ELECTROMAGNETISME (partie 3/4)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : à la fin de ce chapitre l’élève sera capable de - calculer le travail effectué par une force électromagnétique sur une charge ou un conducteur parcouru par un courant ; - appliquer la loi de Faraday‑Lenz pour déterminer la tension induite dans un circuit soumis à un variation de flux magnétique ; - expliquer l’origine des courants de Foucault, estimer leurs pertes et dimensionner un dispositif de freinage ou de chauffage par induction ; - réaliser les mesures de base (inductance, résistance, tension) avec un LCR‑mètre et interpréter les résultats dans un contexte professionnel (atelier électrique, poste de transformation, maintenance ferroviaire) ; - respecter les règles de sécurité et d’hygiène liées aux champs magnétiques forts et aux courants induits. **Prérequis** : notions de champ magnétique **B**, force de Lorentz **F = q (v × B)**, flux magnétique **Φ**, loi d’Ohm, circuits RL, unités du Système International (tesla, weber, ampère, volt, ohm, henry). --- ## Introduction contextualisée Dans les installations industrielles camerounaises, les phénomènes électromagnétiques sont au cœur de nombreux équipements : les moteurs linéaires qui entraînent les convoyeurs du port de Douala, les transformateurs qui abaissent la tension du réseau de 20 kV à 400 V pour les ateliers de Yaoundé, les freins à courants de Foucault qui ralentissent les wagons du chemin de fer Camrail, ou encore les plaques de chauffage par induction utilisées dans les cuisines professionnelles. Maîtriser le travail des forces électromagnétiques, l’induction et les courants de Foucault permet donc à l’élève de comprendre le principe de fonctionnement de ces machines, d’en prévoir les performances énergétiques et d’intervenir en toute sécurité lors de leur installation, de leur maintenance ou de leur dépannage. --- ## I. Leçon 9 : Travail des forces électromagnétiques ### 9.1 Définition du travail électromagnétique Le travail d’une force **F** sur un déplacement élémentaire **dl** s’écrit > **δW = F·dl** et le travail total sur un trajet **C** est > **W = ∫₍C₎ F·dl** Dans le domaine électromagnétique, la force qui agit sur une charge **q** en mouvement est la force de Lorentz > **F = q (E + v × B)** Le terme **q (v × B)** est toujours perpendiculaire à la vitesse **v** ; il ne réalise donc aucun travail sur une charge libre. Toutefois, lorsque le conducteur porte un courant **I**, la résultante des forces sur les charges libres se manifeste par une force macroscopique sur le conducteur lui‑même. ### 9.2 Travail d’un conducteur parcouru par un courant dans un champ magnétique Un élément de conducteur de longueur **dl** portant un courant **I** subit une force > **dF = I (dl × B)** Le travail élémentaire correspondant est > **δW = dF·dl = I (dl × B)·dl** Comme **(dl × B)·dl = 0** (produit triple scalaire avec deux vecteurs identiques), le travail ne provient pas directement de cette expression ; il apparaît lorsque le conducteur se déplace dans le champ, c’est‑à‑dire lorsque **dl** représente un déplacement réel du conducteur, pas seulement son élément linéaire. En pratique, on considère un conducteur rigide de longueur **L** qui se déplace d’un déplacement **Δx** perpendiculaire à **L** et à **B** ; la force totale est alors > **F = I L × B** et le travail > **W = F·Δx = I (L × B)·Δx** ### 9.3 Exemple chiffré : travail sur un rail moteur linéaire Un moteur linéaire destiné à déplacer un chariot de marchandises au port de Douala comporte un rail conducteur de longueur **L = 0,50 m** placé dans un champ magnétique uniforme **B = 0,20 T** dirigé verticalement vers le haut. Le courant d’alimentation est **I = 12 A** et le chariot se déplace sur une distance **Δx = 0,30 m** dans la direction horizontale perpendiculaire à **L** et à **B**. 1. Force électromagnétique : > **F = I L B = 12 A × 0,50 m × 0,20 T = 1,20 N** 2. Travail réalisé : > **W = F Δx = 1,20 N × 0,30 m = 0,36 J** Ce travail est transformé en énergie cinétique du chariot (en négligeant les frottements). ### 9.4 Application professionnelle - **Moteur linéaire à entraînement de convoyeur** : utilisé pour le transfert de conteneurs dans les zones de stockage du port de Douala. Le réglage du courant permet de varier la force tractive et donc la vitesse du convoyeur. - **Actionneur électromagnétique** : dans les ateliers de soudure, des pistons à bobine servent à serrer ou desserrer des pièces ; le travail calculé permet de dimensionner l’alimentation en courant pour éviter la surchauffe. ### 9.5 Normes et règles de sécurité - Isolement des parties conductrices sous tension (NF C 15‑100, équivalent camerounais). - Protection contre les courants de fuite par disjoncteur différentiel 30 mA. - Interdiction de toucher les parties métalliques sous tension lorsqu’un champ magnétique fort est présent (risque de choc indirect via courants de Foucault induits dans le corps). > **À retenir** : *Le travail d’une force électromagnétique sur un conducteur droit de longueur L déplacé de Δx dans un champ B perpendiculaire à L et au déplacement vaut W = I (L × B)·Δx.* --- ## II. Leçon 10 : Induction électromagnétique ### 10.1 Flux magnétique Le flux à travers une surface **S** orientée par le vecteur normal **n** est > **Φ = ∫₍S₎ B·dS = ∫₍S₎ B cosθ dS** où **θ** est l’angle entre **B** et **n**. ### 10.2 Loi de Faraday La tension induite (f.é.m.) dans un circuit fermé est égale à l’opposé de la dérivée temporelle du flux qui le traverse : > **e = – dΦ/dt** Le signe moins exprime la loi de Lenz. ### 10.3 Loi de Lenz Le courant induit apparaît dans le sens qui s’oppose à la variation du flux qui l’a produit. En pratique, si le flux augmente, le courant induit crée un champ qui tend à le diminuer. ### 10.4 Inductance propre et mutuelle - **Inductance propre L** d’une bobine : Φ = L I → e = –L (dI/dt). - **Inductance mutuelle M** entre deux bobines : Φ₂ = M I₁ → e₂ = –M (dI₁/dt). ### 10.5 Exemple chiffré : tension induite dans une bobine Une bobine de **N = 200** spires, de section circulaire de rayon **r = 0,10 m** (aire **S = πr² ≈ 0,0314 m²**) est placée dans un champ magnétique uniforme qui varie linéairement de **0 T** à **0,5 T** en **Δt = 0,20 s**. Le champ est perpendiculaire au plan de la bobine. 