Généralités sur les systèmes oscillants

# Généralités sur les Systèmes Oscillants ## Introduction Un système oscillant est un système physique dont l'évolution temporelle d'au moins une grandeur caractéristique est périodique, c'est-à-dire qu'elle se reproduit identiquement à elle-même après un intervalle de temps constant appelé période. Les oscillations mécaniques (pendule, masse-ressort) et électriques (circuit RLC) constituent le socle de nombreux phénomènes naturels et technologiques : vibrations des cordes vocales, oscillations des ondes radio, balancement des édifices sous l'effet du vent, etc. L'étude des systèmes oscillants repose sur trois outils fondamentaux : la caractérisation précise des grandeurs physiques qui décrivent le mouvement (période, fréquence, amplitude, phase), les méthodes expérimentales de mesure comme la stroboscopie, et la représentation vectorielle de Fresnel qui permet de visualiser et de composer les grandeurs sinusoïdales. Ce chapitre établit les fondements nécessaires à l'étude des oscillateurs harmoniques et des phénomènes de résonance qui seront abordés dans les chapitres suivants. --- ## I. Caractéristiques d'un système oscillant ### I.1. Définition et exemples Un **système oscillant** est un système dont une grandeur physique $s(t)$ (élongation, tension, charge, pression, etc.) varie de manière périodique au cours du temps. On distingue : - **Les oscillateurs mécaniques** : pendule simple, pendule élastique (masse-ressort), pendule de torsion. - **Les oscillateurs électriques** : circuit LC, circuit RLC. - **Les oscillateurs acoustiques** : cordes vibrantes, colonnes d'air. > **Définition clé** : Un système est dit **oscillant** si sa grandeur caractéristique $s(t)$ est une fonction périodique du temps, c'est-à-dire s'il existe une constante positive $T$ telle que $s(t+T) = s(t)$ pour tout instant $t$. La plus petite valeur de $T$ est appelée **période propre** du système. ### I.2. Grandeurs caractéristiques #### a) La période $T$ La **période** $T$ est la durée minimale au bout de laquelle le système reprend le même état (même position, même vitesse, même sens de parcours). Dans le Système International, elle s'exprime en **secondes (s)**. #### b) La fréquence $f$ La **fréquence** $f$ est le nombre d'oscillations complètes effectuées par unité de temps : $$f = \frac{1}{T}$$ Elle s'exprime en **hertz (Hz)** : $1\ \text{Hz} = 1\ \text{s}^{-1}$. #### c) La pulsation $\omega$ La **pulsation** (ou fréquence angulaire) $\omega$ est liée à la période et à la fréquence par : $$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$ Elle s'exprime en **radians par seconde (rad/s)**. #### d) L'amplitude $X_m$ L'**amplitude** $X_m$ est la valeur maximale (en valeur absolue) que prend la grandeur oscillante par rapport à sa position d'équilibre. Elle s'exprime dans l'unité de la grandeur considérée (mètre pour une élongation, volt pour une tension, etc.). #### e) La phase et la phase initiale Pour une oscillation sinusoïdale de la forme : $$s(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi_0)$$ - La quantité $\varphi(t) = \omega t + \varphi_0$ est la **phase** à l'instant $t$ (en radians). - La constante $\varphi_0$ est la **phase à l'origine des dates** (ou phase initiale), déterminée par les conditions initiales. > **À retenir** : Les quatre grandeurs fondamentales d'un système oscillant sont la période $T$ (en s), la fréquence $f = 1/T$ (en Hz), la pulsation $\omega = 2\pi/T$ (en rad/s) et l'amplitude $X_m$ (dans l'unité de la grandeur). La phase $\varphi(t) = \omega t + \varphi_0$ décrit l'évolution temporelle complète. ### I.3. Classification des oscillations #### a) Oscillations libres et entretenues - **Oscillations libres** : le système oscille sans apport extérieur d'énergie après avoir été écarté de sa position d'équilibre. En présence de frottements, l'amplitude diminue au cours du temps : on parle d'**oscillations amorties**. - **Oscillations entretenues** : un dispositif extérieur compense exactement les pertes d'énergie, l'amplitude reste constante. #### b) Oscillations périodiques et pseudo-périodiques - **Oscillation périodique** : le mouvement se reproduit identique à lui-même (amplitude constante). - **Oscillation pseudo-périodique** : le mouvement est approximativement périodique, l'amplitude décroît ; on définit la **pseudo-période** $T'$ comme l'intervalle de temps entre deux passages successifs dans le même sens par la position d'équilibre. #### c) Oscillations sinusoïdales (harmoniques) Une oscillation est dite **sinusoïdale** (ou harmonique) si la grandeur $s(t)$ est une fonction sinusoïdale du temps : $$s(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi_0)$$ C'est le cas idéal d'un oscillateur sans frottement. Toute oscillation périodique non sinusoïdale peut être décomposée en une somme d'oscillations sinusoïdales (analyse de Fourier). ### I.4. Exemple du pendule élastique Considérons une masse $m$ accrochée à un ressort de raideur $k$. La période propre des oscillations libres est donnée par : $$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ **Démonstration** : La force de rappel du ressort est $F = -kx$ (loi de Hooke). Le principe fondamental de la dynamique donne $m\ddot{x} = -kx$, soit $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$. En posant $\omega_0^2 = \frac{k}{m}$, on obtient l'équation différentielle $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ dont la solution est $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi_0)$. La période est donc $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$. > **À retenir** : Pour un pendule élastique (masse-ressort), la période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$. Elle ne dépend pas de l'amplitude des oscillations (isochronisme des petites oscillations) mais uniquement de la masse $m$ et de la raideur $k$ du ressort. **Exemple numérique** : Une masse $m = 250\ \text{g}$ est suspendue à un ressort de raideur $k = 40\ \text{N/m}$. Calculons la période propre. $$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}250}{40}} = 2\pi\sqrt{0{,}00625} = 2\pi \times 0{,}0791 = 0{,}497\ \text{s}$$ La fréquence propre est $f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{0{,}497} = 2{,}01\ \text{Hz}$ et la pulsation propre $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = \frac{2\pi}{0{,}497} = 12{,}6\ \text{rad/s}$. ### I.5. Exemple du pendule simple Pour un pendule simple de longueur $L$ dans le champ de pesanteur $g$, la période propre des petites oscillations est : $$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ Cette formule n'est valable que pour des amplitudes angulaires faibles (inférieures à environ $10°$). > **À retenir** : Pour un pendule simple, la période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$. Elle est indépendante de la masse et de l'amplitude (pour les petites oscillations) : c'est la propriété d'**isochronisme**. --- ## II. Stroboscopie ### II.1. Principe de la