Angles inscrits et polygones réguliers

# Angles inscrits et polygones réguliers ## IMesure d’un angle inscrit dans un cercle ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les angles inscrits ! Dans le monde de la géométrie, les cercles regorgent de propriétés fascinantes, et les angles qu'ils contiennent sont au cœur de nombreuses d'entre elles. Comprendre les angles inscrits est essentiel pour analyser des figures complexes, calculer des mesures d'angles inconnues et même pour appréhender la construction de polygones réguliers. Aujourd'hui, nous allons explorer ce qu'est un angle inscrit, comment il se relie à l'angle au centre associé, et quelles sont les conséquences importantes de cette relation. ### Concepts Clés #### 1. Angle au centre Un **angle au centre** est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés sont des rayons du cercle. L'arc de cercle situé entre les côtés de l'angle est appelé l'**arc intercepté** ou **arc associé**. * **Définition:** Soit un cercle \( \mathcal{C} \) de centre \( O \) et deux points distincts \( A \) et \( B \) sur \( \mathcal{C} \). L'angle \( \widehat{AOB} \) est un angle au centre. * **Mesure:** La mesure d'un angle au centre est égale à la mesure de l'arc qu'il intercepte (si l'unité est le degré pour les deux). #### 2. Angle inscrit Un **angle inscrit** est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle. * **Définition:** Soit un cercle \( \mathcal{C} \) et trois points distincts \( A, B, M \) sur \( \mathcal{C} \). L'angle \( \widehat{AMB} \) est un angle inscrit. L'arc \( \overarc{AB} \) qui ne contient pas le point \( M \) est appelé l'**arc intercepté** ou **arc associé** par l'angle inscrit \( \widehat{AMB} \). #### 3. Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre Le lien entre l'angle inscrit et l'angle au centre est l'une des propriétés les plus importantes des cercles. * **Énoncé du théorème:** Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre. * Soit un cercle de centre \( O \) et trois points \( A, B, M \) sur ce cercle. * Si l'angle inscrit \( \widehat{AMB} \) et l'angle au centre \( \widehat{AOB} \) interceptent le même arc \( \overarc{AB} \), alors: \[ \text{mes}(\widehat{AMB}) = \frac{1}{2} \times \text{mes}(\widehat{AOB}) \] #### 4. Cas particuliers et conséquences ##### 4.1. Angles inscrits interceptant le même arc * **Propriété:** Tous les angles inscrits qui interceptent le même arc dans un cercle ont la même mesure. * Si \( \widehat{AMB} \) et \( \widehat{ANB} \) sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc \( \overarc{AB} \) dans un cercle, alors \( \text{mes}(\widehat{AMB}) = \text{mes}(\widehat{ANB}) \). ##### 4.2. Angle inscrit dans un demi-cercle * **Propriété:** Si un angle inscrit intercepte un demi-cercle, alors cet angle est un angle droit (il mesure \( 90^ ext{o} \)). * Si \( \left[ AB \right] \) est un diamètre d'un cercle et \( M \) est un point sur ce cercle distinct de \( A \) et \( B \), alors le triangle \( AMB \) est rectangle en \( M \). L'angle \( \widehat{AMB} \) mesure donc \( 90^ ext{o} \). ### Vocabulaire * **Cercle:** Ensemble de tous les points équidistants d'un point fixe appelé le centre. * **Centre (d'un cercle):** Le point fixe à égale distance de tous les points du cercle. * **Rayon:** Segment reliant le centre à un point du cercle. Sa longueur est la distance du centre au cercle. * **Corde:** Segment reliant deux points distincts d'un cercle. * **Diamètre:** Corde passant par le centre du cercle. C'est la plus longue corde. * **Arc de cercle:** Portion de cercle délimitée par deux points. * **Angle au centre:** Angle dont le sommet est le centre du cercle. * **Angle inscrit:** Angle dont le sommet est sur le cercle. * **Demi-cercle:** Un arc de cercle qui correspond à la moitié du cercle, délimité par les extrémités d'un diamètre. