LES FILTRES PASSIFS ET ACTIFS (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir un filtre électronique et distinguer les filtres passifs des filtres actifs. - Expliquer le principe de fonctionnement d’un filtre passe‑bas, passe‑haut, passe‑bande et coupe‑bande RC, RL ou LC. - Réaliser le dimensionnement d’un filtre passe‑bas RC à partir d’une fréquence de coupure spécifiée. - Mettre en œuvre un filtre sur une platine d’essais, mesurer sa réponse en fréquence avec un générateur et un oscilloscope, et interpréter les résultats. - Diagnostiquer les écarts entre la théorie et la pratique (tolérance des composants, parasitages, mauvais câblage) et proposer des actions correctives. **Prérequis** : - Lois d’Ohm et de Kirchhoff. - Notions d’impédance des composants passifs (résistance, self, condensateur) en régime sinusoïdal. - Utilisation de base d’un générateur de fonctions et d’un oscilloscope (balayage, échelle verticale, déclenchement). - Lecture d’un schéma électronique simple et connaissance des précautions de manipulation des composants actifs (amplificateur opérationnel). ## Introduction contextualisée Dans les installations techniques camerounaises (telecom, énergie solaire, instrumentation de laboratoire), les filtres sont omniprésents : ils éliminent les bruits indésirables, séparent les bandes de fréquences utiles pour la transmission ou protègent les équipements sensibles contre les surtensions haute fréquence. Un technicien supérieur doit donc savoir concevoir, ajuster et dépanner ces circuits, que ce soit dans un atelier de maintenance de postes de transformation d’**Eneo Cameroon** ou dans un bureau d’études de télécommunications (**Camtel**, MTN). Ce chapitre présente d’abord les concepts théoriques des filtres passifs et actifs, puis propose deux séquences pédagogiques : une activité d’intégration où l’élève met en pratique le montage et la mesure, enfin une activité de remédiation pour apprendre à diagnostiquer et corriger les défauts fréquents rencontrés sur le terrain. ## I. Les filtres (présentation) ### 1. Définition et classification > Un filtre électronique est un circuit linéaire qui modifie l’amplitude et/ou la phase d’un signal en fonction de sa fréquence. Les filtres se classent selon leur réponse en fréquence : - **Passe‑bas** : laisse passer les fréquences inférieures à une fréquence de coupure \(f_c\) et atténue les fréquences supérieures. - **Passe‑haut** : laisse passer les fréquences supérieures à \(f_c\) et atténue les fréquences inférieures. - **Passe‑bande** : laisse passer une bande de fréquences comprise entre deux coupures \(f_{c1}\) et \(f_{c2}\). - **Coupe‑bande** (ou rejeuteur) : atténue une bande de fréquences située entre \(f_{c1}\) et \(f_{c2}\). Selon la nature des composants, on distingue : - **Filtres passifs** : construits uniquement avec des résistances, des selfs et des condensateurs (pas d’alimentation extérieure). - **Filtres actifs** : intègrent au moins un composant actif (amplificateur opérationnel, transistor) nécessitant une alimentation, permettant un gain et une impédance d’entrée/sortie plus favorables. ### 2. Réponse en fréquence et notion de coupure La réponse en fréquence d’un filtre se représente par le module du transfert \(H(j\omega)=\frac{V_{sortie}}{V_{entrée}}\) en fonction de la pulsation \(\omega=2\pi f\). La **fréquence de coupure** \(f_c\) (ou fréquence -3 dB) est définie comme la fréquence où l’atténuation vaut 3 dB, soit \(|H(j\omega_c)|=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0,707\). > Pour un filtre du premier ordre, la pente de décroissance est de 20 dB/décade (ou 6 dB/octave). ### 3. Filtres passifs RC, RL, LC #### Filtre passe‑bas RC Le circuit le plus simple comporte une résistance \(R\) en série suivie d’un condensateur \(C\) vers la masse. La fréquence de coupure s’obtient par : \[ f_c=\frac{1}{2\pi RC} \] Exemple numérique : avec \(R=10\;k\Omega\) et \(C=100\;nF\), \[ f_c=\frac{1}{2\pi \times 10^4 \times 100\times10^{-9}} \approx 159\;Hz \] #### Filtre passe‑haut RC On échange les positions de \(R\) et \(C\) : la même formule s’applique pour \(f_c\). #### Filtre passe‑bas RL Une self \(L\) en série suivie d’une résistance \(R\) vers la masse donne : \[ f_c=\frac{R}{2\pi L} \] #### Filtre passe‑bas LC (résonant) Un circuit LC en série (ou en parallèle) présente une résonance à : \[ f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \] En configuration passe‑bas, on place le LC en dérivation après une résistance d’impédance d’entrée. ### 4. Filtres actifs à ampli‑op L’amplificateur opérationnel (op‑amp) permet de réaliser des filtres du deuxième ordre avec un gain réglable et une impédance d’entrée élevée. Le **filtre passe‑bas actif de Sallen‑Key** utilise deux résistances \(R_1,R_2\) et deux condensateurs \(C_1,C_2\) autour d’un op‑amp en suiveur de tension. Sa fréquence de coupure (pour \(R_1=R_2=R\) et \(C_1=C_2=C\)) est : \[ f_c=\frac{1}{2\pi RC} \] Le gain en bande passante est égal à 1 (0 dB) ; on peut ajouter une résistance de rétroaction pour obtenir un gain \(K>1\). > Un filtre actif du deuxième ordre présente une pente de 40 dB/décade, ce qui améliore la sélectivité par rapport au filtre passif du premier ordre. ### 5. Exemple de dimensionnement d’un filtre passe‑bas RC (atelier) **Consigne** : Réaliser un filtre passe‑bas dont la fréquence de coupure doit être \(f_c=1\;kHz\) pour filtrer le bruit d’une alimentation de 220 V/50 Hz avant d’alimenter un capteur de température. **Étapes** : 1. Choisir une valeur standard de condensateur, par exemple \(C=100\;nF\). 2. Calculer la résistance nécessaire : \[ R=\frac{1}{2\pi f_c C}= \frac{1}{2\pi \times 1000 \times 100\times10^{-9}} \approx 1,59\;k\Omega \] 3. Prendre la valeur commerciale la plus proche : \(R=1,6\;k\Omega\) (série E12). 4. Vérifier la fréquence réelle : \[ f_c^{réelle}= \frac{1}{2\pi \times 1600 \times 100\times10^{-9}} \approx 995\;Hz \] L’écart de 0,5 % est négligeable pour l’application. ## II. Activités d’intégration ### 1. Mise en œuvre d’un filtre passe‑bas RC sur platine d’essais - **Matériel** : platine d’essais sans soudure, résistance 1,6 kΩ (½ W), condensateur céramique 100 nF, générateur de fonctions, oscilloscope à deux voies, câbles de mesure, alimentation DC 12 V (pour éventuel étage d’amplification). - **Procédure** : 1. Brancher la sortie du générateur à l’entrée du filtre (nœud avant la résistance). 2. Relier la résistance entre ce nœud d’entrée et le nœud intermédiaire. 3. Brancher le condensateur entre le nœud intermédiaire et la masse. 4. Relier la sortie du filtre (nœud après le condensateur) au canal 2 de l’oscilloscope. 5. Utiliser le canal 1 pour mesurer la tension d’entrée (pointe du probe sur le nœud d’entrée, masse sur la masse du circuit). 6. Régler le générateur sur une sinusoïde de 1 V crête‑à‑crête, fréquence variable de 10 Hz à 20 kHz. 7. Mesurer séparément les amplitudes sur les deux canaux pour obtenir le gain en dB : \[ G_{dB}=20\log_{10}\left(\frac{V_{sortie}}{V_{entrée}}\right) \] ### 2. Mesure de la réponse en fréquence - Balayer la fréquence en pas de 1/10 de décennie (ex. 10 Hz, 12,6 Hz, 15,8 Hz …) et noter \(V_{entrée}\) et \(V_{sortie}\). - Tracer le diagramme de Bode (gain en dB vs. log f) sur papier millimétré ou avec un logiciel simple. - Identifier la fréquence où le gain vaut -3 dB ; comparer avec la valeur théorique calculée. ### 3. Analyse des résultats - Si le gain mesuré est supérieur à -3 dB (moins d’atténuation) à une fréquence plus élevée que prévu, cela indique une fréquence de coupure réelle plus élevée ; vérifier la valeur réelle de la résistance (peut être inférieure à la nominale) et celle du condensateur (peut être inférieure). - Discuter de l’influence de la capacité parasite de la platine (quelques picofarads) qui s’ajoute en parallèle à \(C\), augmentant la capacité totale et donc diminuant \(f_c\) (déplacement vers le bas). - Conclure sur la conformité du filtre au cahier des charges (ex. atténuation >20 dB à 10 kHz). ## III. Activités de remédiation ### 1. Diagnostiquer un filtre qui ne respecte pas la coupure attendue **Symptôme** : Le filtre passe‑bas conçu pour \(f_c=1\;kHz\) laisse passer encore du signal à 5 kHz avec seulement -6 dB d’atténuation. **Étapes de diagnostic** : 1. Vérifier visuellement le montage : présence de soudures froides, fils desserrés, composants inversés. 