ELECTROMAGNETISME (partie 2/4)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - expliquer la loi de Lorentz et l’appliquer au calcul de la force subie par une charge en mouvement dans un champ électromagnétique ; - déterminer la force électromagnétique exercée sur un conducteur parcouru par un courant placé dans un champ magnétique uniforme ; - calculer la force d’attraction ou de répulsion entre deux conducteurs parallèles parcourus par des courants ; - réaliser le dimensionnement simple d’un électroaimant ou d’un petit moteur à courant continu en utilisant les formules de force électromagnétique ; - mettre en œuvre une démarche d’intégration (conception, réalisation, essai) et proposer des activités de remédiation adaptées aux difficultés rencontrées. **Prérequis nécessaires :** - notions de champ électrique et de champ magnétique (vecteurs **E**, **B**, unités) ; - loi d’Ohm et relation **U = RI** ; - concept de densité de courant **J** et intensité **I** ; - manipulation de vecteurs (produit vectoriel, règle de la main droite). --- ## Introduction contextualisée Dans les installations électriques industrielles du Cameroun (usines de transformation agro‑alimentaire, chantiers de construction, réseaux de télécommunication), les forces électromagnétiques sont à la base du fonctionnement de nombreux dispositifs : moteurs d’entraînement, électroaimants de levage, relais de protection, systèmes de freinage électromagnétique. Une mauvaise compréhension de ces forces peut conduire à des surchauffes, des déclenchements intempestifs ou même à des accidents de travail. Le présent chapitre vise donc à fournir à l’élève les outils théoriques et pratiques permettant d’analyser, de dimensionner et de sécuriser ces dispositifs dans un contexte professionnel camerounais. --- ## I. Leçon 8: Forces électromagnétiques ### A. Loi de Lorentz La force subie par une charge ponctuelle **q** se déplaçant avec un vecteur vitesse **v** dans un champ électrique **E** et un champ magnétique **B** est donnée par la loi de Lorentz : > **Loi de Lorentz** : $\displaystyle \vec{F}=q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr)$ - **E** en volts par mètre (V·m⁻¹) ; - **B** en tesla (T) ; - **v** en mètres par seconde (m·s⁻¹) ; - **F** en newton (N). Dans le cas où seul le champ magnétique est présent (**E = 0**), la force est perpendiculaire à la fois à **v** et à **B** (règle de la main droite). ### B. Force sur un conducteur parcouru par un courant Un conducteur de longueur **L** portant un courant **I** placé dans un champ magnétique uniforme **B** subit une force : > **Force sur un conducteur** : $\displaystyle \vec{F}=I\,\vec{L}\times\vec{B}$ - **L** est le vecteur dirigé dans le sens du courant, de norme égale à la longueur du conducteur (m) ; - **I** en ampère (A). Si le conducteur est perpendiculaire à **B**, la formule se réduit à : > $F = I\,L\,B$ ### C. Force entre deux conducteurs parallèles Deux fils longs, parallèles, séparés d’une distance **d**, parcourant respectivement des courants **I₁** et **I₂**, exercent l’un sur l’autre une force par unité de longueur : > **Force entre conducteurs parallèles** : $\displaystyle \frac{F}{l}= \frac{\mu_{0}}{2\pi}\,\frac{I_{1}I_{2}}{d}$ - $\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\ \text{N·A}^{-2}$ (perméabilité du vide) ; - **F/l** en newton par mètre (N·m⁻¹) ; - **d** en mètre (m). Le signe de la force est attractif si les courants ont le même sens, répulsif sinon. ### D. Applications pratiques au Cameroun | Dispositif | Principe exploité | Exemple d’usage professionnel | |------------|-------------------|------------------------------| | Électroaimant de levage | Force d'attraction magnétique entre le noyau ferromagnétique et la charge due au champ magnétique produit par la bobine (pression magnétique $F\approx B^{2}S/(2\mu_{0})$) | Levage de palettes de sacs de ciment dans une usine de Douala | | Moteur à courant continu | Couple électromagnétique sur une bobine placée dans un champ magnétique radial : $\tau = N I A B$ | Entraînement de convoyeurs dans une scierie de Yaoundé | | Relais électromagnétique | Force d'attraction de l'armature ferromagnétique due au champ magnétique produit