8. Geometrical construction

# 8. Geometrical construction ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à développer les compétences pratiques et théoriques des élèves en constructions géométriques à l'aide du compas et de la règle non graduée, conformément au programme officiel du Cameroun (système anglophone) pour le niveau Form Five. À l'issue de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Construire des figures géométriques de base (droites parallèles, perpendiculaires, bissectrices, médiatores) avec précision. - Appliquer ces constructions pour résoudre des problèmes liés aux triangles, notamment la construction du cercle inscrit et des cercles concentriques. - Justifier chaque étape de construction par des propriétés géométriques établies. - Développer une rigueur dans l'utilisation des instruments et une lecture critique des figures construites. **Prérequis** : - Maîtrise des notions de droites, segments, angles, triangles (types : équilatéral, isocèle, scalène, rectangle), cercles (centre, rayon, diamètre, corde, tangente). - Connaissance des propriétés : somme des angles d'un triangle = 180°, théorème de Pythagore, propriétés des bissectrices et médiatores dans un triangle. - Habileté à utiliser un compas et une règle non graduée avec précision (sans mesure numérique directe). --- ## I. Geometrical construction 1: Construction of parallel and perpendicular lines ### Définitions et propriétés > **Une droite parallèle à une autre droite donnée passant par un point extérieur** est une droite qui ne coupe jamais la droite donnée, quelle que soit leur extension, et qui maintient une distance constante avec elle. > **Une droite perpendiculaire à une autre droite donnée passant par un point** est une droite qui forme un angle droit (90°) avec la droite donnée en leur point d'intersection. **Propriétés clés** : - Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, elles sont parallèles entre elles. - Si une droite est perpendiculaire à une des deux droites parallèles, elle est perpendiculaire à l'autre. - Le construit de la perpendiculaire en un point sur une droite utilise le compas pour marquer deux points équidistants sur la droite, puis construire la médiatrice du segment formé par ces deux points. - Le construit de la parallèle utilise le transfert d'angle : on construit une perpendiculaire à la droite donnée par le point extérieur, puis une perpendiculaire à cette dernière toujours par le même point. ### Étapes de construction #### 1. Construction d'une perpendiculaire en un point sur une droite **Donné** : Une droite $d$ et un point $P$ sur $d$. **Construire** : La droite perpendiculaire à $d$ en $P$. **Étapes** : 1. Avec le compas centré en $P$, tracer un arc coupant $d$ en deux points $A$ et $B$ (de telle sorte que $PA = PB$). 2. Avec le même ouverture de compas (ou supérieure), tracer un arc centré en $A$ au-dessus de $d$. 3. Avec la même ouverture, tracer un arc centré en $B$ coupant l'arc précédent en un point $Q$. 4. Tracer la droite $PQ$. Cette droite est perpendiculaire à $d$ en $P$. **Justification** : $PA = PB$ (même ouverture), $QA = QB$ (même ouverture des arcs), donc le triangle $PAQ$ est congruent au triangle $PBQ$ par c.c.c. → $\angle APQ = \angle BPQ$. Comme ils sont adjacents et forment un angle plat, chacun vaut 90°. #### 2. Construction d'une parallèle à une droite donnée par un point extérieur **Donné** : Une droite $d$ et un point $P$ extérieur à $d$. **Construire** : La droite passant par $P$ et parallèle à $d$. **Étapes** : 1. Choisir un point $A$ sur $d$. 