Niveau d'énergie de l'atome d'hydrogène

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de 1. Décrire expérimentalement le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène et identifier les différentes séries spectrales (Lyman, Balmer, Paschen, Brackett, Pfund). 2. Écrire et utiliser la loi de Rydberg pour calculer les longueurs d’onde des raies spectrales. 3. Présenter les postulats du modèle de Bohr, en déduire le rayon des orbites stationnaires et l’énergie des niveaux électroniques. 4. Dériver la formule de l’énergie des niveaux à partir du modèle de Bohr et montrer qu’elle conduit exactement à la loi de Rydberg. 5. Expliquer les règles de sélection qui gouvernent les transitions électroniques entre les niveaux, distinguer les transitions autorisées et interdites, et interpréter la largeur des raies spectrales. 6. Résoudre des problèmes numériques concernant les longueurs d’onde, les énergies de transition et les fréquences associées, en utilisant les formules appropriées. 7. Appliquer ces connaissances à des situations concrètes (spectroscopie astrophysique, identification d’éléments dans les étoiles, etc.). **Prérequis** : L’élève doit maîtriser - La notion de photon et la relation énergie‑fréquence $E=h\nu$ (avec $h$ la constante de Planck). - Les concepts de fréquence, longueur d’onde et vitesse de la lumière $c$. - Les bases de l’électrostatique (loi de Coulomb) et de la mécanique newtonienne (force centripète). - La manipulation d’exposants et de racines, ainsi que l’utilisation de la notation scientifique. - La résolution d’équations du second degré et la conversion d’unités (joule ↔ électron‑volt, nanomètre ↔ mètre). --- ## Introduction contextualisée Depuis la fin du XIXᵉ siècle, les physiciens ont observé que les gaz excités émettent une lumière constituée de raies discrètes, contrairement au spectre continu d’un corps noir. L’atome d’hydrogène, le plus simple des atomes, présente un spectre d’émission particulièrement riche, organisé en séries qui portent le nom de leurs découvreurs (Lyman, Balmer, Paschen, …). Ces observations ont joué un rôle décisif dans l’élaboration de la théorie quantique : elles ont conduit Niels Bohr, en 1913, à proposer un modèle où l’électron ne peut occuper que certaines orbites stationnaires, chacune associée à une énergie discrète. Les transitions entre ces niveaux donnent naissance aux raies spectrales observées. Aujourd’hui, la compréhension du spectre de l’hydrogène est fondamentale non seulement pour la physique atomique, mais aussi pour l’astrophysique (analyse de la composition des étoiles et des nébuleuses), la technologie des lasers, et la métrologie (définition du mètre via la longueur d’onde de la raie de l’hydrogène‑21 cm). Ce chapitre vise à fournir une présentation rigoureuse, du phénomène expérimental à son explication théorique, en passant par les applications pratiques. --- ## I. Spectre d’émission de l’atome d’hydrogène ### A. Observation expérimentale Lorsque du gaz d’hydrogène moléculaire (H₂) est soumis à une décharge électrique dans un tube à vide, les molécules se dissocient et les atomes d’hydrogène sont excités. En revenant à leur état fondamental, ils émettent des photons dont les longueurs d’onde se situent dans l’ultraviolet, le visible et l’infrarouge. En plaçant un prisme ou un réseau de diffraction devant la lumière émise, on obtient un spectre linéaire composé de raies nettes. > **Définition** : Un **spectre d’émission** est l’ensemble des longueurs d’onde (ou fréquences) des photons émis par un système lorsqu’il passe d’un état d’énergie plus élevé à un état d’énergie plus faible. Dans le cas de l’hydrogène, les raies ne sont pas réparties au hasard ; elles s’organisent en séries où les longueurs d’onde suivent