1. Coordinate geometry

# 1. Coordinate geometry ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à consolider les connaissances en géométrie analytique pour les élèves de Form Five (système éducatif camerounais anglophone). À l’issue de ce cours, l’élève sera capable de : - Interpréter et tracer les graphes de fonctions quadratiques et linéaires ; - Résoudre des équations et inéquations du second degré par méthode graphique ; - Calculer la distance entre deux points, le milieu d’un segment, et le gradient d’une droite ; - Déterminer les coordonnées d’un point divisant un segment dans un rapport donné (interne ou externe) ; - Établir l’équation d’une droite à partir du gradient et d’un point, ou de deux points ; - Identifier les conditions de parallélisme et de perpendicularité entre droites ; - Résoudre graphiquement un système d’équations linéaires ; - Relier les propriétés algébriques d’une fonction quadratique à son graphe (sommet, axe de symétrie, racines). **Prérequis** : Maîtrise des opérations sur les nombres réels, résolution d’équations du premier degré, notions de fonction et de représentation graphique élémentaire, manipulation des expressions algébriques (factorisation, développement), utilisation du repère cartésien. --- ## I. First contact and diagnostic assessment Cette leçon sert à évaluer les acquis antérieurs et à introduire les concepts fondamentaux de la géométrie analytique dans le repère cartésien orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. ### Diagnostic : notions de base - Un point dans le plan est représenté par un couple ordonné $(x, y)$. - Les axes $Ox$ et $Oy$ sont perpendiculaires et gradués. - Les quatre quadrants sont définis par les signes de $x$ et $y$. > **À retenir** : Dans le repère cartésien, les coordonnées d’un point $M$ sont notées $M(x; y)$, où $x$ est l’abscisse et $y$ l’ordonnée. ### Exemple 1 : Localisation de points Localiser les points $A(2; 3)$, $B(-1; 4)$, $C(0; -2)$, $D(-3; -1)$. **Solution** : - $A$ : 2 unités à droite de $O$, 3 unités au-dessus → 1er quadrant. - $B$ : 1 unité à gauche, 4 unités au-dessus → 2e quadrant. - $C$ : sur l’axe $Oy$, 2 unités en dessous → axe des ordonnées négatives. - $D$ : 3 unités à gauche, 1 unité en dessous → 3e quadrant. ### Exercice 1 : Diagnostic 1. Donnez les coordonnées du point symétrique de $P(4; -5)$ par rapport à : a) l’axe $Ox$ b) l’axe $Oy$ c) l’origine $O$ 2. Quel est le quadrant du point $Q(-2; 3)$ ? 3. Vrai ou faux : Le point $(0; 0)$ appartient au 1er quadrant. **Corrigé** : 1. a) $P'(4; 5)$ (changement du signe de $y$) b) $P''(-4; -5)$ (changement du signe de $x$) c) $P'''(-4; 5)$ (changement des deux signes) 2. $x < 0$, $y > 0$ → 2e quadrant. 3. Faux : l’origine n’appartient à aucun quadrant. --- ## II. Study of the graphs of quadratic functions Une fonction quadratique s’écrit sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$. Son graphe est une parabole. ### Propriétés du graphe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ - Si $a > 0$ : la parabole est ouverte vers le haut (creux en bas). - Si $a < 0$ : la parabole est ouverte vers le bas (creux en haut). - L’axe de symétrie est la droite verticale $x = -\frac{b}{2a}$. - Le sommet $S$ a pour abscisse $x_S = -\frac{b}{2a}$ et ordonnée $y_S = f(x_S)$. - Le $y$-intercept est le point $(0; c)$. - Les $x$-intercepts (racines réelles) sont les solutions de $ax^2 + bx + c = 0$. > **À retenir** : Le sommet de la parabole $f(x) = ax^2 + bx + c$ est $S\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. ### Exemple 2 : Étude de $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ - $a = 2 > 0$ → ouverture vers le haut. - Axe de symétrie : $x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$. - Sommet : $x_S = 1$, $y_S = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$ → $S(1; -1)$. - $y$-intercept : $f(0) = 1$ → $C(0; 1)$. - $x$-intercepts : résoudre $2x^2 - 4x + 1 = 0$ → $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 > 0$ → deux racines réelles : $x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ → $x_1 \approx 0.29$, $x_2 \approx 1.71$. ### Exercice 2 : Application Pour chaque fonction, déterminer : a) le sens d’ouverture, b) le sommet, c) l’axe de symétrie, d) les intercepts avec les axes. 1. $f(x) = -x^2 + 6x - 8$ 2. $f(x) = 3x^2 + 6x + 2$ **Corrigé** : 1. $a = -1 < 0$ → ouverture vers le bas. $x_S = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$, $y_S = f(3) = -9 + 18 - 8 = 1$ → $S(3; 1)$. Axe : $x = 3$. $y$-intercept : $f(0) = -8$ → $(0; -8)$. $x$-intercepts : $-x^2 + 6x - 8 = 0$ → $x^2 - 6x + 8 = 0$ → $(x-2)(x-4)=0$ → $x=2, 4$ → $(2;0), (4;0)$. 2. $a = 3 > 0$ → ouverture vers le haut. $x_S = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -1$, $y_S = f(-1) = 3 - 6 + 2 = -1$ → $S(-1; -1)$. Axe : $x = -1$. $y$-intercept : $f(0) = 2$ → $(0; 2)$. $x$-intercepts : $3x^2 + 6x + 2 = 0$ → $\Delta = 36 - 24 = 12$ → $x = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ → deux racines réelles négatives. --- ## III. Solutions to quadratic equations and inequalities using graphs Le graphe d’une fonction quadratique permet de résoudre graphiquement : - $f(x) = 0$ → abscisses des points d’intersection avec l’axe $Ox$, - $f(x) > 0$ → intervalles où le graphe est au-dessus de l’axe $Ox$, - $f(x) < 0$ → intervalles où le graphe est en dessous de l’axe $Ox$. > **À retenir** : Pour résoudre $ax^2 + bx + c \geq 0$ graphiquement, on regarde où la parabole est au-dessus ou sur l’axe $Ox$ (selon le signe de $a$). ### Exemple 3 : Résolution graphique de $x^2 - 5x + 6 \geq 0$ - Fonction : $f(x) = x^2 - 5x + 6$, $a = 1 > 0$ → ouverture vers le haut. - Racines : $x^2 - 5x + 6 = 0$ → $(x-2)(x-3)=0$ → $x=2$, $x=3$. - Sommet : $x_S = \frac{5}{2} = 2.5$, $y_S = f(2.5) = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$ → en dessous de l’axe. - Le graphe est au-dessus de l’axe $Ox$ pour $x \leq 2$ et $x \geq 3$, et sur l’axe en $x=2,3$. - Solution : $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$. ### Exercice 3 : Application Résoudre graphiquement : 1. $-2x^2 + 8x - 6 < 0$ 2. $x^2 - 4x + 3 \leq 0$ **Corrigé** : 1. $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$, $a = -2 < 0$ → ouverture vers le bas. Racines : $-2x^2 + 8x - 6 = 0$ → diviser par $-2$ : $x^2 - 4x + 3 = 0$ → $(x-1)(x-3)=0$ → $x=1, 3$. Comme $a < 0$, le graphe est au-dessus de l’axe entre les racines. On veut $f(x) < 0$ → graphe en dessous de l’axe → $x < 1$ ou $x > 3$. Solution : $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$. 