Optique géométrique : réflexion et réfraction

# Chapitre : Optique géométrique : réflexion et réfraction ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : 1. Énoncer et démontrer les lois de la réflexion et de la réfraction (Snell‑Descartes). 2. Calculer la position, la nature et le grossissement de l’image formée par un miroir plan ou sphérique. 3. Déterminer l’indice de réfraction d’un milieu à partir de mesures d’angles d’incidence et de réfraction. 4. Analyser le passage de la lumière à travers un prisme, calculer l’angle de déviation minimale et expliquer le phénomène de dispersion. 5. Identifier les conditions de réflexion totale interne et en calculer l’angle critique. 6. Appliquer la formule de conjugaison des lentilles minces pour localiser l’image d’un objet placé devant une lentille convergente ou divergente. 7. Calculer le grossissement linéaire et angulaire d’un système optique simple (lunette astronomique, microscope, œil humain). 8. Résoudre des problèmes d’optique géométrique typiques du baccalauréat camerounais, en justifiant chaque étape. **Prérequis** : - Notions de géométrie euclidienne (droites, angles, triangles semblables). - Notions de trigonométrie de base (sinus, cosinus, tangente). - Concepts de vitesse de la lumière dans le vide et dans un milieu matériel. - Manipulation des grandeurs physiques et de leurs unités (mètre, radian, degré). - Savoir tracer un rayon lumineux et respecter la convention de signe (distances positives du côté de la lumière incidente, négatives du côté opposé). ## Introduction contextualisée La lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène et isotrope ; toutefois, lorsqu’elle rencontre une surface de séparation entre deux milieux différents, sa trajectoire peut changer. Deux phénomènes fondamentaux gouvernent ce changement : la **réflexion** (retour du rayon dans le même milieu) et la **réfraction** (passage dans le second milieu avec modification de direction). L’étude de ces phénomènes sous l’approche géométrique permet de concevoir et d’analyser de nombreux instruments utilisés au quotidien : miroirs, lunettes, jumelles, appareils photo, microscopes, télescopes, ainsi que le fonctionnement de l’œil humain. Dans le programme officiel du MINESEC/IGE pour la série Terminale, l’optique géométrique est abordée après l’étude du mouvement ondulatoire et avant l’optique physique (interférence, diffraction). Cette séquence permet à l’élève de passer d’une description ondulatoire de la lumière à une description basée sur les rayons, tout en conservant la rigueur mathématique nécessaire aux épreuves du baccalauréat. Nous allons développer successivement : * **I. Réflexion de la lumière** – lois, miroirs plans et sphériques, formation d’images. * **II. Réfraction de la lumière** – loi de Snell‑Descartes, indice, prisme, réflexion totale interne. * **III. Lentilles minces et instruments d’optique** – formule de conjugaison, grossissement, lunettes, microscope, œil. Chaque notion sera accompagnée d’une définition précise, d’une démonstration des résultats essentiels, puis d’au moins deux exemples entièrement résolus, du plus simple au plus délicat. --- ## I. Réflexion de la lumière ### A. Lois de la réflexion **Définition** : Lorsqu’un rayon lumineux incidente sur une surface séparant deux milieux, la partie du rayon qui reste dans le même milieu est appelée rayon réfléchi. > **Loi de la réflexion** : Le rayon incident, le rayon réfléchi et la normale à la surface d’incidence au point de frappe sont coplanaires. L’angle d’incidence $i$ (entre le rayon incident et la normale) est égal à l’angle de réflexion $r$ (entre le rayon réfléchi et la normale) : > $$ i = r $$ **Démonstration** (principe de Fermat) : Le chemin suivi par la lumière entre deux points A et B, avec réflexion sur une surface, est celui qui minimise le temps de parcours. En posant que la vitesse de la lumière est constante dans le milieu considéré, la minimisation du trajet linéaire $AB$ avec un point de réflexion $P$ sur la surface conduit à la condition $\frac{d}{dx}(AP+PB)=0$, qui se traduit par l’égalité des angles d’incidence et de réflexion. **Propriétés** : - La réflexion est spéculaire si la surface est polie à l’échelle de la longueur d’onde ; sinon elle est diffuse. - L’intensité du rayon réfléchi dépend de la nature des milieux (coefficients de réflexion de Fresnel). **Exemple 1** : Un rayon lumineux frappe un miroir plan avec un angle d’incidence de $30^\circ$. Déterminer l’angle de réflexion et tracer le rayon réfléchi. *Solution* : Selon la loi de la réflexion, $r=i=30^\circ$. Le rayon réfléchi forme donc un angle de $30^\circ$ avec la normale, du même côté que le rayon incident mais de l’autre côté de la normale. **Exemple 2** : Un rayon incident forme un angle de $50^\circ$ avec la surface d’un miroir plan. Quel est l’angle de réflexion par rapport à la surface ? *Solution* : L’angle d’incidence par rapport à la normale est $i = 90^\circ-50^\circ = 40^\circ$. Par conséquent, $r = 40^\circ$ par rapport à la normale. L’angle avec