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul d'un angle inscrit Soit un cercle de centre \( O \). Les points \( A, B, M \) sont sur le cercle. L'angle au centre \( \widehat{AOB} \) mesure \( 70^ ext{o} \). Quel est la mesure de l'angle inscrit \( \widehat{AMB} \) qui intercepte le même arc \( \overarc{AB} \)? * **Solution:** D'après le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre, \( \text{mes}(\widehat{AMB}) = \frac{1}{2} \times \text{mes}(\widehat{AOB}) \). \( \text{mes}(\widehat{AMB}) = \frac{1}{2} \times 70^ ext{o} = 35^ ext{o} \). #### Exemple 2: Calcul d'un angle au centre Dans un cercle, l'angle inscrit \( \widehat{CPD} \) mesure \( 45^ ext{o} \). Quel est la mesure de l'angle au centre \( \widehat{COD} \) qui intercepte le même arc \( \overarc{CD} \)? * **Solution:** Puisque \( \text{mes}(\widehat{CPD}) = \frac{1}{2} \times \text{mes}(\widehat{COD}) \), nous avons \( \text{mes}(\widehat{COD}) = 2 \times \text{mes}(\widehat{CPD}) \). \( \text{mes}(\widehat{COD}) = 2 \times 45^ ext{o} = 90^ ext{o} \). #### Exemple 3: Angle dans un demi-cercle Un triangle \( EFG \) est inscrit dans un cercle, et le segment \( \left[ EF \right] \) est un diamètre du cercle. Quelle est la nature du triangle \( EFG \)? * **Solution:** Puisque le côté \( \left[ EF \right] \) est un diamètre, l'angle \( \widehat{EGF} \) est un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle. D'après la propriété des angles inscrits interceptant un demi-cercle, \( \text{mes}(\widehat{EGF}) = 90^ ext{o} \). Par conséquent, le triangle \( EFG \) est un triangle rectangle en \( G \). ### Exercices 1. Soit un cercle de centre \( O \) et les points \( A, B, C, D \) sur ce cercle. a. Nommez un angle au centre. b. Nommez un angle inscrit. c. Si \( \text{mes}(\widehat{AOB}) = 80^ ext{o} \), quelle est la mesure de l'angle inscrit \( \widehat{ACB} \) qui intercepte l'arc \( \overarc{AB} \)? d. Si \( \text{mes}(\widehat{ADC}) = 65^ ext{o} \), quelle est la mesure de l'angle au centre \( \widehat{AOC} \) qui intercepte l'arc \( \overarc{AC} \)? 2. Dans un cercle, trois points \( P, Q, R \) sont placés de telle sorte que \( \text{mes}(\widehat{PRQ}) = 40^ ext{o} \). Le point \( S \) est aussi sur le cercle. Si \( \widehat{PSQ} \) intercepte le même arc que \( \widehat{PRQ} \), quelle est la mesure de \( \widehat{PSQ} \)? 3. On considère un cercle de centre \( O \) et un point \( M \) sur ce cercle. Soit \( \left[ AB \right] \) un diamètre du cercle. Que pouvez-vous dire de l'angle \( \widehat{AMB} \)? Justifiez votre réponse. ### Devoir à la maison 1. Dessinez un cercle de rayon \( 4 \text{ cm} \). Placez trois points \( A, B, C \) sur ce cercle. Dessinez l'angle au centre \( \widehat{AOB} \) et l'angle inscrit \( \widehat{ACB} \). Mesurez ces angles avec un rapporteur. Comparez vos mesures avec le théorème de l'angle inscrit. 2. Dans un cercle, l'angle au centre \( \widehat{RST} \) n'existe pas. Corrigez l'erreur de vocabulaire et reformulez l'énoncé. Ensuite, si l'angle inscrit \( \widehat{RST} \) mesure \( 110^ ext{o} \), quel est la mesure de l'angle au centre qui intercepte l'arc associé ? 