2. Tracer la droite $AP$. 3. Construire la perpendiculaire à $d$ en $A$ (comme ci-dessus) → obtenons la droite $d_1 \perp d$ en $A$. 4. Construire la perpendiculaire à $d_1$ en $P$ → obtenons la droite $d_2 \perp d_1$ en $P$. 5. Alors $d_2 \parallel d$ (car deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles). **Justification** : $d_1 \perp d$ et $d_2 \perp d_1$ → $d_2 \parallel d$ (propriété des angles correspondants ou des angles intérieur-alternes égaux). ### Exemples résolus **Exemple 1** : Donné : Droite $d$ passant par les points $A(0,0)$ et $B(4,0)$ (axe des $x$), et point $P(2,3)$. Construire la parallèle à $d$ par $P$. **Solution** : - $d$ est horizontale → sa parallèle par $P$ est aussi horizontale. - Construction : 1. Prendre un point $A$ sur $d$ (ex. $A(0,0)$). 2. Tracer $AP$. 3. Construire la perpendiculaire à $d$ en $A$ : c'est la verticale $x=0$. 4. Construire la perpendiculaire à cette verticale en $P$ : c'est l'horizontale $y=3$. - Résultat : La droite $y=3$ est parallèle à $d$ et passe par $P$. **Exemple 2** : Construire la perpendiculaire à la droite $d$ passant par $(1,1)$ et $(5,3)$ en son milieu. **Solution** : - Milieu $M$ de $(1,1)$ et $(5,3)$ : $M = \left( \frac{1+5}{2}, \frac{1+3}{2} \right) = (3,2)$. - Pente de $d$ : $m = \frac{3-1}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. - Pente de la perpendiculaire : $m_\perp = -2$. - Construction géométrique : 1. Avec compas centré en $M$, tracer un arc coupant $d$ en deux points équidistants (on peut choisir des points faciles : ex. en suivant la direction de $d$). 2. Construire la médiatrice du segment formé par ces deux points → c'est la perpendiculaire cherchée. - Résultat : La droite passant par $M(3,2)$ de pente $-2$ est la perpendiculaire. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Donné : Droite $d$ définie par les points $C(-2,1)$ et $D(4,1)$, et point $E(0,4)$. Construire la parallèle à $d$ par $E$. **Corrigé** : - $d$ est horizontale ($y=1$) → sa parallèle par $E$ est $y=4$. - Construction : 1. Prendre un point sur $d$, ex. $C(-2,1)$. 2. Tracer $EC$. 3. Construire la perpendiculaire à $d$ en $C$ : verticale $x=-2$. 4. Construire la perpendiculaire à cette verticale en $E$ : horizontale $y=4$. - Résultat : Droite $y=4$. **Exercice 2** : Construire la perpendiculaire à la droite passant par $(0,0)$ et $(6,0)$ en le point $(3,0)$. **Corrigé** : - La droite est l'axe des $x$ → la perpendiculaire en $(3,0)$ est la verticale $x=3$. - Construction : 1. Avec compas centré en $(3,0)$, ouverture quelconque >0, tracer un arc coupant l'axe des $x$ en $A(3-a,0)$ et $B(3+a,0)$. 2. Avec même ouverture, tracer des arcs centrés en $A$ et $B$ au-dessus de l'axe, se coupant en $P$. 3. Tracer $(3,0)P$ → c'est la verticale $x=3$. - Résultat : Droite $x=3$. --- ## II. Geometrical construction 2: Construction of angle bisectors ### Définitions et propriétés > **La bissectrice d'un angle** est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui le divise en deux angles égaux. > Tout point situé sur la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de l'angle. **Propriétés clés** : - La bissectrice intérieure d'un angle est l'ensemble des points équidistants des deux côtés de l'angle. - Dans un triangle, les trois bissectrices intérieures sont concourantes en un point appelé **centre du cercle inscrit** (incenter). - La bissectrice d'un angle peut être construite avec compas et règle sans mesurer l'angle. ### Étapes de construction **Donné** : Un angle $\angle ABC$ avec sommet $B$. **Construire** : La bissectrice de $\angle ABC$. **Étapes** : 1. Avec le compas centré en $B$, tracer un arc de cercle coupant les côtés $BA$ et $BC$ en deux points $P$ et $Q$ respectivement (de telle sorte que $BP = BQ$). 