l'inégalité triangulaire \( |a+b| \le |a|+|b| \), et la relation \( \sqrt{x^2} = |x| \). * La valeur absolue est essentielle pour calculer la distance entre deux points \( |a-b| \). * La résolution d'équations et d'inéquations implique la conversion en équations ou inéquations sans valeur absolue, en considérant différents cas ou en appliquant des règles spécifiques (par exemple, \( |x|=a \iff x=a \text{ ou } x=-a \); \( |x|<a \iff -a<x<a \); \( |x|>a \iff x<-a \text{ ou } x>a \)). La maîtrise de la valeur absolue est cruciale pour de nombreux aspects des mathématiques futures. ## Puissance à exposant entier relatif d’un nombre réel ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les puissances à exposant entier relatif d'un nombre réel. Vous avez déjà étudié les puissances à exposant entier positif, comme \\( 2^3 = 2 \\times 2 \\times 2 \\). Aujourd'hui, nous allons étendre cette notion aux exposants négatifs et revoir les règles de calcul qui s'appliquent. Comprendre les puissances est fondamental en mathématiques et vous sera utile dans de nombreux domaines, de la science à l'informatique. ### Concepts Clés #### 1. Rappel : Puissance à exposant entier positif Pour un nombre réel \\( a \\) et un entier positif \\( n \\): * \\( a^n \\) est le produit de \\( n \\) facteurs égaux à \\( a \\). \\[ a^n = a \\times a \\times \\dots \\times a \\quad (n\\text{ fois}) \\\] * Exemples: * \\( 3^4 = 3 \\times 3 \\times 3 \\times 3 = 81 \\) * \\( (-2)^3 = (-2) \\times (-2) \\times (-2) = -8 \\) * Cas particuliers (pour \\( a \\neq 0 \\)): * \\( a^1 = a \\) * \\( a^0 = 1 \\) * Exemples: \\( 7^1 = 7 \\), \\( (-5)^0 = 1 \\) #### 2. Puissance à exposant entier négatif Pour un nombre réel non nul \\( a \\) et un entier positif \\( n \\): * La puissance \\( a^{-n} \\) est définie comme l'inverse de \\( a^n \\). \\[ a^{-n} = \\frac{1}{a^n} \\\] * Exemples: * \\( 2^{-3} = \\frac{1}{2^3} = \\frac{1}{8} \\) * \\( 5^{-1} = \\frac{1}{5^1} = \\frac{1}{5} \\) * \\( (-4)^{-2} = \\frac{1}{(-4)^2} = \\frac{1}{16} \\) * Note spéciale pour les puissances de 10: * \\( 10^{-n} = 0.\\underbrace{0\\dots0}_{n-1}1 \\) (\\( n \\) zéros après la virgule, incluant le zéro avant le 1) * Exemples: \\( 10^{-1} = 0.1 \\), \\( 10^{-2} = 0.01 \\), \\( 10^{-3} = 0.001 \\) #### 3. Règles de calcul sur les puissances Ces règles sont valables pour tous les nombres réels \\( a \\) et \\( b \\) (non nuls si au dénominateur ou avec exposant négatif) et pour tous les entiers relatifs \\( m \\) et \\( n \\). * **Produit de puissances de même base:** \\[ a^m \\times a^n = a^{m+n} \\\] Exemple: \\( 2^3 \\times 2^{-5} = 2^{3+(-5)} = 2^{-2} = \\frac{1}{2^2} = \\frac{1}{4} \\) * **Quotient de puissances de même base:** \\[ \\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \\\] Exemple: \\( \\frac{3^4}{3^{-2}} = 3^{4-(-2)} = 3^{4+2} = 3^6 = 729 \\) * **Puissance d'une puissance:** \\[ (a^m)^n = a^{m \\times n} \\\] Exemple: \\( (5^2)^{-3} = 5^{2 \\times (-3)} = 5^{-6} = \\frac{1}{5^6} = \\frac{1}{15625} \\) * **Puissance d'un produit:** \\[ (ab)^n = a^n b^n \\\] Exemple: \\( (2 \\times 3)^4 = 2^4 \\times 3^4 = 16 \\times 81 = 1296 \\) * **Puissance d'un quotient:** \\[ \\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\frac{a^n}{b^n} \\\] Exemple: \\( \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{-2} = \\frac{2^{-2}}{5^{-2}} = \\frac{\\frac{1}{2^2}}{\\frac{1}{5^2}} = \\frac{1}{4} \\times 25 = \\frac{25}{4} \\) ### Vocabulaire * **Puissance:** Résultat de la multiplication d'un nombre par lui-même plusieurs fois (ex: \\( a^n \\)). * **Exposant:** Le petit nombre en haut à droite qui indique combien de fois la base est multipliée par elle-même (ex: \\( n \\) dans \\( a^n \\)). Peut être positif, négatif ou nul. * **Base:** Le nombre qui est multiplié par lui-même (ex: \\( a \\) dans \\( a^n \\)). * **Entier relatif:** Un nombre entier qui peut être positif, négatif ou nul (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). * **Inverse:** L'inverse d'un nombre \\( x \\) est \\( \\frac{1}{x} \\) (pour \\( x \\neq 0 \\)). ### Exemples d'application 1. **Calculer:** * a) \\( 4^3 = 4 \\times 4 \\times 4 = 64 \\) * b) \\( (-3)^4 = (-3) \\times (-3) \\times (-3) \\times (-3) = 81 \\) * c) \\( 6^0 = 1 \\) * d) \\( 3^{-2} = \\frac{1}{3^2} = \\frac{1}{9} \\) * e) \\( 10^{-4} = 0.0001 \\) * f) \\( (\\frac{1}{2})^{-3} = \\frac{1^{-3}}{2^{-3}} = \\frac{\\frac{1}{1^3}}{\\frac{1}{2^3}} = \\frac{1}{\\frac{1}{8}} = 8 \\) 2. **Simplifier les expressions suivantes:** * a) \\( 7^5 \\times 7^{-8} = 7^{5-8} = 7^{-3} = \\frac{1}{7^3} = \\frac{1}{343} \\) * b) \\( \\frac{x^7}{x^{-3}} = x^{7-(-3)} = x^{7+3} = x^{10} \\) (avec \\( x \\neq 0 \\)) * c) \\( (y^{-2})^4 = y^{(-2) \\times 4} = y^{-8} = \\frac{1}{y^8} \\) (avec \\( y \\neq 0 \\)) * d) \\( (2a^2)^3 \\times a^{-5} = 2^3 \\times (a^2)^3 \\times a^{-5} = 8 \\times a^{2 \\times 3} \\times a^{-5} = 8 \\times a^6 \\times a^{-5} = 8 \\times a^{6-5} = 8a \\) ### Exercices 1. Calculer les valeurs suivantes: * a) \\( 5^3 \\) * b) \\( (-6)^2 \\) * c) \\( 8^0 \\) * d) \\( 4^{-2} \\) * e) \\( 10^{-5} \\) * f) \\( (\\frac{2}{3})^{-2} \\) 2. Simplifier les expressions suivantes (donner le résultat sous forme de puissance): * a) \\( a^7 \\times a^{-4} \\) * b) \\( \\frac{b^9}{b^3} \\) * c) \\( (c^{-5})^{-2} \\) * d) \\( (2x^3)^4 \\) * e) \\( \\frac{10^2 \\times 10^{-6}}{10^3} \\) ### Devoir 1. Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible ou de nombre entier: * a) \\( (\\frac{3}{4})^{-3} \\) * b) \\( -2^4 \\) * c) \\( (-2)^4 \\) * d) \\( (0.5)^{-2} \\) 2. Écrire les nombres suivants sous la forme \\( a^n \\) où \\( a \\) est un entier et \\( n \\) est un entier relatif: * a) \\( \\frac{1}{27} \\) * b) \\( 125 \\) * c) \\( 0.0001 \\) * d) \\( \\frac{1}{1000000} \\) 3. Simplifier les expressions suivantes au maximum: * a) \\( (x^3 y^{-2})^3 \\times (x^{-1} y^4)^2 \\) * b) \\( \\frac{(a^2 b)^3}{(a^{-1} b^2)^2} \\) ### Résumé Dans cette leçon, nous avons approfondi notre compréhension des puissances en incluant les exposants entiers relatifs. Nous avons revu la définition d'une puissance à exposant positif et introduit la définition d'une puissance à exposant négatif: \\( a^{-n} = \\frac{1}{a^n} \\). Nous avons également réaffirmé l'importance des règles de calcul sur les puissances, qui s'appliquent de manière cohérente que les exposants soient positifs, négatifs ou nuls. Maîtriser ces règles est essentiel pour simplifier des expressions et résoudre des problèmes en mathématiques.