Systèmes de numération (partie 1/3)

## principes d'écriture d'un nombre ### Introduction Dans notre vie quotidienne, nous utilisons un seul système pour écrire et compter les nombres : le système décimal. Cependant, saviez-vous qu'il existe d'autres façons d'écrire un même nombre ? C'est particulièrement vrai et crucial en automatisme et en informatique. Un ordinateur ne "comprend" pas les nombres de la même manière que nous. Pour communiquer avec lui et comprendre son fonctionnement, il est essentiel de connaître ces autres systèmes de numération. Cette leçon vous introduira aux principes fondamentaux de l'écriture d'un nombre, quelle que soit la base. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un système de numération ? Un **système de numération** est un ensemble de symboles (des chiffres) et de règles permettant d'écrire, de lire et de manipuler des nombres. Il existe différents types de systèmes, mais nous nous concentrerons sur les systèmes **positionnels**. #### Les systèmes de numération positionnels Dans un système positionnel, la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Chaque position correspond à une puissance de la **base** du système. * **La Base (ou Radix) :** C'est le nombre de symboles différents utilisés dans le système. C'est aussi le nombre qui est élevé à une puissance pour déterminer le "poids" de chaque position. * **Les Chiffres :** Ce sont les symboles utilisés pour représenter les quantités. * **Le Poids :** Chaque position dans un nombre a un "poids" qui est une puissance de la base. En allant de droite à gauche, les poids augmentent (\( b^0, b^1, b^2, \ldots \)). Un nombre \( N \) écrit dans une base \( b \) avec les chiffres \( d_n d_{n-1} \ldots d_1 d_0 \) (où \( d_i \) est un chiffre inférieur à \( b \)) peut être converti en sa valeur décimale \( N_{10} \) en utilisant la formule : \[ N_{10} = d_n \times b^n + d_{n-1} \times b^{n-1} + \ldots + d_1 \times b^1 + d_0 \times b^0 \] #### Le système Décimal (Base 10) C'est le système que nous utilisons tous les jours. * **Base :** 10 * **Chiffres :** 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 * **Exemple :** Le nombre \( 453_{10} \) signifie : \( 4 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 3 \times 10^0 \) \( = 4 \times 100 + 5 \times 10 + 3 \times 1 \) \( = 400 + 50 + 3 \) \( = 453 \) #### Les systèmes utilisés en informatique ##### Le système Binaire (Base 2) C'est le langage fondamental des ordinateurs et des systèmes numériques. * **Base :** 2 * **Chiffres :** 0, 1 (Chaque chiffre est appelé un **bit**) * **Pourquoi ?** Facile à représenter électriquement (0 = pas de courant, 1 = courant ; ou bien ouvert/fermé, etc.). * **Exemple :** Le nombre \( 1011_2 \) en binaire équivaut à : \( 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \) \( = 1 \times 8 + 0 \times 4 + 1 \times 2 + 1 \times 1 \) \( = 8 + 0 + 2 + 1 \) \( = 11_{10} \) ##### Le système Octal (Base 8) Autrefois, il était souvent utilisé pour simplifier la lecture des nombres binaires, car un chiffre octal représente exactement 3 bits. * **Base :** 8 * **Chiffres :** 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 * **Exemple :** Le nombre \( 73_8 \) en octal équivaut à : \( 7 \times 8^1 + 3 \times 8^0 \) \( = 7 \times 8 + 3 \times 1 \) \( = 56 + 3 \) \( = 59_{10} \) ##### Le système Hexadécimal (Base 16) C'est un système très utilisé en informatique pour représenter de grandes quantités binaires de manière plus compacte et lisible. Un chiffre hexadécimal représente exactement 4 bits. * **Base :** 16 * **Chiffres :** 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F * \( A = 10_{10} \) * \( B = 11_{10} \) * \( C = 12_{10} \) * \( D = 13_{10} \) * \( E = 14_{10} \) * \( F = 15_{10} \) * **Exemple :** Le nombre \( 2F_{16} \) en hexadécimal équivaut à : \( 2 \times 16^1 + F \times 16^0 \) \( = 2 \times 16 + 15 \times 1 \) \( = 32 + 15 \) \( = 47_{10} \) ### Vocabulaire * **Système de numération :** Méthode pour représenter et écrire les nombres. * **Base (ou Radix) :** Le nombre total de symboles distincts utilisés dans un système de numération. Indique le "compte" maximum avant de passer à l'ordre supérieur. * **Chiffre :** Un symbole élémentaire utilisé dans un système de numération (ex: 0, 1, A). * **Poids :** La valeur associée à une position donnée d'un chiffre dans un nombre, égale à la base élevée à la puissance de la position (ex: \( 10^2 \) pour les centaines en décimal). * **Position :** L'emplacement d'un chiffre dans un nombre, qui détermine son poids. * **Binaire :** Système de numération en base 2, utilisant les chiffres 0 et 1. * **Octal :** Système de numération en base 8, utilisant les chiffres 0 à 7. * **Décimal :** Système de numération en base 10, utilisant les chiffres 0 à 9. * **Hexadécimal :** Système de numération en base 16, utilisant les chiffres 0 à 9 et les lettres A à F. * **Bit :** Contraction de "Binary Digit", le plus petit élément d'information en binaire (0 ou 1). ### Exemples Voici quelques exemples supplémentaires de conversion de différentes bases vers le décimal, en appliquant les principes d'écriture : 1. **Convertir \( 1101_2 \) en décimal :** \( 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \) \( = 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 \) \( = 8 + 4 + 0 + 1 \) \( = 13_{10} \) 2. **Convertir \( 64_8 \) en décimal :** \( 6 \times 8^1 + 4 \times 8^0 \) \( = 6 \times 8 + 4 \times 1 \) \( = 48 + 4 \) \( = 52_{10} \) 3. **Convertir \( A5_{16} \) en décimal :** \( A \times 16^1 + 5 \times 16^0 \) \( = 10 \times 16 + 5 \times 1 \) \( = 160 + 5 \) \( = 165_{10} \) ### Exercices Appliquez les principes d'écriture pour convertir les nombres suivants en leur équivalent décimal : 1. \( 1001_2 \) 2. \( 111_2 \) 3. \( 25_8 \) 4. \( 100_8 \) 5. \( 3C_{16} \) 6. \( FF_{16} \) 7. Expliquez en une phrase pourquoi les ordinateurs n'utilisent pas le système décimal pour leurs opérations internes. ### Devoir 1. Convertissez les nombres suivants en leur équivalent décimal. Faites bien apparaître le détail de vos calculs : * \( 11010_2 \) * \( 123_8 \) * \( FADE_{16} \) 2. Donnez un exemple concret où vous avez déjà rencontré des nombres écrits en hexadécimal (indice : regardez les codes couleurs sur internet ou les adresses mémoire). 3. Quel serait le plus grand nombre que l'on pourrait écrire avec deux chiffres en base 4 ? (Les chiffres disponibles sont 0, 1, 2, 3). ### Résumé Nous avons exploré aujourd'hui les **principes d'écriture d'un nombre** dans différents systèmes de numération. La clé est de comprendre la notion de **base** et de **poids** de chaque **position**. Les systèmes **binaire**, **octal** et **hexadécimal** sont essentiels en informatique car ils permettent de représenter les informations de manière adaptée aux circuits électroniques. La capacité à convertir ces nombres en décimal est la première étape pour "parler" le même langage que les machines. La formule \( N_{10} = d_n \times b^n + \ldots + d_0 \times b^0 \) est fondamentale pour comprendre la valeur d'un nombre dans n'importe quelle base. ## Systèmes de numération utilisés en automatisme ### Introduction Dans le monde de l'automatisme et de l'informatique industrielle, nous utilisons des systèmes de numération différents de celui que nous utilisons tous les jours (le système décimal). Ces systèmes