Analyse dimensionnelle et incertitudes de mesure

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de 1. Utiliser l’analyse dimensionnelle pour vérifier l’homogénéité d’une équation physique, déduire des relations de proportionnalité et obtenir des lois d’échelle sans connaître les constantes numériques. 2. Exprimer une grandeur physique sous forme de produit de puissances des grandeurs de base (M, L, T, …) et déterminer son dimensionnement. 3. Appliquer le théorème de Buckingham π pour réduire le nombre de variables d’un problème physique. 4. Quantifier l’incertitude associée à une mesure directe ou indirecte, distinguer les incertitudes de type A (évaluées statistiquement) et de type B (évaluées autrement). 5. Propager les incertitudes à travers des fonctions simples (addition, soustraction, multiplication, division, puissances, fonctions linéaires) en utilisant les règles de combinaison des incertitudes. 6. Présenter le résultat d’une mesure sous la forme $x \pm \Delta x$ avec un nombre de chiffres significatifs adapté. 7. Interpréter graphiquement un nuage de points et ajuster une loi linéaire par la méthode des moindres carrés tout en estimant l’incertitude sur la pente et l’ordonnée à l’origine. **Prérequis** : - Notions de grandeur physique, système d’unités SI (mètre, kilogramme, seconde, ampère, kelvin, mole, candela). - Manipulation des puissances et des logarithmes (notamment $\log_{10}$ et $\ln$). - Notions de moyenne, écart type et variance d’un échantillon de mesures. - Fonctions élémentaires (linéaires, polynomiales du premier degré, exponentielles, logarithmiques) et leurs dérivées. - Notion de proportionnalité directe et inverse. --- ## Introduction contextualisée En physique, toute loi s’exprime sous la forme d’une égalité entre deux grandeurs. Pour que cette égalité ait un sens physique, elle doit être **dimensionnellement homogène** : les deux membres doivent posséder la même dimension. L’analyse dimensionnelle permet de vérifier cette propriété, de découvrir des relations de similitude entre phénomènes apparemment différents et de réduire le nombre de paramètres expérimentaux nécessaires à la description d’un système. Par ailleurs, aucune mesure n’est exacte ; elle est toujours entachée d’une **incertitude** qui reflète la limitation de nos instruments, les variations du phénomène mesuré ou encore l’influence de l’observateur. Quantifier cette incertitude est indispensable pour comparer théorie et expérimentation, pour décider si un résultat est significatif et pour propager les erreurs à travers les calculs. Le présent chapitre regroupe donc deux outils complémentaires : l’analyse dimensionnelle, qui travaille sur la forme même des équations, et le traitement des incertitudes, qui travaille sur leurs valeurs numériques. Leur maîtrise est essentielle pour réussir les épreuves du baccalauréat camerounais, où l’on demande souvent de vérifier l’homogénéité d’une formule, de déterminer une loi d’échelle ou d’estimer l’incertitude sur une grandeur mesurée. --- ## I. Analyse dimensionnelle ### I.1. Notions de dimension et d’unité > **Définition** : La **dimension** d’une grandeur physique est l’expression de cette grandeur en tant que produit de puissances des grandeurs de base du Système International (SI) : masse $[M]$, longueur $[L]$, temps $[T]$, courant électrique $[I]$, température thermodynamique $[\Theta]$, quantité de matière $[N]$, intensité lumineuse $[J]$. > On la note entre crochets, par exemple $[v] = [L][T]^{-1}$ pour la vitesse. > **Propriété** : Deux grandeurs sont égales seulement si elles possèdent la même dimension et sont exprimées dans la même unité. **Exemple 1** : Vérifier l’homogénéité de l’équation du mouvement uniformément accéléré $s = ut + \frac{1}{2}at^{2}$. - $[s] = [L]$ - $[ut] = [L][T]^{-1}\,[T] = [L]$ - $[\frac{1}{2}at^{2}] = [L][T]^{-2}\,[T]^{2} = [L]$ Tous les membres ont la dimension $[L]$ → l’équation est dimensionnellement homogène. **Exemple 2** : Tester l’équation $F = mv^{2}/r$ (force centripète). - $[F] = [M][L][T]^{-2}$ - $[mv^{2}/r] = [M]\,[L]^{2}[T]^{-2}\,[L]^{-1} = [M][L][T]^{-2}$ Même dimension → l’équation est homogène. ### I.2. Méthode de l’analyse dimensionnelle (méthode de Rayleigh) > **Règle** : Si une grandeur physique $Q$ dépend de $n$ variables $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, alors on peut écrire $Q = k\,x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\dots x_{n}^{a_{n}}$ où $k$ est une constante dimensionless et les exposants $a_{i}$ sont déterminés par l’égalité des dimensions des deux membres. **Démonstration** (schéma) : On écrit la dimension de chaque membre : $$ [Q] = [x_{1}]^{a_{1}}[x_{2}]^{a_{2}}\dots [x_{n}]^{a_{n}} . $$ En égalant les exposants de chaque grandeur de base ($[M],[L],[T],\dots$) on obtient un système linéaire d’équations dont la solution donne les $a_{i}$. **Exemple 1 (simple)** : Dépendance de la période $T$ d’un pendule simple par rapport à sa longueur $l$ et à l’accélération de gravité $g$. On suppose $T = k\,l^{a}g^{b}$. Dimensions : - $[T] = [T]$ - $[l]^{a} = [L]^{a}$ - $[g]^{b} = [L]^{b}[T]^{-2b}$ Égalité : $$ [T]^{1} = [L]^{a+b}[T]^{-2b}. $$ Ainsi : - Pour $[L]$ : $a+b = 0$ - Pour $[T]$ : $-2b = 1 \Rightarrow b = -\tfrac12$ Donc $a = -b = \tfrac12$. On obtient $T = k\,l^{1/2}g^{-1/2}=k\sqrt{\dfrac{l}{g}}$. L’expérience montre que $k = 2\pi$. **Exemple 2 (délicat)** : Déterminer la loi de dépendance de la vitesse limite $v_t$ d’une sphère de rayon $r$ tombant dans un fluide visqueux (viscosité dynamique $\eta$, densité du fluide $\rho_f$, densité de la sphère $\rho_s$, accélération de gravité $g$). On introduit la différence de densité $\Delta\rho = \rho_s - \rho_f$. On suppose $v_t = k\, r^{a} \eta^{b} (\Delta\rho)^{c} g^{d}$. Dimensions : - $[v_t] = [L][T]^{-1}$ - $[r]^{a} = [L]^{a}$ - $[\eta]^{b} = [M]^{b}[L]^{-b}[T]^{-b}$ - $[(\Delta\rho)]^{c} = [M]^{c}[L]^{-3c}$ - $[g]^{d} = [L]^{d}[T]^{-2d}$ Produit : $$ [M]^{b+c}\,[L]^{a - b -3c + d}\,[T]^{-b -2d}= [L][T]^{-1}. $$ Égalons les exposants : - Masse : $b + c = 0$ … (1) - Longueur : $a - b - 3c + d = 1$ … (2) - Temps : $-b - 2d = -1$ … (3) Trois équations pour quatre inconnues ; on fixe un paramètre selon la physique : pour un écoulement visqueux à faible nombre de Reynolds, la vitesse limite est proportionnelle à l’inverse de la viscosité, donc on pose $b = -1$. Alors (1) donne $c = 1$. (3) donne $-(-1) - 2d = -1 \Rightarrow 1 - 2d = -1 \Rightarrow -2d = -2 \Rightarrow d = 1$. (2) devient $a - (-1) - 3\cdot1 + 1 = 1 \Rightarrow a +1 -3 +1 =1 \Rightarrow a -1 =1 \Rightarrow a = 2$. On obtient $v_t = k\, r^{2} \eta^{-1} (\Delta\rho)^{1} g^{1} = k \dfrac{(\rho_s-\rho_f) g r^{2}}{\eta}$. L’expérience montre que pour un nombre de Reynolds faible, $k = \frac{2}{9}$ (loi de Stokes) : $$ v_t = \frac{2}{9}\frac{(\rho_s-\rho_f) g r^{2}}{\eta}. $$ ### I.3. Théorème de Buckingham π > **Théorème** : Si un problème physique implique $n$ variables comportant $k$ dimensions indépendantes (par exemple $M, L, T$), alors