3. Un quadrilatère \( ABCD \) est inscrit dans un cercle (on dit qu'il est cyclique). Si \( \text{mes}(\widehat{BAD}) = 85^ ext{o} \) et \( \text{mes}(\widehat{ABC}) = 70^ ext{o} \), calculez les mesures des angles \( \widehat{BCD} \) et \( \widehat{ADC} \). (Indice : Considérez les arcs interceptés par les angles opposés). ### Résumé Nous avons vu aujourd'hui que les angles inscrits et les angles au centre sont des éléments fondamentaux de la géométrie du cercle. Un angle au centre a son sommet au centre du cercle, tandis qu'un angle inscrit a son sommet sur le cercle. La relation clé à retenir est que **la mesure d'un angle inscrit est la moitié de celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc**. De plus, nous avons appris que tous les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux, et qu'un angle inscrit dans un demi-cercle est toujours un angle droit. Ces propriétés sont très utiles pour résoudre des problèmes de géométrie impliquant des cercles et des polygones. Maîtriser ces concepts vous ouvrira de nouvelles portes dans l'étude des figures géométriques. ## Quadrilatère inscriptible dans un cercle ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les quadrilatères inscriptibles. Nous allons explorer une propriété fascinante de certains quadrilatères : la capacité d'avoir tous leurs sommets situés sur un même cercle. Cette propriété est étroitement liée aux concepts d'angles inscrits et d'angles au centre que nous avons déjà étudiés. Comprendre les quadrilatères inscriptibles est essentiel pour résoudre de nombreux problèmes en géométrie plane. ### Concepts clés #### Rappel : Angles inscrits et Angles au centre Un **angle inscrit** est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle en deux autres points. L'arc de cercle situé entre les points d'intersection des côtés avec le cercle est appelé l'arc intercepté par l'angle inscrit. Un **angle au centre** est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés coupent le cercle en deux points. L'arc de cercle situé entre ces points est le même que celui intercepté par l'angle inscrit correspondant. #### Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre * La mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Si \( \alpha \) est l'angle inscrit et \( \beta \) l'angle au centre interceptant le même arc, alors \[ \alpha = \frac{1}{2} \beta \] * Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. #### Quadrilatère inscriptible Un **quadrilatère inscriptible** (ou quadrilatère cyclique) est un quadrilatère dont les quatre sommets appartiennent à un même cercle. Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au quadrilatère. #### Propriétés des quadrilatères inscriptibles La propriété la plus importante d'un quadrilatère inscriptible concerne ses angles opposés : * **Théorème :** Si un quadrilatère est inscriptible dans un cercle, alors la somme des mesures de ses angles opposés est égale à \( 180^\circ \). Autrement dit, si ABCD est un quadrilatère inscriptible, alors : \[ \widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ \] \[ \widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ \] * **Réciproque :** Si, dans un quadrilatère, la somme des mesures de deux angles opposés est égale à \( 180^\circ \), alors ce quadrilatère est inscriptible dans un cercle. * **Conséquence :** Si un quadrilatère est inscriptible, ses angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux. Par exemple, \( \widehat{ADB} = \widehat{ACB} \) et \( \widehat{BAC} = \widehat{BDC} \). ### Vocabulaire * **Cercle circonscrit :** Un cercle qui passe par tous les sommets d'un polygone. * **Quadrilatère inscriptible (ou cyclique) :** Un quadrilatère dont les quatre sommets sont situés sur un même cercle. * **Angle inscrit :** Angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle. * **Angle au centre :** Angle dont le sommet est le centre du cercle. * **Arc de cercle :** Portion du cercle délimitée par deux points. * **Sommets opposés :** Deux sommets d'un quadrilatère qui ne sont pas adjacents. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul d'angles Soit ABCD un quadrilatère inscriptible tel que \( \widehat{A} = 70^\circ \) et \( \widehat{B} = 85^\circ \). Déterminez les mesures des angles \( \widehat{C} \) et \( \widehat{D} \). **Solution :** Puisque ABCD est inscriptible, la somme des angles opposés est \( 180^\circ \). * Pour l'angle \( \widehat{C} \) (opposé à \( \widehat{A} \)) : \( \widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} \) \( \widehat{C} = 180^\circ - 70^\circ \) \( \widehat{C} = 110^\circ \) * Pour l'angle \( \widehat{D} \) (opposé à \( \widehat{B} \)) : \( \widehat{D} = 180^\circ - \widehat{B} \) \( \widehat{D} = 180^\circ - 85^\circ \) \( \widehat{D} = 95^\circ \) #### Exemple 2 : Vérification d'inscriptibilité Considérons un quadrilatère EFGH avec les angles suivants : \( \widehat{E} = 60^\circ \), \( \widehat{F} = 120^\circ \), \( \widehat{G} = 100^\circ \), \( \widehat{H} = 80^\circ \). Ce quadrilatère est-il inscriptible ? **Solution :** Vérifions la somme des angles opposés : * \( \widehat{E} + \widehat{G} = 60^\circ + 100^\circ = 160^\circ \) * \( \widehat{F} + \widehat{H} = 120^\circ + 80^\circ = 200^\circ \) Puisque \( \widehat{E} + \widehat{G} \neq 180^\circ \) et \( \widehat{F} + \widehat{H} \neq 180^\circ \), le quadrilatère EFGH n'est pas inscriptible dans un cercle. ### Exercices 1. Soit KLMN un quadrilatère inscriptible. Si \( \widehat{K} = 105^\circ \) et \( \widehat{M} = x \), quelle est la valeur de \( x \) ? 2. Un quadrilatère PQRS a les angles suivants : \( \widehat{P} = 92^\circ \), \( \widehat{Q} = 88^\circ \), \( \widehat{R} = 88^\circ \), \( \widehat{S} = 92^\circ \). Est-il inscriptible ? Justifiez votre réponse. 3. Dans un cercle de centre O, on considère un quadrilatère inscriptible ABCD. L'angle \( \widehat{AOB} \) est un angle au centre qui mesure \( 110^\circ \). Quelle est la mesure de l'angle inscrit \( \widehat{ACB} \) ? Et de \( \widehat{ADB} \) ? ### Devoir à la maison 1. **Démonstration :** Démontrez que si un trapèze est inscriptible dans un cercle, alors c'est un trapèze isocèle. (Indice : utilisez les propriétés des angles opposés et des angles alternes-internes/correspondants). 2. Soit un quadrilatère ABCD dont les diagonales se coupent en I. Si \( \widehat{ADB} = 35^\circ \), \( \widehat{DAC} = 45^\circ \), \( \widehat{BCA} = 35^\circ \) et \( \widehat{DBC} = 40^\circ \). Le quadrilatère ABCD est-il inscriptible ? Pourquoi ? 3. Dessinez un cercle et un quadrilatère inscriptible. Mesurez ses angles avec un rapporteur et vérifiez la propriété des angles opposés. Répétez l'opération avec un quadrilatère non inscriptible. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris qu'un **quadrilatère inscriptible** est un quadrilatère dont tous les sommets se trouvent sur un même cercle. La propriété clé de ces quadrilatères est que la **somme de leurs angles opposés est égale à \( 180^\circ \)**. La réciproque est également vraie : si la somme des angles opposés d'un quadrilatère est \( 180^\circ \), alors il est inscriptible. Nous avons utilisé ces propriétés pour calculer des angles manquants et pour déterminer si un quadrilatère est inscriptible ou non. Ces connaissances sont fondamentales pour la résolution de problèmes de géométrie euclidienne. ## Construction des polygones réguliers ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer le monde fascinant des polygones réguliers. Un polygone régulier est une figure géométrique dont tous les côtés et tous les angles sont égaux. Comprendre comment construire ces formes est fondamental en géométrie et a des applications dans de nombreux domaines, de l'architecture à l'art. Nous verrons comment les angles au