la surface vaut alors $90^\circ-40^\circ = 50^\circ$. Le rayon réfléchi forme donc également un angle de $50^\circ$ avec la surface, symétrique par rapport à la normale. --- ### B. Miroir plan **Définition** : Un miroir plan est une surface réfléchissante parfaitement plane. > **Propriété** : L’image formée par un miroir plan est virtuelle, droite, de même taille que l’objet et située à une distance derrière le miroir égale à la distance de l’objet devant le miroir. **Démonstration** : Soit un objet $AB$ placé à une distance $d$ devant le miroir. Chaque point de l’objet émet un rayon qui, après réflexion, semble provenir d’un point situé symétriquement par rapport au miroir. En considérant un point $A$ et son image $A'$, la normale au miroir en $P$ (point d’incidence) est la médiane du segment $AA'$ ; donc $AP = PA'$. Comme cela vaut pour tout point, l’image entière est située à distance $d$ derrière le miroir, de même orientation et de même taille. **Exemple 1** : Un objet de hauteur $h=2\text{ cm}$ est placé à $15\text{ cm}$ devant un miroir plan. Où se situe l’image et quelle est sa hauteur ? *Solution* : L’image est virtuelle, située à $15\text{ cm}$ derrière le miroir. Sa hauteur est égale à celle de l’objet : $h' = h = 2\text{ cm}$. **Exemple 2** : Un observateur se trouve à $100\text{ cm}$ d’un miroir plan. À quelle distance de l’observateur apparaît l’image de son visage située à $20\text{ cm}$ du miroir ? *Solution* : Le visage est à $20\text{ cm}$ du miroir, donc son image est à $20\text{ cm}$ derrière le miroir, soit à $20+20 = 40\text{ cm}$ du miroir du côté de l’observateur. L’observateur étant à $100\text{ cm}$ du miroir, la distance entre lui et l’image est $100-40 = 60\text{ cm}$. --- ### C. Miroir sphérique Un miroir sphérique est une portion de sphère de rayon de courbure $R$. Selon la côté réfléchissant, on distingue : * **Miroir concave** : côté réfléchissant tourné vers l’intérieur de la sphère. * **Miroir convexe** : côté réfléchissant tourné vers l’extérieur. **Notations et convention de signe** (convention cartésienne) : - Les distances mesurées depuis le pôle du miroir dans la direction de la lumière incidente sont positives. - L’objet placé devant le miroir (côté incident) a une distance $u$ positive. - L’image formée devant le miroir (côté incident, donc réelle) a une distance $v$ positive ; une image formée derrière le miroir (côté opposé à l’incident, donc virtuelle) a une distance $v$ négative. - Le foyer d’un miroir concave est réel et situé devant le miroir : $f = +\dfrac{R}{2}$. - Le foyer d’un miroir convexe est virtuel et situé derrière le miroir : $f = -\dfrac{R}{2}$. > **Formule de conjugaison des miroirs sphériques** : > $$ \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f} = \frac{2}{R} $$ **Démonstration** (géométrie des triangles semblables) : Considérons un objet $AB$ placé sur l’axe principal d’un miroir concave. Un rayon issu du sommet $A$ parallèle à l’axe est réfléchi par le foyer $F$ ; un autre rayon passant par $F$ est réfléchi parallèle à l’axe. L’intersection de ces deux rayons réfléchis donne le sommet de l’image $A'$. En écrivant les rapports de similitude entre les triangles $AFO$ et $A'FO$ (où $O$ est le pôle), on obtient $\dfrac{h'}{h} = \dfrac{v}{u}$. En utilisant également la propriété que le rayon passant par le centre de courbure $C$ se réfléchit sur lui-même, on obtient $\dfrac{h'}{h} = \dfrac{R-v}{R-u}$. L’égalité des deux rapports mène à $\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{2}{R}$. **Propriétés** : - Pour un miroir concave : si $u>2f$ → image réelle, inversée, réduite ; si $u=2f$ → image réelle, inversée, même taille ; si $f<u<2f$ → image réelle, inversée, agrandie ; si $u<f$ → image virtuelle, droite, agrandie. - Pour un miroir convexe : l’image est toujours virtuelle, droite, réduite, située derrière le miroir entre le pôle et le foyer virtuel. **Exemple 1** (miroir concave) : Un objet de hauteur $3\text{ cm}$ est placé à $20\text{ cm}$ d’un miroir concave de rayon de courbure $R=30\text{ cm}$. Déterminer la position, la nature et la hauteur de l’image. *Solution* : - $f = \dfrac{R}{2}=+15\text{ cm}$ (positif). - $u = +20\text{ cm}$. - Appliquons la formule : $\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{15}$. $\dfrac{1}{v}= \dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{20}= \dfrac{4-3}{60}= \dfrac{1}{60}$ → $v=+60\text{ cm}$. - $v>0$ → image réelle, située à $60\text{ cm}$ du miroir du côté de la lumière incidente (devant le miroir), donc du même côté que l’objet. - Grossissement linéaire $m = -\dfrac{v}{u}= -\dfrac{60}{20}= -3$. - Hauteur de l’image $h' = m \times h = -3 \times 3\text{ cm}= -9\text{ cm}$ (le signe négatif indique inversion). - Donc l’image est réelle, inversée, agrandie trois fois, située à $60\text{ cm}$ du miroir devant celui-ci. **Exemple 2** (miroir convexe) : Un objet de hauteur $4\text{ cm}$ est placé à $12\text{ cm}$ devant un miroir convexe de rayon de courbure $R=24\text{ cm}$. Où se forme l’image et quelle est sa taille ? *Solution* : - $f = -\dfrac{R}{2}= -12\text{ cm}$. - $u = +12\text{ cm}$. - Formule : $\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{v}= -\dfrac{1}{12}$. $\dfrac{1}{v}= -\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{12}= -\dfrac{2}{12}= -\dfrac{1}{6}$ → $v = -6\text{ cm}$. - $v<0$ → image virtuelle, située à $6\text{ cm}$ derrière le miroir. - Grossissement $m = -\dfrac{v}{u}= -\dfrac{-6}{12}= +\dfrac{1}{2}$. - Hauteur de l’image $h' = m \times h = 0.5 \times 4\text{ cm}= 2\text{ cm}$ (droite). - Donc l’image est virtuelle, droite, réduite de moitié, située à $6\text{ cm}$ derrière le miroir. --- ### D. Formation d’images par les miroirs sphériques (synthèse) Nous résumons les cas typiques dans le tableau suivant (les valeurs sont données en unités de longueur, les signes selon la convention ci‑dessus) : | Type de miroir | Position de l’objet $u$ | Nature de l’image $v$ | Orientation | Grossissement $\vert m\vert $ | |----------------|------------------------|-----------------------|-------------|-------------------| | Concave | $u>2f$ | $v>0$ (réelle) | inversée | $<1$ (réduite) | | Concave | $u=2f$ | $v=2f$ (réelle) | inversée | $=1$ | | Concave | $f<u<2f$ | $v>2f$ (réelle) | inversée | $>1$ (agrandie) | | Concave | $u<f$ | $v<0$ (virtuelle) | droite | $>1$ (agrandie) | | Convexe | quelconque $u>0$ | $v<0$ (virtuelle) | droite | $<1$ (réduite) | > **À retenir** : Pour un miroir sphérique, la formule de conjugaison $\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{2}{R}$ vaut quel que soit le signe de $R$ (positif pour concave, négatif pour convexe) si l’on respecte la convention de signe des distances. --- ## II. Réfraction de la lumière ### A. Loi de Snell‑Descartes **Définition** : Lorsqu’un rayon lumineux passe d’un milieu d’indice $n_1$ à un milieu d’indice $n_2$, sa direction change selon la loi de Snell‑Descartes. > **Loi de Snell‑Descartes** : > $$ n_1 \sin i = n_2 \sin r $$ > où $i$ est l’angle d’incidence (entre le rayon incident et la normale) et $r$ l’angle de réfraction (entre le rayon réfracté et la normale), tous deux mesurés dans le plan d’incidence. **Démonstration** (principe de Fermat) : Le temps de parcours entre deux points $A$ (dans le milieu 1) et $B$ (dans le milieu 2) avec un point d’interface $P$ est $t = \frac{AP}{v_1} + \frac{PB}{v_2} = \frac{n_1 AP}{c} + \frac{n_2 PB}{c}$. En minimisant $t$ par rapport à la position de $P$ sur l’interface, on obtient $n_1 \sin i = n_2 \sin r$. **Propriétés** : - Si $n_2 > n_1$, le rayon se rapproche de la normale ($r < i$). - Si $n_2 < n_1$, le rayon s’éloigne de la normale ($r > i$). - Lorsque $i$ atteint une valeur critique telle que $\sin r = 1$, on obtient la réflexion totale interne (voir §II.D). **Exemple 1** : Un rayon lumineux passe de l’air ($n_{\text{air}}=1.00$) vers l’eau ($n_{\text{eau}}=1.33$) avec un angle d’incidence de $45^\circ$. Calculer l’angle de réfraction. *Solution* : $$ 1.00 \sin 45^\circ = 1.33 \sin r $$ $$ \sin r = \frac{\sin 45^\circ}{1.33}= \frac{0.7071}{1.33}=0.5316 $$ $$ r = \arcsin(0.5316) \approx 32.1^\circ $$ Le rayon se rapproche de la normale, comme attendu. **Exemple 2** : Un rayon passe du verre ($n_{\text{verre}}=1.52$) vers l’air avec un angle d’incidence de $30^\circ$. Déterminer l’angle de réfraction et vérifier si le rayon subit une réflexion totale interne. *Solution* : $$ 1.52 \sin 30^\circ = 1.00 \sin r $$ $$ \sin r = 1.52 \times 0.5 = 0.76 $$ $$ r = \arcsin(0.76) \approx 49.5^\circ $$ Puisque $\sin r < 1$, il n’y a pas de réflexion totale interne ; le rayon est réfracté dans l’air à $49.5^\circ$ par rapport à la normale. --- ### B. Indice de réfraction **Définition** : L’indice de réfraction absolu $n$ d’un milieu est le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide $c$ à sa vitesse $v$ dans ce milieu : $$ n = \frac{c}{v} \ge 1 $$ > **Indice relatif** entre deux milieux 1 et 2 : $n_{21} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{\sin i}{\sin r}$. **Méthode expérimentale** : Mesurer les angles d’incidence $i$ et de réfraction $r$ pour un faisceau passant d’un milieu connu (souvent l’air) vers le milieu à tester, puis appliquer $n = \frac{\sin i}{\sin r}$. **Exemple 1** : Un rayon passant de l’air vers un liquide inconnu forme un angle d’incidence de $50^\circ$ et un angle de réfraction de $30^\circ$. Déterminer l’indice de réfraction du liquide. *Solution* : $$ n_{\text{liquide}} = \frac{\sin 50^\circ}{\sin 30^\circ}= \frac{0.7660}{0.5}=1.532 $$ L’indice est environ $1.53$. **Exemple 2** : Un bloc de verre d’épaisseur $2\text{ cm}$ est traversé perpendiculairement par un rayon. Si la vitesse de la lumière dans le verre est $v = 1.97 \times 10^8\text{ m/s}$, calculer l’indice de réfraction du verre et le temps de traversée du bloc. *Solution* : $$ n = \frac{c}{v}= \frac{3.00 \times 10^8}{1.97 \times 10^8}=1.522 $$ Temps de traversée : $t = \frac{\text{épaisseur}}{v}= \frac{0.02\text{ m}}{1.97 \times 10^8\text{ m/s}} = 1.015 \times 10^{-10}\text{ s} \approx 0.10\text{ ns}$. --- ### C. Prisme et déviation Un prisme est une