1. Variation du flux : > **ΔΦ = N S ΔB = 200 × 0,0314 m² × 0,5 T = 3,14 Wb** 2. Tension moyenne induite : > **|e| = ΔΦ/Δt = 3,14 Wb / 0,20 s = 15,7 V** Le signe est opposé à l’augmentation du flux (loi de Lenz). ### 10.6 Application professionnelle - **Transformateur de distribution 20 kV/400 V** : installé dans les postes électriques de Yaoundé pour alimenter les ateliers industriels. Le rapport de spires **N₁/N₂ = V₁/V₂** découle directement de la loi de Faraday appliquée à chaque enroulement. - **Chauffage par induction** : utilisé dans les cuisines professionnelles pour chauffer rapidement des récipients ferromagnétiques ; la puissance dépend de la fréquence du courant d’excitation et de la résistance du matériau. ### 10.7 Mesure d’inductance avec un LCR‑mètre 1. Connecter la bobine aux bornes **L** du LCR‑mètre. 2. Sélectionner la fréquence de mesure (souvent 1 kHz pour éviter les effets de peau à haute fréquence). 3. Lire la valeur affichée **L** (en henry) et la résistance série **R** (en ohm). 4. Vérifier le facteur de qualité **Q = ωL/R** ; un Q > 10 indique une bobine de bonne qualité pour les applications de filtrage. ### 10.8 Normes et règles de sécurité - IEC 60076‑1 : caractéristiques des transformateurs de puissance. - Protection contre les surtensions par parafoudres et dispositifs de limitation de courant. - Lors de la manipulation de bobines sous tension, porter des gants isolants et vérifier l’absence de tension résiduelle avec un voltmètre avant toute intervention. > **À retenir** : *La loi de Faraday s’écrit e = – dΦ/dt ; le signe moins rappelle que le courant induit s’oppose toujours à la variation du flux (loi de Lenz).* --- ## III. Leçon 11 : Les courants de Foucault ### 11.1 Définition Lorsque un conducteur massif est soumis à un champ magnétique variable dans le temps ou dans l’espace, des courants induits appelés **courants de Foucault** (ou **eddy currents**) apparaissent dans son volume. Ils sont parallèles aux lignes de champ induit et dissipent de l’énergie sous forme de chaleur (effet Joule). ### 11.2 Densité de courant de Foucault Dans un matériau de conductivité **σ**, le champ électrique induit **Eᵢ** (d’après Faraday) produit une densité de courant > **J = σ Eᵢ** Le champ électrique induit résulte de la variation du flux : pour un champ sinusoïdal **B = B₀ cos(ωt)**, on obtient > **Eᵢ ≈ (ω B₀ r)/2** (pour un disque de rayon **r**, champ uniforme perpendiculaire). ### 11.3 Pertes par courants de Foucault Pour une plaque mince d’épaisseur **d**, de conductivité **σ**, soumise à un champ sinusoïdal de fréquence **f** et d’amplitude **B₀**, la puissance perdue par unité de volume est approximativement > **p_F = (π² σ d² f² B₀²)/6** La puissance totale se obtient en multipliant par le volume **V** de la pièce. ### 11.4 Effet de peau et profondeur de pénétration À haute fréquence, les courants se concentrent près de la surface. La profondeur de pénétration (ou profondeur d’effet de peau) est > **δ = √( 2 / ( μ σ ω ) )** avec **μ** la perméabilité magnétique du matériau et **ω = 2πf**. Lorsque **δ** devient inférieur à l’épaisseur de la pièce, la formule précédente des pertes doit être corrigée en utilisant **δ** à la place de **d**. ### 11.5 Application professionnelle : frein à courants de Foucault sur le chemin de fer Camrail Les wagons de marchandises du Camrail sont équipés de freins électromagnétiques : un stator fixe crée un champ magnétique alternatif (souvent à 50 Hz) près du disque de frein fixé à l’essieu. Le champ variable induit des courants de Foucault dans le disque ; leur interaction avec le champ produit un couple de freinage proportionnel à la vitesse de rotation. Ce système permet un