par la bobine (pression magnétique) | Protection contre les surcharges dans un poste de transformation d’ÉNERGIE DU CAMEROUN | | Frein électromagnétique | Force de frottement générée par l'attraction magnétique de l'armature (ou courants de Foucault) provoquée par le champ magnétique de la bobine | Freinage de ponts roulants dans les ports de Kribi | --- ## II. Activités d’intégration ### A. Mise en situation professionnelle : conception d’un électroaimant pour un levage de charges **Objectif** : déterminer le nombre de spires **N** et le courant **I** nécessaires pour soulever une charge de **200 kg** à l’aide d’un électroaimant à noyau en fer doux (section transversale **S = 2 cm²**, longueur efficace du champ **l = 5 cm**). 1. **Force nécessaire** : $F = m g = 200\ \text{kg}\times9,81\ \text{m·s}^{-2}=1,96\times10^{3}\ \text{N}$. 2. **Champ magnétique requis** dans l’entrefer : on utilise l’approximation $B = \dfrac{\mu_{0} N I}{l}$ (noyau à haute perméabilité, $\mu_r \gg 1$). 3. **Force sur le noyau** : $F \approx B^{2} S /(2\mu_{0})$ (pression magnétique). 4. En combinant les deux expressions et en résolvant pour $NI$ : \[ F = \frac{(\mu_{0} N I)^{2}}{2\mu_{0} l^{2}}\,S \;\Longrightarrow\; NI = l\sqrt{\frac{2\mu_{0}F}{\mu_{0}^{2}S}} = l\sqrt{\frac{2F}{\mu_{0}S}} \] En remplaçant les valeurs : \[ NI = 0,05\ \text{m}\times\sqrt{\frac{2\times1,96\times10^{3}\ \text{N}}{(4\pi\times10^{-7})\times2\times10^{-4}\ \text{m}^{2}}} \approx 0,05\times\sqrt{\frac{3,92\times10^{3}}{2,51\times10^{-10}}} \approx 0,05\times\sqrt{1,56\times10^{13}} \approx 0,05\times3,95\times10^{6} \approx 1,98\times10^{5}\ \text{A·spires} \] On choisit alors un courant raisonnable de **I = 10 A**, ce qui donne **N ≈ 19 800 spires**. En pratique, on réduit le nombre de spires en augmentant la section du conducteur ou en utilisant un noyau à perméabilité relative élevée ($\mu_r ≈ 2000$), ce qui divise le produit NI par $\mu_r$. Avec $\mu_r =2000$, on obtient **N ≈ 10 spires** pour **I = 10 A**, réalisable avec un fil de cuivre de 2 mm². **Réalisations** : bobinage sur un mandrin en fer doux, isolation avec du vernis époxy, alimentation par une source réglable 0‑15 A, vérification de la force avec un dynamomètre. ### B. Réalisation d’un petit moteur à courant continu - **Matériel** : aimant néodyme (B ≈ 0,4 T), rotor avec 20 spires de fil cuivre (section 0,5 mm²), collecteur à deux lamelles, balais en graphite, axe en acier. - **Procédé** : 1. Fixer l’aimant statorique de façon à créer un champ radial uniforme dans l’entrefer. 2. Enrouler le rotor, souder les extrémités au collecteur. 3. Monter le rotor sur l’axe, placer les balais en contact avec le collecteur. 4. Alimenter avec une tension de 12 V (via une batterie ou un régulateur). - **Résultat attendu** : couple $\tau = N I A B$ ; avec $N=20$, $I≈0,5\ \text{A}$, $A=πr^{2}$ (r=10 mm) → $\tau≈20×0,5×π×(0,01)^{2}×0,4≈1,26×10^{-3}\ \text{N·m}$, suffisante pour faire tourner une petite charge (ex. ventilateur de bureau). ### C. Analyse de résultats et validation - Mesurer la force de levage avec un dynamomètre ; comparer à la valeur théorique. - Vérifier le régime moteur (tr/min) avec un tachymètre laser ; relever la tension et le courant d’entrée. - Discuter des écarts (résistances du fil, pertes dans le noyau, alignement de l’aimant) et proposer des améliorations (augmenter la section du conducteur, améliorer l’isolation, réduire l’entrefer). --- ## III. Activités de remédiation ### A. Diagnostic des difficultés fréquentes - Confusion entre **champ électrique** (produit par des tensions) et **champ magnétique** (produit par des courants). - Oubli de la règle de la main droite pour le produit vectoriel **v × B** ou **L × B**. - Erreur d’unité lors du calcul de **NI** (oublier de convertir les longueurs en mètres). - Difficulté à distinguer force attractive vs répulsive entre conducteurs selon le sens des courants. ### B. Séances de renforcement 1. **Exercices guidés** sur la loi de Lorentz avec variation de l’angle entre **v** et **B** (0°, 45°, 90°). 2. **Atelier de mesure** : utiliser un gaussmètre pour cartographier le champ autour d’un fil conducteur et vérifier la loi $B = \mu_{0}I/(2πr)$. 