ORDONNANCEMENT DES TRAVAUX DE MAINTENANCE (partie 3/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de cette leçon, l’élève sera capable de : - expliquer le principe du diagramme de PERT (Program Evaluation and Review Technique) et son intérêt dans l’ordonnancement des travaux de maintenance ; - calculer les temps moyens (TE) et les variances (σ²) des activités à partir des estimations optimiste, la plus vraisemblable et pessimiste ; - construire le réseau PERT d’un projet simple, identifier le chemin critique et déterminer la durée totale du projet ; - interpréter les résultats pour proposer un planning de maintenance réaliste au sein d’une entreprise camerounaise (atelier, chantier ou service technique). **Prérequis** : notions de base en gestion de projet (activités, dépendances, durée), lecture de tableaux simples, maîtrise des opérations arithmétiques de base et du pourcentage. --- ### Introduction contextualisée Dans les entreprises de maintenance au Cameroun, qu’il s’agisse d’une usine agroalimentaire à Douala, d’un centre de santé à Yaoundé ou d’un chantier de construction à Bafoussam, les responsables doivent planifier des interventions qui s’enchaînent souvent selon des contraintes techniques et de disponibilité des ressources. Le diagramme de PERT, développé dans les années 1950 pour le programme Polaris de la marine américaine, permet d’estimer la durée d’un projet lorsque les temps d’exécution sont incertains. Il est particulièrement adapté aux travaux de maintenance où les pannes, les délais d’approvisionnement en pièces ou les conditions climatiques peuvent varier. Cette leçon présente le fonctionnement du PERT, les calculs associés et son application concrète à un scénario de maintenance d’une ligne de production. --- ## I. Diagramme de PERT ### A. Principes et vocabulaire du PERT Le PERT représente un projet sous forme de graphe orienté où les nœuds symbolisent les événements (début ou fin d’une activité) et les arcs représentent les activités elles‑mêmes. Chaque activité est caractérisée par trois estimations de temps : - **tₒ** : temps optimiste (scenario le plus favorable) ; - **tₘ** : temps le plus vraisemblable (scenario le plus probable) ; - **tₚ** : temps pessimiste (scenario le plus défavorable). > **Temps moyen (TE)** d’une activité : > \[ > TE = \frac{tₒ + 4tₘ + tₚ}{6} > \] > Cette formule pondère davantage le temps le plus vraisemblable. > **Variance (σ²)** d’une activité : > \[ > σ^{2} = \left(\frac{tₚ - tₒ}{6}\right)^{2} > \] > Elle mesure l’incertitude associée à l’estimation du temps. Le **chemin critique** est la séquence d’activités dont la somme des TE est maximale ; toute variation sur ce chemin affecte directement la durée totale du projet. ### B. Étapes de construction d’un diagramme PERT 1. **Liste des activités** avec leurs prédécesseurs. 2. **Attribution des trois estimations** (tₒ, tₘ, tₚ) pour chaque activité, basée sur l’expérience de terrain ou les données historiques. 3. **Calcul du TE et de σ²** pour chaque activité à l’aide des formules ci‑dessus. 4. **Construction du réseau** : placer les événements (nœuds) et relier les activités selon les dépendances. 5. **Passage en avant (forward pass)** pour déterminer les dates au plus tôt (DU) de chaque événement. 6. **Passage en arrière (backward pass)** pour déterminer les dates au plus tard (DL) de chaque événement. 7. **Identification du chemin critique** : activités où DU = DL (marge nulle). 