ralentissement progressif sans usure mécanique des plaquettes. ### 11.6 Exemple chiffré : puissance perdue dans un disque d’acier Un disque de frein en acier (conductivité **σ = 6,0 × 10⁶ S·m⁻¹**, perméabilité relative **μᵣ ≈ 100**, donc **μ = μ₀ μᵣ = 4π × 10⁻⁷ × 100 ≈ 1,26 × 10⁻⁴ H·m⁻¹**) a un rayon **r = 0,15 m** et une épaisseur **d = 5 mm = 0,005 m**. Il tourne à **n = 1500 tr/min** (soit **f_rot = n/60 = 25 Hz**) dans un champ magnétique alternatif de fréquence **f = 50 Hz** et d’amplitude **B₀ = 0,30 T**, produit par une bobine statorique placée à proximité. 1. Vérifier la profondeur de pénétration à 50 Hz : > **δ = √( 2 / ( μ σ ω ) )** > ω = 2πf = 2π × 50 ≈ 314 rad·s⁻¹ > δ = √( 2 / (1,26 × 10⁻⁴ × 6,0 × 10⁶ × 314) ) > δ ≈ √( 2 / (2,38 × 10⁵) ) ≈ √(8,40 × 10⁻⁶) ≈ 2,90 × 10⁻³ m = 2,9 mm Comme **δ (2,9 mm) < d (5 mm)**, le courant est confiné à une couche d’épaisseur approximativement **δ**. On remplace donc **d** par **δ** dans la formule des pertes. 2. Puissance perdue par unité de volume : > **p_F = (π² σ δ² f² B₀²)/6** > δ² = (2,90 × 10⁻³)² ≈ 8,41 × 10⁻⁶ m² > p_F = (π² × 6,0 × 10⁶ × 8,41 × 10⁻⁶ × (50)² × (0,30)²)/6 > π² ≈ 9,87 > p_F ≈ (9,87 × 6,0 × 10⁶ × 8,41 × 10⁻⁶ × 2500 × 0,09)/6 > p_F ≈ (9,87 × 6,0 × 8,41 × 2500 × 0,09)/6 > p_F ≈ (9,87 × 6,0 × 8,41 × 225)/6 > p_F ≈ (9,87 × 6,0 × 1892,25)/6 > p_F ≈ (9,87 × 11353,5)/6 > p_F ≈ 112 000 / 6 ≈ 1,87 × 10⁴ W·m⁻³ 3. Volume effectif où les courants circulent : approximativement la surface du disque fois la profondeur δ : > **V_eff = π r² δ = π × (0,15)² × 2,90 × 10⁻³** > V_eff ≈ 3,1416 × 0,0225 × 2,90 × 10⁻³ ≈ 2,05 × 10⁻⁴ m³ 4. Puissance perdue totale : > **P_F = p_F × V_eff ≈ 1,87 × 10⁴ W·m⁻³ × 2,05 × 10⁻⁴ m³ ≈ 3,8 W** Cette puissance, bien que faible pour un seul disque, se multiplie par le nombre de disques (souvent 4 à 6 par essieu) et devient suffisante pour produire un couple de freinage notable à haute vitesse. ### 11.7 Procédure de démagnétisation d’une pièce avant soudage 1. Placer la pièce dans une bobine alimentée par un courant alternatif décroissant (ex. : partir de 5 A à 0 A en quelques secondes). 2. Le champ alternatif induit des courants de Foucault qui s’opposent à l’aimantation résiduelle, réduisant ainsi le champ net à proximité de zéro. 3. Vérifier l’absence de champ résiduel avec un gaussmètre (< 5 mT) avant d’approcher la pièce de la zone de soudure. ### 11.8 Normes et règles de sécurité - Éviter l’exposition prolongée à des champs magnétiques supérieurs à 5 mT pour les porteurs de stimulateurs cardiaques (recommandation ICNIRP). - Utiliser des écrans en mu‑metal autour des zones de forte induction lorsqu’on travaille à proximité de équipements sensibles. - Lors de l’intervention sur des freins à courants de Foucault, couper l’alimentation du stator et attendre la dissipation complète de l’énergie stockée (quelques secondes à quelques minutes selon l’inductance). > **À retenir** : *La puissance perdue par courants de Foucault dans une plaque mince est p_F = (π² σ d² f² B₀²)/6 W·m⁻³ ; lorsque la profondeur de pénétration δ < d, on remplace d par δ.