Fonctions logiques (partie 2/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : 1. Construire et interpréter une table de vérité pour toute fonction logique à deux, trois ou quatre variables. 2. Traduire une fonction logique en logigramme (schéma de blocs) en respectant les symboles normalisés IEC 61131‑3. 3. Lire et élaborer un chronogramme représentant l’évolution temporelle des entrées et sorties d’un système automatisé. 4. Utiliser ces trois représentations pour analyser, concevoir ou dépanner un circuit de commande industrielle simple (ex. : démarrage‑arrêt d’un moteur, gestion d’un convoyeur). **Prérequis** : - Notions de base en électrotechnique (tension, courant, contact NO/NF). - Connaissance des opérations booléennes fondamentales (ET, OU, NON) et de leurs symboles. - Savoir lire un schéma électrique unifilaire. --- ## Introduction contextualisée Dans les ateliers de maintenance industrielle au Cameroun, les techniciens sont souvent confrontés à des systèmes de commande où plusieurs capteurs (fin de course, pression, température) doivent être combinés pour déclencher ou arrêter un actionneur (moteur, vérin, résistance chauffante). La maîtrise des représentations logiques permet de passer rapidement d’une description fonctionnelle (cahier des charges) à une réalisation concrète (circuit câblé ou programme automate). Ce chapitre présente les trois outils indispensables : la table de vérité, le logigramme et le chronogramme. Ils sont utilisés successivement lors de la conception : d’abord on liste toutes les combinaisons d’entrées (table de vérité), puis on en déduit l’expression booléenne simplifiée, on la traduit en logigramme pour visualiser la structure du circuit, enfin on vérifie le comportement temporel grâce au chronogramme. --- ## I. Leçon 6 – Table de vérité ### Définition et utilité Une **table de vérité** liste toutes les combinaisons possibles des variables d’entrée d’une fonction logique et indique la valeur de la sortie pour chaque combinaison. Elle constitue la base de toute analyse booléenne et permet de vérifier l’équivalence entre deux expressions. > **>** Une fonction logique à *n* variables possède 2ⁿ lignes dans sa table de vérité. ### Construction d’une table de vérité 1. Déterminer le nombre de variables *n*. 2. Lister les combinaisons binaires de 0 à 2ⁿ‑1 (souvent en ordre croissant). 3. Pour chaque ligne, évaluer la fonction selon sa définition (expression booléenne, cahier des charges, etc.). ### Exemple : fonction de commande d’un convoyeur Supposons un convoyeur qui doit démarrer seulement si : - le bouton de démarrage **S** est enfoncé (S=1), - la porte de protection **P** est fermée (P=0, car le contact est NF), - le capteur de surcharge **C** n’est pas activé (C=0). La fonction logique est : \[ F = S \cdot \overline{P} \cdot \overline{C} \] | S | P | C | \(\overline{P}\) | \(\overline{C}\) | F = S·\(\overline{P}\)·\(\overline{C}\) | |---|---|---|----------------|----------------|----------------------------------------| | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | **1** | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | Seule la combinaison S=1, P=0, C=0 donne F=1 (convoyeur en marche). ### Tableau récapitulatif des opérateurs booléens | Opérateur | Symbole | Expression | Résultat pour (A,B) | |-----------|---------|------------|---------------------| | ET | \(\cdot\) | \(A \cdot B\) | 1 seulement si A=1 **et** B=1 | | OU | \(+\) | \(A + B\) | 0 seulement si A=0 **et** B=0 | | NON | \(\overline{\;}\) | \(\overline{A}\) | inverse de A | | OU exclusif | \(\oplus\) | \(A \oplus B\) | 1 si A≠B | > **>** La loi de De Morgan : \(\overline{A+B}= \overline{A}\cdot\overline{B}\) et \(\overline{A\cdot B}= \overline{A}+\overline{B}\). --- ## II. Leçon 7 – Logigrammes ### Définition Un **logigramme** (ou schéma de blocs) représente une fonction logique sous forme de blocs reliés par des lignes de signal. Chaque bloc correspond à une