2. Avec le même ouverture de compas (ou supérieure), tracer un arc centré en $P$ à l'intérieur de l'angle. 3. Avec la même ouverture, tracer un arc centré en $Q$ coupant l'arc précédent en un point $R$. 4. Tracer la demi-droite $BR$. Cette demi-droite est la bissectrice de $\angle ABC$. **Justification** : $BP = BQ$ (même ouverture), $PR = QR$ (même ouverture des arcs), donc les triangles $BPR$ et $BQR$ sont congruents par c.c.c. → $\angle PBR = \angle QBR$. Donc $BR$ bissecte $\angle ABC$. ### Exemples résolus **Exemple 1** : Construire la bissectrice de l'angle formé par les droites passant par $(0,0)-(4,0)$ et $(0,0)-(0,3)$ (angle droit à l'origine). **Solution** : - Côtés : axe des $x$ (positif) et axe des $y$ (positif). - Étapes : 1. Compas centré en $B(0,0)$, ouvrir à 2 unités → couper l'axe des $x$ en $P(2,0)$, l'axe des $y$ en $Q(0,2)$. 2. Même ouverture (2), arc centré en $P(2,0)$ : équation $(x-2)^2 + y^2 = 4$. 3. Même ouverture, arc centré en $Q(0,2)$ : $x^2 + (y-2)^2 = 4$. 4. Intersection : résoudre le système → $(x-2)^2 + y^2 = x^2 + (y-2)^2$ → $x^2 -4x+4 + y^2 = x^2 + y^2 -4y+4$ → $-4x = -4y$ → $x=y$. Puis $(x-2)^2 + x^2 = 4$ → $x^2 -4x+4 + x^2 =4$ → $2x^2 -4x=0$ → $2x(x-2)=0$ → $x=0$ ou $x=2$. $x=0$ donne $Q$, donc prendre $x=2$, $y=2$ → $R(2,2)$. 5. Tracer $BR$ : de $(0,0)$ à $(2,2)$ → droite $y=x$. - Résultat : La bissectrice est $y=x$, qui divise effectivement l'angle droit en deux angles de 45°. **Exemple 2** : Construire la bissectrice de l'angle $\angle ABC$ où $A(1,1)$, $B(0,0)$, $C(3,0)$. **Solution** : - Côtés : $BA$ : de $(0,0)$ à $(1,1)$ → pente 1 ; $BC$ : de $(0,0)$ à $(3,0)$ → axe des $x$. - Angle à l'origine entre $y=x$ et $x$-axis. - Étapes : 1. Compas en $B(0,0)$, ouverture 1 → couper $BC$ en $P(1,0)$, couper $BA$ en $Q$ : sur $y=x$, à distance 1 de $B$ → $Q\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. (On peut aussi prendre une ouverture plus grande pour faciliter, mais théoriquement ça marche.) 2. Même ouverture, arc centré en $P(1,0)$ et en $Q$ → intersection $R$ à l'intérieur de l'angle. 3. Tracer $BR$. - Résultat : La bissectrice de l'angle entre $y=x$ et $x$-axis est connue être $y = \tan(22.5^\circ)x \approx 0.414x$. La construction géométrique donne ce résultat exactement. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Construire la bissectrice de l'angle formé par les droites $y=0$ et $y=x$ en l'origine. **Corrigé** : - Comme dans l'exemple 1 ci-dessus : 1. Compas en $(0,0)$, ouverture 1 → $P(1,0)$ sur $y=0$, $Q\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ sur $y=x$. 2. Arcs de même ouverture centrés en $P$ et $Q$ → intersection $R$ telle que $PR=QR$. 3. On trouve $R$ sur la droite $y = (\sqrt{2}-1)x$ ou equivalent. 4. En fait, la solution exacte donne $R$ tel que $\angle PBQ = 45^\circ$, donc la bissectrice fait $22.5^\circ$ avec $y=0$. 