Chimie physique (partie 2/8)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - expliquer les lois de Boyle et de Charles à partir du modèle cinétique des gaz ; - démonter mathématiquement les relations $PV=\text{const}$ (T constant) et $V/T=\text{const}$ (P constant) ; - appliquer ces lois pour résoudre des problèmes de variation de pression, de volume et de température ; - utiliser la loi des gaz parfaits combinée $PV/T=\text{const}$ pour traiter des transformations où deux des trois variables changent simultanément ; - interpréter graphiquement les isothermes et les isobares d’un gaz idéal. **Prérequis** : notions de matière, de mole, de pression (Pa), de volume (m³), de température absolue (K), maîtrise du calcul littéral et des proportions, connaissance de l’équation d’état des gaz parfaits $PV=nRT$. --- ## Introduction contextualisée Dans la vie quotidienne, on observe que gonfler un ballon à l’air chaud le fait monter, tandis qu’en le plaçant au réfrigérateur il se dégonfle. Ces phénomènes sont la manifestation macroscopique du comportement des gaz lorsqu’on modifie l’une de leurs variables d’état (pression, volume, température) tout en maintenant les autres constantes. Les lois de Boyle (1662) et de Charles (1787) sont les premières relations quantitatives établies pour décrire ces dépendances. Elles constituent les fondements de la loi des gaz parfaits et sont indispensables pour résoudre les exercices du probatoire, notamment ceux portant sur les transformations isothermes, isobares et isochores. Le présent chapitre les présente successivement, puis montre comment les combiner dans la loi des gaz parfaits afin de traiter des cas plus généraux (activités d’intégration). --- ## I. Loi de Boyle ### Définition et énoncé > **Loi de Boyle** : À température constante, le produit de la pression $P$ d’un gaz idéal par son volume $V$ reste constant. > $$PV = k_B \qquad (T=\text{const})$$ > où $k_B$ dépend de la quantité de substance et de la température. ### Démonstration (modèle cinétique) Dans le modèle cinétique, la pression résulte des chocs des molécules contre les parois : $P=\frac{1}{3}\rho \overline{v^2}$ avec $\rho=\frac{mN}{V}$ la masse volumique et $\overline{v^2}$ la moyenne du carré des vitesses. À température constante, l’énergie cinétique moyenne $\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}k_BT$ est fixe, donc $\overline{v^2}$ est constant. En remplaçant $\rho$ on obtient $P\propto \frac{1}{V}$, d’où $PV=\text{const}$. ### Propriétés principales - Isotherme d’un gaz idéal : courbe hyperbolique dans le diagramme $P-V$. - Si le volume est divisé par deux, la pression double (et réciproquement). - Le travail d’une transformation isotherme réversible : $W = nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$. ### Exemple 1 (simple) Un gaz occupe $V_1=2,0\ \text{L}$ sous une pression $P_1=1,0\ \text{atm}$ à $T=300\ \text{K}$. On le comprime isothermiquement jusqu’à $V_2=0,5\ \text{L}$. Quelle est la nouvelle pression ? **Solution** : Puisque $T$ constant, $P_1V_1=P_2V_2$. $$P_2 = P_1\frac{V_1}{V_2}=1,0\ \text{atm}\times\frac{2,0}{0,5}=4,0\ \text{atm}$$ ### Exemple 2 (plus délicat) Un récipient de volume $V=10,0\ \text{L}$ contient $n=0,250\ \text{mol}$ d’azote à $T=298\ \text{K}$. On augmente la pression à $P_2=2,0\ \text{atm}$ en maintenant la température constante. Quel est le nouveau volume ? **Solution** : On utilise $PV=nRT$ pour trouver $P_1$ puis la loi de