2. Mesurer la résistance réelle avec un ohmmètre (valeur attendue 1,6 kΩ). 3. Mesurer la capacité réelle avec un capacimètre (valeur attendue 100 nF). 4. Rechercher des chemins de retour à la masse non intentionnels (piste de cuivre proche, doigt). ### 2. Vérification des composants, tolérance et parasitages - Si la résistance mesure 1,8 kΩ (+12 %), la fréquence de coupure théorique baisse à ≈ 880 Hz, ce qui n’explique pas l’atténuation insuffisante à 5 kHz. - Si la résistance mesure 1,3 kΩ (‑18 %), \(f_c\) monte à ≈ 1,22 kHz, ce qui peut réduire l’atténuation à 5 kHz. - Si le condensateur mesure 70 nF (‑30 %), \(f_c\) monte à ≈ 1,43 kHz ; encore insuffisant pour expliquer le phénomène. - L’hypothèse restante est l’impédance d’entrée de l’oscilloscope (souvent 1 MΩ // 10‑15 pF) qui, en parallèle avec \(C\), forme un diviseur de fréquence pouvant modifier la mesure, surtout si l’on utilise une sonde 1× ; pour minimiser cet effet, utiliser une sonde 10×. ### 3. Correction et réglage - Remplacer la sonde par une 10× et répéter la mesure : on observe alors une atténuation proche de -20 dB à 5 kHz, conforme à la théorie. - Si le défaut persiste, ajouter un deuxième étage RC en cascade (deux sections identiques) pour obtenir une pente de 40 dB/décade et renforcer l’atténuation. - Documenter les modifications dans le cahier de laboratoire : valeurs finales, fréquences de coupure mesurées, remarques sur la sonde utilisée. ## Synthèse du chapitre - Un filtre modifie l’amplitude d’un signal selon sa fréquence ; on distingue passe‑bas, passe‑haut, passe‑bande et coupe‑bande. - Les filtres passifs (RC, RL, LC) sont simples, sans gain, avec une pente de 20 dB/décade par ordre. - Les filtres actifs (op‑amp) offrent un gain réglable, une impédance d’entrée élevée et une pente de 40 dB/décade pour un ordre deux. - La fréquence de coupure d’un filtre RC se calcule par \(f_c=\frac{1}{2\pi RC}\). - En atelier, la mise en œuvre nécessite une platine d’essais, un générateur et un oscilloscope ; la mesure de la réponse en fréquence se fait en traçant le diagramme de Bode. - Les écarts entre théorie et pratique proviennent souvent de la tolérance des composants, de la capacité parasite de la platine ou de l’impédance de mesure de l’oscilloscope. - Le diagnostic passe par la vérification des valeurs réelles, le contrôle du montage et l’utilisation de sondes adaptées. - Un filtrage efficace en milieu professionnel (telecom, énergie, instrumentation) repose sur le choix judicieux du type de filtre, le dimensionnement précis et la prise en compte des effets de charge. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Filtre passe‑bas | Circuit qui laisse passer les fréquences inférieures à une fréquence de coupure et atténue les supérieures. | | Fréquence de coupure (f_c) | Fréquence où l’atténuation vaut -3 dB (gain = 0,707 de l’entrée). | | Pente de décroissance | Taux d’atténuation en dB par décade ou par octave (ex. 20 dB/décade pour un ordre 1). | | Filtre actif | Filtre contenant au moins un composant actif (op‑amp, transistor) nécessitant une alimentation. | | Filtre de Sallen‑Key | Topologie d’un filtre actif du deuxième ordre utilisant deux résistances, deux condensateurs et un op‑amp en suiveur. | | Impédance d’entrée | Impédance présentée par un circuit aux bornes de son entrée ; importante pour éviter l’effet de charge. | | Sonde 10× | Sonde d’oscilloscope qui divise par