centre jouent un rôle crucial dans leur construction et découvrirons des méthodes spécifiques pour les dessiner précisément. ### Concepts Clés #### Définition d'un Polygone Régulier Un polygone est dit *régulier* si toutes les conditions suivantes sont remplies : * Tous ses côtés ont la même longueur. * Tous ses angles intérieurs ont la même mesure. Exemples : Le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier, l'hexagone régulier, etc. #### Le Cercle Circonscrit Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle, appelé son *cercle circonscrit*. Les sommets du polygone se trouvent tous sur ce cercle. Le centre du polygone est le centre de ce cercle. Le rayon du cercle circonscrit est la distance du centre à n'importe quel sommet du polygone. #### Angles et Polygones Réguliers ##### Angle au Centre L'angle au centre d'un polygone régulier à \( n \) côtés est l'angle formé par deux rayons consécutifs du cercle circonscrit, joignant le centre à deux sommets adjacents. Sa mesure est donnée par la formule : \[ \text{Angle au centre} = \frac{360^\circ}{n} \] Par exemple : * Pour un triangle équilatéral (\( n=3 \)), l'angle au centre est \( \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \). * Pour un carré (\( n=4 \)), l'angle au centre est \( \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ \). * Pour un hexagone (\( n=6 \)), l'angle au centre est \( \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \). ##### Angle Intérieur L'angle intérieur d'un polygone régulier à \( n \) côtés peut être calculé par la formule : \[ \text{Angle intérieur} = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \] Par exemple, pour un hexagone (\( n=6 \)), l'angle intérieur est \( \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \). #### Méthodes de Construction ##### Construction Générale à l'aide d'un Rapporteur et d'un Compas Cette méthode est applicable pour construire n'importe quel polygone régulier, connaissant le nombre de ses côtés (\( n \)) et le rayon de son cercle circonscrit (\( R \)) : 1. Tracez un cercle de centre O et de rayon \( R \). Ce sera le cercle circonscrit. 2. Calculez l'angle au centre \( \alpha = \frac{360^\circ}{n} \). 3. Placez un premier point A sur le cercle (ce sera le premier sommet du polygone). 4. À partir du point O, tracez un rayon OA. 5. En utilisant un rapporteur, mesurez l'angle \( \alpha \) à partir du rayon OA. Tracez un nouveau rayon qui coupe le cercle en un point B. Le point B est le deuxième sommet. 6. Répétez l'étape 5, en mesurant l'angle \( \alpha \) à partir du dernier rayon tracé, jusqu'à avoir tous les \( n \) sommets sur le cercle. 7. Reliez les sommets consécutifs par des segments de droite pour former le polygone régulier. ##### Construction Spécifique de l'Hexagone Régulier L'hexagone régulier est particulier car son côté est égal au rayon de son cercle circonscrit. Ceci simplifie grandement sa construction : 1. Tracez un cercle de centre O et de rayon \( R \). 2. Placez un point A n'importe où sur le cercle (ce sera le premier sommet). 3. Avec votre compas ouvert au rayon \( R \), placez la pointe sèche en A et tracez un arc qui coupe le cercle en un nouveau point B. 4. Déplacez la pointe sèche du compas en B (sans changer l'écartement) et tracez un autre arc qui coupe le cercle en un point C. 5. Répétez cette opération jusqu'à ce que vous ayez marqué six points sur le cercle. Le sixième point devrait coïncider avec A (ou être très proche si la construction est précise). 6. Reliez les six points consécutifs par des segments de droite pour former l'hexagone régulier. ##### Construction Spécifique du Carré 1. Tracez un cercle de centre O et de rayon \( R \). 