une loi simple. ### B. Séries spectrales Les séries sont définies par le nombre quantique $n_f$ du niveau final auquel l’électron retombe après une transition depuis un niveau initial $n_i>n_f$. | Série | $n_f$ | Domaine spectral | Première raie (longueur d’onde approximative) | |---------|------|------------------|-----------------------------------------------| | Lyman | 1 | Ultraviolet | 121,6 nm (Lyman‑α) | | Balmer | 2 | Visible | 656,3 nm (Balmer‑α) | | Paschen | 3 | Infrarouge proche| 1875 nm (Paschen‑α) | | Brackett| 4 | Infrarouge | 4050 nm (Brackett‑α) | | Pfund | 5 | Infrarouge lointain| 7460 nm (Pfund‑α) | > **Rappel** : La série de **Balmer** est la seule partiellement visible à l’œil nu ; les autres séries nécessitent des détecteurs spécifiques (phototubes UV, cellules InGaAs pour l’IR, etc.). ### C. Loi de Rydberg L’empirisme a montré que les longueurs d’onde $\lambda$ des raies de l’hydrogène obéissent à la formule $$ \frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right),\qquad n_i>n_f\ge 1, \tag{1} $$ où $R_H$ est la **constante de Rydberg pour l’hydrogène** ($R_H=1,097373\times10^{7}\ \text{m}^{-1}$). > **Formule fondamentale** : La loi de Rydberg (1) relie directement les nombres quantiques des niveaux initiaux et finaux à l’inverse de la longueur d’onde du photon émis. En utilisant la relation $E=hc/\lambda$, on obtient l’énergie du photon $$ \Delta E = hc\,R_H\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right). \tag(2) $$ --- ## II. Modèle de Bohr et quantification des niveaux d’énergie ### A. Postulats de Bohr En 1913, Niels Bohr propose trois postulats pour expliquer la stabilité de l’atome et la discrétion du spectre : 1. **Postulat des orbites stationnaires** : L’électron se déplace sur des orbites circulaires autour du noyau sans rayonner, tant qu’il reste sur une orbite autorisée. 2. **Postulat de la quantification du moment angulaire** : Le moment angulaire $L$ de l’électron est quantifié selon $$ L = m_e v r = n\hbar,\qquad n=1,2,3,\dots \tag{3} $$ où $\hbar = h/(2\pi)$. 3. **Postulat de la transition avec émission/absorption d’un photon** : Lorsqu’un électron passe d’une orbite $n_i$ à une orbite $n_f$, il émet ou absorbe un photon dont l’énergie égale la différence d’énergie entre les deux orbites : $$ h\nu = E_{n_i}-E_{n_f}. \tag{4} $$ ### B. Dérivation du rayon de l’orbite et de l’énergie Considérons un électron de masse $m_e$ et de charge $-e$ tournant autour d’un noyau de charge $+e$ (hydrogène). La force électrostatique fournit la force centripète nécessaire : $$ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r^{2}} = \frac{m_e v^{2}}{r}. \tag{5} $$ D’après le postulat de quantification du moment angulaire (3), $v = \dfrac{n\hbar}{m_e r}$. En remplaçant $v$ dans (5) on obtient $$ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r^{2}} = \frac{m_e}{r}\left(\frac{n\hbar}{m_e r}\right)^{2} = \frac{n^{2}\hbar^{2}}{m_e r^{3}}. $$ En isolant $r$ : $$ r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^{2}}{m_e e^{2}}\,n^{2} \equiv a_0 n^{2}, \tag{6} $$ où $$ a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^{2}}{m_e e^{2}} = 5,29177\times10^{-11}\ \text{m} $$ est le **rayon de Bohr** (rayon de l’orbite fondamentale, $n=1$). L’énergie totale de l’électron sur une orbite $n$ est la somme de son énergie cinétique $K$ et de son énergie potentielle $U$ : $$ E_n = K + U. $$ La force centripète donne $K = \frac{1}{2}m_e v^{2}$. En utilisant (5) on montre que $K = +\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r}$. L’énergie potentielle coulombienne est $U = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r}$. Donc $$ E_n = \frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r_n} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r_n} = -\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{r_n}. $$ En injectant $r_n = a_0 n^{2}$ on obtient $$ E_n = -\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{2}}{a_0}\,\frac{1}{n^{2}} \equiv -\frac{R_H hc}{n^{2}}. \tag{7} $$ En effet, en définissant $$ R_H = \frac{m_e e^{4}}{8\varepsilon_0^{2} h^{3}c}, $$ on retrouve exactement la constante de Rydberg mesurée expérimentalement. Ainsi $$ \boxed{E_n = -\frac{R_H hc}{n^{2}} = -\frac{13,6\ \text{eV}}{n^{2}}} \tag{8} $$ où la valeur numérique $13,6\ \text{eV}$ correspond à l’énergie d’ionisation de l’hydrogène. > **Formule fondamentale** : L’énergie des niveaux de l’atome d’hydrogène dans le modèle de Bohr varie comme $-13,6\ \text{eV}/n^{2}$. ### C. Démonstration de la loi de Rydberg à partir du modèle de Bohr Lorsqu’un électron effectue une transition de $n_i$ vers $n_f$ ($n_i>n_f$), l’énergie du photon émise est, d’après (4) et (8) : $$ \Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = -R_H hc\left(\frac{1}{n_i^{2}}-\frac{1}{n_f^{2}}\right) = R_H hc\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right). $$ En utilisant $\Delta E = hc/\lambda$, on obtient immédiatement $$ \frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right), $$ qui est exactement la loi de Rydberg (1). Ainsi le modèle de Bohr explique non seulement l’existence des niveaux discrets, mais aussi la formule empirique des raies spectrales. > **À retenir** : La concordance entre la prédiction du modèle de Bohr et la loi de Rydberg constitue l’un des premiers succès majeurs de la théorie quantique. ### D. Exemples entièrement résolus #### Exemple 1 – Calcul de la longueur d’onde de la raie Balmer‑α **Données** : Transition $n_i=3 \rightarrow n_f=2$ (Balmer‑α). $R_H = 1,097373\times10^{7}\ \text{m}^{-1}$. **Solution** : $$ \frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) =R_H\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right) =R_H\left(\frac{9-4}{36}\right) =R_H\frac{5}{36}. $$ Numériquement : $$ \frac{1}{\lambda}=1,097373\times10^{7}\times\frac{5}{36} =1,52385\times10^{6}\ \text{m}^{-1}. $$ Donc $$ \lambda = \frac{1}{1,52385\times10^{6}} = 6,5628\times10^{-7}\ \text{m}=656,3\ \text{nm}. $$ **Conclusion** : La raie Balmer‑α se situe à $656,3\ \text{nm}$, dans le rouge du spectre visible. #### Exemple 2 – Énergie d’un photon Lyman‑β **Données** : Transition $n_i=4 \rightarrow n_f=1$ (Lyman‑β). **Solution** : Utilisons l’expression d’énergie (8) : $$ \Delta E = 13,6\ \text{eV}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{4^{2}}\right) =13,6\left(1-\frac{1}{16}\right) =13,6\left(\frac{15}{16}\right) =12,75\ \text{eV}. $$ Conversion en joules (1 eV = $1,602176634\times10^{-19}$ J) : $$ \Delta E = 12,75 \times 1,602176634\times10^{-19} =2,043\times10^{-18}\ \text{J}. $$ Fréquence associée : $$ \nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{2,043\times10^{-18}}{6,62607015\times10^{-34}} =3,08\times10^{15}\ \text{Hz}. $$ Longueur d’onde : $$ \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{2,99792458\times10^{8}}{3,08\times10^{15}} =9,73\times10^{-8}\ \text{m}=97,3\ \text{nm}. $$ **Conclusion** : Le photon Lyman‑β possède une énergie de $12,75\ \text{eV}$ (≈ $2,04\times10^{-18}$ J) et une longueur d’onde de $97,3\ \text{nm}$, située dans l’ultraviolet lointain. --- ## III. Transitions électroniques et sélection ### A. Transitions autorisées et interdites Dans le modèle de Bohr, seules les variations du nombre quantique principal $n$ sont considérées ; toute transition entre deux niveaux $n_i$ et $n_f$ est donc possible, ce qui donnerait un grand nombre de raies discrètes (pas un spectre continu). Cependant, l’observation montre que seules certaines raies apparaissent avec une intensité significative, tandis