* --- ## Synthèse du chapitre - **Travail des forces électromagnétiques** : W = ∫ F·dl ; pour un conducteur droit, W = I (L × B)·Δx. - **Induction électromagnétique** : Φ = ∫ B·dS ; e = – dΦ/dt (loi de Faraday) ; sens du courant donné par la loi de Lenz. - **Courants de Foucault** : J = σ Eᵢ ; pertes p_F = (π² σ d² f² B₀²)/6 (plaque mince) ; profondeur de pénétration δ = √(2/(μσ ω)). - **Applications** : moteurs linéaires (port de Douala), transformateurs (postes de Yaoundé), freins à courants de Foucault (Camrail), chauffage par induction, démagnétisation avant soudage. - **Sécurité** : isolement, protection différentielle, éloignement des champs forts pour les porteurs de stimulateurs, écrans mu‑metal, coupure d’alimentation avant intervention. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Travail électromagnétique | Énergie transférée par une force électromagnétique lors d’un déplacement, W = ∫ F·dl. | | Force de Lorentz | Force exercée sur une charge q en présence de champs E et B : F = q(E + v×B). | | Flux magnétique Φ | Intégrale du champ magnétique B sur une surface : Φ = ∫ B·dS. | | Loi de Faraday | Relation entre la tension induite et la variation du flux : e = – dΦ/dt. | | Loi de Lenz | Le courant induit s’oppose à la variation du flux qui l’a produit. | | Inductance L | Rapport entre le flux traversé par une bobine et le courant qui la traverse : Φ = L I. | | Courant de Foucault | Courant induit dans un conducteur massif soumis à un champ variable, responsable de pertes Joule. | | Conductivité σ | Mesure de la facilité avec laquelle un matériau conduit le courant électrique (S·m⁻¹). | | Profondeur de pénétration δ | Épaisseur caractéristique à laquelle le courant d’induction tombe à 1/e de sa valeur de surface : δ = √(2/(μσ ω)). | | Effet de peau | Concentration des courants alternés près de la surface d’un conducteur à haute fréquence. | | Transformateur | dispositif qui transfère de l’énergie électrique entre deux ou plusieurs circuits par induction magnétique, modifiant tension et courant. | | Frein à courants de Foucault | système de ralentissement où un champ variable induit des courants de Foucault dans un conducteur, produisant un couple de freinage opposé au mouvement. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Travail sur un conducteur **Énoncé** : Un rail de longueur **L = 0,80 m** porte un courant **I = 15 A** placé dans un champ magnétique uniforme **B = 0,25 T** dirigé perpendiculairement au rail. Le rail se déplace sur une distance **Δx = 0,40 m** dans la direction perpendiculaire à la fois au rail et au champ. Calculer le travail effectué par la force électromagnétique. **Corrigé** : 1. Force : **F = I L B = 15 × 0,80 × 0,25 = 3,0 N**. 2. Travail : **W = F Δx = 3,0 N × 0,40 m = 1,2 J**. > **Réponse** : **W = 1,2 J**. --- ### Exercice 2 – Tension induite dans une bobine **Énoncé** : Une bobine de **N = 150** spires, de section carrée de côté **a = 0,08 m**, est placée dans un champ magnétique uniforme qui varie de **0 T** à **0,4 T** en **0,15 s**. Le champ est perpendiculaire au plan de la bobine. Déterminer la valeur moyenne de la tension induite. **Corrigé** : - Aire : **S = a² = 0,08² = 0,0064 m²**. - Variation du flux : **ΔΦ = N S ΔB = 150 × 0,0064 × 0,4 = 0,384 Wb**. - Tension moyenne : **|e| = ΔΦ/Δt = 0,384 / 0,15 = 2,56 V**. > **Réponse** : **e ≈ –2,56 V** (le signe indique opposition à l’augmentation du flux). --- ### Exercice 3 – Pertes par courants de Foucault dans un disque **Énoncé** : Un disque en aluminium (conductivité **σ = 3,5 × 10⁶ S·m⁻¹**, non magnétique, μ≈μ₀) de rayon **r = 0,10 