2. $f(x) = x^2 - 4x + 3$, $a = 1 > 0$ → ouverture vers le haut. Racines : $x=1, 3$. On veut $f(x) \leq 0$ → graphe en dessous ou sur l’axe → entre les racines inclus. Solution : $x \in [1; 3]$. --- ## IV. Point dividing a line segment in a given ratio (Internal and external division) Soient deux points $A(x_1; y_1)$ et $B(x_2; y_2)$. On cherche les coordonnées du point $P$ qui divise le segment $[AB]$ dans le rapport $k = \frac{AP}{PB}$. ### Formule de division interne Si $P$ divise $[AB]$ en interne dans le rapport $m:n$ (c’est-à-dire $\frac{AP}{PB} = \frac{m}{n}$), alors : $$ P\left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}; \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right) $$ ### Formule de division externe Si $P$ divise $[AB]$ en externe dans le rapport $m:n$ (c’est-à-dire $\frac{AP}{PB} = \frac{m}{n}$ avec $P$ situé sur la droite $(AB)$ hors du segment), alors : $$ P\left( \frac{m x_2 - n x_1}{m - n}; \frac{m y_2 - n y_1}{m - n} \right), \quad m \neq n $$ > **À retenir** : En division interne, on utilise la somme $m+n$ au dénominateur ; en division externe, on utilise la différence $m-n$ (avec $m \neq n$). ### Exemple 4 : Division interne Donné $A(2; 3)$ et $B(8; 9)$, trouver les coordonnées du point $P$ qui divise $[AB]$ dans le rapport $2:3$ (interne). **Solution** : $m=2$, $n=3$, $$ x_P = \frac{2 \cdot 8 + 3 \cdot 2}{2+3} = \frac{16 + 6}{5} = \frac{22}{5} = 4.4, \quad y_P = \frac{2 \cdot 9 + 3 \cdot 3}{5} = \frac{18 + 9}{5} = \frac{27}{5} = 5.4 $$ → $P(4.4; 5.4)$. ### Exemple 5 : Division externe Même points $A(2; 3)$, $B(8; 9)$, trouver $P$ tel que $\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$ en externe. **Solution** : $m=2$, $n=3$, $$ x_P = \frac{2 \cdot 8 - 3 \cdot 2}{2 - 3} = \frac{16 - 6}{-1} = \frac{10}{-1} = -10, \quad y_P = \frac{2 \cdot 9 - 3 \cdot 3}{-1} = \frac{18 - 9}{-1} = \frac{9}{-1} = -9 $$ → $P(-10; -9)$. ### Exercice 4 : Application 1. $A(-1; 4)$, $B(5; -2)$. Trouver le point $P$ qui divise $[AB]$ en interne dans le rapport $3:1$. 2. Même points, trouver $P$ tel que $\frac{AP}{PB} = \frac{1}{2}$ en externe. **Corrigé** : 1. $m=3$, $n=1$, $x_P = \frac{3 \cdot 5 + 1 \cdot (-1)}{4} = \frac{15 - 1}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$, $y_P = \frac{3 \cdot (-2) + 1 \cdot 4}{4} = \frac{-6 + 4}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$ → $P(3.5; -0.5)$. 2. $m=1$, $n=2$, $x_P = \frac{1 \cdot 5 - 2 \cdot (-1)}{1-2} = \frac{5 + 2}{-1} = \frac{7}{-1} = -7$, $y_P = \frac{1 \cdot (-2) - 2 \cdot 4}{-1} = \frac{-2 - 8}{-1} = \frac{-10}{-1} = 10$ → $P(-7; 10)$. --- ## V. Distance between two points and midpoint of a line segment ### Distance entre deux points La distance $d$ entre $A(x_1; y_1)$ et $B(x_2; y_2)$ est donnée par : $$ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ Cette formule découle du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par les projections sur les axes. > **À retenir** : La distance entre deux points est toujours positive ou nulle, et $d(A,B) = d(B,A)$. ### Milieu d’un segment Le milieu $M$ du segment $[AB]$ est le point qui le divise en deux parties égales (rapport $1:1$ en interne) : $$ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $$ ### Exemple 6 : Distance et milieu Donné $A(-3; 1)$ et $B(5; -3)$. - Distance : $d = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$. - Milieu : $x_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$, $y_M = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ → $M(1; -1)$. ### Exercice 5 : Application 1. Calculer la distance entre $P(2; -5)$ et $Q(-4; 3)$. 