sont essentiels pour comprendre comment les ordinateurs et les automates programmables traitent l'information. Cette leçon vous introduira aux systèmes binaire et hexadécimal, leurs conversions et leur importance dans l'industrie. ### Concepts Clés #### 1. Le système décimal (Base 10) C'est le système que nous utilisons quotidiennement. Il utilise 10 chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Chaque position d'un chiffre représente une puissance de 10. * **Exemple:** Le nombre \( 245 \) en décimal signifie : \( 2 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0 = 200 + 40 + 5 = 245 \) #### 2. Le système binaire (Base 2) Le système binaire est la base de tous les systèmes numériques. Il n'utilise que deux chiffres : 0 et 1 (appelés *bits*). C'est le langage des ordinateurs et des automates, car il est facile de représenter deux états physiques (ON/OFF, Vrai/Faux, Courant/Pas de courant). * Chaque position d'un chiffre binaire représente une puissance de 2. ##### Conversion Binaire vers Décimal Pour convertir un nombre binaire en décimal, on multiplie chaque bit par la puissance de 2 correspondant à sa position, puis on additionne les résultats. * **Exemple:** Convertir \( (1011)_2 \) en décimal. \[ (1011)_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \] \[ = 1 \times 8 + 0 \times 4 + 1 \times 2 + 1 \times 1 \] \[ = 8 + 0 + 2 + 1 = (11)_{10} \] ##### Conversion Décimal vers Binaire Pour convertir un nombre décimal en binaire, on utilise la méthode des divisions successives par 2, en notant les restes. Le nombre binaire s'obtient en lisant les restes du dernier au premier. * **Exemple:** Convertir \( (13)_{10} \) en binaire. * \( 13 ext{ / } 2 = 6 ext{ reste } 1 \) * \( 6 ext{ / } 2 = 3 ext{ reste } 0 \) * \( 3 ext{ / } 2 = 1 ext{ reste } 1 \) * \( 1 ext{ / } 2 = 0 ext{ reste } 1 \) En lisant les restes de bas en haut : \( (1101)_2 \) #### 3. Le système hexadécimal (Base 16) Le système hexadécimal utilise 16 symboles : les chiffres 0 à 9 et les lettres A à F. Il est souvent utilisé pour représenter des nombres binaires de manière plus compacte, car un chiffre hexadécimal représente exactement 4 bits. * **Correspondance:** * 0-9 correspondent à 0-9 décimal * A = 10 décimal * B = 11 décimal * C = 12 décimal * D = 13 décimal * E = 14 décimal * F = 15 décimal ##### Conversion Hexadécimal vers Décimal Similaire à la conversion binaire vers décimal, mais on utilise des puissances de 16. * **Exemple:** Convertir \( (2A)_{16} \) en décimal. \[ (2A)_{16} = 2 \times 16^1 + A \times 16^0 \] \[ = 2 \times 16 + 10 \times 1 \] \[ = 32 + 10 = (42)_{10} \] ##### Conversion Décimal vers Hexadécimal Utilisez la méthode des divisions successives par 16. * **Exemple:** Convertir \( (42)_{10} \) en hexadécimal. * \( 42 ext{ / } 16 = 2 ext{ reste } 10 ext{ (qui est A)} \) * \( 2 ext{ / } 16 = 0 ext{ reste } 2 \) En lisant les restes de bas en haut : \( (2A)_{16} \) ##### Conversion Binaire vers Hexadécimal Regroupez les bits par paquets de quatre à partir de la droite. Convertissez chaque paquet de 4 bits en son chiffre hexadécimal équivalent. * **Exemple:** Convertir \( (11010110)_2 \) en hexadécimal. * Diviser : \( 1101 \ 0110 \) * \( (1101)_2 = (D)_{16} \) * \( (0110)_2 = (6)_{16} \) Donc : \( (D6)_{16} \) ##### Conversion Hexadécimal vers Binaire Remplacez chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire sur 4 bits. * **Exemple:** Convertir \( (AF)_{16} \) en binaire. * \( (A)_{16} = (1010)_2 \) * \( (F)_{16} = (1111)_2 \) Donc : \( (10101111)_2 \) ### Vocabulaire * **Bit (Binary Digit):** La plus petite unité d'information, ayant une valeur de 0 ou 1. * **Octet (Byte):** Un groupe de 8 