m** et d’épaisseur **d = 2 mm** tourne à **n = 1800 tr/min** dans un champ magnétique alternatif de fréquence **f = 60 Hz** et d’amplitude **B₀ = 0,20 T**. Estimer la puissance perdue par courants de Foucault, en supposant que la profondeur de pénétration δ est supérieure à l’épaisseur (on peut donc utiliser d). **Corrigé** : 1. Vérifier δ : ω = 2πf = 2π × 60 ≈ 377 rad·s⁻¹ δ = √(2/(μ₀ σ ω)) = √(2/(4π × 10⁻⁷ × 3,5 × 10⁶ × 377)) ≈ √(2/(1,66)) ≈ √(1,20) ≈ 1,10 m → δ >> d, donc on utilise d. 2. p_F = (π² σ d² f² B₀²)/6 d² = (0,002)² = 4 × 10⁻⁶ m² f² = 60² = 3600 B₀² = 0,20² = 0,04 p_F = (π² × 3,5 × 10⁶ × 4 × 10⁻⁶ × 3600 × 0,04)/6 π² ≈ 9,87 p_F ≈ (9,87 × 3,5 × 4 × 3600 × 0,04 × 10⁰)/6 p_F ≈ (9,87 × 3,5 × 4 × 144)/6 p_F ≈ (9,87 × 3,5 × 576)/6 p_F ≈ (9,87 × 2016)/6 ≈ (19 900)/6 ≈ 3 317 W·m⁻³ 3. Volume du disque : V = π r² d = π × 0,10² × 0,002 = π × 0,01 × 0,002 = 6,28 × 10⁻⁵ m³ 4. Puissance perdue : P_F = p_F × V ≈ 3 317 × 6,28 × 10⁻⁵ ≈ 0,208 W > **Réponse** : **P_F ≈ 0,21 W** (perte très faible pour ce disque ; en pratique, on augmente le nombre de disques ou la fréquence pour obtenir un couple de freinage utile). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |---|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Considérer que la force de Lorentz **q (v×B)** réalise un travail sur une charge libre. | Conduit à une surestimation du travail dans les exercices de moteur linéaire. | Rappeler que cette force est toujours perpendiculaire à **v** ; seul le champ électrique induit (ou la force sur un conducteur porteur de courant) peut produire du travail. | | 2 | Oublier le signe moins dans la loi de Faraday (**e = – dΦ/dt**) et donner un sens erroné au courant induit. | Mauvaise prédiction de la direction du courant dans un transformateur ou un frein à courants de Foucault. | Toujours appliquer la loi de Lenz après le calcul de la magnitude : le courant s’oppose à la variation du flux. | | 3 | Utiliser la surface totale d’une bobine alors que le champ n’est pas uniforme ou n’est pas perpendiculaire à toutes les spires. | Erreur de flux pouvant atteindre 30‑50 % dans les exercices d’induction. | Vérifier l’orientation du champ ; si nécessaire, décomposer la surface en éléments où **B·n** est constant ou effectuer une intégration. | | 4 | Négliger l’effet de peau lorsqu’on calcule les pertes par courants de Foucault à haute fréquence (> 1 kHz) dans des pièces métalliques épaisses. | Sous‑estimation sévère des pertes, leading to overheating in design. | Calculer la profondeur de pénétration δ ; si δ < épaisseur, remplacer d par δ dans la formule des pertes. | | 5 | Intervenir sur un frein à courants de Foucault ou un transformateur sous tension sans vérifier l’absence de tension résiduelle. | Risque de choc électrique ou d’arc. | Couper l’alimentation, attendre la décharge des inductances (quelques secondes à quelques minutes selon L), puis mesurer la tension avec un voltmètre avant toute manipulation. | | 6 | Utiliser des outils ferromagnétiques près d’un champ magnétique fort sans protection, provoquant des mouvements brusques d’outils. | Blessures mécaniques ou dommages à l’équipement. | Prévoir des zones éloignées (≥ 1 m) des sources de champ > 5 mT pour les outils ferromagnétiques ; utiliser des clés en laiton ou en plastique lorsqu’on travaille à proximité. | --- *Fin du cours.*