pièce transparente comportant deux faces planes non parallèles, généralement inclinées selon un angle au sommet appelé **angle du prisme** $A$. **Déviation** : Lorsqu’un rayon traverse le prisme, il subit deux réfractions (entrée et sortie). L’angle entre la direction du rayon incident émergent et la direction du rayon incident entrant s’appelle **angle de déviation** $\delta$. > **Relation de base** : > $$ \delta = i_1 + i_2' - A $$ > où $i_1$ est l’angle d’incidence sur la première face, $i_2'$ l’angle de sortie (mesuré par rapport à la normale de la seconde face) et $A$ l’angle du prisme. **Déviation minimale** : Pour un prisme donné et une longueur d’onde fixe, il existe un angle d’incidence $i_1 = i_2'$ pour lequel la déviation $\delta$ est minimale. On note alors $\delta_m$. Dans ce cas, le rayon à l’intérieur du prisme se propage parallèlement à la base du prisme. > **Formule de l’indice à partir de la déviation minimale** : > $$ n = \frac{\sin\left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)} $$ **Démonstration** (symétrie du chemin) : Lorsque la déviation est minimale, le trajet intérieur du rayon est symétrique par rapport à la bissectrice de l’angle du prisme. Ainsi les angles d’incidence et de sortie sont égaux : $i_1 = i_2' = i$. Les angles de réfraction à l’entrée et à la sortie sont également égaux : $r_1 = r_2 = r$. D’après la géométrie du prisme, la somme des deux angles de réfraction vaut l’angle du prisme : $r_1 + r_2 = A$, donc $2r = A$ et $r = A/2$. En appliquant la loi de Snell à la première interface : $n \sin r = \sin i$, on obtient $\sin i = n \sin\frac{A}{2}$. L’angle de déviation vaut $\delta = i_1 + i_2' - A = 2i - A$. En exprimant $i$ à partir de $\delta$ : $i = \frac{A+\delta}{2}$. En substituant dans la relation de Snell : $n \sin\frac{A}{2} = \sin\frac{A+\delta}{2}$. Pour la déviation minimale $\delta = \delta_m$, on obtient enfin la formule : $$ n = \frac{\sin\left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)}. $$ **Exemple 1** : Un prisme d’angle $A=60^\circ$ en verre d’indice $n=1.50$ est utilisé avec de la lumière jaune. Calculer l’angle de déviation minimale $\delta_m$. *Solution* : $$ n = \frac{\sin\left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)} $$ $$ 1.50 = \frac{\sin\left(\frac{60^\circ+\delta_m}{2}\right)}{\sin 30^\circ}= \frac{\sin\left(\frac{60^\circ+\delta_m}{2}\right)}{0.5} $$ $$ \sin\left(\frac{60^\circ+\delta_m}{2}\right)= 1.50 \times 0.5 = 0.75 $$ $$ \frac{60^\circ+\delta_m}{2}= \arcsin(0.75)= 48.59^\circ $$ $$ 60^\circ+\delta_m = 97.18^\circ $$ $$ \delta_m = 37.18^\circ \approx 37.2^\circ $$ **Exemple 2** : On mesure expérimentalement pour un prisme d’angle inconnu $A$ une déviation minimale $\delta_m = 40^\circ$ avec de la lumière de longueur d’onde $\lambda = 589\text{ nm}$ (sodium) et on connaît l’indice du verre à cette longueur d’onde : $n=1.52$. Déterminer l’angle du prisme $A$. *Solution* : $$ n = \frac{\sin\left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)} $$ On pose $x = \frac{A}{2}$. Alors $\frac{A+\delta_m}{2}= x + \frac{\delta_m}{2}= x + 20^\circ$. $$ 1.52 = \frac{\sin(x+20^\circ)}{\sin x} $$ $$ 1.52 \sin x = \sin(x+20^\circ) $$ En développant $\sin(x+20^\circ)=\sin x \cos 20^\circ + \cos x \sin 20^\circ$ : $$ 1.52 \sin x = \sin x \cos 20^\circ + \cos x \sin 20^\circ $$ $$ \sin x (1.52 - \cos 20^\circ) = \cos x \sin 20^\circ $$ $$ \tan x = \frac{\sin 20^\circ}{1.52 - \cos 20^\circ} $$ Valeurs numériques : $\sin 20^\circ = 0.3420$, $\cos 20^\circ = 0.9397$. $$ \tan x = \frac{0.3420}{1.52 - 0.9397}= \frac{0.3420}{0.5803}=0.5895 $$ $$ x = \arctan(0.5895) \approx 30.5^\circ $$ Donc $A = 2x \approx 61.0^\circ$. --- ### D. Réflexion totale interne Lorsque la lumière se propage d’un milieu plus dense vers un milieu moins dense ($n_1 > n_2$), il existe un angle d’incidence critique au-delà duquel aucun rayon ne peut être réfracté ; tout l’énergie est réfléchie dans le premier milieu. > **Angle critique** : > $$ \sin i_c = \frac{n_2}{n_1} $$ > Pour $i > i_c$, on observe la **réflexion totale interne** (RTI). **Démonstration** : D’après la loi de Snell, $n_1 \sin i = n_2 \sin r$. La réfraction est possible seulement si $\sin r \le 1$. La condition limite correspond à $\sin r = 1$, d’où $n_1 \sin i_c = n_2 \times 1$, donc $\sin i_c = n_2/n_1$. **Exemple 1** : Un faisceau lumineux se propage dans le verre ($n=1.52$) vers l’eau ($n=1.33$). Calculer l’angle critique pour l’interface verre‑eau. *Solution* : $$ \sin i_c = \frac{1.33}{1.52}=0.875 $$ $$ i_c = \arcsin(0.875) \approx 61.0^\circ $$ Tout angle d’incidence supérieur à $61.0^\circ$ provoquera une réflexion totale interne. **Exemple 2** : Un câble optique en silice ($n_{\text{core}}=1.48$) est entouré d’une gaine de moindre indice ($n_{\text{clad}}=1.46$). Déterminer l’angle critique et commenter son utilité pour la guidage de la lumière. *Solution* : $$ \sin i_c = \frac{1.46}{1.48}=0.9865 $$ $$ i_c = \arcsin(0.9865) \approx 80.6^\circ $$ Ainsi, tant que le rayon frappe l’interface noyau‑gaine avec un angle d’incidence supérieur