que d’autres sont extrêmement faibles ou absentes. Cette sélectivité provient de la prise en compte du moment angulaire orbital $l$ (introduit par Sommerfeld) et du spin de l’électron. Dans le modèle quantique complet (équation de Schrödinger pour l’hydrogène), l’état électronique est décrit par trois nombres quantiques : $n$ (principal), $l$ (azimutal, $0\le l\le n-1$) et $m_l$ (magnétique). La règle de sélection dipolaire électrique, dérivée de l’interaction $-\mathbf{d}\cdot\mathbf{E}$ avec le champ électromagnétique, stipule que $$ \Delta l = \pm 1,\qquad \Delta m_l = 0,\ \pm 1. \tag{9} $$ Une transition qui ne respecte pas (9) est dite **interdite** (ou fortement réprimée) dans l’approximation dipolaire ; elle peut néanmoins se produire via des processus d’ordre supérieur (quadrupolaires, magnétiques) mais avec des probabilités beaucoup plus faibles. > **Définition** : Une **transition autorisée** est une transition électronique qui satisfait la règle de sélection $\Delta l = \pm 1$ (et les conditions sur $m_l$) et possède donc une probabilité d’émission ou d’absorption non négligeable. ### B. Application à l’hydrogène Pour l’hydrogène, les niveaux sont dégénérés en $l$ : tous les sous‑niveaux ayant le même $n$ possèdent la même énergie dans le modèle de Bohr (et approximativement dans le modèle de Schrödinger, à de très fins effets de relativité et de Lamb près). Ainsi, une transition $n_i\rightarrow n_f$ peut se produire via plusieurs chemins différant par les valeurs de $l$ et $m_l$, mais tous donnent la même énergie du photon. La règle de sélection implique toutefois que seules les transitions où le changement de $l$ est $\pm1$ contribuent fortement au spectre observé. Par exemple, la série de Lyman correspond à des transitions vers $n_f=1$. Comme $l$ ne peut être que $0$ pour $n=1$ (état fondamental $1s$), les seules transitions autorisées sont celles provenant de niveaux avec $l=1$ (états $np$). Ainsi, les raies Lyman proviennent essentiellement des transitions $np\rightarrow 1s$. Les transitions $ns\rightarrow 1s$ ou $nd\rightarrow 1s$ sont interdites dipolairement et apparaissent très faiblement (si elles apparaissent du tout). ### C. Largeur des raies et effets externes Même une transition « autorisée » ne produit pas une raie d’infinitely petite largeur. Plusieurs mécanismes contribuent à l’élargissement : 1. **Largeur naturelle** : liée à la durée de vie finie $\tau$ du niveau excité grâce au principe d’incertitude d’énergie‑temps $$ \Delta E \approx \frac{\hbar}{\tau}\quad\Longrightarrow\quad \Delta\lambda \approx \frac{\lambda^{2}}{2\pi c}\frac{1}{\tau}. $$ Pour la raie Lyman‑α ($\tau\approx 1,6\times10^{-9}\ \text{s}$), on obtient $\Delta\lambda\sim 10^{-4}\ \text{nm}$, extrêmement petite. 2. **Effet Doppler** : le mouvement thermique des atomes provoque un décalage de fréquence $$ \frac{\Delta\lambda}{\lambda}= \frac{v_{\text{th}}}{c}, $$ où $v_{\text{th}}=\sqrt{2k_B T/m_H}$. À $T=300\ \text{K}$, $v_{\text{th}}\approx 1,3\times10^{3}\ \text{m/s}$ donnant un élargissement Doppler de l’ordre de $10^{-3}\ \text{nm}$ dans le visible. 3. **Effet de pression (collisionnel)** : les collisions avec d’autres particules perturbent la phase de l’oscillateur dipolaire, entraînant un élargissement proportionnel à la densité du gaz. Ces effets sont essentiels en astrophysique pour déterminer la température, la densité et la vitesse des milieux émetteurs. ### D. Exemples entièrement résolus #### Exemple 3 – Vérification de la règle de sélection pour la raie Balmer‑β **Données** : Transition $n_i=4 \rightarrow n_f=2$ (Balmer‑β). On considère les sous‑niveaux possibles : pour $n=4$, $l$ peut prendre $0,1,2,3$ ; pour $n=2$, $l$ peut être $0$ ou $1$. **Solution** : - Transition depuis $l=0$ (4s) vers $l=0$ (2s) : $\Delta l =0$ → **interdite**. - Depuis $l=0$ (4s) vers $l=1$ (2p) : $\Delta l =+1$ → **autorisée**. - Depuis $l=1$ (4p) vers $l=0$ (2s) : $\Delta l =-1$ → **autorisée**. - Depuis $l=1$ (4p) vers $l=1$ (2p) : $\Delta l =0$ → **interdite**. - Depuis $l=2$ (4d) vers $l=1$ (2p) : $\Delta l =-1$ → **autorisée**. - Depuis $l=2$ (4d) vers $l=0$ (2s) : $\Delta l =-2$ → **interdite**. - Depuis $l=3$ (4f) vers $l=2$ (2d) : impossible car $n=2$ ne possède pas de $l=2$. - Depuis $l=3$ (4f) vers $l=1$ (2p) : $\Delta l =-2$ → **interdite**. Ainsi, plusieurs chemins autorisés existent (4s→2p, 4p→2s, 4d→2p), expliquant pourquoi la raie Balmer‑β est bien observée. Les chemins interdits contribuent négligemment à l’intensité. #### Exemple 4 – Largeur Doppler de la raie H‑α à 10 000 K **Données** : Longueur d’onde de H‑α (Balmer‑α) $\lambda_0 = 656,3\ \text{nm}$. Température $T = 10\,000\ \text{K}$. Masse de l’atome d’hydrogène $m_H = 1,6735575\times10^{-27}\ \text{kg}$. **Solution** : Vitesse thermique moyenne (racine carrée de la vitesse quadratique moyenne) : $$ v_{\text{th}} = \sqrt{\frac{2k_B T}{m_H}}. $$ Avec $k_B = 1,380649\times10^{-23}\ \text{J/K}$ : $$ v_{\text{th}} = \sqrt{\frac{2\times1,380649\times10^{-23}\times10\,000}{1,6735575\times10^{-27}}} = \sqrt{\frac{2,761298\times10^{-19}}{1,6735575\times10^{-27}}} = \sqrt{1,650\times10^{8}} \approx 1,284\times10^{4}\ \text{m/s}. $$ Le décalage relatif dû à l’effet Doppler est $$ \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} \approx \frac{v_{\text{th}}}{c} = \frac{1,284\times10^{4}}{2,99792458\times10^{8}} \approx 4,28\times10^{-5}. $$ Donc l’élargissement Doppler (largeur à mi‑hauteur approximative) est $$ \Delta\lambda \approx \lambda_0 \times 4,28\times10^{-5} = 656,3\ \text{nm}\times 4,28\times10^{-5} \approx 0,028\ \text{nm}. $$ **Conclusion** : À $10\,000\ \text{K}$, la raie H‑α présente une largeur Doppler d’environ $0,03\ \text{nm}$, nettement supérieure à la largeur naturelle ($\sim10^{-4}\ \text{nm}$) mais encore très fine comparée à l’échelle du spectre visible. --- ## Synthèse du chapitre - **Spectre d’émission de l’hydrogène** : organisé en séries (Lyman, Balmer, Paschen, Brackett, Pfund) obéissant à la loi de Rydberg $$ \displaystyle \frac{1}{\lambda}=R_H\Bigl(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\Bigr). $$ - **Modèle de Bohr** : - Postulats (orbites stationnaires, quantification du moment angulaire $L=n\hbar$, émission/absorption de photons). - Rayon de l’orbite $r_n = a_0 n^{2}$ avec $a_0=5,29\times10^{-11}\ \text{m}$. - Énergie des niveaux $E_n = -\dfrac{R_H hc}{n^{2}} = -\dfrac{13,6\ \text{eV}}{n^{2}}$. - **Transitions** : - Énergie du photon $\Delta E = E_{n_i}-E_{n_f}=hcR_H\bigl(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\bigr)$. - Règle de sélection dipolaire $\Delta l = \pm 1$ (et $\Delta m_l =0,\pm1$). - Seulement les transitions respectant cette règle donnent des raies intenses ; les autres sont fortement réprimées. - **Largeur des raies** : contributions naturelle (incertitude temps‑énergie), Doppler (mouvement thermique) et de pression (collisions). - **Applications** : identification de l’hydrogène dans les étoiles, mesure des températures et vitesses astrophysiques, bases de la spectroscopie laser et de la métrologie. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | **Spectre d’émission** | Ensemble des longueurs d’onde des photons émis lorsqu’un système passe d’un état d’énergie plus élevé à un état plus faible. | | **Série spectrale** | Groupe de raies provenant de transitions vers un même niveau fondamental $n_f$ (ex. série de Lyman $n_f=1$). | | **Constante de Rydberg $R_H$** | Coefficient apparaissant dans la loi de Rydberg pour l’hydrogène, $R_H=1,097373\times10^{7}\ \text{m}^{-1}$. | | **Rayon de Bohr $a_0$** | Rayon de l’orbite fondamentale de l’hydrogène dans le modèle de Bohr, $a_0=5,29177\times10^{-11}\ \text{m}$. | | **Niveau d’énergie $E_n$** | Énergie de l’électron sur l’orbite quantifiée $n$ : $E_n=-13,6\ \text{eV}/n^{2}$. | | **Transition autorisée** | Transition électronique respectant la règle de sélection $\Delta l=\pm1$ (et $\Delta m_l=0,\pm1$). | | **Transition interdite** | Transition ne satisfaisant pas la règle de sélection dipolaire ; probabilité d’émission très faible. | | **Largeur naturelle** | Élargissement intrinsèque d’une raie lié à la durée de vie finie du niveau excité via $\Delta E\approx\hbar/\tau$. | | **Effet Doppler** | Décalage ou élargissement de la longueur d’onde dû au mouvement des émetteurs/absorbeurs par rapport à l’observateur. | | **Effet de pression** | Élargissement d’une raie causé par les collisions avec d’autres particules qui perturbent la phase de l’oscillateur dipolaire. | | **Nombre quantique principal $n$** | Détermine l’énergie et le rayon moyen de l’orbite électronique dans l’hydrogène. | | **Nombre quantique azimutal $l$** | Détermine la forme du nuage électronique et participe à la règle de sélection $\Delta l=\pm1$. | | **Nombre quantique magnétique $m_l$** | Détermine l’orientation du moment angulaire orbital dans l’espace. | | **Photon** | Quantum d’énergie électromagnétique, caractérisé par $E=h\nu$. | | **Constante de Planck $h$** | $h=6,62607015\times10^{-34}\ \text{J·s}$, relie énergie et fréquence du photon. | | **Vitesse de la lumière $c$** | $c=2,99792458\times10^{8}\ \text{m/s}$, constante utilisée dans la relation $E=hc/\lambda$. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Longueur d’onde de la raie Paschen‑γ **Énoncé** : Calculer la longueur d’onde de la raie Paschen‑γ correspondant à la transition $n_i=5 \rightarrow n_f=3$ de l’atome d’hydrogène. Donner le résultat en nanomètres et indiquer dans quel domaine spectral elle se situe. **Corrigé** : 1. Loi de Rydberg : $$ \frac{1}{\lambda}=R_H\Bigl(\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{5^{2}}\Bigr) =R_H\Bigl(\frac{1}{9}-\frac{1}{25}\Bigr) =R_H\Bigl(\frac{25-9}{225}\Bigr) =R_H\frac{16}{225}. $$ 2. Substitution de $R_H=1,097373\times10^{7}\ \text{m}^{-1}$ : $$ \frac{1}{\lambda}=1,097373\times10^{7}\times\frac{16}{225} =7,803\times10^{5}\ \text{m}^{-1}. $$ 3. Inversion : $$ \lambda=\frac{1}{7,803\times10^{5}}=1,281\times10^{-6}\ \text{m}=1281\ \text{nm}. $$ 4. Domaine spectral : $1281\ \text{nm}$ appartient à l’infrarouge proche (domaine Paschen). **Réponse** : $\lambda_{\text{Paschen-}\gamma}=1,28\ \mu\text{m}=1281\ \text{nm}$ (infrarouge proche). --- ### Exercice 2 – Énergie d’un photon de la série Brackett **Énoncé** : Déterminer l’énergie (en électron‑volts) du photon émis lors de la transition $n_i=6 \rightarrow n_f=4$ (première raie de la série Brackett). **Corrigé** : 1. Utiliser la formule d’énergie des niveaux : $$ \Delta E = 13,6\ \text{eV}\Bigl(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\Bigr) =13,6\Bigl(\frac{1}{4^{2}}-\frac{1}{6^{2}}\Bigr) =13,6\Bigl(\frac{1}{16}-\frac{1}{36}\Bigr). $$ 2. Calculer les fractions : $$ \frac{1}{16}=0,0625,\qquad \frac{1}{36}\approx0,02778. $$ Donc $$ \Delta E =13,6\,(0,0625-0,02778)=13,6\times0,03472\approx0,472\ \text{eV}. $$ 3. Conversion en joules (optionnelle) : $$ 0,472\ \text{eV}\times1,602176634\times10^{-19}\ \text{J/eV} \approx7,56\times10^{-20}\ \text{J}. $$ **Réponse** : $E_{\text{photon}}\approx0,47\ \text{eV}$ ($\approx7,6\times10^{-20}\ \text{J}$). --- ### Exercice 3 – Vérification de la règle de sélection pour la raie Lyman‑δ **Énoncé** : La raie Lyman‑δ correspond à la transition $n_i=5 \rightarrow n_f=1$. Montrer, en considérant les valeurs possibles