il peut être décrit par $p=n-k$ groupes dimensionless $\pi_{i}$ indépendants. Toute relation entre les variables peut s’écrire sous la forme $F(\pi_{1},\pi_{2},\dots ,\pi_{p})=0$. **Preuve esquissée** : On forme une matrice $k\times n$ dont les colonnes sont les exposants des dimensions de base de chaque variable. Le rang de cette matrice est $k$ (dimensions indépendantes). L’espace nul de cette matrice a donc une dimension $n-k$, correspondant au nombre de combinaisons linéaires des variables qui donnent un produit dimensionless. Chaque vecteur de l’espace nul définit un groupe $\pi$. **Exemple 1** : Écoulement d’un fluide dans un tuyau de diamètre $D$, longueur $L$, débit $Q$, viscosité $\eta$, différence de pression $\Delta P$. Variables : $Q, D, L, \eta, \Delta P$ → $n=5$. Dimensions de base utilisées : $[M],[L],[T]$ → $k=3$. Donc $p=5-3=2$ groupes dimensionless. Choisissons comme variables répétantes $D, \eta, \Delta P$ (elles contiennent les trois dimensions). - $\pi_{1}= Q\,D^{a}\eta^{b}(\Delta P)^{c}$ On impose $[\pi_{1}]=1$ : $[Q]=[L]^{3}[T]^{-1}$ $[D]^{a}=[L]^{a}$ $[\eta]^{b}=[M]^{b}[L]^{-b}[T]^{-b}$ $[\Delta P]^{c}=[M][L]^{-1}[T]^{-2}]^{c}= [M]^{c}[L]^{-c}[T]^{-2c}$ Somme des exposants : - Masse : $b + c = 0$ - Longueur : $3 + a - b - c = 0$ - Temps : $-1 - b -2c = 0$ Résolution : $b=-c$, puis $-1 -(-c)-2c =0 \Rightarrow -1 +c -2c =0 \Rightarrow -1 -c =0 \Rightarrow c=-1$, donc $b=1$. Puis $3 + a -1 +1 =0 \Rightarrow a = -3$. Donc $\displaystyle \pi_{1}= \frac{Q\,\eta}{D^{3}\,\Delta P}$. - $\pi_{2}= \frac{L}{D}$ (évidemment dimensionless). La loi de Poiseuille s’écrit alors $\displaystyle \pi_{1}= f(\pi_{2})$ avec $f$ constante pour un écoulement laminaire, donnant $\displaystyle Q = \frac{\pi D^{4}}{128\eta}\frac{\Delta P}{L}$. **Exemple 2** : Pérte de charge dans un tuyau rugueux (dépendance du nombre de Reynolds $Re$ et du facteur de rugosité $\varepsilon/D$). Variables : perte de charge $\Delta P$, densité $\rho$, vitesse moyenne $v$, diamètre $D$, viscosité $\eta$, rugosité $\varepsilon$. $n=6$, dimensions utilisées $[M],[L],[T]$ → $k=3$, donc $p=3$. Choisissons $D, v, \rho$ comme variables répétantes. On obtient les groupes classiques : - $\displaystyle \pi_{1}= \frac{\Delta P}{\rho v^{2}}$ (coefficient de pression) - $\displaystyle \pi_{2}= \frac{\rho v D}{\eta}=Re$ (nombre de Reynolds) - $\displaystyle \pi_{3}= \frac{\varepsilon}{D}$ (rugosité relative) La loi de Darcy–Weisbach s’écrit $\displaystyle \pi_{1}= f(\pi_{2},\pi_{3})$, où $f$ est le facteur de friction de Darcy. --- ## II. Incertitudes de mesure ### II.1. Types d’incertitudes > **Définition** : Une **incertitude de mesure** est un paramètre caractérisant la dispersion des valeurs que l’on pourrait attribuer à la grandeur mesurée. On distingue : - **Incertitude de type A** : obtenue par analyse statistique d’une série de mesures répétées (moyenne, écart type). - **Incertitude de type B** : obtenue par d’autres moyens (fiche technique de l’instrument, calibration, jugement expérimenté, etc.). > **Règle** : L’incertitude type associée à une mesure est notée $u(x)$ ; l’incertitude élargie (pour un niveau de confiance donné, généralement 95 %) est $U = k\,u(x)$ où le facteur de couverture $k\approx 2$ pour une loi normale. **Exemple 1 (type A)** : Mesure de la période d’un pendule avec un chronomètre. On effectue 10 mesures : $T_i$ (s) = 2.01, 2.03, 2.00, 2.02, 2.01, 2.00, 2.02, 2.01, 2.00, 2.03. Moyenne : $\displaystyle \bar T = \frac{1}{10}\sum T_i = 2.013\ \text{s}$. Écart