5. Solid figures

# 5. Solid figures ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Identifier et dessiner les patrons (nets) des solides étudiés (cuboids, prismes, cylindres, cônes, pyramides, sphères, hémisphères, frustums). - Calculer l'aire de surface et le volume de ces solides en utilisant les formules appropriées. - Résoudre des problèmes concrets liés à l'aire de surface et au volume dans des contextes réels (emballage, construction, ingénierie). - Appliquer les concepts de similarité et de proportionnalité pour les frustums de cônes et de pyramides. - Utiliser les unités correctes (cm², m², cm³, m³) et convertir entre elles si nécessaire. **Prérequis** : L'élève doit maîtriser : - Les propriétés des figures planes (rectangles, triangles, cercles). - Le calcul de l'aire et du périmètre des figures de base. - Le théorème de Pythagore. - Les notions de proportionnalité et de similarité. - L'utilisation des unités de longueur, d'aire et de volume. - La manipulation des expressions algébriques et des fractions. --- ## I. The net of cuboids and prisms ### Définition et propriétés > Un **net** (patron) d'un solide est une figure plane obtenue en découpant le long de certaines arêtes et en aplatissant le solide sans superposition. Il permet de visualiser toutes les faces du solide. Un **cuboid** est un solide à six faces rectangulaires, où les faces opposées sont égales et parallèles. Un **prisme** est un solide dont les bases sont deux polygones congruents et parallèles, et les faces latérales sont des parallélogrammes. Pour un cuboid de dimensions longueur $l$, largeur $w$, hauteur $h$ : - Il a 6 faces : 2 de dimensions $l \times w$, 2 de $l \times h$, 2 de $w \times h$. - Son net consiste en ces 6 rectangles disposés en croix ou en ligne, selon le découpage. Pour un prisme droit à base polygonale $n$-cotée : - Il a 2 bases congruentes (polygone $n$-coté) et $n$ faces latérales rectangulaires. - Son net montre les 2 bases et les $n$ rectangles latéraux accolés côte à côte. ### Exemple résolu : Net d'un cuboid Donné un cuboid de $l = 5\,\text{cm}$, $w = 3\,\text{cm}$, $h = 4\,\text{cm}$. - Faces : deux $5 \times 3$, deux $5 \times 4$, deux $3 \times 4$. - Un net possible : un rectangle central $5 \times 4$, avec un $5 \times 3$ au-dessus et en dessous, et un $3 \times 4$ à gauche et à droite de chaque extrémité du $5 \times 4$, puis le dernier $3 \times 4$ attaché à l'un des $5 \times 3$. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Dessiner le net d'un prisme triangulaire droit dont la base est un triangle équilatéral de côté $6\,\text{cm}$ et la hauteur du prisme est $10\,\text{cm}$. *Correction* : - Base : triangle équilatéral de côté $6\,\text{cm}$ (2 exemplaires). - Faces latérales : 3 rectangles de dimensions $6\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}$. - Net : les deux triangles séparés, avec les trois rectangles accolés en ligne entre eux, ou un triangle au centre avec les trois rectangles autour et l'autre triangle attaché à un des rectangles. **Exercice 2** : Un cuboid a un net composé de deux carrés de $4\,\text{cm}$ de côté et quatre rectangles de $4\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}$. Déterminer ses dimensions. *Correction* : - Les carrés correspondent aux faces $w \times h$ ou $l \times w$, etc. Puisque ce sont des carrés, deux dimensions sont égales. - Supposons que les carrés soient les faces $w \times h = 4 \times 4$ → $w = h = 4\,\text{cm}$. - Les rectangles sont $l \times w = 4 \times 6$ ou $l \times h = 4 \times 6$ → puisque $w = h = 4$, alors $l \times 4 = 4 \times 6$ → $l = 6\,\text{cm}$. - Dimensions : $l = 6\,\text{cm}$, $w = 4\,\text{cm}$, $h = 4\,\text{cm}$. --- ## II. Surface area of Cuboids and prisms ### Définition et propriétés > L'**aire de surface totale** d'un solide est la somme des aires de toutes ses faces. Pour un **cuboid** de dimensions $l$, $w$, $h$ : $$ A_{\text{total}} = 2(lw + lh + wh) $$ L'aire de surface latérale (sans les bases) est : $$ A_{\text{latérale}} = 2h(l + w) $$ Pour un **prisme droit** de base $B$ (périmètre $P$, aire $A_B$) et hauteur $h$ : $$ A_{\text{totale}} = 2A_B + P \cdot h $$ $$ A_{\text{latérale}} = P \cdot h $$ ### Exemple résolu : Aire de surface d'un cuboid Calculer l'aire de surface totale d'un cuboid de $l = 8\,\text{cm}$, $w = 5\,\text{cm}$, $h = 3\,\text{cm}$. $$ A = 2(lw + lh + wh) = 2(8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2(40 + 24 + 15) = 2 \cdot 79 = 158\,\text{cm}^2 $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver l'aire de surface latérale d'un prisme hexagonal droit dont la base est un hexagone régulier de côté $4\,\text{cm}$ et la hauteur est $12\,\text{cm}$. *Correction* : - Périmètre de la base : $P = 6 \times 4 = 24\,\text{cm}$. - $A_{\text{latérale}} = P \cdot h = 24 \cdot 12 = 288\,\text{cm}^2$. **Exercice 2** : Un cuboid a une aire de surface totale de $220\,\text{cm}^2$. Si sa longueur est $10\,\text{cm}$ et sa largeur est $5\,\text{cm}$, trouver sa hauteur. *Correction* : $$ 2(lw + lh + wh) = 220 \implies lw + lh + wh = 110 $$ $$ (10 \cdot 5) + (10 \cdot h) + (5 \cdot h) = 110 \implies 50 + 10h + 5h = 110 \implies 15h = 60 \implies h = 4\,\text{cm} $$ --- ## III. Volume of Cuboids and prisms ### Définition et propriétés > Le **volume** d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe. Pour un **cuboid** : $$ V = l \cdot w \cdot h $$ Pour un **prisme droit** : $$ V = A_B \cdot h $$ où $A_B$ est l'aire de la base. ### Exemple résolu : Volume d'un prisme triangulaire Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés $6\,\text{cm}$ et $8\,\text{cm}$, et une hauteur de $15\,\text{cm}$. Trouver son volume. - Aire de la base : $A_B = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\,\text{cm}^2$ - $V = 24 \cdot 15 = 360\,\text{cm}^3$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Calculer le volume d'un cuboid de dimensions $7\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}$. *Correction* : $V = 7 \cdot 4 \cdot 5 = 140\,\text{cm}^3$ **Exercice 2** : Un prisme droit à base pentagonale a une aire de base de $25\,\text{cm}^2$ et un volume de $300\,\text{cm}^3$. Trouver sa hauteur. *Correction* : $V = A_B \cdot h \implies 300 = 25 \cdot h \implies h = 12\,\text{cm}$ --- ## IV. Surface area of Right circular cylinders ### Définition et propriétés > Un **cylindre circulaire droit** est un solide formé par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés. Il a deux bases circulaires congruentes et une surface latérale courbée. Soit $r$ le rayon de la base et $h$ la hauteur. - Aire d'une base : $A_{\text{base}} = \pi r^2$ - Aire de surface latérale : $A_{\text{latérale}} = 2\pi r h$ (développement d'un rectangle de largeur $2\pi r$ et hauteur $h$) - Aire de surface totale : $$ A_{\text{totale}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h) $$ ### Exemple résolu : Aire de surface d'un cylindre Un cylindre a un rayon de $4\,\text{cm}$ et une hauteur de $10\,\text{cm}$. Trouver son aire de surface totale. $$ A = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 4 \cdot (4 + 10) = 8\pi \cdot 14 = 112\pi\,\text{cm}^2 \approx 351.86\,\text{cm}^2 $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver l'aire de surface latérale d'un cylindre de rayon $3\,\text{cm}$ et hauteur $7\,\text{cm}$. *Correction* : $A_{\text{latérale}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 3 \cdot 7 = 42\pi\,\text{cm}^2$ **Exercice 2** : L'aire de surface totale d'un cylindre est $200\pi\,\text{cm}^2$. Si sa hauteur est égale au diamètre de sa base, trouver le rayon. *Correction* : - $h = 2r$ - $A = 2\pi r(r + h) = 2\pi r(r + 2r) = 2\pi r \cdot 3r = 6\pi r^2 = 200\pi$ - $6r^2 = 200 \implies r^2 = \frac{200}{6} = \frac{100}{3} \implies r = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\,\text{cm}$ --- ## V. Volume of Right circular cylinders ### Définition et propriétés > Le volume d'un cylindre circulaire droit est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur. $$ V = A_B \cdot h = \pi r^2 h $$ ### Exemple résolu : Volume