2. Trouver le milieu du segment $[RS]$ où $R(-6; 2)$ et $S(4; -8)$. 3. Si le milieu de $[AB]$ est $M(3; -1)$ et $A(1; 2)$, trouver $B$. **Corrigé** : 1. $d = \sqrt{(-4-2)^2 + (3-(-5))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$. 2. $x_M = \frac{-6+4}{2} = -1$, $y_M = \frac{2+(-8)}{2} = -3$ → $M(-1; -3)$. 3. Soit $B(x; y)$. $\frac{1+x}{2} = 3 \Rightarrow 1+x = 6 \Rightarrow x = 5$, $\frac{2+y}{2} = -1 \Rightarrow 2+y = -2 \Rightarrow y = -4$ → $B(5; -4)$. --- ## VI. Gradient of a line or line segment and collinear points Le gradient (ou pente) d’une droite ou d’un segment de droite mesure son inclination par rapport à l’axe des $x$. ### Gradient d’un segment Le gradient $m$ du segment joignant $A(x_1; y_1)$ et $B(x_2; y_2)$ est : $$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad x_2 \neq x_1 $$ - Si $x_2 = x_1$, la droite est verticale → gradient indéfini (ou infini). - Si $y_2 = y_1$, la droite est horizontale → gradient $= 0$. > **À retenir** : Le gradient est le rapport de la différence d’ordonnées sur la différence d’abscisses : « montée sur course ». ### Points alignés (collinéaires) Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si : $$ \text{gradient de } AB = \text{gradient de } BC = \text{gradient de } AC $$ Autrement dit, les pentes entre chaque paire de points sont égales. ### Exemple 7 : Gradient et alignement 1. Gradient de $A(1; 2)$ et $B(4; 8)$ : $m = \frac{8-2}{4-1} = \frac{6}{3} = 2$. 2. Vérifier si $A(1; 2)$, $B(4; 8)$, $C(7; 14)$ sont alignés : $m_{AB} = 2$, $m_{BC} = \frac{14-8}{7-4} = \frac{6}{3} = 2$, $m_{AC} = \frac{14-2}{7-1} = \frac{12}{6} = 2$ → tous égaux → alignés. ### Exercice 6 : Application 1. Trouver le gradient du segment joignant $P(-2; 5)$ et $Q(3; -5)$. 2. Les points $A(0; 0)$, $B(2; 4)$, $C(5; 10)$ sont-ils alignés ? Justifier. 3. Trouver $k$ tel que les points $A(1; 3)$, $B(4; k)$, $C(7; 9)$ soient alignés. **Corrigé** : 1. $m = \frac{-5 - 5}{3 - (-2)} = \frac{-10}{5} = -2$. 2. $m_{AB} = \frac{4-0}{2-0} = 2$, $m_{BC} = \frac{10-4}{5-2} = \frac{6}{3} = 2$, $m_{AC} = \frac{10-0}{5-0} = 2$ → tous égaux → alignés. 3. $m_{AB} = \frac{k-3}{4-1} = \frac{k-3}{3}$, $m_{BC} = \frac{9-k}{7-4} = \frac{9-k}{3}$, Égalité : $\frac{k-3}{3} = \frac{9-k}{3} \Rightarrow k-3 = 9-k \Rightarrow 2k = 12 \Rightarrow k = 6$. --- ## VII. Equation of a straight line given: gradient and a point, two points ### Cas 1 : Gradient et un point connu Si une droite a un gradient $m$ et passe par le point $P(x_0; y_0)$, alors son équation sous forme point-pente est : $$ y - y_0 = m(x - x_0) $$ On peut la réécrire sous forme réduite : $y = mx + c$, où $c = y_0 - m x_0$ est l’ordonnée à l’origine. > **À retenir** : L’équation d’une droite de gradient $m$ passant par $(x_0; y_0)$ est $y - y_0 = m(x - x_0)$. ### Cas 2 : Deux points connus Donné deux points $A(x_1; y_1)$ et $B(x_2; y_2)$, on calcule d’abord le gradient : $$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$ Puis on utilise la forme point-pente avec l’un des points. ### Exemple 8 : Équation d’une droite 1. Gradient $m = 3$, passant par $P(2; -1)$ : $y - (-1) = 3(x - 2)$ → $y + 1 = 3x - 6$ → $y = 3x - 7$. 