type : $$ s = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(T_i-\bar T)^2} = \sqrt{\frac{1}{9}\big[( -0.003)^2+(0.017)^2+(-0.013)^2+(-0.003)^2+(-0.003)^2+(-0.013)^2+(-0.003)^2+(-0.003)^2+(-0.013)^2+(0.017)^2\big]} \approx 0.012\ \text{s}. $$ Incertitude type de type A : $u_A(\bar T)= s/\sqrt{N}=0.012/\sqrt{10}\approx 0.0038\ \text{s}$. Arrondi à deux chiffres significatifs : $u_A\approx 0.004\ \text{s}$. **Exemple 2 (type B)** : Un voltmètre numérique indique une précision de $\pm 0,5\%$ de la lecture plus $\pm 2$ chiffres. Pour une lecture de $U=5,00\ \text{V}$ : - Erreur de pourcentage : $0,5\% \times 5,00 = 0,025\ \text{V}$. - Erreur de chiffres : $2 \times 0,01\ \text{V}=0,02\ \text{V}$ (puisque le dernier chiffre représente 0,01 V). Incertitude type B (on suppose une distribution rectangulaire) : $$ u_B = \frac{\sqrt{(0,025)^2+(0,02)^2}}{\sqrt{3}} \approx \frac{\sqrt{0,000625+0,0004}}{1,732} = \frac{\sqrt{0,001025}}{1,732} \approx \frac{0,0320}{1,732} \approx 0,0185\ \text{V}. $$ On arrondit à $u_B\approx 0,019\ \text{V}$. ### II.2. Combinaison des incertitudes (propagation d’erreur) > **Règle générale** : Si $y = f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ et que les incertitudes type des variables sont $u(x_i)$ (supposées non corrélées), alors l’incertitude type de $y$ est $$ u(y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)^{2}\,u^{2}(x_{i})}. $$ Cette formule provient du développement de Taylor au premier ordre et de l’hypothèse d’indépendance. **Cas particuliers** : - **Somme / différence** : $y = x_{1}\pm x_{2}$ → $u(y)=\sqrt{u^{2}(x_{1})+u^{2}(x_{2})}$. - **Produit / quotient** : $y = x_{1}x_{2}$ ou $y = x_{1}/x_{2}$ → $\displaystyle \frac{u(y)}{|y|}= \sqrt{\left(\frac{u(x_{1})}{x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{u(x_{2})}{x_{2}}\right)^{2}}$. - **Puissance** : $y = x^{a}$ → $\displaystyle \frac{u(y)}{|y|}=|a|\,\frac{u(x)}{|x|}$. - **Logarithme** : $y = \ln x$ → $u(y)=\dfrac{u(x)}{x}$. - **Exponentielle** : $y = e^{x}$ → $\displaystyle \frac{u(y)}{y}=u(x)$. **Exemple 1 (addition)** : On mesure deux longueurs : $L_{1}=12,3\pm0,2\ \text{cm}$, $L_{2}=7,8\pm0,1\ \text{cm}$. Longueur totale $L=L_{1}+L_{2}=20,1\ \text{cm}$. $u(L)=\sqrt{0,2^{2}+0,1^{2}}=\sqrt{0,04+0,01}= \sqrt{0,05}=0,224\ \text{cm}\approx0,2\ \text{cm}$ (on garde un chiffre significatif dans l’incertitude). Résultat : $L = (20,1\pm0,2)\ \text{cm}$. **Exemple 2 (produit)** : On veut déterminer la résistance $R$ d’un conducteur à partir de la loi d’Ohm $R=U/I$. Mesures : $U=5,00\pm0,05\ \text{V}$, $I=0,250\pm0,005\ \text{A}$. $R = 5,00/0,250 = 20,0\ \Omega$. Incertitude relative : $$ \frac{u(R)}{R}= \sqrt{\left(\frac{0,05}{5,00}\right)^{2}+\left(\frac{0,005}{0,250}\right)^{2}} = \sqrt{(0,01)^{2}+(0,02)^{2}} = \sqrt{0,0001+0,0004} = \sqrt{0,0005} \approx 0,0224. $$ Donc $u(R)=0,0224\times20,0\approx0,45\ \Omega$. On arrondit l’incertitude à un chiffre significatif : $u(R)=0,5\ \Omega$. Résultat : $R = (20,0\pm0,5)\ \Omega$. ### II.3. Incertitude sur une moyenne de mesures répétées > **Règle** : Si l’on effectue $N$ mesures indépendantes $x_i$ chacune avec incertitude type $u(x)$ (identique pour toutes), alors l’incertitude type de la moyenne $\bar x$ est $$ u(\bar x)=\frac{u(x)}{\sqrt{N}}. $$ Si les mesures présentent une dispersion supplémentaire (écart type expérimental $s$), on utilise $$ u(\bar x)=\sqrt{\frac{s^{2}}{N}+ \frac{u^{2}(x)}{N}}. $$ **Exemple** : Mesure de la période d’un pendule avec un chronomètre dont