Boyle. $$P_1=\frac{nRT}{V}= \frac{0,250\times 0,08206\times 298}{10,0}=0,613\ \text{atm}$$ Puis $P_1V_1=P_2V_2$ : $$V_2 = \frac{P_1V_1}{P_2}= \frac{0,613\times10,0}{2,0}=3,07\ \text{L}$$ --- ## II. Intégration activités (combinaison des lois de Boyle et de Charles) ### Loi des gaz parfaits combinée Lorsque aucune variable n’est maintenue constante, les deux lois précédentes s’unifient : > **Loi des gaz parfaits** : Pour une quantité fixe de gaz idéal, le rapport $\dfrac{PV}{T}$ reste constant. > $$\frac{PV}{T}=k = nR$$ Cette équation permet de traiter toute transformation où deux des trois variables changent. ### Démonstration rapide En partant de $PV=nRT$ (définition du gaz parfait) et en considérant $n$ constant, on obtient directement $\dfrac{PV}{T}=nR=\text{const}$. ### Exemple 1 (isotherme puis isobare) Un gaz occupe initialement $V_1=4,0\ \text{L}$ à $P_1=1,0\ \text{atm}$ et $T_1=300\ \text{K}$. On le chauffe à pression constante jusqu’à $T_2=450\ \text{K}$, puis on le comprime isothermiquement à $T_2$ jusqu’à $P_3=2,0\ \text{atm}$. Déterminer le volume final $V_3$. **Solution** : Étape 1 (isobare) : $V/T$ constant. $$V_2 = V_1\frac{T_2}{T_1}=4,0\times\frac{450}{300}=6,0\ \text{L}$$ Étape 2 (isotherme à $T_2$) : $PV$ constant. $$P_2V_2 = P_3V_3 \quad\text{avec }P_2=P_1=1,0\ \text{atm}$$ $$V_3 = \frac{P_2V_2}{P_3}= \frac{1,0\times6,0}{2,0}=3,0\ \text{L}$$ ### Exemple 2 (transformation générale) Un récipient de $2,0\ \text{L}$ contient $0,10\ \text{mol}$ d’hélium à $1,0\ \text{atm}$ et $273\ \text{K}$. On le place dans un bain où la température monte à $373\ \text{K}$ tandis que le volume passe à $3,0\ \text{L}$. Quelle est la pression finale ? **Solution** : On utilise $\dfrac{PV}{T}=nR$ constant. $$\frac{P_1V_1}{T_1}= \frac{P_2V_2}{T_2}$$ $$P_2 = P_1\frac{V_1}{V_2}\frac{T_2}{T_1}=1,0\times\frac{2,0}{3,0}\times\frac{373}{273}=0,91\ \text{atm}$$ --- ## III. Loi de Charles ### Définition et énoncé > **Loi de Charles** : À pression constante, le volume d’un gaz idéal varie directement avec sa température absolue. > $$\frac{V}{T}=k_C \qquad (P=\text{const})$$ ### Démonstration (modèle cinétique) À pression constante, $P=\frac{1}{3}\rho\overline{v^2}$ reste fixe. Comme $\overline{v^2}\propto T$, on a $\rho\propto \frac{1}{T}$. Mais $\rho=\frac{mN}{V}$, donc $V\propto T$. ### Propriétés principales - Isobare dans le diagramme $V-T$ : droite passant par l’origine. - Le coefficient de dilatation volumique à pression constante d’un gaz idéal est $\beta = \frac{1}{T}$. - Le zéro absolu ($T=0\ \text{K}$) correspond à un volume nul selon cette loi (extrapolation linéaire). ### Exemple 1 (simple) Un gaz occupe $V_1=1,5\ \text{L}$ à $T_1=280\ \text{K}$ sous une pression constante de $1,0\ \text{atm}$. Quel sera son volume à $T_2=350\ \text{K}$ ? **Solution** : $$\frac{V_1}{T_1}= \frac{V_2}{T_2}\;\Rightarrow\; V_2 = V_1\frac{T_2}{T_1}=1,5\times\frac{350}{280}=1,875\ \text{L}$$ ### Exemple 2 (plus délicat) Un ballon de $V_0=5,0\ \text{L}$ rempli d’air à $T_0=293\ \text{K}$ et $P_0=1,0\ \text{atm}$ est laissé au soleil. Sa température atteint $T=333\ \text{K}$ tandis que la pression reste égale à la pression atmosphérique. Quel est le volume du ballon ? En supposant que le matériau du ballon peut se dilater sans limite, quelle serait la masse d’air supplémentaire nécessaire pour maintenir le volume initial si la température augmentait encore à $T=373\ \text{K}$ ? **Solution** : Première partie (loi de Charles) : $$V = V_0\frac{T}{T_0}=5,0\times\frac{333}{293}=5,68\ \text{L}$$ Deuxième partie : pour garder $V=5,0\ \text{L}$ à $T=373\ \text{K}$, il faut augmenter la quantité de matière. À $P$ constant, $V/T = nR/P$ constant, donc $n\propto T$. $$n_0 = \frac{PV_0}{RT_0}= \frac{1,0\times5,0}{0,08206\times293}=0,208\ \text{mol}$$ $$n_{\text{requise}} = n_0\frac{T}{T_0}=0,208\times\frac{373}{293}=0,265\ \text{mol}$$ Masse d’air supplémentaire : $\Delta n = 0,265-0,208=0,057\ \text{mol}$. Masse molaire de l’air ≈ $28,97\ \text{g mol}^{-1}$ → $\Delta m =0,057\times28,97\approx1,65\ \text{g}$. --- ## Synthèse du chapitre - **Loi de Boyle** : $PV=\text{const}$ (T constant). - **Loi de Charles** : $V/T=\text{const}$ (P constant). - **Loi des gaz parfaits** : $PV=nRT$ ou $\displaystyle\frac{PV}{T}=nR=\text{const}$. - Transformations isothermes : travail $W=nRT\ln(V_f/V_i)$. - Transformations isobares : $V\propto T$. - Transformations isochores : $P\propto T$. - zéro absolu : extrapolation des lois donne $T=0\ \text{K}$ pour $V=0$ ou $P=0$. - unités : pression en Pa (ou atm), volume en m³ (ou L), température en K. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Pression ($P$) | Force exercée par unité de surface, mesurée en pascals (Pa). | | Volume ($V$) | Espace occupé par le gaz, en mètres cubes (m³) ou litres (L). | | Température absolue ($T$) | Échelle thermodynamique où zéro correspond à l’absence d’agitation moléculaire, en kelvins (K). | | Loi de Boyle | Relation $PV=\text{const}$ à température constante. | | Loi de Charles | Relation $V/T=\text{const}$ à pression constante. | | Loi des gaz parfaits | Équation d’état $PV=nRT$. | | Isotherme | Transformation à température constante. | | Isobare | Transformation à pression constante. | | Isochore | Transformation à volume constant. | | Zéro absolu | Température de $0\ \text{K}$ où le volume d’un gaz idéal serait nul. | | Constante des gaz parfaits ($R$) | $R=8,314\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}=0,08206\ \text{L atm mol}^{-1}\text{K}^{-1}$. | | Travail réversible | $W=\int P\,dV$ ; pour une isotherme $W=nRT\ln(V_f/V_i)$. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Un gaz occupe $2,5\ \text{L}$ sous une pression de $0,80\ \text{atm}$ à $300\ \text{K}$. On le comprime isothermiquement jusqu’à $1,0\ \text{L}$. Quelle est la pression finale ? **Corrigé** : $P_1V_1=P_2V_2$ → $P_2 = P_1\frac{V_1}{V_2}=0,80\times\frac{2,5}{1,0}=2,0\ \text{atm}$. ### Exercice 2 À pression constante ($1,0\ \text{atm}$), un gaz passe de $V_1=4,0\ \text{L}$ à $T_1=350\ \text{K}$ à $V_2=6,0\ \text{L}$. Calculer $T_2$. **Corrigé** : $\dfrac{V_1}{T_1}= \dfrac{V_2}{T_2}$ → $T_2 = T_1\frac{V_2}{V_1}=350\times\frac{6,0}{4,0}=525\ \text{K}$. ### Exercice 3 Un récipient de $3,0\ \text{L}$ contient $0,150\ \text{mol}$ de CO₂ à $2,0\ \text{atm}$ et $280\ \text{K}$. On chauffe le gaz à pression constante jusqu’à $T=340\ \text{K}$. Quel est le nouveau volume ? **Corrigé** : À $P$ constant, $V/T$ constant. $V_2 = V_1\frac{T_2}{T_1}=3,0\times\frac{340}{280}=3,64\ \text{L}$. ### Exercice 4 Un gaz idéal subit successivement : (a) une détente isotherme de $V_i=5,0\ \text{L}$ à $V_f=10,0\ \text{L}$ à $T=300\ \text{K}$ ; (b) une compression isobare jusqu’à retrouver le volume initial. Déterminer la pression finale après l’étape (b). **Corrigé** : Étape (a) : $P_iV_i=P_fV_f$ → $P_f = P_i\frac{V_i}{V_f}$. On ne connaît pas $P_i$, mais on peut l’exprimer via $PV=nRT$. Supposons $n$ inconnu ; on garde la forme. Après (a) : $P_a = P_i\frac{5,0}{10,0}=0,5P_i$. Étape (b) : isobare → pression constante = $P_a$. On réduit le volume de $10,0\ \text{L}$ à $5,0\ \text{L}$ à pression $P_a$. Donc pression finale = $P_a = 0,5P_i$. Pour obtenir une valeur numérique, on utilise $P_iV_i=nRT$. $P_i = \dfrac{nRT}{V_i}$. $P_f = 0,5\dfrac{nRT}{V_i}= \dfrac{nRT}{2V_i}= \dfrac{nRT}{2\times5,0}= \dfrac{nRT}{10,0}$. Mais $nRT = P_iV_i$ donc $P_f = \dfrac{P_iV_i}{10,0}= \dfrac{P_i\times5,0}{10,0}=0,5P_i$ (cohérence). Sans donnée supplémentaire on laisse la réponse sous forme $P_f=0,5P_i$. Si on suppose $P_i=1,0\ \text{atm}$ (gaz à pression atmosphérique initiale), alors $P_f=0,5\ \text{atm}$. ### Exercice 5 Un ballon de $V=8,0\ \text{L}$ contient de l’hydrogène à $T=293\ \text{K}$ et $P=1,0\ \text{atm}$. On le place dans un congélateur où la température descend à $253\ \text{K}$ tandis que le volume reste fixé par l’enveloppe rigide. Quelle est la pression du gaz à la fin ? **Corrigé** : Volume constant → loi de Gay-Lussac (ou loi des gaz parfaits avec $V$ const) : $P/T$ constant. $P_2 = P_1\frac{T_2}{T_1}=1,0\times\frac{253}{293}=0,864\ \text{atm}$. ### Exercice 6 (défi) Un récipient de $2,0\ \text{L}$ contient $0,050\ \text{mol}$ d’azote à $1,0\ \text{atm}$ et $273\ \text{K}$. On effectue les opérations suivantes : 1. Chauffer à pression constante jusqu’à $T=373\ \text{K}$. 2. Puis comprimer isothermiquement à cette température jusqu’à atteindre une pression de $2,5\ \text{atm}$. Quel est le volume final du gaz ? **Corrigé** : Étape 1 (isobare) : $V/T$ constant. $V_1 = V_0\frac{T_1}{T_0}=2,0\times\frac{373}{273}=2,73\ \text{L}$. Étape 2 (isotherme à $T=373\ \text{K}$) : $PV$ constant. $P_1V_1 = P_2V_2$ avec $P_1=1,0\ \text{atm}$ (pression maintenue durant l’étape 1). $V_2 = \dfrac{P_1V_1}{P_2}= \dfrac{1,0\times2,73}{2,5}=1,09\ \text{atm·L}/\text{atm}=1,09\ \text{L}$. --- ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre les conditions de constance** : appliquer $PV=\text{const}$ lorsqu’il faut utiliser $V/T=\text{const}$. *Astuce* : vérifier quelle variable est maintenue constante dans l’énoncé (T → Boyle, P → Charles, V → Gay‑Lussac). 2. **Oublier de convertir les températures en kelvins** : utiliser des valeurs en °C dans les formules. *Astuce* : toujours ajouter 273,15 (ou 273 pour les approximations du secondaire) avant de calculer. 3. **Utiliser la mauvaise valeur de la constante des gaz** : employer $R=8,314$ alors que les unités de pression sont en atm et le volume en L. *Astuce* : choisir $R$ adapté aux unités : $0,08206\ \text{L·atm·mol}^{-1}\text{K}^{-1}$ pour atm·L, ou convertir pression en Pa et volume en m³ pour utiliser $8,314$. 4. **Négliger le signe du travail** : considérer que le travail d’expansion est toujours positif. *Astuce* : par convention, le travail fait **par** le système est négatif lors d’une compression et positif lors d’une détente. 5. **Interpréter linéairement une loi hyperbolique** : croire que doubler la pression divise le volume par deux seulement si la température varie. *Astuce* : rappeler que la relation $PV=\text{const}$ vaut uniquement sous isotherme ; sinon utiliser la loi complète $PV/T=\text{const}$. 6. **Omettre de vérifier l’homogénéité des unités** : obtenir un résultat sans unité ou avec une unité incohérente. *Astuce* : après chaque calcul, vérifier que les unités se simplifient correctement (ex. : Pa·m³ = J). --- *Fin du cours.*