bits. Un octet peut représenter 256 valeurs différentes (de 0 à 255). * **Base:** Le nombre de symboles uniques utilisés dans un système de numération. * **Poids Fort (MSB - Most Significant Bit):** Le bit le plus à gauche dans un nombre binaire, ayant la plus grande valeur. * **Poids Faible (LSB - Least Significant Bit):** Le bit le plus à droite dans un nombre binaire, ayant la plus petite valeur. * **Numération:** Manière de représenter les nombres. ### Exemples Pratiques 1. **États d'entrées/sorties d'un automate:** Un automate programmable (API) gère des capteurs et des actionneurs. L'état d'un capteur (activé/désactivé) est représenté par un bit (1/0). Un ensemble de 8 capteurs peut être lu comme un octet. 2. **Adresses mémoire:** Les adresses mémoire dans les microcontrôleurs et les automates sont souvent affichées en hexadécimal pour être plus courtes et plus lisibles qu'en binaire. 3. **Codes couleurs en informatique:** Les couleurs sont souvent représentées en hexadécimal (par exemple, #FF0000 pour le rouge pur, où FF représente 255 en décimal pour la composante rouge). ### Exercices 1. Convertissez les nombres binaires suivants en décimal : a. \( (101)_2 \) b. \( (1100)_2 \) c. \( (11110)_2 \) 2. Convertissez les nombres décimaux suivants en binaire : a. \( (7)_{10} \) b. \( (25)_{10} \) c. \( (32)_{10} \) 3. Convertissez les nombres hexadécimaux suivants en décimal : a. \( (F)_{16} \) b. \( (1C)_{16} \) c. \( (3F)_{16} \) 4. Convertissez les nombres binaires suivants en hexadécimal : a. \( (1010)_2 \) b. \( (11100101)_2 \) c. \( (110111)_2 \) 5. Convertissez les nombres hexadécimaux suivants en binaire : a. \( (5)_{16} \) b. \( (A3)_{16} \) c. \( (2D)_{16} \) ### Devoirs 1. Quel est le plus grand nombre décimal que l'on peut représenter avec 8 bits ? Donnez sa représentation binaire et hexadécimale. 2. Expliquez pourquoi le système binaire est fondamental en automatisme et en informatique. 3. Un automate reçoit un mot de 16 bits. Si ce mot est \( (0101 ext{ } 1100 ext{ } 0011 ext{ } 1010)_2 \), quel serait sa représentation hexadécimale ? 4. Convertissez \( (255)_{10} \) en binaire puis en hexadécimal. 5. Convertissez \( (7B)_{16} \) en binaire puis en décimal. ### Résumé Nous avons exploré les systèmes de numération essentiels en automatisme et informatique industrielle : le décimal, le binaire et l'hexadécimal. Le binaire (base 2) est le langage fondamental des machines, utilisant uniquement 0 et 1. L'hexadécimal (base 16) est un moyen compact et pratique de représenter des nombres binaires, en particulier pour les adresses mémoire et les codes. La maîtrise des conversions entre ces systèmes est cruciale pour travailler efficacement dans ce domaine. ## Passage d'un système de numération à un autre ### Introduction En automatisme et informatique industrielle, nous sommes constamment confrontés à différentes manières de représenter les nombres. Si nous utilisons naturellement le système décimal (base 10) dans notre quotidien, les ordinateurs, eux, fonctionnent en binaire (base 2). Il est aussi fréquent de rencontrer les systèmes octal (base 8) et hexadécimal (base 16) qui facilitent la lecture et la manipulation des longues séquences binaires. Comprendre comment passer d'un système de numération à un autre est donc une compétence fondamentale. Dans cette leçon, nous allons explorer les méthodes de conversion entre ces différents systèmes, afin de pouvoir manipuler efficacement les informations numériques. ### Concepts Clés #### Rappel sur les systèmes de numération * **Système Décimal (Base 10)**: * Utilise 10 chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). * La position d'un chiffre