l’incertitude type instrumentale est $u_{inst}=0,01\ \text{s}$. On réalise $N=25$ mesures, écart type expérimental $s=0,06\ \text{s}$. $u(\bar T)=\sqrt{\frac{0,06^{2}}{25}+\frac{0,01^{2}}{25}} = \sqrt{\frac{0,0036+0,0001}{25}} = \sqrt{\frac{0,0037}{25}} = \sqrt{0,000148}=0,0122\ \text{s}\approx0,012\ \text{s}$. ### II.4. Méthode des moindres carrés et incertitude sur les paramètres d’un ajustement linéaire On suppose une loi $y = ax + b$. On dispose de $N$ points $(x_i,y_i)$ avec incertitudes type sur $y_i$ égales à $u_y$ (on néglige l’incertitude sur $x$ pour simplifier). Les estimateurs des moindres carrés sont $$ a = \frac{N\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{N\sum x_i^{2} - (\sum x_i)^{2}},\qquad b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{N}. $$ Les variances (incertitudes au carré) sont $$ \sigma_{a}^{2}= \frac{u_y^{2}\,N}{N\sum x_i^{2} - (\sum x_i)^{2}},\qquad \sigma_{b}^{2}= \frac{u_y^{2}\,\sum x_i^{2}}{N\sum x_i^{2} - (\sum x_i)^{2}}. $$ > **À retenir** : Plus la dispersion des $x_i$ est grande, plus l’incertitude sur la pente $a$ diminue. **Exemple** : On mesure la longueur d’un ressort sous différentes masses. | $m$ (g) | $\Delta L$ (mm) | |--------|-----------------| | 50 | 2,1 | | 100 | 4,3 | | 150 | 6,5 | | 200 | 8,7 | | 250 | 10,9 | On suppose $u_y = 0,1\ \text{mm}$ (précision du pied à coulisse). Calculs : - $N=5$ - $\sum m = 750$ - $\sum \Delta L = 32,5$ - $\sum m\Delta L = 50·2,1+100·4,3+150·6,5+200·8,7+250·10,9 = 105+430+975+1740+2725 = 5970$ - $\sum m^{2}= 50^{2}+100^{2}+150^{2}+200^{2}+250^{2}=2500+10000+22500+40000+62500=137500$ Pente : $$ a = \frac{5·5970 - 750·32,5}{5·137500 - 750^{2}} = \frac{29850 - 24375}{687500 - 562500} = \frac{5475}{125000} = 0,0438\ \text{mm/g}. $$ Ordonnée à l’origine : $$ b = \frac{32,5 - 0,0438·750}{5} = \frac{32,5 - 32,85}{5} = \frac{-0,35}{5} = -0,07\ \text{mm}. $$ Incertitude sur la pente : $$ \sigma_{a}= \sqrt{\frac{u_y^{2}\,N}{N\sum m^{2} - (\sum m)^{2}}} = \sqrt{\frac{0,1^{2}\cdot5}{5·137500 - 750^{2}}} = \sqrt{\frac{0,05}{125000}} = \sqrt{4,0\times10^{-7}} \approx 0,00063\ \text{mm/g}. $$ Incertitude sur l’ordonnée : $$ \sigma_{b}= \sqrt{\frac{u_y^{2}\,\sum m^{2}}{N\sum m^{2} - (\sum m)^{2}}} = \sqrt{\frac{0,01·137500}{125000}} = \sqrt{\frac{1375}{125000}} = \sqrt{0,011} \approx 0,105\ \text{mm}. $$ Résultat : $$ \Delta L = (0,0438 \pm 0,0006)\cdot m - 0,07 \pm 0,11\ \text{mm}. $$ On peut arrondir la pente à $0,044\pm0,001\ \text{mm/g}$ et l’ordonnée à $-0,07\pm0,11\ \text{mm}$. --- ## Synthèse du chapitre - **Analyse dimensionnelle** - Vérifier l’homogénéité d’une équation : chaque membre doit avoir la même dimension $[M]^{a}[L]^{b}[T]^{c}\dots$. - Méthode de Rayleigh : poser $Q = k\prod x_i^{a_i}$ et égaler les exposants de chaque grandeur de base. - Théorème de Buckingham π : $p=n-k$ groupes dimensionless $\pi_i$ ; toute loi s’écrit $F(\pi_1,\dots,\pi_p)=0$. - Applications classiques : période du pendule, loi de Poiseuille, loi de Stokes, nombre de Reynolds, facteur de friction de Darcy. - **Incertitudes de mesure** - Type A : statistique (écart type sur répétitions). - Type B : provenant de fiches techniques, calibrations, jugement. - Incertitude type $u(x)$ ; incertitude élargie $U=k\,u(x)$ (k≈2 pour 95 %). - Propagation d’erreur : $u(y)=\sqrt{\sum (\partial f/\partial x_i)^2 u^2(x_i)}$. - Cas particuliers : somme/différence, produit/quotient, puissance, logarithme, exponentielle. - Moyenne de $N$ mesures : $u(\bar x)=u(x)/\sqrt{N}$ (ou avec écart type expérimental). - Ajustement linéaire par moindres carrés : formules de $a$, $b$ et de leurs incertitudes $\sigma_a$, $\sigma_b$. - Présenter le résultat sous la forme $x\pm\Delta x$ avec un nombre de chiffres significatifs adapté à l’incertitude. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Dimension | Expression d’une grandeur comme produit de puissances des grandeurs de base SI ($[M],[L],[T],[I],[\Theta],[N],[J]$). | | Homogénéité dimensionnelle | Propriété selon laquelle deux membres d’une équation physique possèdent la même dimension. | | Méthode de Rayleigh | Technique consistant à exprimer une inconnue comme produit de puissances des variables connues et à déterminer les exposants par égalité des dimensions. | | Théorème de Buckingham π | Résultat selon lequel un problème physique comportant $n$ variables et $k$ dimensions indépendantes se réduit à $p=n-k$ groupes dimensionless $\pi_i$. | | Groupe π | Produit de puissances des variables physiques qui est dimensionless. | | Incertitude de type A | Incertitude obtenue par analyse statistique d’une série de mesures répétées. | | Incertitude de type B | Incertitude obtenue autrement que par répétition (fiche technique, calibration, jugement). | | Incertitude type $u(x)$ | Écart type représentant l’incertitude associée à une mesure. | | Incertitude élargie $U$ | $U = k\,u(x)$, avec $k\approx2$ pour un niveau de confiance de 95 %. | | Propagation d’erreur | Méthode de calcul de l’incertitude d’une fonction de plusieurs variables à partir des incertitudes de ces variables. | | Moindres carrés | Procédé d’ajustement qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et celles prédites par un modèle. | | Facteur de couverture $k$ | Coefficient multiplicateur permettant de passer de l’incertitude type à l’incertitude élargie pour un niveau de confiance donné. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 (Analyse dimensionnelle – niveau facile) Vérifier l’homogénéité de l’équation de la vitesse du son dans un gaz parfait : $v = \sqrt{\gamma R T / M}$, où $\gamma$ est adiabatique (sans dimension), $R$ la constante des gaz parfaits, $T$ la température thermodynamique et $M$ la masse molaire. **Corrigé** - $[v] = [L][T]^{-1}$. - $[R] = [M][L]^{2}[T]^{-2}[\Theta]^{-1}[N]^{-1}$ (J mol⁻¹ K⁻¹). - $[T] = [\Theta]$. - $[M] = [M][N]^{-1}$ (kg mol⁻¹). - Donc $[\gamma R T / M] = \frac{[M][L]^{2}[T]^{-2}[\Theta]^{-1}[N]^{-1}\,[\Theta]}{[M][N]^{-1}} = [L]^{2}[T]^{-2}$. - Racine carrée donne $[L][T]^{-1}$, identique à $[v]$. L’équation est homogène. ### Exercice 2 (Incertitudes – niveau facile) On mesure la tension aux bornes d’une résistance avec un voltmètre dont la précision est $\pm0,3\%$ de la lecture plus $\pm1$ chiffre. La lecture affichée est $U=12,0\ \text{V}$. Calculer l’incertitude type $u(U)$ en supposant une distribution rectangulaire pour les deux contributions. **Corrigé** - Erreur de pourcentage : $0,3\%\times12,0 = 0,036\ \text{V}$. - Erreur de chiffre : le dernier chiffre représente $0,1\ \text{V}$ (puisque l’affichage est à 0,1 V près) → $1\times0,1 = 0,1\ \text{V}$. - Incertitude type (distribution rectangulaire) : $$ u(U)=\frac{\sqrt{(0,036)^{2}+(0,1)^{2}}}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{0,001296+0,01}}{1,732} =\frac{\sqrt{0,011296}}{1,732} =\frac{0,1063}{1,732} \approx 0,061\ \text{V}. $$ - Arrondi à un chiffre significatif : $u(U)=0,06\ \text{V}$. - Résultat : $U = (12,0\pm0,06)\ \text{V}$. ### Exercice 3 (Propagation – niveau intermédiaire) On veut déterminer