d'un cylindre Un cylindre a un rayon de $5\,\text{cm}$ et une hauteur de $12\,\text{cm}$. Trouver son volume. $$ V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \pi \cdot 25 \cdot 12 = 300\pi\,\text{cm}^3 \approx 942.48\,\text{cm}^3 $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Calculer le volume d'un cylindre de diamètre $10\,\text{cm}$ et hauteur $15\,\text{cm}$. *Correction* : $r = 5\,\text{cm}$, $V = \pi \cdot 5^2 \cdot 15 = 375\pi\,\text{cm}^3$ **Exercice 2** : Un cylindre a un volume de $500\pi\,\text{cm}^3$ et une hauteur de $20\,\text{cm}$. Trouver son rayon. *Correction* : $$ V = \pi r^2 h \implies 500\pi = \pi r^2 \cdot 20 \implies 500 = 20 r^2 \implies r^2 = 25 \implies r = 5\,\text{cm} $$ --- ## VI. Surface area of Right circular cones ### Définition et propriétés > Un **cône circulaire droit** est un solide formé par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés cathètes. Il a une base circulaire et un sommet situé directement au-dessus du centre de la base. Soit $r$ le rayon de la base, $h$ la hauteur, et $l$ la génératrice (hauteur inclinée). Par le théorème de Pythagore : $$ l = \sqrt{r^2 + h^2} $$ - Aire de la base : $A_{\text{base}} = \pi r^2$ - Aire de surface latérale : $A_{\text{latérale}} = \pi r l$ - Aire de surface totale : $$ A_{\text{totale}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l) $$ ### Exemple résolu : Aire de surface d'un cône Un cône a un rayon de $3\,\text{cm}$ et une hauteur de $4\,\text{cm}$. Trouver son aire de surface totale. - $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}$ - $A = \pi r(r + l) = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 3\pi \cdot 8 = 24\pi\,\text{cm}^2 \approx 75.40\,\text{cm}^2$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver l'aire de surface latérale d'un cône de rayon $6\,\text{cm}$ et génératrice $10\,\text{cm}$. *Correction* : $A_{\text{latérale}} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\,\text{cm}^2$ **Exercice 2** : L'aire de surface totale d'un cône est $90\pi\,\text{cm}^2$. Si son rayon est $5\,\text{cm}$, trouver sa hauteur. *Correction* : - $A = \pi r(r + l) = 90\pi \implies r(r + l) = 90 \implies 5(5 + l) = 90 \implies 25 + 5l = 90 \implies 5l = 65 \implies l = 13\,\text{cm}$ - $l = \sqrt{r^2 + h^2} \implies 13 = \sqrt{25 + h^2} \implies 169 = 25 + h^2 \implies h^2 = 144 \implies h = 12\,\text{cm}$ --- ## VII. Volume of Right circular cones ### Définition et propriétés > Le volume d'un cône circulaire droit est un tiers du volume d'un cylindre de même base et même hauteur. $$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$ ### Exemple résolu : Volume d'un cône Un cône a un rayon de $4\,\text{cm}$ et une hauteur de $9\,\text{cm}$. Trouver son volume. $$ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 9 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 144\pi = 48\pi\,\text{cm}^3 \approx 150.80\,\text{cm}^3 $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Calculer le volume d'un cône de diamètre $14\,\text{cm}$ et hauteur $12\,\text{cm}$. *Correction* : $r = 7\,\text{cm}$, $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 7^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 588\pi = 196\pi\,\text{cm}^3$ **Exercice 2** : Un cône a un volume de $100\pi\,\text{cm}^3$ et un rayon de $5\,\text{cm}$. Trouver sa hauteur. *Correction* : $$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \implies 100\pi = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot h \implies 100 = \frac{25}{3} h \implies h = 100 \cdot \frac{3}{25} = 12\,\text{cm} $$ --- ## VIII. Surface area and volume of the frustum of a cone ### Définition et propriétés > Un **frustum de cône** est la partie d'un cône située entre la base et un plan parallèle à la base qui le coupe. Il a deux bases circulaires parallèles de rayons différents. Soit $R$ le rayon de la base inférieure, $r$ le rayon de la base supérieure, $h$ la hauteur verticale du frustum, et $l$ la génératrice du frustum. - Par similarité : $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$ - Aire de surface latérale : $A_{\text{latérale}} = \pi (R + r) l$ - Aires des bases : $A_{\text{base inférieure}} = \pi R^2$, $A_{\text{base supérieure}} = \pi r^2$ - Aire de surface totale : $$ A_{\text{totale}} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi (R + r) l = \pi \left[ R^2 + r^2 + (R + r) l \right] $$ - Volume : $$ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) $$ ### Exemple résolu : Aire et volume d'un frustum de cône Un frustum de cône a $R = 6\,\text{cm}$, $r = 3\,\text{cm}$, $h = 4\,\text{cm}$. Trouver son aire de surface totale et son volume. - $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{4^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}$ - $A_{\text{totale}} = \pi [6^2 + 3^2 + (6 + 3) \cdot 5] = \pi [36 + 9 + 9 \cdot 5] = \pi [45 + 45] = 90\pi\,\text{cm}^2 \approx 282.74\,\text{cm}^2$ - $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot (6^2 + 6 \cdot 3 + 3^2) = \frac{4\pi}{3} \cdot (36 + 18 + 9) = \frac{4\pi}{3} \cdot 63 = 84\pi\,\text{cm}^3 \approx 263.89\,\text{cm}^3$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver le volume d'un frustum de cône de rayons $5\,\text{cm}$ et $2\,\text{cm}$, et hauteur $6\,\text{cm}$. *Correction* : $$ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 \cdot (5^2 + 5 \cdot 2 + 2^2) = 2\pi \cdot (25 + 10 + 4) = 2\pi \cdot 39 = 78\pi\,\text{cm}^3 $$ **Exercice 2** : L'aire de surface latérale d'un frustum de cône est $50\pi\,\text{cm}^2$. Si $R = 4\,\text{cm}$, $r = 1\,\text{cm}$, trouver sa hauteur. *Correction* : - $A_{\text{latérale}} = \pi (R + r) l = 50\pi \implies (4 + 1) l = 50 \implies 5l = 50 \implies l = 10\,\text{cm}$ - $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} \implies 10 = \sqrt{h^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{h^2 + 9}$ - $100 = h^2 + 9 \implies h^2 = 91 \implies h = \sqrt{91}\,\text{cm}$ --- ## IX. Surface area and volume of pyramids ### Définition et propriétés > Une **pyramide** est un solide formé par un polygone de base et des triangles latéraux qui se rejoignent en un sommet commun. Une pyramide droite a son sommet projeté au centre de la base. Soit $A_B$ l'aire de la base, $P$ le périmètre de la base, et $l$ la hauteur inclinée des faces latérales (pour une pyramide droite à base régulière). - Aire de surface latérale : $A_{\text{latérale}} = \frac{1}{2} P l$ - Aire de surface totale : $A_{\text{totale}} = A_B + \frac{1}{2} P l$ - Volume : $V = \frac{1}{3} A_B h$, où $h$ est la hauteur verticale. ### Exemple résolu : Aire et volume d'une pyramide carrée Une pyramide carrée droite a une base de côté $6\,\text{cm}$ et une hauteur verticale de $8\,\text{cm}$. Trouver son aire de surface totale et son volume. - Aire de la base : $A_B = 6^2 = 36\,\text{cm}^2$ - Périmètre de la base : $P = 4 \cdot 6 = 24\,\text{cm}$ - Hauteur inclinée $l$ : dans le triangle rectangle formé par $h$, la moitié du côté de la base ($3\,\text{cm}$), et $l$ : $$ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}\,\text{cm} $$ - $A_{\text{latérale}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \sqrt{73} = 12\sqrt{73}\,\text{cm}^2$ - $A_{\text{totale}} = 36 + 12\sqrt{73}\,\text{cm}^2 \approx 36 + 12 \cdot 8.544 = 36 + 102.53 = 138.53\,\text{cm}^2$ - $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96\,\text{cm}^3$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver le volume d'une pyramide à base triangulaire équilatérale de côté $10\,\text{cm}$ et hauteur $12\,\text{cm}$. *Correction* : - Aire de la base : $A_B = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = 25\sqrt{3}\,\text{cm}^2$ - $V = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 12 = 100\sqrt{3}\,\text{cm}^3 \approx 173.21\,\text{cm}^3$ **Exercice 2** : L'aire de surface totale d'une pyramide carrée droite est $200\,\text{cm}^2$. Si sa base a un côté de $8\,\text{cm}$ et sa hauteur inclinée est $5\,\text{cm}$, trouver sa hauteur verticale. *Correction* : - $A_B = 8^2 = 64\,\text{cm}^2$ - $P = 4 \cdot 8 = 32\,\text{cm}$ - $A_{\text{latérale}} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 5 = 80\,\text{cm}^2$ - $A_{\text{totale}} = 64 + 80 = 144\,\text{cm}^2$ → mais donnée comme $200\,\text{cm}^2$, incohérence. → Revoir : si $A_{\text{totale}} = 200$, alors $A_{\text{latérale}} = 200 - 64 = 136\,\text{cm}^2$ - $\frac{1}{2} P l = 136 \implies 16 l = 136 \implies l = 8.5\,\text{cm}$ (donnée $l=5$ erronée dans l'énoncé → on suppose que l'énoncé voulait dire qu'on cherche $h$ sachant $A_{\text{totale}}=200$, $côté=8$, et on connaît $l$ par ailleurs ?) → Correction de l'exercice : supposons que l'énoncé donne $A_{\text{totale}}=200$, $côté=8$, et on cherche $h$, sachant que $l$ est liée à $h$ et au côté. - $A_B = 64$ - $A_{\text{latérale}} = 200 - 64 = 136$ - $A_{\text{latérale}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot l = 16l = 136 \implies l = 8.5\,\text{cm}$ - Dans le triangle rectangle : $l^2 = h^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2 = h^2 + 4^2 = h^2 + 16$ - $8.5^2 = h^2 + 16 \implies 72.25 = h^2 + 16 \implies h^2 = 56.25 \implies h = 7.5\,\text{cm}$ --- ## X. Surface area and volume of the frustum of a pyramid ### Définition et propriétés > Un **frustum de pyramide** est la partie d'une pyramide située entre la base et un plan parallèle à la base qui la coupe. Il a deux bases parallèles et similaires (polygones), et des faces latérales trapézoïdales. Soit $A_B$ l'aire de la base inférieure, $A_b$ l'aire de la base supérieure, $h$ la hauteur verticale du frustum. - Pour des bases similaires, si le facteur d'échelle entre les bases est $k$, alors $A_b = k^2 A_B$. - Volume : $$ V = \frac{1}{3} h (A_B + A_b + \sqrt{A_B A_b}) $$ - Aire de surface latérale : somme des aires des trapèzes latéraux. Pour une pyramide droite à base régulière, si $P_B$ et $P_b$ sont les périmètres des bases, et $l$ la hauteur inclinée du frustum : $$ A_{\text{latérale}} = \frac{1}{2} (P_B + P_b) l $$ - Aire de surface totale : $A_{\text{totale}} = A_B + A_b + A_{\text{latérale}}$ ### Exemple résolu : Volume d'un frustum de pyramide carrée Un frustum de pyramide carrée droite a une base inférieure de côté $10\,\text{cm}$, une base supérieure de côté $6\,\text{cm}$, et une hauteur verticale de $8\,\text{cm}$. Trouver son volume. - $A_B = 10^2 = 100\,\text{cm}^2$ - $A_b = 6^2 = 36\,\text{cm}^2$ - $\sqrt{A_B A_b} = \sqrt{100 \cdot 36} = \sqrt{3600} = 60\,\text{cm}^2$ - $V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot (100 + 36 + 60) = \frac{8}{3} \cdot 196 = \frac{1568}{3} \approx 522.67\,\text{cm}^3$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver l'aire de surface totale d'un frustum de pyramide carrée droite où la base inférieure a un côté de $12\,\text{cm}$, la base supérieure un côté de $8\,\text{cm}$, et la hauteur inclinée du frustum est $5\,\text{cm}$. *Correction* : - $A_B = 12^2 = 144\,\text{cm}^2$ - $A_b = 8^2 = 64\,\text{cm}^2$ - $P_B = 4 \cdot 12 = 48\,\text{cm}$ - $P_b = 4 \cdot 8 = 32\,\text{cm}$ - $A_{\text{latérale}} = \frac{1}{2} (P_B + P_b) l = \frac{1}{2} (48 + 32) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 5 = 200\,\text{cm}^2$ - $A_{\text{totale}} = 144 + 64 + 200 = 408\,\text{cm}^2$ **Exercice 2** : Un frustum de pyramide a un volume de $280\,\text{cm}^3$. Si l'aire de sa base inférieure est $64\,\text{cm}^2$ et celle de sa base supérieure est $16\,\text{cm}^2$, trouver sa hauteur. *Correction* : $$ V = \frac{1}{3} h (A_B + A_b + \sqrt{A_B A_b}) \implies 280 = \frac{1}{3} h (64 + 16 + \sqrt{64 \cdot 16}) = \frac{1}{3} h (80 + \sqrt{1024}) = \frac{1}{3} h (80 + 32) = \frac{1}{3} h \cdot 112 $$ $$ 280 = \frac{112}{3} h \implies h = 280 \cdot \frac{3}{112} = \frac{840}{112} = 7.5\,\text{cm} $$ --- ## XI. Surface area and volume of sphere, hemispheres and balls ### Définition et propriétés > Une **sphère** est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance égale (le rayon $r$) d'un point fixe appelé centre. Une **hemisphère** est la moitié d'une sphère obtenue par une coupe passant par le centre. Le terme **"ball"** désigne souvent le solide sphérique (volume), tandis que "sphere" peut désigner la surface, mais en contexte de mesure, on utilise souvent les deux pour le solide. - Aire de surface d'une sphère : $A = 4\pi r^2$ - Volume d'une sphère : $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ - Pour une hemisphère : - Aire de surface courbée : $2\pi r^2$ - Aire de surface totale (incluant la base circulaire) : $2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$ - Volume : $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$ ### Exemple résolu : Aire et volume d'une sphère Une sphère a un rayon de $7\,\text{cm}$. Trouver son aire de surface et son volume. - $A = 4\pi \cdot 7^2 = 4\pi \cdot 49 = 196\pi\,\text{cm}^2 \approx 615.75\,\text{cm}^2$ - $V = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 = \frac{1372}{3}\pi \approx 1436.76\,\text{cm}^3$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver le volume d'une hemisphère de rayon $9\,\text{cm}$. *Correction* : $V = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 9^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 729 = 486\pi\,\text{cm}^3 \approx 1526.81\,\text{cm}^3$ **Exercice 2** : L'aire de surface totale d'une hemisphère est $150\pi\,\text{cm}^2$. Trouver son rayon. *Correction* : - $A_{\text{totale}} = 3\pi r^2 = 150\pi \implies 3r^2 = 150 \implies r^2 = 50 \implies r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,\text{cm}$ --- ## ## Synthèse du chapitre - **Nets** : Permettent de visualiser et de calculer l'aire de surface en dépliant les solides. - **Cuboids et prismes** : - Aire totale : $2(lw + lh + wh)$ ou $2A_B + Ph$ - Volume : $lwh$ ou $A_B h$ - **Cylindres circulaires droits** : - Aire totale : $2\pi r(r + h)$ - Volume : $\pi r^2 h$ - **Cônes circulaires droits** : - Aire totale : $\pi r(r + l)$ avec $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ - Volume : $\frac{1}{3} \pi r^2 h$ - **Frustums de cône** : - Aire totale : $\pi [R^2 + r^2 + (R + r)l]$, $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$ - Volume : $\frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$ - **Pyramides** : - Aire totale : $A_B + \frac{1}{2} P l$ - Volume : $\frac{1}{3} A_B h$ - **Frustums de pyramide** : - Aire totale : $A_B + A_b + \frac{1}{2}(P_B + P_b)l$ - Volume : $\frac{1}{3} h (A_B + A_b + \sqrt{A_B A_b})$ - **Sphères et hemisphères** : - Sphère : $A = 4\pi r^2$, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ - Hemisphère : $A_{\text{totale}} = 3\pi r^2$, $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ --- ## ## Glossaire - **Cuboid** : Solide à six faces rectangulaires, avec des faces opposées égales et parallèles. - **Prisme droit** : Solide dont les bases sont deux polygones congruents et parallèles, et les faces latérales sont des rectangles perpendiculaires aux bases. - **Cylindre circulaire droit** : Solide formé par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés, avec deux bases circulaires congruentes. - **Cône circulaire droit** : Solide formé par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés cathètes, avec une base circulaire et un sommet aligné avec le centre de la base. - **Frustum** : Partie d'un solide (cône ou pyramide) située entre la base et un plan parallèle à la base qui le coupe. - **Pyramide** : Solide formé par une base polygonale et des faces triangulaires se rejoignant en un sommet commun. - **Sphère** : Ensemble des points de l'espace à égale distance d'un centre donné. - **Hemisphère** : Moitié d'une sphère obtenue par une coupe passant par son centre. - **Génératrice** : Segment reliant le sommet d'un cône ou d'une pyramide à un point du périmètre de la base (pour un cône droit) ou la hauteur inclinée d'une face latérale (pour une pyramide droite). - **Aire de surface latérale** : Somme des aires des faces latérales d'un solide, excluant les bases. - **Aire de surface totale** : Somme des aires de toutes les faces d'un solide. - **Volume** : Mesure de l'espace occupé par un solide, exprimée en unités cubes.