détermine sa valeur (unités, dizaines, centaines, etc.). * Exemple: \( (123)_{10} = 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0 \). * **Système Binaire (Base 2)**: * Utilise 2 chiffres (0, 1) appelés *bits*. * C'est le langage des ordinateurs. * Exemple: \( (1011)_2 \). * **Système Octal (Base 8)**: * Utilise 8 chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). * Souvent utilisé comme une forme compacte du binaire (1 chiffre octal = 3 bits). * Exemple: \( (27)_8 \). * **Système Hexadécimal (Base 16)**: * Utilise 16 symboles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). * Les lettres A à F représentent les valeurs décimales de 10 à 15. * Très utilisé en informatique pour représenter des adresses mémoire ou des couleurs (1 chiffre hexadécimal = 4 bits). * Exemple: \( (3F)_{16} \). #### Conversion d'un nombre décimal vers une autre base (binaire, octal, hexadécimal) La méthode la plus courante est la **méthode des divisions successives par la base**. 1. Divisez le nombre décimal par la base de destination. 2. Notez le reste de cette division. 3. Reprenez le quotient obtenu et divisez-le à nouveau par la base. 4. Répétez l'opération jusqu'à ce que le quotient soit 0. 5. Le nombre dans la nouvelle base s'obtient en lisant les restes de bas en haut (le premier reste est le chiffre de poids faible, le dernier est le chiffre de poids fort). #### Conversion d'une autre base (binaire, octal, hexadécimal) vers le système décimal Pour convertir un nombre d'une base \( B \) vers le système décimal (base 10), on utilise la **méthode de la somme des puissances de la base**. 1. Identifiez la position de chaque chiffre en partant de la droite (la position 0 est pour le chiffre de poids faible). 2. Multipliez chaque chiffre par la base élevée à la puissance de sa position. 3. Additionnez tous les résultats. Exemple pour un nombre \( (d_n d_{n-1} ... d_1 d_0)_B \): \[ (d_n d_{n-1} ... d_1 d_0)_B = d_n \times B^n + d_{n-1} \times B^{n-1} + ... + d_1 \times B^1 + d_0 \times B^0 \] #### Conversion Binaire \(\leftrightarrow\) Octal et Binaire \(\leftrightarrow\) Hexadécimal Ces conversions sont simplifiées car les bases 8 (octal) et 16 (hexadécimal) sont des puissances de 2 (\( 8 = 2^3 \) et \( 16 = 2^4 \)). * **Binaire \(\to\) Octal**: Regroupez les bits par paquets de 3 en partant de la droite. Convertissez chaque paquet de 3 bits en son équivalent octal. * **Octal \(\to\) Binaire**: Remplacez chaque chiffre octal par son équivalent binaire sur 3 bits. * **Binaire \(\to\) Hexadécimal**: Regroupez les bits par paquets de 4 en partant de la droite. Convertissez chaque paquet de 4 bits en son équivalent hexadécimal. * **Hexadécimal \(\to\) Binaire**: Remplacez chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire sur 4 bits. **Table de correspondance Binaire-Octal-Hexadécimal**: | Décimal | Binaire | Octal | Hexadécimal | |---------|---------|-------|-------------| | 0 | 0000 | 0 | 0 | | 1 | 0001 | 1 | 1 | | 2 | 0010 | 2 | 2 | | 3 | 0011 | 3 | 3 | | 4 | 0100 | 4 | 4 | | 5 | 0101 | 5 | 5 | | 6 | 0110 | 6 | 6 | | 7 | 0111 | 7 | 7 | | 8 | 1000 | 10 | 8 | | 9 | 1001 | 11 | 9 | | 10 | 1010 | 12 | A | | 11 | 1011 | 13 | B | | 12 | 1100 | 14 | C | | 13 | 1101 | 15 | D | | 14 | 1110 | 16 | E | | 15 | 1111 | 17 | F | ### Vocabulaire * **Base**: Le nombre de symboles uniques utilisés dans un système de numération. Par exemple, la base 10 pour le décimal, la base 2 pour le binaire. * **Bit**: Abréviation de *binary digit*. C'est le plus petit élément d'information en binaire, qui peut être 0 ou 1. * **Chiffre**: Un symbole utilisé pour représenter une quantité dans un système de numération. Dans le système