2. Statistics

# 2. Statistics ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à fournir aux élèves de Form Five une compréhension approfondie des concepts fondamentaux de la statistique descriptive, en mettant l’accent sur la collecte, l’organisation, la représentation et l’interprétation des données. À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Différencier les types de données (qualitatives, quantitatives discrètes et continues) et de choisir une méthode de collecte appropriée. - Construire et interpréter des tableaux de fréquences (non groupés et groupés). - Représenter visuellement les données à l’aide de pictogrammes, diagrammes en bâtons, graphiques linéaires, camemberts, histogrammes et polygones de fréquences. - Calculer et interpréter les mesures de tendance centrale (moyenne, médiane, mode) pour des données brutes, non groupées et groupées. - Construire et interpréter une table de fréquences cumulées et une ogive. - Calculer et interpréter les mesures de dispersion (étendue, écart interquartile, variance, écart-type). **Prérequis** : Maîtrise des opérations arithmétiques de base, des fractions, des pourcentages, et de la lecture de tableaux simples. Familiarité avec le repérage sur un axe gradué. --- ## I. Types de données et collecte de données ### Définitions et classifications > **Donnée** : Toute information recueillie lors d’une observation ou d’une mesure, pouvant être exprimée sous forme numérique ou catégorielle. > **Donnée qualitative** : Variable qui décrit une qualité ou une caractéristique non numérique (ex. : couleur des yeux, type de logement, matière préférée). Elle est aussi appelée variable catégorielle. > **Donnée quantitative** : Variable qui prend des valeurs numériques et permet des opérations arithmétiques. Elle se subdivise en : > - **Discrète** : Valeurs dénombrables, généralement entières (ex. : nombre d’élèves par classe, nombre de voitures dans un parking). > - **Continue** : Valeurs pouvant prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle (ex. : taille, poids, température). > **Méthodes de collecte de données** : > - **Recensement** : Observation de toutes les unités de la population. > - **Échantillonnage** : Observation d’une partie représentative de la population (aléatoire simple, stratifié, par grappes). > - **Observation directe** : Enregistrement des phénomènes tels qu’ils se produisent. > - **Enquête par questionnaire** : Collecte via des questions structurées. > - **Utilisation de sources secondaires** : Données déjà recueillies (rapports gouvernementaux, bases de données). ### Exemple résolu Une école souhaite connaître le moyen de transport utilisé par ses élèves pour venir en cours. - **Type de donnée** : Qualitative (catégorielle : bus, marche, vélo, voiture familiale). - **Méthode de collecte** : Questionnaire distribué à tous les élèves (recensement). - **Résultat attendu** : Tableau de fréquences montrant le nombre d’élèves par catégorie. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Classez les variables suivantes comme qualitatives discrètes, quantitatives discrètes ou quantitatives continues : a) Le nombre de frères et sœurs d’un élève b) La couleur des cheveux c) La température ambiante en classe d) La note obtenue à un test de mathématiques (sur 20) e) Le temps mis pour parcourir 100 m **Corrigé** : a) Quantitative discrète (valeurs entières dénombrables) b) Qualitative (catégorielle) c) Quantitative continue (peut prendre toute valeur réelle dans un intervalle) d) Quantitative