2. Par les points $A(1; 4)$ et $B(3; 10)$ : $m = \frac{10-4}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$, En utilisant $A$ : $y - 4 = 3(x - 1)$ → $y = 3x + 1$. ### Exercice 7 : Application 1. Trouver l’équation de la droite de gradient $-2$ passant par $(4; 3)$. 2. Trouver l’équation de la droite passant par $(-1; 2)$ et $(3; -4)$. 3. Une droite passe par $(0; 5)$ et a un gradient de $0$. Quelle est son équation ? **Corrigé** : 1. $y - 3 = -2(x - 4)$ → $y - 3 = -2x + 8$ → $y = -2x + 11$. 2. $m = \frac{-4-2}{3-(-1)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$, En utilisant $(-1; 2)$ : $y - 2 = -\frac{3}{2}(x + 1)$ → $y = -\frac{3}{2}x - \frac{3}{2} + 2 = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$. 3. Gradient $0$ → droite horizontale → $y = \text{constante}$ → passant par $(0; 5)$ → $y = 5$. --- ## VIII. Parallel and perpendicular lines ### Droites parallèles Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même gradient. > **À retenir** : $d_1 \parallel d_2 \iff m_1 = m_2$. ### Droites perpendiculaires Deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs gradients est $-1$. > **À retenir** : $d_1 \perp d_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1$. Cas particuliers : - Une droite horizontale ($m=0$) est perpendiculaire à une droite verticale (gradient indéfini). - Une droite verticale est perpendiculaire à une droite horizontale. ### Exemple 9 : Parallélisme et perpendicularité 1. La droite $d_1 : y = 2x + 3$ et $d_2 : y = 2x - 5$ sont parallèles (même gradient $2$). 2. La droite $d_3 : y = -\frac{1}{2}x + 4$ est perpendiculaire à $d_1$ car $2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$. 3. La droite $x = 4$ (verticale) est perpendiculaire à $y = -3$ (horizontale). ### Exercice 8 : Application 1. Trouver l’équation de la droite parallèle à $y = -3x + 7$ et passant par $(2; -1)$. 2. Trouver l’équation de la droite perpendiculaire à $y = \frac{1}{4}x - 2$ et passant par $(-2; 3)$. 3. Les droites $d_1 : 2x - 3y = 6$ et $d_2 : 4x + 6y = 12$ sont-elles parallèles, perpendiculaires ou aucune des deux ? **Corrigé** : 1. Gradient voulu : $-3$ (même que la droite donnée). Par $(2; -1)$ : $y - (-1) = -3(x - 2)$ → $y + 1 = -3x + 6$ → $y = -3x + 5$. 2. Gradient de la droite donnée : $\frac{1}{4}$ → gradient perpendiculaire : $-4$ (car $\frac{1}{4} \cdot (-4) = -1$). Par $(-2; 3)$ : $y - 3 = -4(x + 2)$ → $y - 3 = -4x - 8$ → $y = -4x - 5$. 