2. Tracez un diamètre horizontal passant par O, marquant les points A et C sur le cercle. 3. Tracez un deuxième diamètre passant par O et perpendiculaire au premier (vous pouvez utiliser une équerre ou construire une médiatrice). Marquer les points B et D sur le cercle. 4. Les points A, B, C et D sont les quatre sommets du carré. Reliez-les pour former le carré. ##### Construction Spécifique du Triangle Équilatéral 1. Tracez un cercle de centre O et de rayon \( R \). 2. Tracez un diamètre passant par O. Marquez les points A et D sur le cercle. 3. Avec votre compas ouvert au rayon \( R \), placez la pointe sèche en D (une extrémité du diamètre) et tracez un arc qui coupe le cercle en deux points, B et C. 4. Les points A, B et C sont les trois sommets du triangle équilatéral. Reliez-les. ### Vocabulaire * **Polygone régulier :** Figure plane dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles intérieurs ont la même mesure. * **Cercle circonscrit :** Cercle passant par tous les sommets d'un polygone. Le polygone est dit *inscrit* dans le cercle. * **Angle au centre :** Angle formé par deux rayons consécutifs du cercle circonscrit d'un polygone régulier. * **Sommet :** Point d'intersection de deux côtés d'un polygone. * **Côté :** Segment de droite reliant deux sommets consécutifs d'un polygone. * **Rayon (du cercle circonscrit) :** Distance du centre du cercle à l'un des sommets du polygone. ### Exemples #### Exemple 1 : Construction d'un Hexagone Régulier (rayon \( R=4 \) cm) 1. Tracez un cercle de rayon 4 cm et marquez son centre O. 2. Placez un point A sur le cercle. 3. Avec un compas réglé sur 4 cm (le rayon), placez la pointe en A et marquez B sur le cercle. 4. Placez la pointe en B et marquez C sur le cercle. 5. Continuez ainsi pour les points D, E, F. 6. Reliez A-B, B-C, C-D, D-E, E-F, F-A pour obtenir l'hexagone. #### Exemple 2 : Construction d'un Octogone Régulier (\( n=8 \)) en utilisant un Rapporteur 1. Calculez l'angle au centre : \( \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \). 2. Tracez un cercle de rayon de votre choix (par exemple, 5 cm) et marquez son centre O. 3. Placez un point A sur le cercle. 4. Avec le rapporteur centré en O, mesurez et marquez des angles de \( 45^\circ \), \( 90^\circ \), \( 135^\circ \), etc., à partir du rayon OA, jusqu'à avoir 8 points sur le cercle. 5. Reliez les 8 points consécutifs pour former l'octogone. ### Exercices 1. Calculez l'angle au centre et l'angle intérieur d'un pentagone régulier (\( n=5 \)). 2. Utilisez un rapporteur et un compas pour construire un pentagone régulier de rayon 5 cm. 3. Décrivez les étapes de construction d'un triangle équilatéral de côté 6 cm, en utilisant seulement un compas et une règle (sans rapporteur). 4. Un polygone régulier a un angle au centre de \( 30^\circ \). Combien de côtés a-t-il ? Quel est son nom ? ### Devoir 1. Construisez un dodécagone régulier (polygone à 12 côtés) de rayon 6 cm. Détaillez toutes les étapes de votre construction. 2. Recherchez et expliquez pourquoi le côté d'un hexagone régulier est égal au rayon de son cercle circonscrit. Prouvez-le à l'aide des propriétés des triangles. 