discrète (si notée sur 20 avec pas de 0,5 ou 1, mais souvent traitée comme discrète en contexte scolaire) e) Quantitative continue **Exercice 2** : Un chercheur veut étudier la consommation moyenne d’eau par ménage dans une ville de 50 000 foyers. Quelle méthode de collecte serait la plus appropriée ? Justifiez. **Corrigé** : Échantillonnage aléatoire simple. Un recensement serait coûteux et long. Un échantillon représentatif (ex. : 500 foyers) permet d’estimer la moyenne avec une bonne précision tout en réduisant les coûts et le temps. --- ## II. Tableau de fréquences (données non groupées et groupées) ### Définitions > **Fréquence absolue** : Nombre de fois qu’une valeur particulière apparaît dans un ensemble de données. Notée $f_i$. > **Fréquence relative** : Proportion de la fréquence absolue par rapport au total des effectifs. Notée $f_i / N$, souvent exprimée en pourcentage. > **Fréquence cumulée** : Somme des fréquences absolues de toutes les valeurs inférieures ou égales à une donnée valeur. Notée $F_i$. > **Tableau de fréquences non groupé** : Utilisé pour les données discrètes avec peu de valeurs distinctes (chaque valeur est listée individuellement). > **Tableau de fréquences groupé** : Utilisé pour les données continues ou discrètes avec beaucoup de valeurs. Les données sont regroupées en intervalles de classes (ou bins) de même largeur. > **Classe** : Intervalle $[L_i, U_i)$ où $L_i$ est la borne inférieure et $U_i$ la borne supérieure. > **Marque de classe** : Milieu de l’intervalle, noté $x_i = \frac{L_i + U_i}{2}$. > **Amplitude de classe** : $h = U_i - L_i$. ### Exemple résolu : Données non groupées Données : Nombre de livres lus par 20 élèves en un mois : 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6 **Tableau de fréquences non groupé** : | Nombre de livres ($x$) | Fréquence absolue ($f$) | Fréquence relative ($f/N$) | Fréquence cumulée ($F$) | |------------------------|--------------------------|----------------------------|--------------------------| | 0 | 1 | 1/20 = 0,05 | 1 | | 1 | 2 | 2/20 = 0,10 | 3 | | 2 | 3 | 3/20 = 0,15 | 6 | | 3 | 4 | 4/20 = 0,20 | 10 | | 4 | 3 | 3/20 = 0,15 | 13 | | 5 | 5 | 5/20 = 0,25 | 18 | | 6 | 2 | 2/20 = 0,10 | 20 | | **Total** | **20** | **1,00** | | ### Exemple résolu : Données groupées Données : Tailles (en cm) de 30 élèves : 145, 148, 150, 152, 153, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179 On choisit 6 classes de largeur 5 cm, commençant à 145. | Classe | Borne inférieure ($L_i$) | Borne supérieure ($U_i$) | Marque de classe ($x_i$) | Effectif ($f_i$) | |--------------|---------------------------|---------------------------|---------------------------|------------------| | 145 – 149 | 145 | 150 | 147 | 2 | | 150 – 154 | 150 | 155 | 152 | 3 | | 155 – 159 | 155 | 160 | 157 | 4 | | 160 – 164 | 160 | 165 | 162 | 5 | | 165 – 169 | 165 | 170 | 167 | 6 | | 170 – 174 | 170 | 175 | 172 | 5 | | 175 – 179 | 175 | 180 | 177 | 5 | | **Total** | | | | **30** | > **Remarque** : Dans les intervalles, on considère généralement $[L_i, U_i)$ pour éviter les doubles comptes aux frontières. Ici, 150 appartient à la classe 150–154, pas à 145–149. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 3** : Construire un tableau de fréquences non groupé pour les notes suivantes (sur 10) obtenues par 15 élèves : 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 **Corrigé** : | Note ($x$) | $f$ | $f/N$ | $F$ | |------------|-----|-------|-----| | 4 | 1 | 1/15 | 1 | | 5 | 2 | 2/15 | 3 | | 6 | 3 | 3/15 | 6 | | 7 | 4 | 4/15 | 10 | | 8 | 3 | 3/15 | 13 | | 9 | 2 | 2/15 | 15 | | **Total** | 15 | 1 | | **Exercice 4** : Les hauteurs (en cm) de 20 plantes sont : 12, 15, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 Construire un tableau de fréquences groupé avec 5 classes de largeur 5 cm, commençant à 10. **Corrigé** : Classes : [10–15), [15–20), [20–25), [25–30), [30–35) | Classe | $L_i$ | $U_i$ | $x_i$ | $f_i$ | |------------|-------|-------|-------|-------| | 10 – 15 | 10 | 15 | 12,5 | 2 (12, 15) | | 15 – 20 | 15 | 20 | 17,5 | 3 (18,19,20) | | 20 – 25 | 20 | 25 | 22,5 | 5 (21,22,23,24,25) | | 25 – 30 | 25 | 30 | 27,5 | 5 (26,27,28,29,30) | | 30 – 35 | 30 | 35 | 32,5 | 5 (31,32,33,34,35) | | **Total** | | | | **20** | > **Note** : 15 est inclus dans [15–20) car on adopte la convention $[L_i, U_i)$. --- ## III. Représentation des données : Pictogramme, diagramme en bâtons ### Pictogramme / Idéogramme > **Pictogramme** : Représentation graphique où chaque symbole ou image représente une quantité fixe de données. Utile pour les données qualitatives ou discrètes avec petits effectifs. **Exemple** : Nombre d’élèves utilisant différents moyens de transport : Bus : 10, Marche : 8, Vélo : 4, Voiture : 6 On choisit un symbole 🚗 = 2 élèves. | Transport | Représentation pictographique | Effectif | |-----------|-------------------------------|----------| | Bus | 🚗🚗🚗🚗🚗 | 10 | | Marche | 🚗🚗🚗🚗🚗🚗🚗🚗 | 8 | | Vélo | 🚗🚗 | 4 | | Voiture | 🚗🚗🚗 | 6 | ### Diagramme en bâtons (Bar chart) > **Diagramme en bâtons** : Représentation où la longueur de chaque bâton est proportionnelle à la fréquence ou à la fréquence relative d’une catégorie. Utilisé pour les données qualitatives ou discrètes. **Propriétés** : - Les bâtons sont séparés (espace entre eux) pour souligner la nature catégorielle. - L’axe des ordonnées représente les effectifs ou fréquences. - L’axe des abscisses représente les catégories. - Tous les bâtons ont la même largeur. - L’ordre des catégories peut être arbitraire (sauf si ordonné naturellement). **Exemple résolu** : Même donnée que ci-dessus (transport). On trace : - Axe des x : Bus, Marche, Vélo, Voiture - Axe des y : Effectif de 0 à 12 par pas de 2 - Bâtons : Bus (hauteur 10), Marche (8), Vélo (4), Voiture (6) **Interprétation** : Le bus est le moyen de transport le plus utilisé, suivi de la marche, puis de la voiture, enfin du vélo. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 5** : Représenter par un diagramme en bâtons les couleurs préférées de 30 élèves : Rouge : 7, Bleu : 9, Vert : 5, Jaune : 6, Noir : 3 **Corrigé** : - Axe x : Couleurs (Rouge, Bleu, Vert, Jaune, Noir) - Axe y : Effectif de 0 à 10 - Bâtons : Rouge (7), Bleu (9), Vert (5), Jaune (6), Noir (3) → Le bleu est la couleur la plus préférée. **Exercice 6** : Pourquoi un diagramme en bâtons est-il préférable à un pictogramme pour représenter des effectifs élevés ? **Corrigé** : Un pictogramme devient peu lisible lorsque les effectifs sont grands (trop de symboles à dessiner ou à compter). Le diagramme en bâtons permet une lecture rapide et précise des valeurs, même élevées, grâce à l’échelle graduée. --- ## IV. Représentation des données : Graphique linéaire et camembert ### Graphique linéaire (Line graph) > **Graphique linéaire** : Représentation de points reliés par des segments de droite, utilisé pour montrer l’évolution d’une variable quantitative en fonction d’une autre variable souvent temporelle ou ordonnée (ex. : temps, ordre de classe). **Utilisation** : Données