stroboscopie La **stroboscopie** est une technique expérimentale qui permet d'observer ou de mesurer la fréquence d'un mouvement périodique rapide en l'éclairant de manière intermittente à l'aide d'un **stroboscope**. Le stroboscope émet des éclairs de lumière très brefs et très intenses à une fréquence réglable $f_e$ (fréquence des éclairs). L'œil humain conserve l'image d'un objet pendant environ $0{,}1\ \text{s}$ (persistance rétinienne). Si les éclairs se succèdent à une fréquence suffisamment élevée, l'observateur perçoit une image continue du mouvement. ### II.2. Conditions d'observation Soit $f$ la fréquence du mouvement périodique étudié et $f_e$ la fréquence des éclairs du stroboscope. Plusieurs cas se présentent : #### a) Stroboscopie synchrone ($f_e = f$) Lorsque la fréquence des éclairs est exactement égale à la fréquence du mouvement, le système est éclairé à chaque fois dans la même position. L'objet paraît **immobile** (image figée). #### b) Stroboscopie sous-harmonique ($f_e = f/n$ avec $n$ entier) Si la fréquence des éclairs est un sous-multiple de la fréquence du mouvement ($f_e = f/n$), l'objet est éclairé toutes les $n$ périodes, toujours dans la même position. L'objet paraît également immobile. #### c) Stroboscopie avec décalage ($f_e \neq f$) Si $f_e$ est légèrement différente de $f$ (ou de $f/n$), l'objet paraît se déplacer lentement (mouvement apparent au ralenti). La fréquence apparente du mouvement est : $$f_{app} = |f - n f_e|$$ où $n$ est le plus petit entier tel que $n f_e$ soit proche de $f$. > **À retenir** : En stroboscopie, le mouvement paraît **immobile** lorsque la fréquence des éclairs $f_e$ est égale à la fréquence du mouvement $f$ ou à un sous-multiple $f/n$ ($n$ entier). On dit que la stroboscopie est **synchrone** ($f_e = f$) ou **sous-harmonique** ($f_e = f/n$). ### II.3. Mesure de la fréquence par stroboscopie La méthode consiste à : 1. Régler la fréquence des éclairs $f_e$ jusqu'à obtenir l'immobilisation apparente du système. 2. Noter la valeur de $f_e$ qui produit cet effet. 3. La fréquence du mouvement est alors $f = n f_e$, où $n$ est un entier qu'il faut déterminer. Pour déterminer $n$, on procède ainsi : on diminue progressivement $f_e$ ; on observe plusieurs immobilisations successives. Si $f_{e1}$ et $f_{e2}$ sont deux fréquences d'éclairs consécutives (avec $f_{e1} > f_{e2}$) qui produisent l'immobilisation, alors : $$f = n f_{e1} = (n+1) f_{e2}$$ d'où : $$n = \frac{f_{e2}}{f_{e1} - f_{e2}}$$ **Exemple numérique** : Un disque tourne à une fréquence inconnue $f$. En utilisant un stroboscope, on observe l'immobilisation pour $f_{e1} = 25\ \text{Hz}$ puis pour $f_{e2} = 20\ \text{Hz}$ (fréquences consécutives). On a : $$n = \frac{20}{25 - 20} = \frac{20}{5} = 4$$ La fréquence du disque est donc $f = n f_{e1} = 4 \times 25 = 100\ \text{Hz}$. ### II.4. Application à l'étude des oscillations mécaniques La stroboscopie est particulièrement utile pour étudier le mouvement d'un pendule ou d'une masse-ressort oscillant rapidement. **Protocole expérimental** : 1. Écarter le pendule de sa position d'équilibre et le lâcher. 2. Éclairer le pendule avec le stroboscope dans l'obscurité. 3. Régler la fréquence des éclairs jusqu'à obtenir l'immobilisation apparente du pendule. 4. Noter la fréquence $f_e$ correspondante. La fréquence du pendule est $f = f_e$ (si $n=1$) ou $f = n f_e$ (si $n > 1$). 