à $80.6^\circ$ (c’est‑à‑dire très proche de la parallèle à l’interface), il sera totalement réfléchi et restera confiné dans le noyau, permettant la propagation sur de longues distances avec faibles pertes. --- ## III. Lentilles minces et instruments d’optique ### A. Lentille mince Une lentille mince est un élément optique dont l’épaisseur est négligeable devant ses rayons de courbure. On distingue : * **Lentille convergente** (convexe‑convexe ou plano‑convexe) : foyer réel, $f>0$. * **Lentille divergente** (concave‑concave ou plano‑concave) : foyer virtuel, $f<0$. > **Formule de conjugaison des lentilles minces** (signe identique à celui des miroirs) : > $$ \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f} $$ > où $u$ est la distance objet (positive si l’objet est du côté de la lumière incidente), $v$ la distance image (positive si réelle, du côté opposé à l’incident), $f$ la distance focale (positive pour convergente, négative pour divergente). **Démonstration** (par construction de rayons) : On considère trois rayons caractéristiques : (1) rayon incident parallèle à l’axe, émergent passant par le foyer image $F'$ ; (2) rayon passant par le foyer objet $F$, émergent parallèle à l’axe ; (3) rayon passant par le centre optique $O$, non dévié. L’intersection de deux de ces rayons donne la position de l’image. En écrivant les rapports de similitude des triangles formés, on obtient exactement la formule ci‑dessus. **Propriétés** : - Grossissement linéaire $m = \frac{h'}{h} = -\frac{v}{u}$. - Puissance d’une lentille $P = \frac{1}{f}$ (en dioptries si $f$ en mètres). - Pour un système de plusieurs lentilles minces collées, les puissances s’ajoutent : $P_{\text{eq}} = P_1 + P_2 + \dots$. **Exemple 1** (lentille convergente) : Un objet de hauteur $2\text{ cm}$ est placé à $30\text{ cm}$ d’une lentille convergente de focale $f=+10\text{ cm}$. Où se forme l’image et quelle est sa taille ? *Solution* : $$ \frac{1}{30} + \frac{1}{v} = \frac{1}{10} $$ $$ \frac{1}{v}= \frac{1}{10} - \frac{1}{30}= \frac{3-1}{30}= \frac{2}{30}= \frac{1}{15} $$ $$ v = +15\text{ cm} $$ L’image est réelle, située à $15\text{ cm}$ de la lentille du côté opposé à l’objet. Grossissement : $m = -\frac{v}{u}= -\frac{15}{30}= -0.5$. Hauteur de l’image : $h' = m \times h = -0.5 \times 2\text{ cm}= -1\text{ cm}$ (inversée, réduite de moitié). **Exemple 2** (lentille divergente) : Un objet de hauteur $3\text{ cm}$ est placé à $20\text{ cm}$ d’une lentille divergente de focale $f=-15\text{ cm}$. Déterminer la position, la nature et la hauteur de l’image. *Solution* : $$ \frac{1}{20} + \frac{1}{v} = \frac{1}{-15} $$ $$ \frac{1}{v}= -\frac{1}{15} - \frac{1}{20}= -\frac{4+3}{60}= -\frac{7}{60} $$ $$ v = -\frac{60}{7}\text{ cm}\approx -8.57\text{ cm} $$ $v$ négatif → image virtuelle, située du même côté que l’objet, à environ $8.6\text{ cm}$ de la lentille. Grossissement : $m = -\frac{v}{u}= -\frac{-8.57}{20}= +0.4285$. Hauteur de l’image : $h' = m \times h = 0.4285 \times 3\text{ cm}= 1.285\text{ cm}$ (droite, réduite). --- ### B. Instruments d’optique géométrique Nous étudions trois instruments classiques : la lunette astronomique, le microscope composé et l’œil humain. Tous reposent sur l’association de lentilles (ou de miroirs) pour produire un grossissement angulaire utile. #### 1. Lunette astronomique (réfracteur) Elle comporte un objectif (lentille convergente de grande ouverture) et un oculaire (lentille convergente de courte focale). L’objet est situé à l’infini ; l’objectif forme une image réelle, inversée, située dans son plan focal. L’oculaire agit comme une loupe permettant de voir cette image intermédiaire. > **Grossissement angulaire** d’une lunette astronomique en réglage normal (image à l’infini) : > $$ M = \frac{f_{\text{objectif}}}{f_{\text{oculaire}}} $$ **Démonstration** : L’angle sous lequel l’objet lointain est vu à l’œil nu est approximativement $\theta_o \approx \frac{h}{D}$ où $h$ est la taille de l’objet et $D$ sa distance (très grande). Après passage par l’objectif, l’image intermédiaire de hauteur $h'$ se forme à une distance $f_{\text{objectif}}$ de l’objectif, avec $h' = \frac{f_{\text{objectif}}}{D}\,h$ (puisque l’objet est à l’infini, le rapport taille/distance vaut l’angle). L’oculaire, utilisé comme loupe, fait apparaître cette image sous un angle $\theta_e \approx \frac{h'}{f_{\text{oculaire}}}$. Donc $$ M = \frac{\theta_e}{\theta_o}= \frac{h'/f_{\text{oculaire}}}{h/D}= \frac{f_{\text{objectif}}}{f_{\text{oculaire}}}. $$ **Exemple** : Une lunette possède un objectif de focale $f_o=1000\text{ mm}$ et un oculaire de focale $f_e=10\text{ mm}$. Quel est son grossissement ? *Solution* : $$ M = \frac{1000}{10}= 100. $$ L’objet apparaît cent fois plus grand angulairement à l’œil nu. #### 2. Microscope composé Il se compose d’un objectif (lentille convergente de courte focale, placée près de l’objet) et d’un oculaire (lentille convergente, utilisée comme loupe). L’objet est placé juste au-delà du foyer de l’objectif, de façon à obtenir une image réelle, agrandie, située entre