Fonctions logiques (partie 3/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - manipuler les opérateurs logiques de base (NON, ET, OU) et leurs combinaisons ; - établir les tables de vérité de fonctions logiques complexes ; - appliquer les lois de l’algèbre de Boole pour simplifier une expression booléenne ; - traduire une expression logique en réseau de diagrammes (schéma ladder) et inversement ; - lire, interpréter et réaliser un schéma de commande industriel conforme aux normes de sécurité camerounaises. **Prérequis** : maîtrise des notions du chapitre précédent (opérateurs logiques de base, tables de vérité simples), connaissance des symboles électriques usuels (contact, bobine, relais) et des règles de sécurité élémentaires en atelier (port des EPI, mise à la terre, consignation). > **À retenir** : les opérateurs logiques forment une algèbre de Boole fermée sous les opérations ET (·), OU (+) et NON (¬). ## Introduction contextualisée Dans les installations industrielles camerounaises (usines de transformation du cacao, lignes d’assemblage de véhicules, stations de traitement d’eau), les automatismes sont pilotés par des fonctions logiques qui déterminent quand un moteur démarre, quand une vanne s’ouvre ou quand une alarme se déclenche. La capacité à combiner ces fonctions et à les représenter sous forme de réseaux de diagrammes logiques permet au technicien de concevoir, dépanner et maintenir des équipements tout en respectant les exigences de la norme NF C 15‑100 et du décret n° 2018/345 du MINTP relatif à la sécurité des machines. Ce chapitre approfondit donc la combinaison d’opérateurs et la réalisation de schémas ladder, deux compétences essentielles pour l’examen du BAC PRO MEM et pour l’insertion professionnelle. ## I. Leçon 9 – Combinaisons d’opérateurs logiques ### 9.1 Rappel des opérateurs de base - **NON** (¬) : inverse l’état d’une variable. $A=0 \Rightarrow \bar A =1$ ; $A=1 \Rightarrow \bar A =0$. - **ET** (·) : résultat vrai seulement si toutes les entrées sont vraies. $A·B =1$ si $A=1$ **et** $B=1$. - **OU** (+) : résultat vrai si au moins une entrée est vraie. $A+B =1$ si $A=1$ **ou** $B=1$ (ou les deux). > **À retenir** : la priorité des opérateurs est ¬ > · > +, sauf indication contraire par des parenthèses. ### 9.2 Tables de vérité des combinaisons Pour une fonction à trois variables $F(A,B,C)=\overline{A·B}+C$, on construit la table suivante : | A | B | C | A·B | $\overline{A·B}$ | F | |---|---|---|-----|------------------|---| | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | > **À retenir** : la table de vérité est l’outil fondamental pour vérifier l’équivalence de deux expressions logiques. ### 9.3 Lois de l’algèbre de Boole | Loi | Expression | Commentaire | |-----|------------|-------------| | Annulation | $A+ \bar A =1$ ; $A·\bar A =0$ | complémentarité | | Idempotence | $A+A =A$ ; $A·A =A$ | répétition inutile | | Absorption | $A+ A·B =A$ ; $A·(A+ B)=A$ | simplification | | Distributivité | $A·(B+ C)=A·B+ A·C$ ; $A+ (B·C)= (A+ B)·(A+ C)$ | facteur commun | | de Morgan | $\overline{A·B}= \bar A+ \bar B$ ; $\overline{A+ B}= \bar A· \bar B$ | négation d’une combinaison | > **À retenir** : les lois de de Morgan permettent de transformer un ET en OU et vice‑versa après négation. ### 9.4 Simplification d’expressions logiques **Exemple** : simplifier $G = \overline{(A+ B)·C}+ A·\bar B$. 1. Appliquer de Morgan sur le premier terme : $\overline{(A+ B)·C}= \overline{A+ B}+ \bar C = \bar A·\bar B+ \bar C$. 2. Expression devient $G = (\bar A·\bar B+ \bar C)+ A·\bar B$. 3. Factoriser $\bar B$ : $G = \bar B·(\bar A+ A)+ \bar C$. 