5. La période est $T = 1/f$. **Avantages de la stroboscopie** : - Permet de mesurer des fréquences élevées sans contact avec le système. - Permet d'observer un mouvement rapide "au ralenti" (visualisation de la déformation d'une corde vibrante, etc.). - Grande précision si la fréquence des éclairs est bien calibrée. **Limites** : - Nécessite un mouvement périodique stable. - Ambiguïté sur la valeur de $n$ (plusieurs fréquences d'éclairs peuvent donner l'immobilisation). - Impossible pour des mouvements non périodiques. ### II.5. Schéma du dispositif expérimental ```onbuch-svg <svg width="600" height="300" viewBox="0 0 600 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Fond --> <rect width="600" height="300" fill="#f8f9fa"/> <!-- Support --> <rect x="100" y="20" width="10" height="200" fill="#333"/> <rect x="60" y="20" width="90" height="10" fill="#333"/> <!-- Fil du pendule --> <line x1="105" y1="30" x2="200" y2="180" stroke="#555" stroke-width="2"/> <!-- Masse du pendule --> <circle cx="200" cy="190" r="15" fill="#e74c3c" stroke="#c0392b" stroke-width="2"/> <text x="200" y="220" text-anchor="middle" font-size="14" fill="#333">masse m</text> <!-- Position d'équilibre (pointillés) --> <line x1="105" y1="30" x2="105" y2="250" stroke="#999" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,5"/> <circle cx="105" cy="250" r="4" fill="#999"/> <text x="105" y="270" text-anchor="middle" font-size="12" fill="#666">position d'équilibre</text> <!-- Angle --> <path d="M 105 60 A 30 30 0 0 1 125 50" fill="none" stroke="#2980b9" stroke-width="1.5"/> <text x="120" y="45" font-size="12" fill="#2980b9">θ</text> <!-- Stroboscope --> <rect x="400" y="100" width="80" height="60" rx="5" fill="#3498db" stroke="#2980b9" stroke-width="2"/> <text x="440" y="125" text-anchor="middle" font-size="12" fill="white">Stroboscope</text> <text x="440" y="145" text-anchor="middle" font-size="10" fill="#ecf0f1">f_e réglable</text> <!-- Faisceau lumineux --> <polygon points="400,130 300,150 300,110" fill="#f1c40f" opacity="0.3"/> <line x1="400" y1="130" x2="300" y2="130" stroke="#f1c40f" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,3"/> <!-- Éclairs --> <circle cx="440" cy="90" r="8" fill="#f39c12"/> <line x1="440" y1="82" x2="440" y2="70" stroke="#f39c12" stroke-width="2"/> <line x1="432" y1="90" x2="420" y2="90" stroke="#f39c12" stroke-width="2"/> <line x1="448" y1="90" x2="460" y2="90" stroke="#f39c12" stroke-width="2"/> <text x="440" y="65" text-anchor="middle" font-size="10" fill="#f39c12">éclairs</text> <!-- Étiquette --> <text x="300" y="290" text-anchor="middle" font-size="14" fill="#333" font-weight="bold">Dispositif de stroboscopie pour l'étude d'un pendule</text> </svg> ``` --- ## III. Représentation de Fresnel ### III.1. Principe de la représentation de Fresnel La **représentation de Fresnel** est une méthode graphique qui permet de représenter une grandeur sinusoïdale par un **vecteur tournant**. Elle est particulièrement utile pour : - Visualiser une grandeur sinusoïdale. - Composer (additionner) plusieurs grandeurs sinusoïdales de même fréquence. - Déterminer l'amplitude résultante et la phase initiale. Soit une grandeur sinusoïdale : $$s(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi_0)$$ On lui associe un vecteur $\vec{S}$ (appelé **vecteur de Fresnel**) tel que : - Sa **norme** est égale à l'amplitude $X_m$ de la grandeur. - Il fait un angle $\varphi(t) = \omega t + \varphi_0$ avec l'axe horizontal de référence (axe des abscisses). - Il tourne autour de l'origine à la vitesse angulaire constante $\omega$ (dans le sens trigonométrique). La