5. Construction : après tracé, on vérifie que $BR$ fait des angles égaux avec les deux côtés. - Résultat : La bissectrice est la droite passant par l'origine de pente $\tan(22.5^\circ) = \sqrt{2}-1$. **Exercice 2** : Dans le triangle $ABC$ avec $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(0,3)$, construire la bissectrice de l'angle en $A$. **Corrigé** : - Côtés en $A$ : $AB$ le long de l'axe des $x$ (de $(0,0)$ à $(4,0)$), $AC$ le long de l'axe des $y$ (de $(0,0)$ à $(0,3)$). - Donc angle droit en $A$. - Étapes : 1. Compas en $A(0,0)$, ouverture 2 → couper $AB$ en $P(2,0)$, couper $AC$ en $Q(0,2)$. 2. Même ouverture, arc centré en $P(2,0)$ : $(x-2)^2 + y^2 = 4$. 3. Même ouverture, arc centré en $Q(0,2)$ : $x^2 + (y-2)^2 = 4$. 4. Intersection : comme avant, $x=y$, puis $(x-2)^2 + x^2 =4$ → $2x^2-4x=0$ → $x=0$ ou $x=2$ → prendre $x=2$, $y=2$ → $R(2,2)$. 5. Tracer $AR$ : de $(0,0)$ à $(2,2)$ → droite $y=x$. - Résultat : La bissectrice de l'angle droit en $A$ est $y=x$. --- ## III. Geometrical construction 3: Construction of perpendicular bisectors (mediators) ### Définitions et propriétés > **La médiatrice d'un segment** est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. > Tout point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités du segment. **Propriétés clés** : - La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants de ses deux extrémités. - Dans un triangle, les trois médiatrices des côtés sont concourantes en un point appelé **centre du cercle circonscrit** (circumcenter). - Le construit de la médiatrice utilise le compas pour marquer deux points équidistants des extrémités, puis construire la droite passant par ces deux points. ### Étapes de construction **Donné** : Un segment $AB$. **Construire** : La médiatrice de $AB$. **Étapes** : 1. Avec le compas centré en $A$, tracer un arc de cercle d'ouverture supérieure à la moitié de $AB$, au-dessus et en dessous du segment. 2. Avec la même ouverture, tracer un arc centré en $B$, coupant les arcs précédents en deux points $P$ (au-dessus) et $Q$ (en dessous). 3. Tracer la droite $PQ$. Cette droite est la médiatrice de $AB$. **Justification** : $PA = PB$ (même ouverture du compas centré en $A$ et $B$), $QA = QB$ (idem), donc les triangles $PAQ$ et $PBQ$ sont congruents par c.c.c. → $\angle PAQ = \angle PBQ$ et surtout, $P$ et $Q$ sont équidistants de $A$ et $B$. De plus, $PQ$ est perpendiculaire à $AB$ car dans le losange $PAQB$, les diagonales sont perpendiculaires (ou par symétrie). ### Exemples résolus **Exemple 1** : Construire la médiatrice du segment joignant $(-2,1)$ et $(4,1)$. **Solution** : - Segment horizontal de longueur $6$ (de $x=-2$ à $x=4$, $y=1$ constant). - Milieu : $M = \left( \frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2} \right) = (1,1)$. - Étapes : 1. Compas centré en $A(-2,1)$, ouverture >3 (ex. 4) → tracer un arc au-dessus et en dessous de $y=1$. 2. Même ouverture centré en $B(4,1)$ → les arcs se coupent en $P$ au-dessus et $Q$ en dessous. 3. Comme le segment est horizontal, la médiatrice est verticale passant par le milieu. 4. Les points d'intersection $P$ et $Q$ ont la même abscisse que le milieu : $x=1$. - En effet, pour un point $P(x,y)$ sur l'arc centré en $A$ : $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 16$. Sur l'arc centré en $B$ : $(x-4)^2 + (y-1)^2 = 16$. Soustraire : $(x+2)^2 - (x-4)^2 = 0$ → $(x^2+4x+4) - (x^2-8x+16) = 0$ → $12x -12 =0$ → $x=1$. - Puis $(1+2)^2 + (y-1)^2 =16$ → $9 + (y-1)^2=16$ → $(y-1)^2=7$ → $y=1\pm\sqrt{7}$. 