Effet Doppler

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** 1. Expliquer qualitativement et quantitativement le phénomène de l’effet Doppler pour une onde mécanique (son) et une onde électromagnétique (lumière). 2. Dériver les formules de l’effet Doppler classique (source mobile/observateur fixe, observateur mobile/source fixe, les deux mobiles) et les appliquer à des situations concrètes. 3. Présenter la forme relativiste de l’effet Doppler pour la lumière et en discuter les limites d’application. 4. Identifier les principales manifestations de l’effet Doppler en acoustique (sirène, ultrasons médicaux, sonar) et en optique/électromagnétisme (radar, lidar, décalage vers le rouge, spectroscopie laser). 5. Résoudre des problèmes numériques comportant plusieurs étapes (conversion d’unités, choix du signe, prise en compte de la vitesse du milieu). 6. Critiquer les résultats obtenus en vérifiant l’ordre de grandeur et la cohérence physique. **Prérequis nécessaires :** - Notions d’ondes mécaniques (vitesse du son dans l’air, relation $v = f\lambda$). - Notions d’ondes électromagnétiques (vitesse de la lumière $c$, fréquence et longueur d’onde). - Manipulation des formules du mouvement relatif (addition de vitesses classiques). - Notions de base de la relativité restreinte (invariance de $c$, facteur de Lorentz $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^{2}}$ avec $\beta=v/c$). - Capacité à résoudre des équations du premier degré et à effectuer des conversions d’unités (km/h → m/s, etc.). --- ## Introduction contextualisée L’effet Doppler, découvert par le physicien autrichien Christian Doppler en 1842, décrit la variation de la fréquence perçue d’une onde lorsque la source et/ou l’observateur sont en mouvement relatif. Ce phénomène est omniprésent dans la vie quotidienne : le changement de tonalité d’une sirène de police qui s’approche puis s’éloigne, le « battement » entendu lorsqu’on passe près d’un train, ou encore le décalage vers le rouge des galaxies lointaines qui témoigne de l’expansion de l’Univers. Dans le cadre du programme camerounais de Terminale (séries C et E), l’effet Doppler est étudié sous deux angles complémentaires : - **Ondes mécaniques** (son dans l’air, ultrasons dans les tissus, ondes acoustiques dans l’eau) où la vitesse de propagation dépend du milieu. - **Ondes électromagnétiques** (lumière, ondes radio) où la vitesse de propagation dans le vide est constante ($c$) et où il faut recourir à la relativité restreinte pour des vitesses comparables à $c$. Les applications technologiques sont nombreuses : radars météorologiques, sonar sous‑marin, contrôle de vitesse routier, échographie Doppler médicale, lidar, spectroscopie laser, systèmes de navigation par satellite (GPS), etc. Maîtriser cet effet permet donc non seulement de réussir l’épreuve du baccalauréat, mais aussi de comprendre des outils essentiels de la physique moderne. --- ## I. Rappel de l’effet Doppler (classique) – principe et formule de base ### A. Effet Doppler pour une onde mécanique (son) **Définition** : Lorsqu’une source sonore émet des ondes de fréquence $f_{0}$ tandis que le milieu de propagation (air) est au repos, la fréquence $f'$ perçue par un observateur en mouvement relatif varie selon la formule > $$ f' = f_{0}\,\frac{v \pm v_{o}}{v \mp v_{s}} $$ où - $v$ = vitesse du son dans le milieu (≈ 340 m/s à 20 °C), - $v_{o}$ = vitesse de l’observateur (positive s’il se déplace **vers** la source), - $v_{s}$ = vitesse de la source (positive s’elle se déplace **vers** l’observateur). Le signe du numérateur dépend du mouvement de l’observateur (+ si il se rapproche, – s’il s’éloigne) ; celui du dénominateur dépend du mouvement de la source (– si elle se rapproche, + si elle s’éloigne). **Démonstration (cas source mobile, observateur fixe)** : Considérons une source émettant des fronts d’onde séparés dans le temps par $T_{0}=1/f_{0}$. Pendant un intervalle $T_{0}$, la source se déplace d’une distance $v_{s}T_{0}$ vers l’observateur. La longueur d’onde effective devant la source devient $$ \lambda' = \lambda - v_{s}T_{0} = \frac{v}{f_{0}} - \frac{v_{s}}{f_{0}} = \frac{v-v_{s}}{f_{0}} .$$ Comme l’observateur est fixe, il rencontre ces fronts avec une périodicité $T' = \lambda'/v$, donc $$ f' = \frac{1}{T'} = \frac{v}{\lambda'} = f_{0}\,\frac{v}{v-v_{s}} .