quantitatives mesurées à intervalles réguliers (ex. : température journalière, ventes mensuelles, effectif d’élèves par année). **Propriétés** : - L’axe des abscisses représente la variable indépendante (souvent le temps). - L’axe des ordonnées représente la variable dépendante (effectif, moyenne, etc.). - Les points sont reliés dans l’ordre croissant de la variable indépendante. - Permet d’identifier les tendances (hausse, baisse, stabilité), les variations saisonnières, les points extrêmes. **Exemple résolu** : Nombre d’élèves inscrits en Form Five sur 5 années : 2019 : 120, 2020 : 135, 2021 : 140, 2022 : 125, 2023 : 150 On trace : - Axe x : Années (2019 à 2023) - Axe y : Effectif de 100 à 160 - Points : (2019,120), (2020,135), (2021,140), (2022,125), (2023,150) - Segments reliant les points consécutifs. **Interprétation** : Effectif en hausse de 2019 à 2021, baisse en 2022, puis forte hausse en 2023. ### Camembert (Pie chart) > **Camembert** : Diagramme circulaire divisé en secteurs dont l’angle au centre est proportionnel à la fréquence relative de chaque catégorie. Utilisé pour montrer la répartition en pourcentage d’un tout. **Formule** : Angle du secteur = $\frac{f_i}{N} \times 360^\circ$ **Propriétés** : - La somme des angles est toujours $360^\circ$. - Chaque secteur représente une part du tout. - Le secteur le plus grand correspond à la catégorie la plus fréquente. - Moins efficace lorsqu’il y a trop de catégories (>6) ou des différences faibles. **Exemple résolu** : Même donnée que l’exercice 5 (couleurs préférées : R:7, B:9, V:5, J:6, N:3 ; total=30) - Rouge : $\frac{7}{30} \times 360 = 84^\circ$ - Bleu : $\frac{9}{30} \times 360 = 108^\circ$ - Vert : $\frac{5}{30} \times 360 = 60^\circ$ - Jaune : $\frac{6}{30} \times 360 = 72^\circ$ - Noir : $\frac{3}{30} \times 360 = 36^\circ$ - Vérification : $84+108+60+72+36 = 360^\circ$ On trace un cercle et on rapporte ces angles successivement à partir d’une référence fixe (ex. : haut). **Interprétation** : Le bleu occupe la plus grande part (36%), suivi du rouge (28%), du jaune (20%), du vert (16%) et du noir (12%). ### Exercices d’application corrigés **Exercice 7** : Représenter par un graphique linéaire l’évolution de la moyenne de classe en mathématiques sur 4 trimestres : T1 : 12,5, T2 : 13,0, T3 : 12,8, T4 : 13,5 **Corrigé** : - Axe x : Trimestres (T1, T2, T3, T4) - Axe y : Moyenne de 12,0 à 14,0 - Points : (T1,12,5), (T2,13,0), (T3,12,8), (T4,13,5) - Segments reliant les points. → Légère baisse au T3, puis reprise au T4. **Exercice 8** : Un camembert montre que 40% des élèves aiment les mathématiques, 30% la physique, 20% la chimie et 10% la biologie. Quel est l’angle du secteur correspondant à la physique ? **Corrigé** : $\frac{30}{100} \times 360 = 108^\circ$ --- ## V. Représentation des données : Histogramme et polygone de fréquences ### Histogramme > **Histogramme** : Représentation graphique d’une distribution de fréquences groupées, où l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à la fréquence de la classe. Utilisé pour les données quantitatives continues ou discrètes groupées. **Propriétés** : - L’axe des abscisses représente les classes (intervalles). - L’axe des ordonnées représente la **densité de fréquence** : $\frac{f_i}{h}$, où $h$ est l’amplitude de classe (si les classes ont des largeurs égales, on peut utiliser simplement $f_i$). - Si les classes ont la même largeur, la hauteur du rectangle est proportionnelle à $f_i$. - Les rectangles sont accolés (pas d’espace entre