du nombre quantique azimutal $l$, qu’au moins une voie de transition est autorisée selon la règle $\Delta l=\pm1$. **Corrigé** : - Pour $n=5$, $l$ peut prendre les valeurs $0,1,2,3,4$. - Pour $n=1$, $l$ ne peut être que $0$ (état fondamental $1s$). Une transition est autorisée si $\Delta l = l_{\text{initial}}-l_{\text{final}} = \pm1$. - Depuis $l=1$ (état $5p$) vers $l=0$ (état $1s$) : $\Delta l = +1$ → **autorisée**. - Depuis $l=0$ (5s) vers $l=0$ : $\Delta l =0$ → interdite. - Depuis $l=2$ (5d) vers $l=0$ : $\Delta l =+2$ → interdite. - Depuis $l=3$ (5f) vers $l=0$ : $\Delta l =+3$ → interdite. - Depuis $l=4$ (5g) vers $l=0$ : $\Delta l =+4$ → interdite. Ainsi, la voie $5p\rightarrow 1s$ satisfait la règle de sélection et explique l’observation de la raie Lyman‑δ. **Réponse** : La transition $5p\;(l=1)\rightarrow 1s\;(l=0)$ est autorisée ($\Delta l=+1$). --- ### Exercice 4 – Largeur Doppler de la raie Lyman‑β à 5000 K **Énoncé** : Calculer l’élargissement Doppler (en nanomètres) de la raie Lyman‑β ($n_i=4 \rightarrow n_f=1$, $\lambda_0=97,3\ \text{nm}$) pour un gaz d’hydrogène à une température de $5000\ \text{K}$. **Corrigé** : 1. Vitesse thermique : $$ v_{\text{th}} = \sqrt{\frac{2k_B T}{m_H}}. $$ Avec $k_B=1,380649\times10^{-23}\ \text{J/K}$, $T=5000\ \text{K}$, $m_H=1,6735575\times10^{-27}\ \text{kg}$ : $$ v_{\text{th}} = \sqrt{\frac{2\times1,380649\times10^{-23}\times5000}{1,6735575\times10^{-27}}} = \sqrt{\frac{1,380649\times10^{-19}}{1,6735575\times10^{-27}}} = \sqrt{8,25\times10^{7}} \approx 9,08\times10^{3}\ \text{m/s}. $$ 2. Décalage relatif : $$ \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}\approx\frac{v_{\text{th}}}{c} =\frac{9,08\times10^{3}}{2,99792458\times10^{8}} \approx3,03\times10^{-5}. $$ 3. Élargissement absolu : $$ \Delta\lambda = \lambda_0 \times 3,03\times10^{-5} = 97,3\ \text{nm}\times 3,03\times10^{-5} \approx 2,95\times10^{-3}\ \text{nm}=0,0030\ \text{nm}. $$ **Réponse** : À $5000\ \text{K}$, la raie Lyman‑β présente un élargissement Doppler d’environ $0,003\ \text{nm}$. --- ### Exercice 5 – Énergie d’ionisation de l’hydrogène depuis le niveau $n=3$ **Énoncé** : Quelle énergie doit être apportée à un atome d’hydrogène initialement dans le niveau $n=3$ pour l’ioniser complètement (enlever l’électron) ? **Corrigé** : L’énergie d’ionisation depuis le niveau $n$ est la différence entre l’énergie du niveau $n$ (négative) et l’énergie de l’état libre (prise comme zéro). $$ E_{\text{ion}}(n)=0-E_n = -E_n = \frac{13,6\ \text{eV}}{n^{2}}. $$ Pour $n=3$ : $$ E_{\text{ion}}(3)=\frac{13,6}{3^{2}}=\frac{13,6}{9}=1,511\ \text{eV}. $$ En joules : $$ 1,511\ \text{eV}\times1,602176634\times10^{-19}\ \text{J/eV} \approx2,42\times10^{-19}\ \text{J}. $$ **Réponse** : Il faut fournir environ $1,51\ \text{eV}$ ($\approx2,4\times10^{-19}\ \text{J}$) pour ioniser un hydrogène partant du niveau $n=3$. --- ### Exercice 6 – Identification d’une raie inconnue **Énoncé** : Dans un spectre d’émission d’hydrogène, on observe une raie à une longueur d’onde de $486,1\ \text{nm}$. Identifier la série à laquelle elle appartient et déterminer les nombres quantiques $n_i$ et $n_f$ de la transition responsable. **Corrigé** : 1. Loi de Rydberg : $\displaystyle \frac{1}{\lambda}=R_H\Bigl(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\Bigr)$, avec $R_H=1,097373\times10^{7}\ \text{m}^{-1}$. 