4. $\bar A+ A =1$ (loi d’annulation) → $G = \bar B·1+ \bar C = \bar B+ \bar C$. Résultat final : $\boxed{G = \bar B+ \bar C}$. > **À retenir** : chaque étape de simplification doit être justifiée par une loi de Boole clairement citée. ### 9.5 Exemple professionnel : automatisme d’une ligne de conditionnement de bouteilles au Cameroun Une ligne de remplissage doit démarrer le convoyeur **seulement si** : - le capteur de présence de bouteille (S1) est activé **ET** le niveau de liquide dans la cuve (S2) est suffisant ; - **OU** le bouton de démarrage manuel (S3) est enfoncé, à condition que la porte de sécurité (S4) soit fermée. Expression logique de la commande du moteur M : $$M = (S1·S2) + S3·\bar S4$$ - Si S1=1, S2=1 → M=1 indépendamment de S3,S4. - Si S3=1 et S4=0 (porte fermée) → M=1 même sans bouteille. - Si S3=1 et S4=1 (porte ouverte) → M=0 (sécurité). Cette expression sera ensuite traduite en réseau de diagrammes (voir Leçon 10). > **À retenir** : la sécurité des machines impose que toute commande manuelle soit inhibée par un contact de sécurité normalement fermé (S4). ## II. Leçon 10 – Réseaux de diagrammes logiques ### 10.1 Symboles des diagrammes logiques (schéma ladder) - **Contact normalement ouvert (NO)** : représenté par deux lignes séparées, se ferme quand l’entrée est vraie. - **Contact normalement fermé (NC)** : représenté par une ligne traversée d’une barre oblique, se ouvre quand l’entrée est vraie. - **Bobine (ou relais)** : symbole de bobine, s’active quand le chemin de courant est continu. - **Bloc fonctionnel** : parfois utilisé pour représenter des temporisateurs ou compteurs. > **À retenir** : en logique industrielle, un contact NO correspond à la variable directe, un contact NC à sa négation. ### 10.2 Lecture et écriture d’un réseau logique Un réseau se lit de gauche à droite, de haut en bas. Chaque rameau (rung) représente une condition logique qui, lorsqu’elle est satisfaite, alimente la bobine de sortie. **Exemple** : pour l’expression $M = (S1·S2) + S3·\bar S4$, on dessine deux rameaux : 1. Rameau supérieur : contact NO S1 en série avec contact NO S2 → bobine M. 2. Rameau inférieur : contact NO S3 en série avec contact NC S4 → bobine M. Les deux rameaux sont en parallèle (OU) vis‑à‑vis de la bobine. > **À retenir** : la série réalise un ET, le parallèle réalise un OU. ### 10.3 Réalisation d’un réseau à partir d’une expression booléenne **Méthode pas à pas** : 1. Mettre l’expression sous forme normale somme de produits (SOP) si ce n’est pas déjà le cas. 2. Chaque produit (term) devient un rameau en série des contacts correspondant aux littéraux (NO pour variable directe, NC pour variable négée). 3. Tous les rameaux sont reliés en parallèle à la bobine de sortie. **Application** : simplifions $F = \bar A·B + A·\bar B + A·B$. - Étape 1 : déjà en SOP. - Étape 2 : trois rameaux : * Rameau 1 : contact NC A (¬A) en série avec contact NO B. * Rameau 2 : contact NO A en série avec contact NC B. * Rameau 3 : contact NO A en série avec contact NO B. - Étape 3 : relier les trois rameaux en parallèle à la bobine F. > **À retenir** : la forme SOP facilite le transfert direct vers un schéma ladder. ### 10.4 Exemple de schéma de commande d’un moteur triphasé avec protection Dans une scierie de Bamenda, le moteur M doit démarrer seulement si : - le bouton de démarrage vert (SB) est enfoncé ; - le bouton d’arrêt rouge (SA) est relâché (contact NC) ; - le relais de surcharge thermique (TH) est au repos (contact NC) ; - le détecteur de présence de pièce (SP) indique qu’une pièce est en position (contact NO). Expression : $$M = SB·\bar SA·\bar TH·SP$$ Schémas : - Rameau unique : contacts NO SB, NC SA, NC TH, NO SP en série → bobine M. - Un contact NC de surcharge thermique est placé en série pour couper l’alimentation dès dépassement du courant. > **À retenir** : la protection thermique doit toujours être en série avec la commande de puissance pour garantir l’arrêt immédiat en cas de surcharge. ### 10.5 Vérification de conformité aux normes - **NF C 15‑100** § 521.3 : les circuits de commande doivent être séparés des circuits de puissance par un dispositif d’isolement (relais ou contacteur). - **Décret n° 2018/345** : tout arrêt d’urgence doit être réalisé par un contact NC accessible et clairement identifié (couleur rouge). - **Sécurité** : vérifier la continuité de la terre (PE) sur tous les châssis métalliques avant mise sous tension. > **À retenir** : un schéma ladder valide doit pouvoir être lu directement par un technicien sans ambiguïté, chaque symbole étant conforme au Référentiel des Symboles Electriques (RSE). ## Synthèse du chapitre - Les opérateurs logiques de base (¬, ·, +) forment une algèbre de Boole fermée. - Les tables de vérité permettent de vérifier l’équivalence et d’exprimer toute fonction logique. - Les lois de l’algèbre de Boole (annulation, idempotence, absorption, distributivité, de Morgan) servent à simplifier les expressions. - Une expression en SOP se traduit directement en réseau ladder : chaque produit = rameau en série, somme = rameaux en parallèle. - En schéma ladder, un contact NO = variable directe, un contact NC = variable négée. - La réalisation d’un réseau doit respecter les règles de sécurité (contacts NC pour arrêts d’urgence, séparation commande/puissance, mise à la terre). - Exemple professionnel : commande d’une ligne de conditionnement $M = (S1·S2)+S3·\bar S4$ → deux rameaux en parallèle. - Vérification de conformité : NF C 15‑100, décret d’arrêt d’urgence, contrôle de la terre. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Opérateur logique | Fonction qui prend une ou plusieurs variables booléennes et retourne une valeur booléenne (¬, ·, +). | | Table de vérité | Tableau listant toutes les combinaisons d’entrées d’une fonction logique et la sortie correspondante. | | Algèbre de Boole | Ensemble de lois régissant les manipulations des expressions booléennes. | | Loi de de Morgan | Règles permettant de transformer la négation d’un ET en OU de négations et vice‑versa. | | Forme normale somme de produits (SOP) | Expression logique où chaque terme est un produit de littéraux, les termes étant additionnés. | | Contact normalement ouvert (NO) | Contact qui ferme le circuit lorsque l’entrée logique est vraie. | | Contact normalement fermé (NC) | Contact qui ouvre le circuit lorsque l’entrée logique est vraie. | | Bobine (relais) | Élément qui s’active lorsqu’un chemin de courant continu l’alimente, commandant une sortie de puissance. | | Réseau ladder (schéma en échelle) | Représentation graphique d’une fonction logique sous forme de rameaux série/parallèle. | | Référentiel des Symboles Électriques (RSE) | Document qui définit les symboles graphiques utilisés pour représenter les éléments électriques dans les schémas. | | Isolement commande/puissance | Séparation physique ou logique entre les circuits de basse tension (commande) et ceux de haute tension (puissance). | | Arrêt d’urgence | Fonction de sécurité qui coupe immédiatement l’alimentation grâce à un contact NC clairement identifié. | | Continuité de terre | Vérification que tous les éléments métalliques sont reliés à la prise de terre pour prévenir les chocs électriques. | | Relais de surcharge thermique | Dispositif qui ouvre son contact NC lorsque le courant dépasse un seuil prédéfini, protégeant le moteur. | | Détecteur de présence (capteur) | Capteur fournissant un signal logique indiquant la présence ou l’absence d’un objet. | | Norme NF C 15‑100 | Référentiel français (adopté au Cameroun) régissant les installations électriques à basse tension. | ## Exercices d’applications corrigés ### Exercice 1 – Simplification et schéma **Énoncé** : Une station de pompage doit démarrer la pompe P si : - le niveau bas du réservoir (N_B) est détecté (contact NO) **ET** le réservoir n’est pas en débordement (contact NC du flotteur de trop‑plein T_B) ; - **OU** le bouton de démarrage manuel (BM) est enfoncé, à condition que la vanne de décharge (VD) soit fermée (contact NC). 1. Écrire l’expression logique de la commande de la pompe P. 2. Simplifier l’expression à l’aide des lois de Boole. 3. Dessiner le réseau ladder correspondant à l’expression simplifiée. **Corrigé** : 1. Expression brute : $P = (N_B·\bar T_B) + (B_M·\bar V_D)$. 