porte logique (ET, OU, NON, etc.) suivant la norme IEC 61131‑3, utilisée pour les automates programmables industriels (API). ### Symboles normalisés (IEC 61131‑3) | Symbole | Fonction | Description | |---------|----------|-------------| | & | ET | Sortie =1 si toutes les entrées =1 | | ≥1 | OU | Sortie =1 si au moins une entrée =1 | | 1 | NON | Sortie = inverse de l’entrée | | XOR | OU exclusif | Sortie =1 si les entrées sont différentes | | SR | Bascule | Mémoire (Set‑Reset) | > **>** Dans un logigramme, la direction du signal va de gauche (entrées) vers droite (sorties). ### Étapes de conception d’un logigramme 1. Obtenir l’expression booléenne simplifiée (sommes de produits ou produits de sommes). 2. Décomposer l’expression en opérations de base (ET, OU, NON). 3. Dessiner chaque opération sous forme de bloc correspondant. 4. Relier les blocs selon l’ordre des opérations, en respectant la priorité (ET avant OU sauf parenthèses). 5. Vérifier la cohérence avec la table de vérité. ### Exemple : logigramme de la fonction du convoyeur Expression : \(F = S \cdot \overline{P} \cdot \overline{C}\). 1. Trois entrées : S, P, C. 2. Deux inversions : \(\overline{P}\) et \(\overline{C}\). 3. Un ET à trois entrées (S, \(\overline{P}\), \(\overline{C}\)). Représentation texte (pour compréhension) : ``` S ----& & P ----[NOT]--& & C ----[NOT]--& & F <---------- (sortie) ``` Dans un vrai logigramme, on dessinerait deux blocs NOT suivis d’un bloc ET à trois entrées. ### Tableau de correspondance entre expression et blocs | Expression | Bloc(s) nécessaire(s) | |------------|-----------------------| | \(\overline{A}\) | NOT | | \(A \cdot B\) | ET | | \(A + B\) | OU | | \(A \oplus B\) | XOR (ou combinaison ET/OU/NON) | | \(\overline{A+B}\) | NOT + OU (ou NOR) | | \(\overline{A \cdot B}\) | NOT + ET (ou NAND) | > **>** Un logigramme bien lisible limite le nombre de niveaux de blocs à trois ou quatre pour faciliter la lecture et le dépannage. --- ## III. Leçon 8 – Chronogrammes ### Définition Un **chronogramme** (ou diagramme de timing) représente l’évolution dans le temps des signaux numériques (entrées et sorties) d’un système logique. L’axe horizontal est le temps (souvent en millisecondes), l’axe vertical indique l’état logique (0 = bas, 1 = haut). Il permet de vérifier les délais de propagation, les risques de course et la synchronisation entre plusieurs parties d’un automatisme. ### Lecture d’un chronogramme - Chaque ligne correspond à un signal (ex. : S, P, C, F). - Un front montant (0→1) ou descendant (1→0) indique un changement d’état. - La valeur du signal entre deux fronts est constante. - On peut lire la sortie à un instant donné en projetant verticalement sur la ligne de la sortie. ### Relation avec la table de vérité et le logigramme - La table de vérité donne la valeur statique de la sortie pour chaque combinaison d’entrées. - Le chronogramme montre comment ces combinaisons se succèdent dans le temps. - Le logigramme indique la structure logique qui produit la sortie à partir des entrées. ### Exemple : séquence de démarrage d’un moteur triphasé avec surveillance de surcharge Signaux : - **S** : bouton de démarrage (impulsion de 200 ms). - **M** : contact du relais de marche (maintenu tant que le moteur tourne). - **C** : capteur de surcharge (0 = normal, 1 = surcharge). - **F** : commande du contacteur moteur (1 = alimentation du moteur). Fonction souhaitée : \[ F = (S + M) \cdot \overline{C} \] Le moteur démarre si l’on appuie sur S ou si il tourne déjà (M), tant qu’il n’y a pas de surcharge. Chronogramme simplifié (échelle de temps : 0 s → 2 s) : | Temps (s) | S | M | C | F | |-----------|---|---|---|---| | 0.00‑0.10 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0.10‑0.30 | 1 | 0 | 0 | 1 (impulsion S) | | 0.30‑0.50 | 0 | 0 | 0 | 0 (S relâché) | | 0.50‑0.70 | 0 | 1 | 0 | 1 (M maintenu par relais auto‑maintenu) | | 0.70‑0.90 | 0 | 1 | 1 | 0 (surcharge détectée) | | 0.90‑1.10 | 0 | 0 | 1 | 0 (relâché après surcharge) | | 1.10‑1.30 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1.30‑1.50 | 1 | 0 | 0 | 1 (nouvelle impulsion S) | | … | … | … | … | … | Graphiquement, on observerait que F suit exactement l’expression booléenne, avec un délai négligeable (quelques microsecondes) dû au temps de propagation du relais. > **>** En pratique, on ajoute toujours une marge de sécurité de 10 % sur les temps de réponse des composants lors de l’analyse d’un chronogramme. --- ## Synthèse du chapitre - **Table de vérité** : liste exhaustive des 2ⁿ combinaisons d’entrées et de la sortie correspondante. Outil de vérification et de dérivation d’expression booléenne. - **Logigramme** : représentation graphique d’une fonction logique à l’aide de blocs normalisés (ET, OU, NON, XOR, bascules). Facilite la conception de circuits câblés ou d’automates. - **Chronogramme** : diagramme temporel montrant l’évolution des signaux ; permet de valider les délais, les risques de course et la synchronisation. - La conception d’un automatisme suit généralement le séquence : cahier des charges → table de vérité → expression booléenne simplifiée → logigramme → vérification par chronogramme → réalisation (câblage ou programmation). - Les lois de De Morgan et la propriété de dualité sont essentielles pour simplifier les expressions avant le tracé du logigramme. - Un bon logigramme ne dépasse généralement pas trois à quatre niveaux de blocs pour rester lisible et dépannable. - Lors de l’analyse d’un chronogramme, on vérifie que chaque transition d’entrée entraîne la sortie prévue après le temps de propagation du composant le plus lent. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Variable logique | Grandeur pouvant prendre les valeurs 0 (bas) ou 1 (haut). | | Fonction logique | Relation qui associe à chaque combinaison de variables d’entrée une valeur de sortie. | | Table de vérité | Tableau listant toutes les combinaisons d’entrées et la sortie correspondante. | | Opérateur booléen | Symbole représentant ET (·), OU (+), NON (¬), OU exclusif (⊕), etc. | | Logigramme | Schéma de blocs représentant une fonction logique avec des portes normalisées IEC 61131‑3. | | Chronogramme | Diagramme montrant l’évolution dans le temps des signaux numériques. | | Front montant | Transition d’un signal de 0 à 1. | | Front descendant | Transition d’un signal de 1 à 0. | | Délai de propagation | Temps entre l’apparition d’un changement sur une entrée et son effet sur la sortie. | | Auto‑maintien | Principe où une sortie maintient son propre état via un retour en boucle (ex. : relais M). | | Surcharge | Condition anormale de courant ou de température qui déclenche une protection. | | Norme IEC 61131‑3 | Norme internationale définissant les langages de programmation et les représentations graphiques pour les automates programmables. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Table de vérité et simplification **Énoncé** : Une machine d’emballage doit fonctionner seulement si : - le capteur de présence du produit **A** est actif (A=1), - soit le bouton de démarrage **B** est enfoncé, soit le capteur de fin de course **C** indique que le convoyeur est en position (C=1), - et qu’il n’y a pas d’arrêt d’urgence **D** (D=0). 1. Écrire la fonction logique F(A,B,C,D). 2. Construire la table de vérité. 3. Simplifier l’expression à l’aide d’une carte de Karnaugh (ou algébriquement). **Corrigé** : 1. Fonction : \(F = A \cdot (B + C) \cdot \overline{D}\). 