2. Calcul du nombre d’onde : $$ \frac{1}{\lambda}= \frac{1}{486,1\times10^{-9}\ \text{m}} = 2,057\times10^{6}\ \text{m}^{-1}. $$ 3. Comme la longueur d’onde se situe dans le visible, on teste la série de Balmer ($n_f=2$) : $$ \frac{1}{\lambda}=R_H\Bigl(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\Bigr) =R_H\Bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{n_i^{2}}\Bigr). $$ Donc $$ \frac{1}{n_i^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{R_H\lambda}. $$ Calcul du produit $R_H\lambda$ : $$ R_H\lambda = (1,097373\times10^{7})(486,1\times10^{-9}) = 5,335. $$ Ainsi $$ \frac{1}{R_H\lambda}= \frac{1}{5,335}=0,1875. $$ Alors $$ \frac{1}{n_i^{2}} = 0,25 - 0,1875 = 0,0625 \;\Longrightarrow\; n_i^{2}=16 \;\Longrightarrow\; n_i=4. $$ 4. La transition est donc $n_i=4 \rightarrow n_f=2$, appartenant à la série de **Balmer** (raie Balmer‑β). **Réponse** : La raie à $486,1\ \text{nm}$ appartient à la série de **Balmer** et correspond à la transition $4\rightarrow2$ (Balmer‑β). --- ## Erreurs fréquentes | # | Erreur classique | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |---|------------------|--------------------------|------------------| | 1 | **Confondre $n$ et $l$** : croire que la règle de sélection s’applique au nombre quantique principal $n$ ($\Delta n=\pm1$). | L’élève rappelle la règle du moment angulaire mais l’applique à $n$ par analogie avec les niveaux harmoniques. | Rappeler clairement que la règle de sélection dipolaire concerne le moment angulaire orbital $l$ (et $m_l$), tandis que $n$ peut varier de façon quelconque (seule l’énergie change). | | 2 | **Oublier le signe moins dans l’énergie des niveaux** : écrire $E_n=+13,6\ \text{eV}/n^{2}$. | On confond l’énergie de liaison (négative) avec l’énergie d’absorption (positive). | Souligner que l’énergie de l’électron lié est négative par rapport à l’état libre zéro ; l’énergie d’ionisation est la valeur absolue. | | 3 | **Utiliser la mauvaise unité pour la constante de Rydberg** : employer $R_H$ en $\text{cm}^{-1}$ sans convertir le résultat en mètres. | Dans certains ouvrages, $R_H$ est donnée en $\text{cm}^{-1}$ ; l’élève oublie de convertir. | Toujours vérifier l’unité de $R_H$ utilisée ; si on travaille en mètres, prendre $R_H=1,097373\times10^{7}\ \text{m}^{-1}$ ; si on travaille en centimètres, $R_H=1,097373\times10^{5}\ \text{cm}^{-1}$ et convertir le résultat en mètres à la fin. | | 4 | **Negliger l’effet Doppler dans les estimations de largeur** : considérer que toutes les raies ont la même largeur naturelle. | L’élève pense que la largeur naturelle domine partout, oubliant que à températures astrophysiques, le Doppler est souvent prépondérant. | Comparer systématiquement $\Delta\lambda_{\text{Doppler}} = \lambda_0 v_{\text{th}}/c$ avec $\Delta\lambda_{\text{nat}}$ ; retenir le plus grand. | | 5 | **Appliquer la loi de Rydberg à des ions hydrogénoïdes sans tenir compte du facteur $Z^2$** : utiliser la même formule pour He⁺, Li²⁺, etc. | On oublie que la charge nucléaire modifie l’énergie des niveaux selon $E_n=-13,6\ \text{eV} Z^2/n^2$. | Rappeler que pour un ion hydrogénoïde de charge nucléaire $Ze$, la constante de Rydberg devient $R_Z=R_H Z^2$ ; donc $1/\lambda = R_H Z^2 (1/n_f^2-1/n_i^2)$. | | 6 | **Confondre émission et absorption** : croire qu’une raie d’absorption apparaît à la même longueur d’onde que la raie d’émission correspondante, mais oublier que les populations de niveaux influencent l’intensité. | L’élève traite les deux processus comme symétriques sans tenir compte de l’équilibre des populations. | Rappeler que l’absorption nécessite une population initiale dans le niveau inférieur ; l’émission nécessite une population excitées. En laboratoire, on observe généralement l’émission après excitation électrique ou thermique. | --- **Fin du cours**. Vous disposez maintenant d’une présentation complète du chapitre « Niveau d'énergie de l'atome d'hydrogène – Leçon 33 : Spectre et transitions », incluant les définitions, démonstrations, exemples détaillés, synthèse, glossaire, exercices corrigés et conseils pour éviter les erreurs les plus fréquentes. Bon travail et bonne préparation au baccalauréat !