3. Concevez un motif géométrique complexe en utilisant au moins trois polygones réguliers différents que vous avez construits (par exemple, un carré inscrit dans un cercle, puis un hexagone inscrit dans le même cercle). ### Résumé Nous avons vu que la construction des polygones réguliers repose sur une compréhension claire de leur définition et, surtout, de la relation avec leur cercle circonscrit. L'angle au centre, calculé par la formule \( \frac{360^\circ}{n} \), est l'outil principal pour positionner les sommets sur le cercle. Tandis qu'une méthode générale permet de construire tout polygone régulier à l'aide d'un rapporteur et d'un compas, des cas spécifiques comme l'hexagone, le carré et le triangle équilatéral bénéficient de constructions simplifiées. La maîtrise de ces techniques est essentielle pour l'étude approfondie de la géométrie. ## Angles inscrits définis par une demi-tangente ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les angles inscrits et, plus spécifiquement, sur les angles définis par une demi-tangente et une corde dans un cercle. Vous avez déjà étudié les angles inscrits et les angles au centre. Aujourd'hui, nous allons découvrir une propriété fascinante qui lie un angle formé par une tangente et une corde à ces concepts, ce qui est fondamental pour la résolution de problèmes en géométrie et l'étude des polygones réguliers. ### Concepts Clés #### Rappel sur les Angles Inscrits Un **angle inscrit** est un angle dont le sommet est situé sur un cercle et dont les côtés sont des cordes de ce cercle. * **Théorème de l'Angle Inscrit et de l'Angle au Centre**: La mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Si \( ext{M} \) est un point sur le cercle, et \( ext{A} \) et \( ext{B} \) sont deux autres points sur le cercle, alors l'angle inscrit \( \widehat{AMB} \) intercepte l'arc \( \stackrel{\frown}{AB} \). Si \( \text{O} \) est le centre du cercle, alors l'angle au centre \( \widehat{AOB} \) intercepte le même arc. La relation est la suivante : \[ \widehat{AMB} = \frac{1}{2} \widehat{AOB} \] #### Angle Formé par une Demi-Tangente et une Corde Considérons un cercle \( \mathcal{C} \) de centre \( \text{O} \) et un point \( \text{A} \) sur ce cercle. Soit \( \Delta \) une droite tangente au cercle en \( \text{A} \). Soit \( \text{B} \) un autre point sur le cercle, de sorte que \( [AB] \) soit une corde. L'angle formé par la demi-droite \( [AT) \) (où \( \text{T} \) est un point sur la tangente \( \Delta \) distinct de \( \text{A} \)) et la corde \( [AB] \) est appelé **angle défini par une demi-tangente et une corde**. * **Théorème Fondamental**: La mesure de l'angle formé par une demi-tangente et une corde, en un point du cercle, est égale à la moitié de la mesure de l'arc de cercle intercepté par la corde et la demi-tangente. Plus précisément, si \( (AT) \) est une tangente au cercle en \( \text{A} \) et \( [AB] \) est une corde, alors l'angle \( \widehat{TAB} \) (ou \( \widehat{TA'B} \) si \( A' \) est l'autre côté de la tangente) est égal à la moitié de la mesure de l'arc \( \stackrel{\frown}{AB} \) (l'arc non intercepté par la demi-tangente de l'autre côté). Cet angle est aussi égal à tout angle inscrit qui intercepte le même arc. \[ \widehat{TAB} = \frac{1}{2} \text{mes}(\stackrel{\frown}{AB}) \] De plus, si \( \text{C} \) est un point sur le cercle appartenant à l'arc \( \stackrel{\frown}{AB} \) qui n'est pas intercepté par la demi-tangente \( [AT) \), alors : \[ \widehat{TAB} = \widehat{ACB} \] #### Conséquences * Ce théorème établit un lien direct entre les angles tangents et les angles inscrits, permettant de transférer des propriétés de l'un à l'autre. * Il est particulièrement utile pour démontrer des propriétés d'égalité d'angles ou pour calculer des mesures d'angles dans des configurations complexes impliquant des cercles et des tangentes. ### Vocabulaire * **Cercle** : Ensemble de tous les points équidistants d'un point central. * **Corde** : Segment de droite reliant deux points d'un cercle. * **Arc de cercle** : Partie d'un cercle délimitée par deux points sur le cercle. * **Angle inscrit** : Angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle. * **Angle au centre** : Angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés sont des rayons. * **Tangente (à un cercle)** : Droite qui touche un cercle en un seul point, appelé point de tangence. * **Demi-tangente** : Portion de la tangente à partir du point de tangence, allant dans une direction donnée. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul d'un angle Soit un cercle de centre \( \text{O} \). La droite \( (AT) \) est tangente au cercle en \( \text{A} \). Soit \( \text{B} \) et \( \text{C} \) deux points sur le cercle tels que \( \widehat{ACB} = 35^\circ \). Calculez la mesure de l'angle \( \widehat{TAB} \). **Solution**: D'après le théorème de l'angle formé par une demi-tangente et une corde, l'angle \( \widehat{TAB} \) est égal à l'angle inscrit \( \widehat{ACB} \) qui intercepte le même arc \( \stackrel{\frown}{AB} \). Donc, \( \widehat{TAB} = \widehat{ACB} = 35^\circ \). #### Exemple 2: Démontrer une égalité d'angles Soient deux cercles \( \mathcal{C}_1 \) et \( \mathcal{C}_2 \) qui se coupent en \( \text{A} \) et \( \text{B} \). La droite \( (MN) \) est tangente à \( \mathcal{C}_1 \) en \( \text{A} \). Démontrez que \( \widehat{MAN} = \widehat{ACB} \) pour tout point \( \text{C} \) sur \( \mathcal{C}_1 \) n'appartenant pas à l'arc \( \stackrel{\frown}{AB} \) du côté de la tangente \( (AM) \). **Solution**: Dans le cercle \( \mathcal{C}_1 \): * L'angle \( \widehat{MAB} \) est un angle formé par la demi-tangente \( [AM) \) et la corde \( [AB] \). * L'angle \( \widehat{ACB} \) est un angle inscrit qui intercepte le même arc \( \stackrel{\frown}{AB} \). D'après le théorème, nous avons \( \widehat{MAB} = \widehat{ACB} \). (Note: Si \( \widehat{MAN} \) était la question, cela dépendrait de quel arc est intercepté. Ici, on prend \( \widehat{MAB} \) comme angle tangent-corde.) ### Exercices 1. Soit un cercle. Une droite \( (AT) \) est tangente au cercle en \( \text{A} \). Soit \( \text{B} \) un point sur le cercle tel que la mesure de l'arc \( \stackrel{\frown}{AB} \) est de \( 120^\circ \). Quelle est la mesure de l'angle \( \widehat{TAB} \)? 2. Dans un cercle, la corde \( [AB] \) a pour longueur le rayon du cercle. Calculez l'angle formé par la tangente en \( \text{A} \) et la corde \( [AB] \). 3. Dessinez un cercle, une tangente en un point \( \text{A} \) et une corde \( [AB] \). Placez un point \( \text{C} \) sur le cercle. Démontrez que si \( \widehat{TAB} = \widehat{CBA} \), alors \( [AC] \) est parallèle à la tangente \( (AT) \). ### Devoirs 1. Soit un cercle \( \mathcal{C} \) de centre \( \text{O} \). \( (AT) \) est la tangente en \( \text{A} \) et \( [AB] \) est une corde. Démontrez que \( \widehat{TAB} = \widehat{AOB} / 2 \). 2. Soient deux cercles tangents extérieurement en un point \( \text{A} \). Une droite commune \( \mathcal{D} \) passant par \( \text{A} \) coupe les cercles en \( \text{B} \) et \( \text{C} \) respectivement. Démontrez que les tangentes aux cercles en \( \text{B} \) et \( \text{C} \) sont parallèles. 3. Dans un cercle, \( [AB] \) est un diamètre. \( (AT) \) est la tangente en \( \text{A} \). Soit \( \text{C} \) un point sur le cercle. Démontrez que \( \widehat{TAC} = \widehat{ABC} \). ### Résumé Cette leçon nous a permis d'explorer la relation cruciale entre les angles formés par une demi-tangente et une corde et les angles inscrits dans un cercle. Nous avons appris que l'angle entre une demi-tangente et une corde est égal à la moitié de l'arc intercepté par cette corde, et qu'il est également égal à tout angle inscrit qui intercepte le même arc. Cette propriété est un outil puissant pour résoudre des problèmes de géométrie et comprendre les propriétés angulaires des figures inscrites dans un cercle.