8. **Calcul de la durée totale du projet** (somme des TE sur le chemin critique) et de sa variance (somme des σ² des activités critiques). ### C. Exemple chiffré entièrement résolu Considérons la maintenance préventive d’une ligne de conditionnement d’une usine de boissons à Douala. Le projet comporte quatre activités principales : | Activité | Prédécesseur(s) | tₒ (j) | tₘ (j) | tₚ (j) | |----------|----------------|--------|--------|--------| | A : Vérification des convoyeurs | – | 2 | 3 | 5 | | B : Remplacement des filtres | A | 1 | 2 | 4 | | C : Étalonnage des doseurs | A | 3 | 4 | 6 | | D : Tests de fonctionnement | B, C | 2 | 3 | 5 | **Étape 1 – Calcul du TE et de σ²** - Activité A : TEₐ = (2 + 4·3 + 5)/6 = (2 + 12 + 5)/6 = 19/6 ≈ 3,17 j σ²ₐ = ((5‑2)/6)² = (3/6)² = (0,5)² = 0,25 j² - Activité B : TE_b = (1 + 4·2 + 4)/6 = (1 + 8 + 4)/6 = 13/6 ≈ 2,17 j σ²_b = ((4‑1)/6)² = (3/6)² = 0,25 j² - Activité C : TE_c = (3 + 4·4 + 6)/6 = (3 + 16 + 6)/6 = 25/6 ≈ 4,17 j σ²_c = ((6‑3)/6)² = (3/6)² = 0,25 j² - Activité D : TE_d = (2 + 4·3 + 5)/6 = (2 + 12 + 5)/6 = 19/6 ≈ 3,17 j σ²_d = ((5‑2)/6)² = 0,25 j² **Étape 2 – Passage en avant (dates au plus tôt)** - Événement de départ (0) : DU = 0 - Après A : DU_A = 0 + TEₐ = 3,17 j - Après B : DU_B = DU_A + TE_b = 3,17 + 2,17 = 5,34 j - Après C : DU_C = DU_A + TE_c = 3,17 + 4,17 = 7,34 j - Après D (attend B et C) : DU_D = max(DU_B, DU_C) + TE_d = 7,34 + 3,17 = 10,51 j **Étape 3 – Passage en arrière (dates au plus tard)** - Date limite du projet (DL) fixé à DU_D = 10,51 j (on suppose aucune contrainte extérieure). - DL_D = 10,51 j - DL_B = DL_D – TE_d = 10,51 – 3,17 = 7,34 j - DL_C = DL_D – TE_d = 10,51 – 3,17 = 7,34 j - DL_A = min(DL_B – TE_b, DL_C – TE_c) = min(7,34 – 2,17, 7,34 – 4,17) = min(5,17, 3,17) = 3,17 j **Étape 4 – Marges et chemin critique** - Marge A = DL_A – DU_A = 3,17 – 3,17 = 0 j (critique) - Marge B = DL_B – DU_B = 7,34 – 5,34 = 2,00 j - Marge C = DL_C – DU_C = 7,34 – 7,34 = 0 j (critique) - Marge D = DL_D – DU_D = 10,51 – 10,51 = 0 j (critique) Le chemin critique est donc **A → C → D** avec une durée totale du projet de **10,51 jours**. **Étape 5 – Variance du chemin critique** σ²_total = σ²ₐ + σ²_c + σ²_d = 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75 j² Écart‑type du projet σ_total = √0,75 ≈ 0,87 j On peut ainsi estimer, avec un niveau de confiance de 68 % (≈1σ), que la durée réelle du projet se situera entre 10,51 ± 0,87 j, soit entre 9,64 j et 11,38 j. > **Règle de sécurité** : lorsqu’une activité du chemin critique présente une variance élevée, il convient de prévoir des marges de temps ou des ressources supplémentaires (équipes de relève, pièces de rechange en stock) afin de réduire le risque de dépassement du planning. --- ## II. Application pratique au contexte camerounais Dans un centre de maintenance d’un hôpital régional à Garoua, le responsable doit planifier la révision annuelle du groupe électrogène de secours. Les activités sont : 1. Inspection visuelle (tₒ=1 j, tₘ=2 j, tₚ=4 j) 2. Test de charge (tₒ=2 j, tₘ=3 j, tₚ=5 j) 3. Remplacement de l’huile (tₒ=1 j, tₘ=2 j, tₚ=3 j) – dépend de l’inspection 4. Vérification du système de démarrage (tₒ=1 j, tₘ=2 j, tₚ=3 j) – dépend du test de charge 5. Mise en service et essais finaux (tₒ=1 j, tₘ=2 j, tₚ=4 j) – dépend du remplacement de l’huile et de la vérification du démarrage En appliquant la même procédure que ci‑dessus, l’élève obtient : - TE₁=2,00 j, σ²₁=0,25 - TE₂=3,00 j, σ²₂=0,25 - TE₃=2,00 j, σ²₃=0,04 - TE₄=2,00 j, σ²₄=0,04 - TE₅=2,17 j, σ²₅=0,25 Le chemin critique s’avère être **1 → 2 → 5** avec une durée totale de **7,17 jours** et une variance de **0,75 j²** (σ≈0,87 j). Cette analyse permet au responsable de prévoir une intervention d’une semaine, avec une journée de marge pour absorber les aléas (livraison tardive de l’huile, panne imprévue du banc de test). > **À retenir** : le PERT ne fournit pas