l’accélération de gravité $g$ à l’aide d’un pendule simple de longueur $L=1,00\pm0,02\ \text{m}$ et de période mesurée $T=2,00\pm0,03\ \text{s}$. La relation est $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. **Corrigé** On résout pour $g$ : $g = \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$. - Valeur centrale : $g_0 = \dfrac{4\pi^{2}\times1,00}{(2,00)^{2}} = \dfrac{39,478}{4}=9,8695\ \text{m·s}^{-2}\approx9,87\ \text{m·s}^{-2}$. - Incertitude relative : $$ \frac{u(g)}{g}= \sqrt{\left(\frac{u(L)}{L}\right)^{2} + \left(2\frac{u(T)}{T}\right)^{2}} = \sqrt{\left(\frac{0,02}{1,00}\right)^{2} + \left(2\times\frac{0,03}{2,00}\right)^{2}} = \sqrt{(0,02)^{2} + (0,03)^{2}} = \sqrt{0,0004+0,0009} = \sqrt{0,0013} \approx 0,036. $$ - Donc $u(g)=0,036\times9,87\approx0,355\ \text{m·s}^{-2}\approx0,4\ \text{m·s}^{-2}$ (un chiffre significatif). - Résultat : $g = (9,9\pm0,4)\ \text{m·s}^{-2}$. ### Exercice 4 (Buckingham π – niveau intermédiaire) Considérons la traînée $F_D$ subie par une sphère de diamètre $D$ se déplaçant à vitesse $v$ dans un fluide de densité $\rho$ et de viscosité dynamique $\eta$. Montrer que $F_D$ peut s’exprimer sous la forme $F_D = \frac{1}{2}\rho v^{2} D^{2} C_D$, où $C_D$ est un coefficient sans dimension dépendant uniquement du nombre de Reynolds $Re=\rho v D/\eta$. **Corrigé** Variables : $F_D, D, v, \rho, \eta$ → $n=5$. Dimensions de base utilisées : $[M],[L],[T]$ → $k=3$. Donc $p=5-3=2$ groupes dimensionless. Choisissons $D, v, \rho$ comme variables répétantes. - Groupe 1 : $\displaystyle \pi_{1}= \frac{F_D}{\rho v^{2} D^{2}}$. Vérification : $[F_D]=[M][L][T]^{-2}$ ; $[\rho v^{2} D^{2}] = [M][L]^{-3}\,[L]^{2}[T]^{-2}\,[L]^{2}= [M][L][T]^{-2}$ → $\pi_{1}$ dimensionless. - Groupe 2 : $\displaystyle \pi_{2}= \frac{\rho v D}{\eta}=Re$. Le théorème de Buckingham affirme qu’il existe une fonction $f$ telle que $\pi_{1}=f(\pi_{2})$, c’est‑à‑dire $$ \frac{F_D}{\rho v^{2} D^{2}} = f\!\left(\frac{\rho v D}{\eta}\right). $$ On définit $C_D = 2\,f(Re)$ (le facteur 2 est conventionnel) pour obtenir $$ F_D = \frac{1}{2}\rho v^{2} D^{2} C_D(Re). $$ Ainsi la traînée dépend du produit $\rho v^{2} D^{2}$ multiplié par un coefficient sans dimension fonction de $Re$. ### Exercice 5 (Ajustement linéaire – niveau avancé) On mesure la chute d’un corps dans le vide. On obtient les couples (temps $t$ en s, distance $y$ en m) suivants : | $t$ (s) | $y$ (m) | |--------|--------| | 0,10 | 0,049 | | 0,20 | 0,196 | | 0,30 | 0,441 | | 0,40 | 0,784 | | 0,50 | 1,225 | On suppose que la loi est $y = \frac{1}{2}gt^{2}$. On veut déterminer $g$ par un ajustement linéaire de $y$ en fonction de $t^{2}$. **Corrigé** On pose $X = t^{2}$ et $Y = y$. La relation devient $Y = \frac{g}{2} X$, donc pente $a = g/2$, ordonnée à l’origine $b=0$ (théoriquement). Calcul des sommes : - $N=5$ - $\sum X = 0,01+0,04+0,09+0,16+0,25 = 0,55$ - $\sum Y = 0,049+0,196+0,441+0,784+1,225 = 2,695$ - $\sum XY = (0,01·0,049)+(0,04·0,196)+(0,09·0,441)+(0,16·0,784)+(0,25·1,225)$ $=0,00049+0,00784+0,03969+0,12544+0,30625 = 0,47971$ - $\sum X^{2} = 0,01^{2}+0,04^{2}+0,09^{2}+0,16^{2}+0,25^{2}=0,0001+0,0016+0,0081+0,0256+0,0625=0,0979$ Pente : $$ a = \frac{N\sum XY - \sum X \sum Y}{N\sum X^{2} - (\sum X)^{2}} = \frac{5·0,47971 - 0,55·2,695}{5·0,0979 - 0,55^{2}} = \frac{2,39855 - 1,48225}{0,4895 - 0,3025} = \frac{0,91630}{0,1870} \approx 4,90\ \text{m·s}^{-2}. $$ Donc $g = 2a = 9,80\ \text{m·s}^{-2}$. Incertitude sur la pente (on suppose incertitude type sur chaque mesure de $y$ égale à $u_y=0,002\ \text{m}$, négligeable sur $t$) : $$ \sigma_{a}= \sqrt{\frac{u_y^{2}\,N}{N\sum X^{2} - (\sum X)^{2}}} = \sqrt{\frac{(0,002)^{2}\cdot5}{0,1870}} = \sqrt{\frac{0,00002}{0,1870}} = \sqrt{1,07\times10^{-4}} \approx 0,0103\ \text{m·s}^{-2}. $$ Incertitude sur $g$ : $u(g)=2\sigma_{a}=0,0206\ \text{m·s}^{-2}\approx0,02\ \text{m·s}^{-2}$. Résultat final : $g = (9,80\pm0,02)\ \text{m·s}^{-2}$, en excellent accord avec la valeur attendue $9,81\ \text{m·s}^{-2}$. ### Exercice 6 (Incertitudes type B – niveau avancé) Un wattmètre indique une puissance de $P=150,0\ \text{W}$ avec une précision spécifiée de $\pm0,5\%$ de la lecture plus $\pm2$ chiffres. Le dernier chiffre du wattmètre représente $0,1\ \text{W}$. Déterminer l’incertitude type $u(P)$ en considérant les deux contributions comme indépendantes et distribuées selon une loi rectangulaire. **Corrigé** - Erreur de pourcentage : $0,5\%\times150,0 = 0,75\ \text{W}$. - Erreur de chiffres : $2\times0,1 = 0,2\ \text{W}$. - Incertitude type (distribution rectangulaire) : $$ u(P)=\frac{\sqrt{(0,75)^{2}+(0,2)^{2}}}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{0,5625+0,04}}{1,732} =\frac{\sqrt{0,6025}}{1,732} =\frac{0,776}{1,732} \approx 0,448\ \text{W}. $$ - Arrondi à deux chiffres significatifs : $u(P)=0,45\ \text{W}$. - Résultat : $P = (150,0\pm0,45)\ \text{W}$. --- ## Erreurs fréquentes | # | Erreur classique | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |---|------------------|--------------------------|------------------| | 1 | Oublier de vérifier l’homogénéité dimensionnelle avant d’utiliser une formule. | L’élève se concentre uniquement sur les valeurs numériques. | Toujours écrire les dimensions de chaque terme et vérifier qu’elles sont identiques. | | 2 | Confondre incertitude type et incertitude élargie (oublier le facteur de couverture $k\approx2$). | On pense que l’erreur indiquée sur l’instrument est déjà l’incertitude élargie. | Rappeler que les spécifications donnent généralement une incertitude type ; multiplier par 2 pour obtenir une intervalle de confiance à 95 %. | | 3 | Appliquer la règle de propagation d’erreur pour un produit/quotient en utilisant les incertitudes absolues au lieu des incertitudes relatives. | Mauvaise mémorisation de la formule. | Se rappeler que pour un produit ou un quotient, on travaille avec les incertitudes relatives : $\frac{u(y)}{y}= \sqrt{\sum (\frac{u(x_i)}{x_i})^{2}}$. | | 4 | Négliger la covariance entre deux variables lorsqu’elles sont réellement corrélées (ex. longueur et période d’un pendule mesurées avec le même instrument). | On suppose toujours l’indépendance par défaut. | Si une corrélation connue existe, ajouter le terme $2\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}\text{cov}(x_i,x_j)$ dans la formule de propagation. | | 5 | Arrondir l’incertitude à trop de chiffres significatifs, donnant une impression de précision injustifiée. | On garde trop de décimales par habitude. | L’incertitude doit être exprimée avec un seul chiffre significatif (deux si le premier chiffre est 1). La valeur centrale est ensuite arrondie au même ordre de grandeur. | | 6 | Utiliser la formule de la moyenne $u(\bar x)=u(x)/\sqrt{n}$ alors que les mesures présentent une dispersion supplémentaire (écart type expérimental important). | On oublie de prendre en compte la variabilité réelle du phénomène. | Toujours calculer l’écart type expérimental $s$ et utiliser $u(\bar x)=\sqrt{s^{2}/n+u^{2}(x)/n}$. | --- *Fin du cours de référence.*