3. Mettre sous forme $y = mx + c$ : $d_1 : 2x - 3y = 6$ → $-3y = -2x + 6$ → $y = \frac{2}{3}x - 2$ → $m_1 = \frac{2}{3}$. $d_2 : 4x + 6y = 12$ → $6y = -4x + 12$ → $y = -\frac{2}{3}x + 2$ → $m_2 = -\frac{2}{3}$. $m_1 \cdot m_2 = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{9} \neq -1$, et $m_1 \neq m_2$ → ni parallèles, ni perpendiculaires. --- ## IX. Graphs of linear functions Une fonction linéaire s’écrit sous la forme $f(x) = mx + c$, où $m$ est le gradient et $c$ l’ordonnée à l’origine. ### Caractéristiques du graphe - C’est une droite. - Elle coupe l’axe des $y$ en $(0; c)$. - Elle coupe l’axe des $x$ en $\left(-\frac{c}{m}; 0\right)$, si $m \neq 0$. - Si $m > 0$ : la droite est croissante. - Si $m < 0$ : la droite est décroissante. - Si $m = 0$ : la droite est horizontale ($y = c$). - Si la droite est verticale, elle ne représente pas une fonction (elle serait de la forme $x = k$). > **À retenir** : Le graphe de $f(x) = mx + c$ est une droite de gradient $m$ et d’ordonnée à l’origine $c$. ### Exemple 10 : Tracé de $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ - Gradient $m = -\frac{1}{2} < 0$ → décroissante. - $y$-intercept : $(0; 3)$. - $x$-intercept : poser $y=0$ → $0 = -\frac{1}{2}x + 3$ → $\frac{1}{2}x = 3$ → $x = 6$ → $(6; 0)$. - On trace la droite passant par $(0; 3)$ et $(6; 0)$. ### Exercice 9 : Application Pour chaque fonction, déterminer : a) le gradient, b) l’ordonnée à l’origine, c) l’abscisse à l’origine (si elle existe), d) le sens de variation. 1. $f(x) = 4x - 5$ 2. $f(x) = -3x$ 3. $f(x) = 7$ **Corrigé** : 1. $m=4$, $c=-5$, $x$-int : $0=4x-5 \Rightarrow x=\frac{5}{4}$ → $(1.25; 0)$, croissante. 2. $m=-3$, $c=0$, $x$-int : $0=-3x \Rightarrow x=0$ → passe par l’origine, décroissante. 3. $m=0$, $c=7$, pas d’$x$-intercept (sauf si $c=0$) → droite horizontale $y=7$, constante. --- ## X. Graphical solutions of linear simultaneous equations Un système d’équations linéaires à deux inconnues : $$ \left\{ \begin{array}{l} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{array} \right. $$ peut être résolu graphiquement en tracant les deux droites et en lisant leurs coordonnées d’intersection. - Si les droites se coupent en un point unique → solution unique (système compatible déterminé). - Si les droites sont parallèles et distinctes → aucune solution (système incompatible). - Si les droites sont confondues → infiniment de solutions (système compatible indéterminé). > **À retenir** : La solution graphique d’un système linéaire est le point d’intersection de ses deux droites, s’il existe. ### Exemple 11 : Résolution graphique Résoudre graphiquement : $$ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{array} \right. $$ - Première équation : $y = -x + 5$ → gradient $-1$, $y$-int $(0; 5)$. - Deuxième équation : $y = 2x - 1$ → gradient $2$, $y$-int $(0; -1)$. - Intersection : résoudre algébriquement pour vérifier : Ajouter les deux équations : $3x = 6$ → $x=2$, puis $y=5-2=3$ → point $(2; 3)$. - Sur le graphe, les droites se coupent en $(2; 3)$ → solution unique. ### Exercice 10 : Application Résoudre graphiquement : 1. $\left\{\begin{array}{l} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{array}\right.$ 2. $\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{array}\right.$ 3. $\left\{\begin{array}{l} y = x - 2 \\ y = x + 1 \end{array}\right.$ **Corrigé** : 1. Première : $y=2x+1$ (gradient $2$, $y$-int $(0;1)$), Deuxième : $y=-x+4$ (gradient $-1$, $y$-int $(0;4)$). Intersection : $2x+1 = -x+4 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1$, $y=3$ → $(1; 3)$. 2. Deuxième équation : diviser par $2$ → $2x+3y=6$ → identique à la première → droites confondues → infiniment de solutions. 