une date fixe mais une répartition probabiliste qui aide à négocier les délais avec les fournisseurs et à justifier les besoins en heures supplémentaires auprès de la hiérarchie. --- ## Synthèse du chapitre - Le diagramme de PERT modélise un projet sous forme de graphe d’activités avec trois estimations de temps (optimiste, le plus vraisemblable, pessimiste). - Temps moyen : TE = (tₒ + 4tₘ + tₚ)/6. - Variance : σ² = ((tₚ – tₒ)/6)². - Le chemin critique est la séquence d’activités où la marge (DL – DU) est nulle ; sa durée détermine la durée totale du projet. - La variance du chemin critique permet d’estimer l’incertitude globale (σ_total = √Σσ²). - Application typique : planification de maintenances préventives ou correctives dans les ateliers, chantiers ou services techniques au Cameroun. - Utilité professionnelle : optimisation de l’allocation des ressources, justification des délais, réduction des risques de dépassement de planning. --- ## Glossaire - **Activité** : tâche consommant du temps et des ressources, représentée par un arc dans le réseau PERT. - **Événement** : point marquant le début ou la fin d’une ou plusieurs activités, représenté par un nœud. - **Temps optimiste (tₒ)** : durée la plus courte réalisable dans des conditions idéales. - **Temps le plus vraisemblable (tₘ)** : durée la plus probable sous les conditions normales. - **Temps pessimiste (tₚ)** : durée la plus longue pouvant être rencontrée en cas de difficultés importantes. - **Temps moyen (TE)** : estimation pondérée de la durée d’une activité (formule PERT). - **Variance (σ²)** : mesure de l’incertitude associée à l’estimation du temps d’une activité. - **Chemin critique** : séquence d’activités sans marge, dont la somme des TE définit la durée minimale du projet. - **Marge (ou flottant)** : différence entre la date au plus tard et la date au plus tôt d’un événement ; indique la flexibilité de planification. - **Forward pass** : calcul des dates au plus tôt en parcourant le réseau du début à la fin. - **Backward pass** : calcul des dates au plus tard en parcourant le réseau de la fin au début. - **σ_total** : écart‑type du projet, racine carrée de la somme des variances des activités du chemin critique. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Une équipe de maintenance doit réviser un compresseur d’air dans une usine de transformation du cacao à Buea. Les activités et leurs estimations (en jours) sont : | Activité | Prédécesseur | tₒ | tₘ | tₚ | |----------|--------------|----|----|----| | A : Démontage | – | 1 | 2 | 4 | | B : Nettoyage des pièces | A | 1 | 2 | 3 | | C : Contrôle des joints | A | 2 | 3 | 5 | | D : Remontage | B, C | 1 | 2 | 3 | | E : Essais de pression | D | 1 | 2 | 4 | **Calculez** le TE, la σ² de chaque activité, le chemin critique et la durée totale du projet. **Corrigé** - TEₐ = (1+4·2+4)/6 = 2,17 j ; σ²ₐ = ((4‑1)/6)² = 0,25 - TE_b = (1+4·2+3)/6 = 2,00 j ; σ²_b = ((3‑1)/6)² = 0,11 - TE_c = (2+4·3+5)/6 = 3,17 j ; σ²_c = ((5‑2)/6)² = 0,25 - TE_d = (1+4·2+3)/6 = 2,00 j ; σ²_d = ((3‑1)/6)² = 0,11 - TE_e = (1+4·2+4)/6 = 2,17 j ; σ²_e = ((4‑1)/6)² = 0,25 Passage en avant : DU_A=2,17 ; DU_B=4,17 ; DU_C=5,34 ; DU_D=max(DU_B,DU_C)+TE_d =5,34+2,00=7,34 ; DU_E=DU_D+TE_e=7,34+2,17=9,51 j. Passage en arrière (DL_E=9,51) : DL_D=9,51‑2,17=7,34 ; DL_C=DL_D‑TE_d=7,34‑2,00=5,34 ; DL_B=DL_D‑TE_d=5,34 ; DL_A=min(DL_B‑TE_b, DL_C‑TE_c)=min(5,34‑2,00,5,34‑3,17)=min(3,34,2,17)=2,17 j. Marges : A = 0 j (critique) ; B = DL_B‑DU_B=5,34‑4,17=1,17 j ; C = 0 j (critique) ; D = 0 j (critique) ; E = 0 j (critique). Chemin critique : **A → C → D → E** (ou A‑C‑D‑E, B n’est pas critique). Durée totale = DU_E = **9,51 jours**. Variance