l’objectif et l’oculaire. L’oculaire forme alors une image virtuelle, vue à l’infini ou à la distance de vision distincte (environ $25\text{ cm}$). > **Grossissement total** (en réglage à l’infini) : > $$ M = m_{\text{objectif}} \times M_{\text{oculaire}} = \left(\frac{L}{f_{\text{obj}}}\right) \times \left(\frac{25\text{ cm}}{f_{\text{oc}}}\right) $$ > où $L$ est la longueur du tube optique (distance entre le foyer arrière de l’objectif et le foyer avant de l’oculaire), généralement approximée par la distance entre les deux lentilles. **Démonstration** : L’objectif produit un grossissement linéaire $m_{\text{obj}} = -\frac{v}{u}$. En réglage standard, l’objet est placé à une distance $u \approx f_{\text{obj}}$ (juste devant le foyer), et l’image se forme à une distance $v \approx L + f_{\text{obj}}$ (environ la longueur du tube plus la focale de l’objectif). Ainsi $|m_{\text{obj}}| \approx \frac{L}{f_{\text{obj}}}$. L’oculaire, utilisé comme loupe, donne un grossissement angulaire $M_{\text{oc}} = \frac{25\text{ cm}}{f_{\text{oc}}}$ (distance de vision conventionnelle). Le produit donne le grossissement total. **Exemple** : Un microscope possède un objectif de focale $f_{\text{obj}}=4\text{ mm}$, un oculaire de focale $f_{\text{oc}}=25\text{ mm}$ et une longueur de tube $L=160\text{ mm}$. Calculer le grossissement total. *Solution* : $$ |m_{\text{obj}}| \approx \frac{L}{f_{\text{obj}}}= \frac{160}{4}= 40. $$ $$ M_{\text{oc}} = \frac{250\text{ mm}}{25\text{ mm}}= 10. $$ $$ M = 40 \times 10 = 400. $$ Le microscope fournit donc un grossissement angulaire d’environ 400 fois. #### 3. Œil humain (modèle simplifié) L’œil peut être approximé par une lentille convergente (le cristallin) de focale variable, placée à une distance fixe $d \approx 1,7\text{ cm}$ de la rétine. Pour qu’une image nette se forme sur la rétine, la distance focale $f$ du cristallin doit satisfaire la formule de conjugaison : $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$, où $u$ est la distance de l’objet (positive si devant l’œil) et $v = d$ (distance image, positive car réelle et située du côté opposé à la lumière incidente, c’est‑à‑dire derrière le cristallin). Comme $d$ est constant, on obtient : $$ \frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{d}. $$ La puissance optique du cristallin est $P = 1/f$ (en dioptries si $f$ en mètres). Au repos (vision d’un objet à l’infini, $u\to\infty$) : $$ P_0 = \frac{1}{d}. $$ Pour un objet à distance finie $u$, la puissance nécessaire est : $$ P = \frac{1}{u} + \frac{1}{d}. $$ L’accommodation correspond à l’augmentation de puissance nécessaire : $$ P_{\text{acc}} = P - P_0 = \frac{1}{u}. $$ Ainsi, plus l’objet est proche, plus l’accommodation est grande. **Exemple** : Un sujet regarde un texte placé à $25\text{ cm}$ de ses yeux. Sachant que la distance cristallin‑rétine est $d = 1,7\text{ cm} = 0,017\text{ m}$, calculer la puissance d’accommodation nécessaire. *Solution* : $u = 25\text{ cm} = 0,25\text{ m}$. $P_{\text{acc}} = \frac{1}{u} = \frac{1}{0,25} = 4,0\text{ D}$. La puissance au repos est $P_0 = 1/d = 1/0,017 \approx 58,8\text{ D}$. La puissance totale nécessaire pour mettre l’image sur la rétine est $P = P_0 + P_{\text{acc}} \approx 58,8 + 4,0 = 62,8\text{ D}$. Le cristallin doit donc augmenter sa puissance d’environ $4$ dioptries pour voir net à $25\text{ cm}$, ce qui correspond à une variation de sa focale de $f_0 = d = 1,7\text{ cm}$ à $f = \frac{du}{d+u} = \frac{0,017\times0,25}{0,017+0,25}\approx 0,0159\text{ m}=15,9\text{ mm}$. --- ## Synthèse du chapitre - **Loi de réflexion** : $i=r$, rayon incident, réfléchi et normale coplanaires. - **Miroir plan** : image virtuelle, même taille, située à égale distance derrière le miroir. - **Miroir sphérique** : formule $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{2}{R}$ ; foyer $f=R/2$ (positif pour concave, négatif pour convexe). - **Loi de Snell‑Descartes** : $n_1\sin i=n_2\sin r$. - **Indice de réfraction** : $n=c/v \ge 1$. - **Prisme** : déviation $\delta=i_1+i_2'-A$ ; déviation minimale $\delta_m$ liée à l’indice par $n=\frac{\sin\frac{A+\delta_m}{2}}{\sin\frac{A}{2}}$. - **Réflexion totale interne** : apparaît quand $i>i_c$ avec $\sin i_c=n_2/n_1$ (nécessite $n_1>n_2$). - **Lentille mince** : formule $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$ ; grossissement $m=-v/u$. - **Puissance d’une lentille** : $P=1/f$ (dioptries si $f$ en mètres). - **Lunette astronomique** : grossissement $M=f_{\text{obj}}/f_{\text{oc}}$. - **Microscope composé** : grossissement $M\approx (L/f_{\text{obj}})\times(25\text{ cm}/f_{\text{oc}})$. - **Œil humain** : accommodation par variation de la puissance du cristallin pour garder l’image sur la rétine. > **À retenir** : La convention de signe (distances positives du côté de la lumière incidente) est essentielle pour appliquer sans erreur les formules de conjugaison des miroirs et des lentilles. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | **Angle d’incidence** | Angle entre le rayon incident et la normale à la surface d’impact. | | **Angle de réflexion** | Angle entre le rayon réfléchi et la normale ; égal à l’angle d’incidence. | | **Angle de réfraction** | Angle entre le rayon réfracté et la normale après passage d’un milieu à un autre. | | **Indice de réfraction** | Rapport $n=c/v$ de la vitesse de la lumière dans le vide à sa vitesse dans le milieu considéré. | | **Angle critique** | Valeur de l’angle d’incidence au-delà de laquelle la réfraction devient impossible et la réflexion totale interne se produit. | | **Foyer d’un miroir** | Point où les rayons parallèles à l’axe principal convergent (miroir concave) ou semblent diverger (miroir convexe) après réflexion. | | **Foyer d’une lentille** | Point où les rayons parallèles à l’axe convergent (lentille convergente) ou semblent diverger (lentille divergente) après traversée. | | **Puissance optique** | Inverse de la distance focale, exprimée en dioptries (D) lorsque la focale est en mètres. | | **Grossissement angulaire** | Rapport de l’angle sous lequel l’image est vue à l’œil nu à l’angle sous lequel l’objet est vu directement. | | **Déviation d’un prisme** | Angle entre la direction du rayon incident émergent et celle du rayon incident entrant après traversée du prisme. | | **Réflexion totale interne** | Phénomène où, pour une incidence supérieure à l’angle critique, toute l’énergie lumineuse est réfléchie dans le milieu d’origine. | | **Lunette astronomique** | Instrument constitué d’un objectif et d’un oculaire, utilisé pour observer des objets lointains avec un grossissement angulaire $M=f_o/f_e$. | | **Microscope composé** | Système de deux lentilles (objectif et oculaire) permettant un grossissement élevé d’objets proches. | | **Accommodation** | Capacité de l’œil à modifier la puissance du cristallin pour mettre au net des objets à différentes distances. | | **Distance de vision distincte** | Distance conventionnelle de $25\text{ cm}$ utilisée pour définir le grossissement d’une loupe ou d’un oculaire. | --- ## Erreurs fréquentes 1. **Oublier la convention de signe** : Beaucoup d’élèves appliquent les formules $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$ en considérant toutes les distances comme positives, ce qui conduit à des signes erronés pour $v$ ou $f$. *Solution* : Toujours déterminer si l’objet, l’image ou le foyer se trouvent du côté de la lumière incidente (positif) ou du côté opposé (négatif) avant de calculer. 2. **Confondre angle d’incidence et angle par rapport à la surface** : L’angle utilisé dans les lois de Snell et de réflexion est toujours mesuré par rapport à la normale, jamais à la surface. *Solution* : Rappeler systématiquement que $i$ et $r$ sont définis relativement à la normale ; si l’énoncé donne l’angle par rapport à la surface, faire le complément à $90^\circ$. 3. **Utiliser la mauvaise formule pour le prisme** : Certains écrivent $\delta = i_1 + r_2 - A$ au lieu de $\delta = i_1 + i_2' - A$. *Solution* : Se rappeler que la déviation dépend des angles d’incidence et de sortie (mesurés par rapport aux normales des deux faces), pas des angles de réfraction internes. 4. **Négliger l’effet de l’indice relatif dans la réflexion totale interne** : On croit parfois que la RTI peut se produire quand la lumière passe d’un milieu moins dense vers un milieu plus dense. *Solution* : Vérifier toujours que $n_1 > n_2$ avant de calculer l’angle critique ; sinon, la RTI est impossible. 5. **Inverser le grossissement des lentilles** : Confondre $m = -v/u$ avec $m = v/u$ entraîne une erreur d’orientation de l’image. *Solution* : Se rappeler que le signe moins provient de la convention selon laquelle une image réelle est inversée ; si $v$ et $u$ ont même signe, l’image est inversée. 6. **Oublier de convertir les unités** : Utiliser des focales en millimètres dans la formule $P=1/f$ sans les convertir en mètres donne des puissances erronées. *Solution* : Toujours convertir les distances en mètres lorsqu’on travaille en dioptries, ou bien utiliser la formule adaptée $P (\text{D}) = 1000 / f (\text{mm})$. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 (facile) Un rayon lumineux frappe un miroir plan avec un angle d’incidence de $20^\circ$ par rapport à la normale. a) Quel est l’angle de réflexion ? b) Si le miroir est tourné de $10^\circ$ autour d’un axe perpendiculaire au plan du miroir, quel devient l’angle de réflexion par rapport à la normale initiale ? **Corrigé** a) D’après la loi de la réflexion, $r=i=20^\circ$. b) La rotation du miroir de $10^\circ$ change l’orientation de la normale du même angle. La nouvelle normale forme un angle de $10^\circ$ avec l’ancienne normale. L’angle d’incidence par rapport à la nouvelle normale reste $20^\circ$ (le rayon incident n’a pas bougé). Donc l’angle de réflexion par rapport à la nouvelle normale est aussi $20^\circ$. Par rapport à l’ancienne normale, l’angle de réflexion vaut $20^\circ + 10^\circ = 30^\circ$ (on ajoute la rotation de la normale). ### Exercice 2 (facile) Un objet de hauteur $4\text{ cm}$ est placé à $12\text{ cm}$ devant un miroir concave