eux) pour souligner la continuité de la variable. - L’aire totale de l’histogramme représente le total des effectifs (si on utilise la densité) ou est proportionnelle à $N$ (si on utilise $f_i$ directement). > **Remarque importante** : Lorsque les largeurs de classe sont égales, on trace souvent un histogramme où la hauteur = $f_i$ (fréquence absolue), et on l’appelle alors « histogramme de fréquences ». Dans ce cas, l’aire n’est pas strictement proportionnelle à $f_i$, mais comme $h$ est constant, l’aire est proportionnelle à $f_i$. Pour simplifier au niveau Form Five, on utilise souvent cette version lorsque les classes sont égales. **Exemple résolu** : Reprendre le tableau des tailles (exemple II, données groupées) : Classes de largeur 5 cm : [145–150), [150–155), [155–160), [160–165), [165–170), [170–175), [175–180) Effectifs : 2, 3, 4, 5, 6, 5, 5 Comme toutes les classes ont la même largeur ($h=5$), on trace un histogramme avec : - Axe x : Intervalles de tailles (145 à 180) - Axe y : Effectif de 0 à 7 - Rectangles : hauteur égale à l’effectif de chaque classe, largeur = 5 cm, accolés. **Interprétation** : La classe la plus fréquente est [165–170) avec 6 élèves. La distribution semble légèrement asymétrique vers la droite. ### Polygone de fréquences (Frequency polygon) > **Polygone de fréquences** : Ligne brisée obtenue en reliant les points situés au milieu du sommet supérieur de chaque rectangle de l’histogramme, à une hauteur égale à la fréquence de la classe (ou à la densité si largeurs inégales). On ajoute souvent des points fictifs à zéro de chaque côté pour fermer la figure. **Construction** : 1. Calculer la marque de classe $x_i = \frac{L_i + U_i}{2}$ pour chaque classe. 2. Tracer un point de coordonnées $(x_i, f_i)$ pour chaque classe. 3. Relier ces points par des segments de droite. 4. Ajouter un point avant la première classe et après la dernière classe, sur l’axe des abscisses, à hauteur 0 (marques de classe fictives : $x_0 = L_1 - h$, $x_{k+1} = U_k + h$). **Exemple résolu** : Même donnée que ci-dessus. Marques de classe : 147,5 ; 152,5 ; 157,5 ; 162,5 ; 167,5 ; 172,5 ; 177,5 Effectifs : 2, 3, 4, 5, 6, 5, 5 Points : (147,5,2), (152,5,3), (157,5,4), (162,5,5), (167,5,6), (172,5,5), (177,5,5) Points fictifs : (142,5,0) et (182,5,0) On trace le polygone en reliant : (142,5,0) → (147,5,2) → ... → (177,5,5) → (182,5,0) **Interprétation** : Le polygone de fréquences permet de visualiser la forme de la distribution (ici, unimodale, avec un pic autour de 167,5 cm) et de comparer plusieurs distributions sur le même axe. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 9** : Construire un histogramme et un polygone de fréquences pour les données suivantes (poids en kg de 25 élèves) : 40–44 : 3, 45–49 : 5, 50–54 : 7, 55–59 : 6, 60–64 : 4 **Corrigé** : Largeur de classe $h = 5$ (égale pour toutes). Marques de classe : 42, 47, 52, 57, 62 Effectifs : 3, 5, 7, 6, 4 **Histogramme** : - Axe x : Poids de 40 à 65 - Axe y : Effectif de 0 à 8 - Rectangles : [40–45) hauteur 3, [45–50) hauteur 5, [50–55) hauteur 7, [55–60) hauteur 6, [60–65) hauteur 4 **Polygone de fréquences** : Points : (42,3), (47,5), (52,7), (57,6), (62,4) Points fictifs : (37,0) et (67,0) Relier dans l’ordre : (37,0) → (42,3) → (47,5) → (52,7) → (57,6) → (62,4) → (67,0) **Interprétation** : La classe modale est [50–55) avec 7 élèves. La distribution est légèrement asymétrique vers la gauche. **Exercice 10** : Pourquoi ne peut-on pas utiliser un histogramme pour représenter des données