5. Donc $P(1,1+\sqrt{7})$, $Q(1,1-\sqrt{7})$ → droite $PQ$ : $x=1$. - Résultat : La médiatrice est la droite verticale $x=1$. **Exemple 2** : Construire la médiatrice du segment joignant $(0,0)$ et $(0,6)$. **Solution** : - Segment vertical sur l'axe des $y$, de longueur $6$. - Milieu : $(0,3)$. - Étapes : 1. Compas centré en $A(0,0)$, ouverture >3 (ex. 4) → arcs à gauche et à droite de l'axe des $y$. 2. Même ouverture centré en $B(0,6)$ → intersection en $P$ à gauche et $Q$ à droite. 3. Pour un point $P(x,y)$ : - De $A$ : $x^2 + y^2 = 16$ - De $B$ : $x^2 + (y-6)^2 = 16$ - Soustraire : $y^2 - (y-6)^2 =0$ → $y^2 - (y^2-12y+36)=0$ → $12y-36=0$ → $y=3$. - Puis $x^2 +9=16$ → $x^2=7$ → $x=\pm\sqrt{7}$. 4. Donc $P(-\sqrt{7},3)$, $Q(\sqrt{7},3)$ → droite $PQ$ : $y=3$. - Résultat : La médiatrice est la droite horizontale $y=3$. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Construire la médiatrice du segment joignant $(1,2)$ et $(5,6)$. **Corrigé** : - Milieu $M = \left( \frac{1+5}{2}, \frac{2+6}{2} \right) = (3,4)$. - Pente du segment : $m = \frac{6-2}{5-1} = \frac{4}{4}=1$ → pente de la médiatrice : $m_\perp = -1$. - Étapes de construction : 1. Compas centré en $A(1,2)$, ouverture > distance $AB/2$. Distance $AB = \sqrt{(4)^2+(4)^2}=4\sqrt{2} \approx 5.66$ → moitié ≈2.83 → prendre ouverture 3. Tracer un arc autour de $A$. 2. Même ouverture centré en $B(5,6)$ → les arcs se coupent en deux points $P$ et $Q$. 3. Tracer $PQ$ → c'est la médiatrice. - Vérification analytique : - Un point $P(x,y)$ sur la médiatrice vérifie : distance à $A$ = distance à $B$. $(x-1)^2 + (y-2)^2 = (x-5)^2 + (y-6)^2$ → $x^2-2x+1 + y^2-4y+4 = x^2-10x+25 + y^2-12y+36$ → $-2x-4y+5 = -10x-12y+61$ → $8x +8y =56$ → $x+y=7$. - Donc la médiatrice est la droite $x+y=7$. - En passant par $M(3,4)$ : $3+4=7$ ✓, et pente $-1$ ✓. - Résultat : La médiatrice est la droite $x+y=7$. **Exercice 2** : Dans le triangle $ABC$ avec $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,8)$, construire la médiatrice de $AB$. **Corrigé** : - $AB$ : de $(0,0)$ à $(6,0)$ → horizontal, longueur $6$. - Milieu : $M(3,0)$. - Étapes : 1. Compas centré en $A(0,0)$, ouverture >3 (ex. 4) → arcs au-dessus et en dessous de l'axe des $x$. 2. Même ouverture centré en $B(6,0)$ → intersection en $P$ au-dessus et $Q$ en dessous. 3. Comme pour l'exemple 1 de cette section : les points d'intersection ont $x=3$ (milieu en abscisse). - $(x-0)^2 + y^2 = 16$ et $(x-6)^2 + y^2 =16$ → soustraire : $x^2 - (x^2-12x+36)=0$ → $12x=36$ → $x=3$. - Puis $9 + y^2=16$ → $y^2=7$ → $y=\pm\sqrt{7}$. 4. Donc $P(3,\sqrt{7})$, $Q(3,-\sqrt{7})$ → droite $x=3$. - Résultat : La médiatrice de $AB$ est la droite verticale $x=3$. --- ## IV. Geometrical construction 4: Construction of triangles given specific conditions ### Définitions et propriétés > Une **construction de triangle** consiste à construire un triangle à l'aide du compas et de la règle non graduée, en partant de certaines données (côtés, angles, éléments spéciaux comme médianes, hauteurs, bissectrices). > Les cas classiques sont : > - Construction sachant trois côtés (SSS) > - Construction sachant deux côtés et l'angle compris (SAS) > - Construction sachant un côté et les deux angles adjacents (ASA ou AAS) > - Construction sachant l'hypoténuse et un côté dans un triangle rectangle (RHS) > - Construction sachant