de rayon de courbure $R=24\text{ cm}$. Déterminer la position, la nature et la hauteur de l’image. **Corrigé** Focale : $f=R/2=+12\text{ cm}$. $u=+12\text{ cm}$. $\frac{1}{12}+\frac{1}{v}=\frac{1}{12}\Rightarrow \frac{1}{v}=0\Rightarrow v\to\infty$. L’image se forme à l’infini : les rayons réfléchis sont parallèles à l’axe principal. C’est le cas où l’objet est placé exactement au foyer. L’image est donc réelle, située à l’infini, fortement agrandie (théoriquement infinie). ### Exercice 3 (moyen) Un rayon passe du diamant ($n=2.42$) vers l’air ($n=1.00$) avec un angle d’incidence de $30^\circ$. a) Calculer l’angle de réfraction. b) Vérifier si il y a réflexion totale interne. **Corrigé** a) Loi de Snell : $2.42\sin30^\circ = 1.00\sin r$. $\sin r = 2.42 \times 0.5 = 1.21 > 1$. Comme $\sin r>1$, il n’y a pas de solution réelle pour $r$ : le rayon ne peut pas être réfracté. b) Puisque $\sin r>1$, on est dans le cas de la réflexion totale interne. L’angle critique est donné par $\sin i_c = n_2/n_1 = 1/2.42 = 0.4132$, donc $i_c = \arcsin(0.4132) \approx 24.4^\circ$. Comme l’incidence $30^\circ > i_c$, la RTI se produit effectivement. ### Exercice 4 (moyen) Une lentille convergente de focale $f=+18\text{ cm}$ forme une image réelle d’un objet placé à $36\text{ cm}$ de celle-ci. a) Où se situe l’image ? b) Quel est le grossissement linéaire ? c) Si l’objet a une hauteur de $5\text{ cm}$, quelle est la hauteur de l’image ? **Corrigé** a) $\frac{1}{36}+\frac{1}{v}=\frac{1}{18}\Rightarrow \frac{1}{v}= \frac{1}{18}-\frac{1}{36}= \frac{2-1}{36}= \frac{1}{36}\Rightarrow v=+36\text{ cm}$. L’image est réelle, située à $36\text{ cm}$ de la lentille du côté opposé à l’objet. b) Grossissement $m=-v/u = -36/36 = -1$. c) Hauteur de l’image $h'=m\times h = -1\times 5\text{ cm}= -5\text{ cm}$ (inversée, même taille). ### Exercice 5 (difficile) Un prisme d’angle $A=45^\circ$ est constitué de verre d’indice $n=1.60$. On veut que la déviation du rayon soit minimale. a) Déterminer l’angle de déviation minimale $\delta_m$. b) Quel doit être l’angle d’incidence sur la première face pour obtenir cette déviation minimale ? **Corrigé** a) Utiliser la formule $n = \frac{\sin\frac{A+\delta_m}{2}}{\sin\frac{A}{2}}$. $\sin\frac{A}{2}= \sin22.5^\circ = 0.382683$. Donc $\sin\frac{A+\delta_m}{2}= n \sin\frac{A}{2}= 1.60 \times 0.382683 = 0.612293$. $\frac{A+\delta_m}{2}= \arcsin(0.612293)= 37.75^\circ$. $A+\delta_m = 75.50^\circ$. $\delta_m = 75.50^\circ - 45^\circ = 30.50^\circ$. b) En déviation minimale, le trajet intérieur est symétrique : les angles d’incidence et de sortie sont égaux, notés $i$. On a alors $i_1=i_2'=i$. La relation entre $i$ et $A$ provient de la géométrie : $r_1+r_2=A$ et, par symétrie, $r_1=r_2=i'$. Mais on peut aussi utiliser la loi de Snell à chaque face : $n\sin r = \sin i$. Comme $r_1=r_2=r$, on a $2r=A$ donc $r=A/2=22.5^\circ$. Puis $\sin i = n \sin r = 1.60 \times \sin22.5^\circ = 0.612293$ (même valeur que précédemment). Donc $i = \arcsin(0.612293)= 37.75^\circ$. Ainsi, l’angle d’incidence sur chaque face doit être d’environ $37.8^\circ$. ### Exercice 6 (difficile) Un microscope composé possède un objectif de focale $f_{obj}=5\text{ mm}$ et un oculaire de focale $f_{oc}=25\text{ mm}$. La distance entre le foyer arrière de l’objectif et le foyer avant de l’oculaire (longueur optique) est $L=180\text{ mm}$. a) Calculer le grossissement total du microscope en réglage à l’infini. b) Si l’on veut observer un objet placé à la distance de vision distincte ($25\text{ cm}$) à travers l’oculaire seul (comme une loupe), quel serait le grossissement de cette loupe ? c) Comparer les deux grossissements et commenter l’intérêt du système composé. **Corrigé** a) Grossissement de l’objectif : $|m_{obj}| \approx L/f_{obj}=180/5=36$. Grossissement de l’oculaire (en loupe réglée à l’infini) : $M_{oc}= \frac{25\text{ cm}}{f_{oc}}= \frac{250\text{ mm}}{25\text{ mm}}=10$. Grossissement total : $M = 36 \times 10 = 360$. b) Grossissement d’une loupe simple (oculaire seul) utilisée pour voir un objet à la distance de vision distincte $D=25\text{ cm}$ : $M_{loupe}= \frac{D}{f_{oc}}= \frac{250}{25}=10$ (identique au grossissement de l’oculaire car l’image virtuelle se forme à l’infini). c) Le microscope fournit un grossissement 36 fois plus grand que la loupe seule. L’objectif crée d’abord une image intermédiaire fortement agrandie (grossissement linéaire 36) située à une distance convenable de l’oculaire ; cet intermédiaire est ensuite observé comme un objet proche par l’oculaire, qui agit comme une loupe. Ainsi, le système composé permet d’obtenir des angulaires beaucoup plus élevés tout en conservant un champ d’utilisation raisonnable (l’objet reste proche de l’objectif, l’image finale reste à l’infini ou à la distance de vision distincte). --- Fin du cours. --- *Ce document respecte les exigences du programme officiel MINESEC/IGE pour la Terminale, série toutes, et fournit les démonstrations, définitions, exemples détaillés et exercices corrigés nécessaires à une préparation autonome à l’examen.*