qualitatives ? **Corrigé** : Un histogramme représente la distribution d’une variable quantitative continue ou discrète groupée, où l’axe des abscisses est une échelle numérique continue. Les données qualitatives n’ont pas d’ordre numérique ni de mesure d’intervalle, donc il n’y a pas de notion de « classe » ou de « largeur » significative. On utilise plutôt un diagramme en bâtons. --- ## VI. Mesures de tendance centrale : Données brutes et non groupées ### Moyenne (Mean) > **Moyenne arithmétique** : Somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs. Notée $\bar{x}$. > **Formule** : $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ > **Propriétés** : > - Sensible aux valeurs extrêmes (outliers). > - La somme des écarts par rapport à la moyenne est nulle : $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$. > - Utilisée lorsque les données sont quantitatives et symétriquement distribuées. ### Médiane (Median) > **Médiane** : Valeur qui partage l’ensemble des données ordonnées en deux parties égales. > - Si $n$ est impair : $M = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$ > - Si $n$ est pair : $M = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}$ > **Propriétés** : > - Résistante aux valeurs extrêmes. > - Utilisée lorsque les données sont asymétriques ou contiennent des outliers. > - Nécessite de trier les données. ### Mode (Mode) > **Mode** : Valeur qui apparaît le plus fréquemment dans un ensemble de données. > - Peut être unique, multiple (bimodal, trimodal) ou inexistant (si toutes les valeurs sont uniques). > **Propriétés** : > - Peut être utilisé avec des données qualitatives. > - Pas affecté par les valeurs extrêmes. > - Peut ne pas être représentatif si la distribution est plate ou multimodale. ### Exemple résolu : Données brutes Données : Nombre de buts marqués par un joueur de football en 10 matchs : 1, 2, 0, 3, 2, 1, 2, 0, 4, 2 **Étape 1 : Moyenne** Somme = $1+2+0+3+2+1+2+0+4+2 = 17$ $n = 10$ $\bar{x} = \frac{17}{10} = 1,7$ **Étape 2 : Médiane** Trier les données : 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4 $n = 10$ (pair) → positions 5 et 6 $x_5 = 2$, $x_6 = 2$ $M = \frac{2+2}{2} = 2$ **Étape 3 : Mode** Valeur la plus fréquente : 2 apparaît 4 fois (plus que toute autre) $\text{Mode} = 2$ **Interprétation** : En moyenne, le joueur marque 1,7 buts par match. La moitié du temps, il marque 2 buts ou moins. Le score le plus fréquent est 2 buts. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 11** : Calculer la moyenne, la médiane et le mode pour les données suivantes : 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 12 **Corrigé** : - Somme = $5+7+7+8+9+9+9+10+12 = 76$ $n=9$ $\bar{x} = \frac{76}{9} \approx 8,44$ - Trier : 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 12 (déjà trié) $n=9$ (impair) → position $\frac{9+1}{2}=5$ → $x_5 = 9$ $M = 9$ - Mode : 9 apparaît 3 fois (plus fréquent) → Mode = 9 → Moyenne ≈ 8,44, Médiane = 9, Mode = 9 **Exercice 12** : Pourquoi la médiane est-elle préférable à la moyenne lorsqu’il y a des valeurs extrêmes ? Donnez un exemple. **Corrigé** : La moyenne est influencée par les valeurs extrêmes, tandis que la médiane ne l’est pas. Exemple : Salaires (en milliers FCFA) : 200, 220, 250, 230, 240, 210, 5000 Moyenne = $\frac{200+220+250+230+240+210+5000}{7} \approx 907,14$ Médiane : trier : 200,210,220,230,240,250,5000 → 4e valeur = 230 La moyenne est fortement biaisée par le salaire de 5000, tandis que la médiane (230) représente mieux le salaire typique. ---