2. Table de vérité (on montre seulement les lignes où F=1) : | A | B | C | D | F | |---|---|---|---|---| | 1 | 0 | 1 | 0 | **1** (A·C) | | 1 | 1 | 0 | 0 | **1** (A·B) | | 1 | 1 | 1 | 0 | **1** (A·(B+C)) | | … (toutes les autres lignes donnent 0) | | | | | 3. Simplification : l’expression est déjà sous forme factorisée. En développant : \(F = A B \overline{D} + A C \overline{D}\). Aucun terme ne peut être factorisé davantage ; c’est la forme minimale. --- ### Exercice 2 – Logigramme d’un système de sécurité **Énoncé** : Dans une chaufferie, l’allumage du brûleur **B** est autorisé si : - la vanne de gaz **V** est ouverte (V=1), - la pression du gaz **P** est dans les limites (P=1), - le détecteur de flamme **F** indique présence de flamme (F=1), - et qu’il n’y a pas de défaut de ventilation **D** (D=0). Réaliser le logigramme correspondant en utilisant uniquement des portes ET, OU et NON. **Corrigé** : Fonction : \(B = V \cdot P \cdot F \cdot \overline{D}\). Logigramme (description texte) : ``` V ----& & P ----& & F ----& & D ----[NOT]--& & B <---------- (sortie) ``` On peut aussi représenter trois ET en cascade suivis d’un NOT sur D puis un ET final. --- ### Exercice 3 – Chronogramme de démarrage d’un convoyeur avec temporisation **Énoncé** : Un convoyeur démarre 500 ms après l’appui sur le bouton **S** et s’arrête immédiatement lorsque le capteur de fin de course **C** passe à 1 (obstacle détecté). Le bouton S est une impulsion de 200 ms. Dessiner le chronogramme de S, C et la sortie M (marche du convoyeur) sur une échelle de 0 à 2 s. **Corrigé** : Fonction de commande : \(M = S \cdot \overline{C}\) avec une temporisation à l’enclenchement de 500 ms (on utilise un rétardateur à l’enclenchement). Chronogramme (description) : | Temps (s) | S | C | M | |-----------|---|---|---| | 0.00‑0.20 | 1 | 0 | 0 (attente retard) | | 0.20‑0.50 | 0 | 0 | 0 (encore en retard) | | 0.50‑1.20 | 0 | 0 | **1** (marche après 500 ms) | | 1.20‑2.00 | 0 | 1 | 0 (arrêt immédiat à la détection d’obstacle) | Graphiquement, on voit un front montant de S à t=0, un front montant de M à t=0,5 s, et un front descendant de M coïncidant avec le front montant de C à t=1,2 s. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |---|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier d’inverser un signal NF (ex. : traiter un contact fermé comme 1 au lieu de 0). | La logique produit l’état opposé attendu → démarrage intempestif ou arrêt non commandé. | Toujours vérifier le type de contact (NO/NF) avant d’écrire l’expression booléenne ; noter explicitement \(\overline{X}\) pour un NF. | | 2 | Dessiner un logigramme avec plus de quatre niveaux de blocs sans regroupement. | Lecture difficile, risque de mauvaise connexion lors du câblage ou de la programmation. | Appliquer la loi d’associativité pour regrouper les ET ou OU successifs ; utiliser des blocs composés (ex. : ET à 3 entrées) lorsqu’ils existent dans la bibliothèque. | | 3 | Ignorer le délai de propagation d’un relais ou d’un optocoupleur lors de l’analyse d’un chronogramme. | On croit que la sortie est instantanée alors qu’elle l’est après quelques ms → mauvais réglage de temporisation. | Consulter la fiche technique du composant ; ajouter systématiquement le temps de propagation (typ. 5‑20 ms pour un relais, <1 µs pour un transistor) dans le chronogramme. | | 4 | Utiliser une porte OU exclusive (XOR) alors que la fonction demandée est un OU inclusif. | La sortie reste à 0 lorsque les deux entrées sont à 1, ce qui peut empêcher une action nécessaire. | Vérifier la table de vérité de la fonction demandée ; si elle donne 1 pour A=B=1, choisir OU (+) et non XOR. | | 5 | Négliger la mise à la terre du châssis d’un automate lors du câblage d’entrées/sorties. | Risques de choc électrique et de perturbations EMI pouvant entraîner des commutations parasites. | Respecter la norme NF C 15‑100 : relier le châssis à la terre de protection, utiliser des câbles blindés pour les signaux sensibles, vérifier la continuité de terre avec un ohmmeter (<1 Ω). | | 6 | Oublier de désalimenter le circuit avant de modifier un logigramme ou de remplacer un relais. | Court‑circuit, endommagement du composant, risque d’arc électrique. | Toujours couper l’alimentation principale, vérifier l’absence de tension avec un multimètre, appliquer la procédure de consignation/déconsignation (Lockout‑Tagout). | --- *Fin de la fiche de cours.*