3. Première : $y=x-2$ (gradient $1$), Deuxième : $y=x+1$ (gradient $1$) → mêmes gradients, ordonnées à l’origine différentes ($-2$ vs $1$) → droites parallèles distinctes → aucune solution. --- ## XI. Graphs of quadratic functions (révision et synthèse) Cette leçon reprend l’étude des graphes de fonctions quadratiques, en insistant sur la liaison entre les caractéristiques algébriques et la forme du graphe. ### Formes usuelles et leurs avantages 1. **Forme développée** : $f(x) = ax^2 + bx + c$ → donne directement le $y$-intercept $(0; c)$. 2. **Forme factorisée** : $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$ → donne directement les $x$-intercepts $(r_1; 0)$ et $(r_2; 0)$ (si réelles). 3. **Forme canonique** : $f(x) = a(x - h)^2 + k$ → donne directement le sommet $S(h; k)$ et l’axe de symétrie $x = h$. > **À retenir** : La forme canonique révèle le sommet ; la forme factorisée révèle les racines ; la forme développée révèle l’ordonnée à l’origine. ### Exemple 12 : Conversion et tracé Donné $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$. - Forme développée : $a=2$, $b=-8$, $c=6$ → $y$-int $(0; 6)$. - Factoriser : $2(x^2 - 4x + 3) = 2(x-1)(x-3)$ → racines $x=1, 3$ → $(1;0), (3;0)$. - Compléter le carré : $2(x^2 - 4x) + 6 = 2[(x-2)^2 - 4] + 6 = 2(x-2)^2 - 8 + 6 = 2(x-2)^2 - 2$ → forme canonique : $f(x) = 2(x-2)^2 - 2$ → sommet $S(2; -2)$, axe $x=2$. - Comme $a>0$, ouverture vers le haut. ### Exercice 11 : Application Pour $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ : 1. Mettre sous forme factorisée. 2. Mettre sous forme canonique. 3. Déterminer le sommet, l’axe de symétrie, les intercepts. 4. Décrire le sens d’ouverture. **Corrigé** : 1. $-(x^2 - 4x + 3) = -(x-1)(x-3)$ → racines $x=1, 3$. 2. $-(x^2 - 4x) - 3 = -[(x-2)^2 - 4] - 3 = -(x-2)^2 + 4 - 3 = -(x-2)^2 + 1$ → sommet $S(2; 1)$, axe $x=2$. 3. $y$-int : $f(0) = -3$ → $(0; -3)$. Ouverture : $a=-1<0$ → vers le bas. --- ## ## Synthèse du chapitre - **Forme générale d’une fonction quadratique** : $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$ → graphe : parabole. - **Sommet** : $S\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$, axe de symétrie : $x = -\frac{b}{2a}$. - **Distance entre deux points** : $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. - **Milieu d’un segment** : $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$. - **Gradient** : $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (indéfini si $x_2 = x_1$). - **Équation d’une droite** : - Point-pente : $y - y_0 = m(x - x_0)$, - Deux points : calculer $m$ puis utiliser un point, - Réduite : $y = mx + c$. - **Parallélisme** : $m_1 = m_2$. - **Perpendicularité** : $m_1 \cdot m_2 = -1$. - **Division d’un segment** : - Interne : $P\left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}; \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}\right)$, - Externe : $P\left(\frac{m x_2 - n x_1}{m-n}; \frac{m y_2 - n y_1}{m-n}\right)$, $m \neq n$. - **Résolution graphique** : - Équations/inéquations du second degré : lecture des intervalles où le graphe est au-dessus/en dessous de $Ox$, - Systèmes linéaires : point d’intersection des droites. ---