3. **Simulation** (logiciel gratuit comme *FEMM* ou *Quartus*) pour visualiser la force sur un cadre rectangulaire placé dans un champ uniforme. 4. **Correction d’erreurs** : analyser des relevés d’élèves ayant commis les fautes listées ci‑dessus et proposer la bonne démarche. ### C. Évaluation formatrice - Un QCM de 10 questions portant sur les définitions, les formules et les unités. - Un problème de dimensionnement (électroaimant ou moteur) à résoudre en 20 min, noté sur la méthodologie, le calcul et la présentation des unités. - Un bilan oral où l’élève explique, en moins de 2 minutes, pourquoi deux câbles portant des courants parallèles s’attirent. --- ## Synthèse du chapitre - **Loi de Lorentz** : $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})$ – force électromagnétique sur une charge. - **Force sur un conducteur** : $\vec{F}=I\vec{L}\times\vec{B}$ ; si ⟂, $F=ILB$. - **Force entre conducteurs parallèles** : $\displaystyle\frac{F}{l}= \frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I_{1}I_{2}}{d}$ (attractif si même sens). - **Champ magnétique d’un fil long** : $B=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}$. - **Pression magnétique** (force sur une surface) : $p=\dfrac{B^{2}}{2\mu_{0}}$. - **Couple d’un moteur à cc** : $\tau = N I A B$. - **Produit NI nécessaire** pour un électroaimant : $NI = l\sqrt{\dfrac{2F}{\mu_{0}S}}$ (sans noyau) ; avec noyau de perméabilité relative $\mu_r$, diviser par $\mu_r$. - **Unités** : **F** en N, **I** en A, **L** en m, **B** en T, **μ₀** en N·A⁻², **d** en m, **S** en m². > **À retenir** : la force de Lorentz sur une charge en mouvement est perpendiculaire à la fois à sa vitesse **v** et au champ magnétique **B** ; la force sur un conducteur parcouru par un courant est perpendiculaire à la fois au vecteur longueur **L** (sens du courant) et au champ **B**. > **À retenir** : doubler le courant double la force sur un conducteur ; doubler le nombre de spires double le champ produit par une bobine (dans le régime linéaire). > **À retenir** : dans un noyau ferromagnétique, le champ est amplifié par le facteur de perméabilité relative $\mu_r$. > **À retenir** : la sécurité impose de couper l’alimentation avant toute intervention sur un électroaimant sous tension. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Champ magnétique (**B**) | Vecteur quantifiant l’intensité et la direction de l’influence magnétique, unité tesla (T). | | Courant (**I**) | Flux de charge électrique traversant une section, unité ampère (A). | | Force de Lorentz | Force totale subie par une charge dans un champ électromagnétique, $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})$. | | Produit vectoriel ($\times$) | Opération donnant un vecteur perpendiculaire aux deux opérandes, norme $\vert \vec{a}\times\vec{b}\vert =\vert \vec{a}\vert \vert \vec{b}\vert \sin\theta$. | | Perméabilité du vide ($\mu_{0}$) | Constante physique $4\pi\times10^{-7}\ \text{N·A}^{-2}$ reliant champ magnétique et courant. | | Perméabilité relative ($\mu_{r}$) | Facteur d’amplification du champ magnétique dans un matériau par rapport au vide. | | Électroaimant | Dispositif produisant un champ magnétique grâce à un enroulement parcouru par un courant. | | Couple ($\tau$) | Moment de tendance à faire tourner un corps, unité newton·mètre (N·m). | | Pression magnétique | Force normale exercée par un champ magnétique sur une surface, $p=B^{2}/(2\mu_{0})$. | | Collecteur | Partie d’un moteur à courant continu qui inverse le sens du courant dans le rotor à chaque demi‑tour. | --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’un électroaimant **Énoncé** : On souhaite soulever une charge de **150 kg** à l’aide d’un électroaimant à noyau en fer doux de section **S = 3 cm²** et de longueur efficace **l = 4 cm**. Le noyau a une perméabilité relative $\mu_{r}=1500$. Déterminer le produit **NI** nécessaire et proposer un enroulement réalisable avec un fil de cuivre de section **1,5 mm²** pouvant supporter un courant maximal de **12 A**. **Corrigé** : 1. Force nécessaire : $F = mg = 150\times9,81 = 1,47\times10^{3}\ \text{N}$. 