une hauteur, une médiane et une bissectrice (moins courant, mais possible par combinaison) **Propriétés clés** : - Pour qu'un triangle existe avec trois côtés donnés $a,b,c$ : inégalité triangulaire → $a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$. - La construction SSS repose sur le transfert de longueurs avec le compas. - La construction SAS repose sur la copie d'un angle et le report de longueurs. - La construction ASA repose sur la copie de deux angles et l'intersection des côtés. ### Étapes de construction #### 1. Construction SSS (trois côtés connus) **Donné** : Trois longueurs $a$, $b$, $c$ (côtés du triangle). **Construire** : Le triangle ayant ces côtés. **Étapes** : 1. Tracer une droite et y reporter un côté, disons $BC = a$ : - Choisir un point $B$, avec le compas réglé sur $a$, tracer un arc coupant la droite en $C$ → $BC = a$. 2. Avec le compas centré en $B$, réglé sur $c$ (côté $AB$), tracer un arc de cercle. 3. Avec le compas centré en $C$, réglé sur $b$ (côté $AC$), tracer un arc de cercle coupant l'arc précédent en un point $A$. 4. Tracer les côtés $AB$ et $AC$. - Le triangle $ABC$ est construit. **Justification** : Par construction, $BC = a$, $AB = c$, $AC = b$. #### 2. Construction SAS (deux côtés et l'angle compris) **Donné** : Deux côtés $b$, $c$ et l'angle $A$ compris entre eux. **Construire** : Le triangle $ABC$ avec $AB=c$, $AC=b$, et $\angle BAC = A$. **Étapes** : 1. Tracer un rayon $AX$. 2. Avec le compas centré en $A$, réglé sur $c$, tracer un arc coupant $AX$ en $B$ → $AB = c$. 3. Construire un angle égal à $A$ en $A$ d'un côté de $AX$ : - Choisir un point $P$ sur un côté quelconque, avec compas en $A$ couper les côtés de l'angle donné en $Q,R$ (avec ouverture fixe), puis reproduire cet ouverture en $A$ pour déterminer un nouveau point $S$ tel que l'angle $\angle XAS$ soit égal à l'angle donné. - Plus simplement : copier l'angle $A$ en $A$ sur le rayon $AX$ pour obtenir le rayon $AY$. 4. Avec le compas centré en $A$, réglé sur $b$, tracer un arc coupant $AY$ en $C$ → $AC = b$. 5. Tracer le côté $BC$. - Le triangle $ABC$ est construit. **Justification** : Par construction, $AB=c$, $AC=b$, et $\angle BAC$ est égal à l'angle donné par copie d'angle. #### 3. Construction ASA (un côté et deux angles adjacents) **Donné** : Un côté $a = BC$, et les deux angles $\angle B$ et $\angle C$ adjacents à ce côté. **Construire** : Le triangle $ABC$. **Étapes** : 1. Tracer le côté $BC = a$ : choisir un point $B$, avec compas réglé sur $a$, couper une droite en $C$. 2. En $B$, construire un angle égal à $\angle B$ du côté intérieur du futur triangle. 3. En $C$, construire un angle égal à $\angle C$ du côté intérieur du futur triangle (de sorte que les deux côtés nouveaux se coupent). 4. Les deux côtés construits en $B$ et $C$ se coupent en un point $A$. 5. Tracer $AB$ et $AC$. - Le triangle $ABC$ est construit. **Justification** : Par construction, $BC = a$, et les angles en $B$ et $C$ sont ceux donnés par copie d'angle. La somme des angles du triangle étant $180^\circ$, l'angle en $A$ est déterminé. ### Exemples résolus **Exemple 1 (SSS)** : Construire un triangle de côtés $5$ cm, $6$ cm, $7$ cm. **Solution** : 1. Tracer un segment $BC = 5$ cm. 2. Compas en $B$, ouverture $7$ cm → arc de cercle. 3. Compas en $C$, ouverture $6$ cm → arc de cercle coupant le précédent en $A$. 