décimal, les chiffres sont de 0 à 9. * **Poids (ou valeur de position)**: La valeur qu'un chiffre représente en fonction de sa position dans le nombre. * **Chiffre de poids fort (MSB - Most Significant Bit)**: Le chiffre le plus à gauche d'un nombre, celui qui a la plus grande valeur. * **Chiffre de poids faible (LSB - Least Significant Bit)**: Le chiffre le plus à droite d'un nombre, celui qui a la plus petite valeur. ### Exemples #### 1. Décimal vers Binaire Convertir \( (25)_{10} \) en binaire: * \( 25 \div 2 = 12 \) Reste \( 1 \) * \( 12 \div 2 = 6 \) Reste \( 0 \) * \( 6 \div 2 = 3 \) Reste \( 0 \) * \( 3 \div 2 = 1 \) Reste \( 1 \) * \( 1 \div 2 = 0 \) Reste \( 1 \) En lisant les restes de bas en haut: \( (25)_{10} = (11001)_2 \). #### 2. Décimal vers Octal Convertir \( (25)_{10} \) en octal: * \( 25 \div 8 = 3 \) Reste \( 1 \) * \( 3 \div 8 = 0 \) Reste \( 3 \) En lisant les restes de bas en haut: \( (25)_{10} = (31)_8 \). #### 3. Décimal vers Hexadécimal Convertir \( (25)_{10} \) en hexadécimal: * \( 25 \div 16 = 1 \) Reste \( 9 \) * \( 1 \div 16 = 0 \) Reste \( 1 \) En lisant les restes de bas en haut: \( (25)_{10} = (19)_{16} \). #### 4. Binaire vers Décimal Convertir \( (11001)_2 \) en décimal: \[ (11001)_2 = 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \] \[ = 1 \times 16 + 1 \times 8 + 0 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 \] \[ = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = (25)_{10} \] #### 5. Octal vers Décimal Convertir \( (31)_8 \) en décimal: \[ (31)_8 = 3 \times 8^1 + 1 \times 8^0 \] \[ = 3 \times 8 + 1 \times 1 \] \[ = 24 + 1 = (25)_{10} \] #### 6. Hexadécimal vers Décimal Convertir \( (19)_{16} \) en décimal: \[ (19)_{16} = 1 \times 16^1 + 9 \times 16^0 \] \[ = 1 \times 16 + 9 \times 1 \] \[ = 16 + 9 = (25)_{10} \] #### 7. Binaire vers Octal Convertir \( (11010110)_2 \) en octal: Groupez par 3 bits (en complétant par des 0 à gauche si nécessaire): \( (011)(010)(110)_2 \) * \( (011)_2 = (3)_8 \) * \( (010)_2 = (2)_8 \) * \( (110)_2 = (6)_8 \) Donc, \( (11010110)_2 = (326)_8 \). #### 8. Binaire vers Hexadécimal Convertir \( (11010110)_2 \) en hexadécimal: Groupez par 4 bits (en complétant par des 0 à gauche si nécessaire): \( (1101)(0110)_2 \) * \( (1101)_2 = (13)_{10} = (D)_{16} \) * \( (0110)_2 = (6)_{10} = (6)_{16} \) Donc, \( (11010110)_2 = (D6)_{16} \). ### Exercices Réalisez les conversions suivantes: 1. Convertir \( (42)_{10} \) en: a. Binaire b. Octal c. Hexadécimal 2. Convertir \( (101101)_2 \) en décimal. 3. Convertir \( (75)_8 \) en décimal. 4. Convertir \( (2F)_{16} \) en décimal. 5. Convertir \( (11100101)_2 \) en: a. Octal b. Hexadécimal ### Devoir 1. Convertir \( (127)_{10} \) en: a. Binaire b. Octal c. Hexadécimal 2. Convertir \( (11111111)_2 \) en décimal. 3. Convertir \( (123)_8 \) en binaire. 4. Convertir \( (C7)_{16} \) en binaire. 5. Quelles sont les valeurs minimales et maximales (en décimal) que l'on peut représenter avec 8 bits (un octet)? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris les méthodes essentielles pour passer d'un système de numération à un autre. Nous avons vu que la conversion **décimal vers une autre base** se fait par **divisions successives** et que la conversion **d'une autre base vers décimal** se fait par la **somme des puissances de la base**. Enfin, nous avons découvert que les conversions entre **binaire, octal et hexadécimal** sont simplifiées par le **regroupement des bits** par 3 ou par 4. Maîtriser ces conversions est crucial pour toute personne travaillant avec les systèmes numériques et l'informatique, car cela permet de comprendre et d'interpréter le fonctionnement interne des machines.