dix la tension mesurée et augmente l’impédance d’entrée (≈10 MΩ). | | Tolérance | Écart admissible entre la valeur nominale et la valeur réelle d’un composant (ex. ±5 % pour une résistance). | | Capacité parasite | Capacité involontaire due à la géométrie du montage ou aux câbles, pouvant modifier le comportement du filtre. | | Diagramme de Bode | Représentation graphique du gain (en dB) et de la phase en fonction de la fréquence (log f). | ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’un filtre passe‑haut RC **Consigne** : Concevoir un filtre passe‑haut dont la fréquence de coupure doit être \(f_c=500\;Hz\) pour éliminer le continu d’un signal de capteur de pression. Utiliser un condensateur de 220 nF. **Corrigé** : 1. Formule : \(f_c=\frac{1}{2\pi RC}\) → \(R=\frac{1}{2\pi f_c C}\). 2. Calcul : \(R=\frac{1}{2\pi \times 500 \times 220\times10^{-9}} \approx 1,45\;k\Omega\). 3. Valeur commerciale la plus proche : \(R=1,5\;k\Omega\) (série E12). 4. Vérification : \(f_c^{réelle}= \frac{1}{2\pi \times 1500 \times 220\times10^{-9}} \approx 483\;Hz\) (erreur <4 %). **Réponse** : Résistance de 1,5 kΩ en série avec un condensateur de 220 nF, sortie prise après la résistance. ### Exercice 2 – Mesure de l’atténuation d’un filtre passe‑bas actif **Consigne** : Un filtre passe‑bas actif de type Sallen‑Key est réalisé avec \(R=10\;k\Omega\), \(C=10\;nF\) et un op‑amp LM741 alimenté ±12 V. Mesurer l’atténuation à 2 kHz et comparer avec la valeur théorique. **Corrigé** : - Théorie : \(f_c=\frac{1}{2\pi RC}= \frac{1}{2\pi \times 10^4 \times 10\times10^{-9}} \approx 1,59\;kHz\). - À \(f=2\;kHz\) (soit \(f/f_c≈1,256\)), le gain théorique d’un filtre du deuxième ordre (Butterworth) est : \[ |H|=\frac{1}{\sqrt{1+(f/f_c)^4}} \approx \frac{1}{\sqrt{1+1,256^4}} \approx 0,535 \] - En dB : \(G_{dB}=20\log_{10}(0,535)\approx -5,4\;dB\). - Mesure : avec l’oscilloscope, on relève \(V_{entrée}=1,00\;V_{crête}\) et \(V_{sortie}=0,535\;V_{crête}\) → \(-5,4\;dB\). - Conclusion : la mesure confirme la théorie (écart <0,2 dB). ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / action corrective | |------------------|-------------|----------------------------------------| | Utiliser une sonde 1× pour mesurer des fréquences >10 kHz | Impédance de charge trop faible → atténuation artificielle, mauvaise lecture de \(f_c\) | Toujours employer une sonde 10× (ou active) pour les mesures haute fréquence ; vérifier le réglage d’atténuation de l’oscilloscope. | | Inverser la polarité d’un condensateur électrolytique dans un filtre RC | Risque de court‑circuit, chauffe, détérioration du composant | Vérifier le marquage (+/-) avant insertion ; privilégier les condensateurs céramiques ou polyester pour les filtres passe‑bas/haut lorsqu’une polarité n’est pas requise. | | Négliger la tolérance des résistances (±5 %) lors du dimensionnement | Décalage de la fréquence de coupure hors spécifications, surtout en cascade | Choisir des résistances de précision (±1 %) ou ajuster la valeur en mesurant la résistance réelle avant le montage. | | Alimenter un op‑amp hors de ses limites de tension commune | Saturation, distortion du signal, éventuelle destruction du composant | Respecter les tensions d’alimentation spécifiées dans le datasheet (ex. LM741 : ±12 V max) ; utiliser des découplages céramiques 0,1 µF proches des broches d’alimentation. | | Laisser des fils dénudés toucher le châssis métallique de la platine | Court‑circuit éventuel, risque de choc ou de détérioration du matériel | Couper proprement les fils, utiliser du ruban isolant ou des gaines thermorétractables ; vérifier l’isolement avec un ohmmètre avant mise sous tension. | | Omettre le decoupage d’alimentation de l’op‑amp (pas de condensateur de bypass) | Oscillations parasites, bruit accru sur la sortie | Placer un condensateur céramique de 0,1 µF entre chaque rail d’alimentation et la masse, placé le plus près possible du composant. |