2. Formule avec noyau : $NI = \dfrac{l}{\mu_{r}}\sqrt{\dfrac{2F}{\mu_{0}S}}$. - Convertir les longueurs : $l = 0,04\ \text{m}$, $S = 3\times10^{-4}\ \text{m}^{2}$. - Calcul du radical : \[ \sqrt{\frac{2F}{\mu_{0}S}}= \sqrt{\frac{2\times1,47\times10^{3}}{(4\pi\times10^{-7})\times3\times10^{-4}}} =\sqrt{\frac{2,94\times10^{3}}{3,77\times10^{-10}}} =\sqrt{7,80\times10^{12}} \approx 2,79\times10^{6}\ \text{A·m}^{-1} \] - Puis : \[ NI = \frac{0,04}{1500}\times 2,79\times10^{6} \approx 7,44\times10^{1}\ \text{A·spires}=74,4\ \text{A·spires} \] 3. Choix du courant : prendre **I = 10 A** (en dessous de la limite de 12 A). - Nombre de spires : $N = \dfrac{NI}{I}= \dfrac{74,4}{10}\approx 7,4$ → on arrête à **8 spires**. 4. Vérification de la résistance du fil : longueur approximative d’un tour = périmètre du noyau ≈ $2\pi r$ avec $r\approx\sqrt{S/\pi}= \sqrt{3\times10^{-4}/\pi}=9,8\times10^{-3}\ \text{m}$ → périmètre ≈ $2\pi\times9,8\times10^{-3}=0,062\ \text{m}$. Longueur totale du fil : $L_{\text{fil}} = N \times 0,062 \approx 8\times0,062 =0,50\ \text{m}$. Résistivité du cuivre $\rho =1,68\times10^{-8}\ \Omega·m$ ; section $A=1,5\times10^{-6}\ \text{m}^{2}$ → $R=\rho L/A = 1,68\times10^{-8}\times0,50/1,5\times10^{-6}\approx5,6\times10^{-3}\ \Omega$. Chute de tension à 10 A : $U=RI\approx0,056\ \text{V}$ – négligeable. **Conclusion** : Un enroulement de **8 spires** de fil cuivre 1,5 mm² alimenté à **10 A** produit suffisamment de force pour soulever 150 kg avec le noyau donné. --- ### Exercice 2 – Force entre deux conducteurs **Énoncé** : Deux câbles d’alimentation parallèles, distants de **5 cm**, portent chacun un courant de **25 A** dans le même sens. Calculer la force d’attraction exercée sur un tronçon de **2 m** de chaque câble. **Corrigé** : - Force par unité de longueur : \[ \frac{F}{l}= \frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I_{1}I_{2}}{d} =\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}\frac{25\times25}{0,05} =2\times10^{-7}\times\frac{625}{0,05} =2\times10^{-7}\times12500 =2,5\times10^{-3}\ \text{N·m}^{-1} \] - Force sur 2 m : $F = (2,5\times10^{-3})\times2 =5,0\times10^{-3}\ \text{N}=5\ \text{mN}$. **Interprétation** : La force est très faible pour ces courants ; elle devient significative seulement pour des courants de plusieurs centaines d’ampères ou des distances très réduites (comme dans les enroulements de machines). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de bonne pratique / sécurité | |----|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les longueurs en mètres avant d’utiliser les formules (ex. garder **cm** dans $B=\mu_{0}I/(2\pi r)$) | Résultat faux d’un facteur 10⁻² à 10⁻⁴ | Toujours vérifier l’unité de chaque grandeur avant le calcul ; noter les conversions en marge. | | 2 | Confondre le sens du produit vectoriel **L × B** (utiliser la règle de la main gauche) | Direction de la force inversée, mauvais sens du couple dans un moteur | Appliquer systématiquement la règle de la main droite : pouce = courant/index = champ = paume = force. | | 3 | Négliger la perméabilité relative du noyau lorsqu’on calcule le champ d’un électroaimant | Sous‑estimation du champ, sur‑dimensionnement du nombre de spires | Si le noyau est ferromagnétique, introduire le facteur $\mu_{r}$ dans $B=\mu_{0}\mu_{r}NI/l$ ou diviser le produit NI par $\mu_{r}$. | | 4 | Travailler sous tension sur un électroaimant ou un relais sans couper l’alimentation | Risque de choc électrique, de brûlure par effet Joule, ou de déclenchement intempestif | Mettre en place une consigne de consignation/étiquetage (Lock‑out/Tag‑out) ; vérifier l’absence de tension avec un voltmètre avant toute manipulation. | | 5 | Utiliser un fil de section insuffisante pour le courant prévu, entraînant une surchauffe | Détérioration de l’isolant, risque d’incendie | Calculer la chute de température avec $P=I^{2}R$ ; choisir une section permettant une densité de courant ≤ 2 A/mm² (norme IEC 60364 pour les installations basse tension). | | 6 | Ignorer l’effet de l’entrefer sur la force d’un électroaimant (supposer $B$ uniforme partout) | Surestimation de la force de levage | Introduire le facteur d’entrefer dans le modèle de pression magnétique $F = B^{2}S/(2\mu_{0})$ uniquement si l’entrefer est négligeable comparé aux dimensions du noyau. | --- *Fin du cours.*