projection du vecteur de Fresnel sur l'axe horizontal donne la valeur instantanée de la grandeur : $$s(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi_0) = \text{proj}_x(\vec{S})$$ > **À retenir** : À toute grandeur sinusoïdale $s(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi_0)$ est associé un **vecteur de Fresnel** de norme $X_m$ faisant un angle $\omega t + \varphi_0$ avec l'axe de référence. La projection de ce vecteur sur l'axe horizontal donne $s(t)$. ### III.2. Construction du vecteur de Fresnel Pour construire le vecteur de Fresnel à un instant $t$ donné : 1. Tracer un repère orthonormé $(O, x, y)$. 2. À partir de l'origine $O$, tracer un segment de longueur $X_m$ (à l'échelle choisie) faisant un angle $\varphi(t) = \omega t + \varphi_0$ avec l'axe $Ox$. 3. L'extrémité du segment est le point $M$ ; le vecteur $\overrightarrow{OM}$ est le vecteur de Fresnel. 4. La projection de $M$ sur l'axe $Ox$ donne le point $H$ ; la distance $OH$ (algébrique) est égale à $s(t)$. À $t = 0$, le vecteur fait un angle $\varphi_0$ avec l'axe $Ox$. Au cours du temps, le vecteur tourne à la vitesse angulaire $\omega$. ### III.3. Composition de deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence Considérons deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation $\omega$ : $$s_1(t) = X_{1m} \cos(\omega t + \varphi_{01})$$ $$s_2(t) = X_{2m} \cos(\omega t + \varphi_{02})$$ La somme $s(t) = s_1(t) + s_2(t)$ est également une grandeur sinusoïdale de même pulsation $\omega$ : $$s(t) = X_m \cos(\omega t + \varphi_0)$$ **Règle de composition** : Le vecteur de Fresnel $\vec{S}$ associé à $s(t)$ est la **somme vectorielle** des vecteurs de Fresnel $\vec{S}_1$ et $\vec{S}_2$ associés à $s_1(t)$ et $s_2(t)$ : $$\vec{S} = \vec{S}_1 + \vec{S}_2$$ L'amplitude résultante $X_m$ et la phase initiale $\varphi_0$ se déterminent graphiquement (règle du parallélogramme) ou par le calcul. **Démonstration analytique** : En projetant sur les axes : $$X_m \cos\varphi_0 = X_{1m}\cos\varphi_{01} + X_{2m}\cos\varphi_{02}$$ $$X_m \sin\varphi_0 = X_{1m}\sin\varphi_{01} + X_{2m}\sin\varphi_{02}$$ D'où : $$X_m = \sqrt{(X_{1m}\cos\varphi_{01} + X_{2m}\cos\varphi_{02})^2 + (X_{1m}\sin\varphi_{01} + X_{2m}\sin\varphi_{02})^2}$$ $$\tan\varphi_0 = \frac{X_{1m}\sin\varphi_{01} + X_{2m}\sin\varphi_{02}}{X_{1m}\cos\varphi_{01} + X_{2m}\cos\varphi_{02}}$$ > **À retenir** : La somme de deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence est une grandeur sinusoïdale de même fréquence. Son vecteur de Fresnel est la somme vectorielle des vecteurs de Fresnel des grandeurs composantes. L'amplitude résultante est $X_m = \sqrt{X_{1m}^2 + X_{2m}^2 + 2X_{1m}X_{2m}\cos(\varphi_{02} - \varphi_{01})}$. **Cas particuliers** : - Si $\varphi_{02} - \varphi_{01} = 0$ (grandeurs en phase) : $X_m = X_{1m} + X_{2m}$ (maximum). - Si $\varphi_{02} - \varphi_{01} = \pi$ (grandeurs en opposition de phase) : $X_m = |X_{1m} - X_{2m}|$ (minimum). - Si $\varphi_{02} - \varphi_{01} = \frac{\pi}{2}$ (grandeurs en quadrature) : $X_m = \sqrt{X_{1m}^2 + X_{2m}^2}$. ### III.4. Schéma de la représentation de Fresnel ```onbuch-svg <svg width="600" height="400" viewBox="0 0 600 400" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Fond --> <rect width="600" height="400" fill="#f8f9fa"/> <!-- Repère --> <line x1="50" y1="200" x2="550" y2="200" stroke="#333" stroke-width="2"/> <line x1="300" y1="350" x2="300" y2="50" stroke="#333" stroke-width="2"/> <!