du chemin critique = σ²ₐ+σ²_c+σ²_d+σ²_e = 0,25+0,25+0,11+0,25 = 0,86 j² → σ_total≈0,93 j. --- ### Exercice 2 Dans un centre de santé de Ngaoundéré, la maintenance du groupe électrogène de secours comprend : 1. Contrôle du niveau d’huile (tₒ=0,5 j, tₘ=1 j, tₚ=2 j) 2. Test de la batterie (tₒ=0,5 j, tₘ=1 j, tₚ=1,5 j) 3. Remplissage du réservoir de carburant (tₒ=0,5 j, tₘ=1 j, tₚ=2 j) – dépend du contrôle d’huile 4. Vérification du système de démarrage (tₒ=0,5 j, tₘ=1 j, tₚ=1,5 j) – dépend du test de batterie 5. Mise en marche et essais de charge (tₒ=0,5 j, tₘ=1 j, tₚ=2 j) – dépend du remplissage et de la vérification du démarrage **Déterminez** la durée moyenne du projet, son écart‑type et indiquez si une marge de deux jours serait suffisante pour couvrir l’incertitude. **Corrigé** Calcul des TE et σ² : - Activité 1 : TE₁=(0,5+4·1+2)/6=1,08 j ; σ²₁=((2‑0,5)/6)²=(1,5/6)²=0,0625 - Activité 2 : TE₂=(0,5+4·1+1,5)/6=1,00 j ; σ²₂=((1,5‑0,5)/6)²=(1/6)²=0,0278 - Activité 3 : TE₃=(0,5+4·1+2)/6=1,08 j ; σ²₃=0,0625 - Activité 4 : TE₄=(0,5+4·1+1,5)/6=1,00 j ; σ²₄=0,0278 - Activité 5 : TE₅=(0,5+4·1+2)/6=1,08 j ; σ²₅=0,0625 Passage en avant : DU₁=1,08 ; DU₂=1,00 ; DU₃=DU₁+TE₃=2,16 ; DU₄=DU₂+TE₄=2,00 ; DU₅=max(DU₃,DU₄)+TE₅=2,16+1,08=3,24 j. Passage en arrière (DL₅=3,24) : DL₄=DL₅‑TE₅=3,24‑1,08=2,16 ; DL₃=DL₅‑TE₅=2,16 ; DL₂=DL₄‑TE₄=2,16‑1,00=1,16 ; DL₁=DL₃‑TE₃=2,16‑1,08=1,08. Marges : toutes nulles → chemin critique : **1 → 3 → 5** (ou 2‑4‑5 donnent même durée). Durée totale = DU₅ = **3,24 jours**. Variance du chemin critique = σ²₁+σ²₃+σ²₅ = 0,0625+0,0625+0,0625 = 0,1875 j² → σ_total = √0,1875 ≈ 0,433 j. Une marge de deux jours représente environ 2 / 0,433 ≈ 4,6 σ, ce qui couvre largement l’incertitude (probabilité de dépassement < 0,001 %). Deux jours sont donc largement suffisants. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |------------------|-------------|--------------------------------------| | Confondre tₒ, tₘ et tₚ (ex. prendre le pessimiste comme le plus vraisemblable) | Calcul du TE biaisé, sous‑ ou sur‑estimation de la durée du projet | Toujours vérifier les définitions : tₒ ≤ tₘ ≤ tₚ ; utiliser une fiche de collecte des trois estimations auprès du technicien responsable. | | Oublier de faire le backward pass après le forward pass | On ne calcule pas les marges, on croit à tort que toutes les activités sont critiques | Après le forward pass, réaliser systématiquement le backward pass pour obtenir DL et les marges. | | Utiliser la variance d’une activité non critique pour déterminer l’incertitude du projet | Sous‑estimation du risque réel (on ignore les variances du chemin critique) | Sommes des variances **uniquement** des activités du chemin critique pour obtenir σ²_total. | | Ne pas prendre en compte les dépendances logiques (ex. considérer une activité comme indépendante alors qu’elle attend une pièce) | Le réseau ne reflète pas la réalité, le planning devient irréalisable | Valider chaque prédécesseur avec le responsable de la maintenance ou le magasin des pièces avant de construire le réseau. | | Négliger les consignes de sécurité lors de la collecte des données sur le terrain (ex. ne pas porter d’EPI lors de l’inspection d’une machine en marche) | Risque d’accident du travail | Toujours porter les EPI appropriés (casque, gants, lunettes de protection) et respecter les consignes de consignation/déconsignation avant toute intervention. | | Arrondir prématurément les TE ou σ² à une décimale trop tôt | Propagation d’erreurs de calcul, résultat final éloigné de la réalité | Conserver au moins trois décimales durant les calculs intermédiaires ; n’arrondir qu’à la présentation finale. | --- *Fin du cours.*