2. Aucune simplification supplémentaire possible (pas de facteur commun, pas de complémentarité). 3. Réseau ladder : - Rameau supérieur : contact NO N_B en série avec contact NC T_B → bobine P. - Rameau inférieur : contact NO B_M en série avec contact NC V_D → bobine P. - Les deux rameaux sont en parallèle. > **À retenir** : chaque terme du SOP donne un rameau série ; la somme des termes donne le parallèle. ### Exercice 2 – Analyse d’un schéma existant **Énoncé** : Sur le schéma suivant (description texte) d’une ligne de convoyage, déterminer la fonction logique de sortie M (marche du moteur) : - Rameau 1 : contact NO du capteur de présence de pièce (CP) en série avec contact NC du bouton d’arrêt d’urgence (AR). - Rameau 2 : contact NO du bouton de démarrage vert (BD) en série avec contact NC du relais de surcharge (TH). - Les deux rameaux sont en parallèle et alimentent la bobine M. 1. Écrire l’expression logique de M. 2. Vérifier si l’expression respecte la règle de sécurité selon laquelle un arrêt d’urgence doit couper la commande indépendamment des autres conditions. 3. Proposer une modification si nécessaire. **Corrigé** : 1. Expression : $M = (CP·\bar AR) + (BD·\bar TH)$. 2. Le terme $\bar AR$ apparaît uniquement dans le premier rameau. Si AR=1 (bouton d’arrêt enfoncé), alors $\bar AR=0$ et le premier rameau est inhibé, mais le second rameau peut encore rendre M=1 si BD=1 et TH=0. Donc l’arrêt d’urgence ne coupe pas totalement la commande → **non conforme**. 3. Modification : placer le contact NC de l’arrêt d’urgence en série avec chaque rameau, ou mieux, le mettre en série avec la bobine M directement. Nouvelle expression : $M = [(CP·\bar AR) + (BD·\bar TH)]·\bar AR$. Après simplification, on obtient $M = \bar AR·(CP + BD·\bar TH)$. Ainsi, dès AR=1, M=0 indépendamment des autres entrées. > **À retenir** : pour garantir la priorité de l’arrêt d’urgence, le contact NC doit être placé en amont de toute logique de commande (en série avec la bobine ou chaque rameau). ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de sécurité / bonne pratique | |---|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | Oublier de négater une variable lorsqu’on passe d’une expression à un schéma (ex. utiliser un NO au lieu d’un NC). | Le système s’active dans les mauvaises conditions, risque de démarrage intempestif. | Toujours vérifier que chaque littéral négé correspond à un contact NC et chaque littéral non négé à un contact NO. | | 2 | Placer un contact NO d’arrêt d’urgence en parallèle avec la commande. | L’arrêt d’urgence ne coupe pas l’alimentation ; le équipement peut continuer à fonctionner malgré la demande d’arrêt. | Le contact d’arrêt d’urgence doit être NC et placé en série avec la bobine de puissance (ou chaque rameau). | | 3 | Négliger la séparation entre circuits de commande et de puissance (relais non utilisé). | Surcharge des contacts de commande, risque de soudure ou de détérioration prématurée. | Utiliser un relais ou un contacteur pour isoler la commande (24 V DC) de la puissance (380 V AC). | | 4 | Ne pas vérifier la continuité de la terre avant mise sous tension. | Risque de choc électrique en cas de défaut d’isolement. | Effectuer un test de continuité (ohmmètre) entre le châssis et la prise de terre ; valeur < 1 Ω. | | 5 | Utiliser une expression non simplifiée, entraînant un schéma avec des contacts redondants. | Augmentation inutile du câblage, coût plus élevé, difficulté de dépannage. | Appliquer systématiquement les lois de Boole (notamment d’absorption et de idempotence) avant de réaliser le schéma. | | 6 | Oublier de mettre un contact de surcharge thermique en série avec la bobine du moteur. | Le moteur peut continuer à fonctionner au-delà de son courant nominal, provoquant une surchauffe et un risque d’incendie. | Toujours placer le contact NC du relais de surcharge thermique en série avec la commande de puissance du moteur. | --- *Fin du cours.*