-- Flèches des axes --> <polygon points="550,200 540,195 540,205" fill="#333"/> <polygon points="300,50 295,60 305,60" fill="#333"/> <!-- Labels des axes --> <text x="540" y="185" font-size="14" fill="#333">x</text> <text x="310" y="60" font-size="14" fill="#333">y</text> <text x="290" y="215" font-size="12" fill="#666">O</text> <!-- Vecteur S1 --> <line x1="300" y1="200" x2="420" y2="120" stroke="#e74c3c" stroke-width="3"/> <polygon points="420,120 410,125 415,112" fill="#e74c3c"/> <text x="370" y="145" font-size="14" fill="#e74c3c" font-weight="bold">S₁</text> <!-- Vecteur S2 --> <line x1="300" y1="200" x2="380" y2="280" stroke="#2980b9" stroke-width="3"/> <polygon points="380,280 385,270 372,275" fill="#2980b9"/> <text x="350" y="300" font-size="14" fill="#2980b9" font-weight="bold">S₂</text> <!-- Vecteur résultant S = S1 + S2 --> <line x1="300" y1="200" x2="500" y2="200" stroke="#27ae60" stroke-width="3"/> <polygon points="500,200 490,195 490,205" fill="#27ae60"/> <text x="480" y="190" font-size="14" fill="#27ae60" font-weight="bold">S = S₁ + S₂</text> <!-- Projection de S sur l'axe x --> <line x1="500" y1="200" x2="500" y2="200" stroke="#27ae60" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,3"/> <circle cx="500" cy="200" r="4" fill="#27ae60"/> <text x="505" y="220" font-size="12" fill="#27ae60">H</text> <!-- Angles --> <path d="M 310 200 A 10 10 0 0 1 315 195" fill="none" stroke="#e74c3c" stroke-width="1"/> <text x="320" y="185" font-size="11" fill="#e74c3c">φ₁</text> <path d="M 310 200 A 10 10 0 0 0 308 210" fill="none" stroke="#2980b9" stroke-width="1"/> <text x="315" y="225" font-size="11" fill="#2980b9">φ₂</text> <!-- Cercle de rayon Xm --> <circle cx="300" cy="200" r="200" fill="none" stroke="#999" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,5"/> <!-- Légende --> <text x="60" y="50" font-size="13" fill="#333" font-weight="bold">Composition de deux grandeurs sinusoïdales</text> <text x="60" y="70" font-size="12" fill="#e74c3c">S₁ : amplitude X₁m, phase φ₁</text> <text x="60" y="90" font-size="12" fill="#2980b9">S₂ : amplitude X₂m, phase φ₂</text> <text x="60" y="110" font-size="12" fill="#27ae60">S = S₁ + S₂ : amplitude Xm, phase φ₀</text> <!-- Note sur la projection --> <text x="60" y="140" font-size="11" fill="#666">La projection de S sur l'axe x donne s(t) = Xm·cos(ωt + φ₀)</text> </svg> ``` ### III.5. Application : composition de deux tensions alternatives Considérons deux tensions sinusoïdales de même fréquence $f = 50\ \text{Hz}$ : $$u_1(t) = 30\cos(100\pi t)\ \text{V}$$ $$u_2(t) = 40\cos\left(100\pi t + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{V}$$ Déterminons la tension résultante $u(t) = u_1(t) + u_2(t)$. **Méthode graphique (Fresnel)** : Les vecteurs $\vec{U}_1$ et $\vec{U}_2$ ont pour normes $U_{1m} = 30\ \text{V}$ et $U_{2m} = 40\ \text{V}$. Ils font respectivement des angles $0$ et $\frac{\pi}{2}$ avec l'axe de référence. Ils sont donc perpendiculaires. Le vecteur résultant $\vec{U}$ a pour norme : $$U_m = \sqrt{U_{1m}^2 + U_{2m}^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\ \text{V}$$ La phase initiale $\varphi_0$ est donnée par : $$\tan\varphi_0 = \frac{U_{2m}\sin(\pi/2)}{U_{1m} + U_{2m}\cos(\pi/2)} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$$ $$\varphi_0 = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) = 53{,}1° = 0{,}927\ \text{rad}$$ La tension résultante est donc : $$u(t) = 50\cos(100\pi t + 0{,}927)\ \text{V}$$ **Vérification** : À $t = 0$, $u_1(0) = 30\ \text{V}$, $u_2(0) = 40\cos(\pi/2) = 0\ \text{V}$, donc $u(0) = 30\ \text{V}$. Avec la formule : $u(0) = 50\cos(0{,}927) = 50 \times 0{,}6 = 30\ \text{V}$. La vérification est correcte. > **À retenir** : La représentation de Fresnel transforme un problème de trigonométrie (composition de fonctions sinusoïdales) en un problème de géométrie vectorielle (somme de vecteurs). C'est un outil puissant pour l'étude des circuits électriques en régime sinusoïdal forcé. ### III.6. Lien avec la notation complexe La représentation de Fresnel est étroitement liée à la **notation complexe** utilisée en électricité. À la grandeur $s(t) = X_m\cos(\omega t + \varphi_0)$, on associe le nombre complexe : $$\underline{S} = X_m e^{j(\omega t + \varphi_0)} = X_m e^{j\varphi_0} \cdot e^{j\omega t}$$ La partie réelle de $\underline{S}$ redonne $s(t)$ : $s(t) = \text{Re}(\underline{S})$. Le vecteur de Fresnel correspond à l'affixe $\underline{S}$ dans le plan complexe. Cette analogie permet d'utiliser les règles de calcul sur les nombres complexes (addition, multiplication, division) pour résoudre les problèmes de composition de grandeurs sinusoïdales. ### III.7. Application aux circuits électriques : impédance complexe Dans un circuit électrique en régime sinusoïdal forcé, la relation entre la tension $u(t) = U_m\cos(\omega t + \varphi_u)$ et le courant $i(t) = I_m\cos(\omega t + \varphi_i)$ peut être représentée par l'**impédance complexe** : $$\underline{Z} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}} = \frac{U_m e^{j\varphi_u}}{I_m e^{j\varphi_i}} = Z e^{j\varphi}$$ où $Z = \frac{U_m}{I_m}$ est le module de l'impédance et $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ est le déphasage entre tension et courant. - Pour une résistance $R$ : $\underline{Z} = R$ (tension et courant en phase). - Pour une inductance $L$ : $\underline{Z} = jL\omega$ (tension en avance de $\frac{\pi}{2}$ sur le courant). - Pour un condensateur $C$ : $\underline{Z} = \frac{1}{jC\omega}$ (tension en retard de $\frac{\pi}{2}$ sur le courant). > **À retenir** : La représentation de Fresnel et la notation complexe sont deux formulations équivalentes. La notation complexe est plus adaptée aux calculs algébriques, tandis que la représentation de Fresnel offre une visualisation géométrique intuitive des amplitudes et des phases. --- ## Conclusion L'étude des systèmes oscillants repose sur trois piliers complémentaires. La **caractérisation** des oscillations par leurs grandeurs fondamentales — période $T$, fréquence $f$, pulsation $\omega$, amplitude $X_m$ et phase $\varphi_0$ — permet de décrire quantitativement tout mouvement périodique. La **stroboscopie** constitue une méthode expérimentale élégante pour mesurer la fréquence de mouvements rapides en créant une illusion d'immobilisation ou de ralenti. Enfin, la **représentation de Fresnel** offre un outil graphique puissant pour visualiser et composer les grandeurs sinusoïdales, ouvrant la voie à l'étude des circuits électriques en régime sinusoïdal et à la notion d'impédance. Ces concepts fondamentaux trouveront leur pleine utilité dans les chapitres suivants : l'étude de l'oscillateur harmonique (équation différentielle, énergie), les oscillations amorties et entretenues, la résonance, ainsi que l'étude détaillée des circuits RLC. La maîtrise de ces outils est indispensable pour tout élève de Terminale scientifique souhaitant aborder sereinement les phénomènes vibratoires et les applications technologiques qui en découlent (horloges, générateurs, filtres, etc.).