4. Tracer $AB$ et $AC$. - Vérification : $5+6>7$ (11>7), $5+7>6$ (12>6), $6+7>5$ (13>5) → triangle valide. - Résultat : Triangle construit avec les côtés voulus. **Exemple 2 (SAS)** : Construire un triangle avec $AB=4$ cm, $AC=5$ cm, et $\angle BAC = 60^\circ$. **Solution** : 1. Tracer un rayon $AX$. 2. Compas en $A$, ouverture $4$ cm → couper $AX$ en $B$ → $AB=4$ cm. 3. Copier l'angle de $60^\circ$ en $A$ : - Prendre un point quelconque, avec compas en sommet de l'angle donné couper ses côtés en deux points à distance égale (ex. 2 cm), reproduire cette ouverture en $A$ sur $AX$ pour marquer un point, puis avec même ouverture tracer un arc pour déterminer le deuxième côté de l'angle copié. - On obtient un rayon $AY$ tel que $\angle XAY = 60^\circ$. 4. Compas en $A$, ouverture $5$ cm → couper $AY$ en $C$ → $AC=5$ cm. 5. Tracer $BC$. - Résultat : Triangle $ABC$ avec les données voulues. **Exemple 3 (ASA)** : Construire un triangle avec $BC=6$ cm, $\angle B=45^\circ$, $\angle C=60^\circ$. **Solution** : 1. Tracer $BC = 6$ cm. 2. En $B$, construire un angle de $45^\circ$ du côté intérieur (au-dessus de $BC$ par exemple). 3. En $C$, construire un angle de $60^\circ$ du côté intérieur (de sorte que les deux côtés se coupent au-dessus de $BC$). 4. Les deux côtés construits se coupent en $A$. 5. Tracer $AB$ et $AC$. - Vérification : $\angle A = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$ → somme correcte. - Résultat : Triangle construit. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1 (SSS)** : Construire un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm. **Corrigé** : 1. Tracer $BC = 3$ cm. 2. Compas en $B$, ouverture $5$ cm → arc. 3. Compas en $C$, ouverture $4$ cm → arc coupant le précédent en $A$. 4. Tracer $AB$ et $AC$. - Vérification : $3+4>5$ (7>5), $3+5>4$ (8>4), $4+5>3$ (9>3) → valide. - En fait, c'est un triangle rectangle (puisque $3^2+4^2=5^2$). - Résultat : Triangle rectangle en $A$ (si on a placé $BC=3$, $AB=4$, $AC=5$ → alors l'angle opposé au côté de 5 est droit → ici côté $BC=3$, $AB=4$, $AC=5$ → donc angle en $A$ opposé à $BC$ ? Attendre : côtés : $BC=3$, $AC=4$, $AB=5$ → alors $AB^2 = AC^2 + BC^2$ → $25=16+9$ → oui → angle en $C$ est droit. Peu importe, le triangle est construit correctement. - Résultat : Triangle de côtés 3,4,5 construit. **Exercice 2 (SAS)** : Construire un triangle avec $AB=5$ cm, $BC=6$ cm, et $\angle ABC = 30^\circ$. **Corrigé** : - Donné : côté $AB=5$, côté $BC=6$, angle compris en $B$ entre $AB$ et $BC$ est $30^\circ$. 1. Tracer un rayon $BP$. 2. Compas en $B$, ouverture $5$ cm → couper $BP$ en $A$ → $AB=5$ cm. 3. Construire un angle de $30^\circ$ en $B$ d'un côté de $BP$ : obtenir un rayon $BQ$ tel que $\angle PBQ = 30^\circ$. 4. Compas en $B$, ouverture $6$ cm → couper $BQ$ en $C$ → $BC=6$ cm. 5. Tracer $AC$. - Résultat : Triangle $ABC$ avec $AB=5$, $BC=6$, $\angle ABC=30^\circ$. **Exercice 3 (ASA)** : Construire un triangle avec $AB=4$ cm, $\angle A=50^\circ$, $\angle B=60^\circ$. **Corrigé** : - Donné : côté $AB=4$, angles en $A$ et $B$. 1. Tracer $AB = 4$ cm. 2. En $A$, construire un angle de $50^\circ$ du côté intérieur (où sera $C$). 3. En $B$, construire un angle de $60^\circ$ du côté intérieur (de sorte que les deux côtés se coupent). 4. Les deux côtés construits se coupent en $C$. 5. Tracer $AC$ et $BC$. - Vérification : $\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$ → somme correcte. - Résultat : Triangle construit. ---