$$ En posant $v_{o}=0$ dans la formule générale, on retrouve exactement ce résultat. **Exemple 1 – Source mobile, observateur fixe** : Une ambulance dont la sirène émet à $f_{0}=700$ Hz se dirige vers un piéton immobile à $v_{s}=30$ m/s. La vitesse du son est $v=340$ m/s. Quelle fréquence le piéton entend‑il ? **Solution** : $$ \begin{aligned} f' &= f_{0}\,\frac{v}{v-v_{s}} \\ &= 700\,\frac{340}{340-30} \\ &= 700\,\frac{340}{310} \\ &= 700 \times 1.09677 \\ &\approx 767.7\ \text{Hz}. \end{aligned} $$ Le piéton perçoit donc une fréquence d’environ **768 Hz**, plus aiguë que la fréquence d’émission. **Exemple 2 – Observateur mobile, source fixe** : Un cycliste se déplace vers une source sonore fixe émettant à $f_{0}=500$ Hz à $v_{o}=10$ m/s. Quelle fréquence entend‑il ? **Solution** : $$ \begin{aligned} f' &= f_{0}\,\frac{v+v_{o}}{v} \\ &= 500\,\frac{340+10}{340} \\ &= 500\,\frac{350}{340} \\ &= 500 \times 1.02941 \\ &\approx 514.7\ \text{Hz}. \end{aligned} $$ Le cycliste perçoit environ **515 Hz**. ### B. Effet Doppler pour une onde électromagnétique (lumière) – traitement classique (vitesse << c) Lorsque la vitesse relative $v_{rel}$ est très faible devant $c$, on peut utiliser la même forme que pour le son en remplaçant $v$ par $c$ : > $$ f' = f_{0}\,\frac{c \pm v_{o}}{c \mp v_{s}} .$$ Cette approximation est valable pour les radars terrestres, les lidars, etc., où les vitesses rencontrées sont de l’ordre de quelques dizaines de m/s. **Exemple 3 – Radar Doppler (vitesse << c)** : Un radar émettant à $f_{0}=10$ GHz détecte une voiture qui s’éloigne à $v_{s}=20$ m/s. Quelle est la fréquence de l’onde réfléchie reçue par le radar ? (On considère deux décalages successifs : émission vers la cible, puis réflexion vers le récepteur.) **Solution** : 1. Fréquence reçue par la voiture (observateur mobile, source fixe) : $$ f_{1}=f_{0}\,\frac{c - v_{s}}{c}=10^{10}\,\frac{3\times10^{8}-20}{3\times10^{8}} \approx 10^{10}\,(1-6.67\times10^{-8}) =9.99999933\times10^{9}\ \text{Hz}. $$ 2. Fréquence renvoyée par la voiture (source mobile, observateur fixe) : $$ f' = f_{1}\,\frac{c}{c+v_{s}} \approx 9.99999933\times10^{9}\,\frac{3\times10^{8}}{3\times10^{8}+20} \approx 9.99999933\times10^{9}\,(1-6.67\times10^{-8}) \approx 9.99999866\times10^{9}\ \text{Hz}. $$ Le décalage mesuré est donc $$ \Delta f = f_{0}-f' \approx 1.34\times10^{3}\ \text{Hz}=1.34\ \text{kHz}. $$ Ce décalage de l’ordre du kilohertz est facilement mesurable par un radar moderne. --- ## II. Manifestations de l’effet Doppler dans le domaine acoustique ### A. Sirène d’un véhicule en mouvement Lorsque la source (sirène) se déplace par rapport à un observateur stationnaire, la fréquence perçue varie continuellement : elle augmente lors de l’approche, atteint un maximum théorique lorsque la source passe exactement à côté de l’observateur (dans la limite d’une source ponctuelle), puis diminue lors de l’éloignement. **Propriété importante** : Le changement de fréquence perçu est symétrique uniquement si la vitesse de la source est constante et si l’observateur est réellement au repos dans le milieu. **Exemple 4 – Variation de fréquence lors du passage** : Une ambulance émet une sirène de fréquence $f_{0}=800$ Hz. Elle se déplace à $v_{s}=25$ m/s le long d’une ligne droite qui passe à 10 m d’un piéton. Supposons que la vitesse du son soit $v=340$ m/s. Quelle fréquence le piéton entend‑il lorsqu’il se trouve exactement à l’endroit où la distance source‑observateur est minimale (c’est‑à‑dire lorsque la ligne de vue est perpendiculaire au trajet) ? **Solution** : Dans cette configuration, la composante de la vitesse de la source le long de la ligne de vue est nulle ($v_{s,\parallel}=0$). Ainsi, la fréquence perçue reste égale à la fréquence d’émission : $$ f' = f_{0}\,\frac{v}{v-0}=f_{0}=800\ \text{Hz}. $$ En revanche, lorsque l’ambulance se trouve à une distance où l’angle entre son vecteur vitesse et la ligne de vue vaut $\theta$, la composante effective est $v_{s}\cos\theta$. La fréquence perçue varie donc comme $$ f'(\theta)=f_{0}\,\frac{v}{v-v_{s}\cos\theta}. $$ Ce tracé montre une variation continue, caractéristique de l’effet Doppler. ### B. Effet Doppler dans les ultrasons médicaux En échographie Doppler, un transducer émet des ultrasons de fréquence $f_{0}$ (typiquement 2–5 MHz) vers des tissus en mouvement (sang). Les réflexions subissent un décalage Doppler deux fois (aller et retour), ce qui donne > $$ \Delta f = \frac{2 f_{0} v \cos\theta}{c} ,$$ où $v$ est la vitesse du flux sanguin, $\theta$ l’angle entre le faisceau ultrasonore et la direction du flux, et $c$ la vitesse du son dans le tissu (~1540 m/s). **Exemple 5 – Mesure de vitesse sanguine** : Un appareil d’échographie travaille à $f_{0}=3$ MHz. L’angle entre le faisceau et l’artère est $\theta=60^{\circ}$ ($\cos\theta=0.5$). Le décalage fréquentiel mesuré est $\Delta f=5$ kHz. Quelle est la vitesse du sang ? **Solution** : $$ \begin{aligned} \Delta f &= \frac{2 f_{0} v \cos\theta}{c} \\ v &= \frac{\Delta f \, c}{2 f_{0} \cos\theta} \\ &= \frac{5\times10^{3}\times1540}{2\times3\times10^{6}\times0.5} \\ &= \frac{7.7\times10^{6}}{3\times10^{6}} \\ &\approx 2.57\ \text{m/s}. \end{aligned} $$ La vitesse du sang est donc d’environ **2,6 m/s**, valeur physiologique normale pour une artère de taille moyenne. ### C. Effet Doppler dans le sonar Un sonar émet une impulsion acoustique dans l’eau (vitesse du son $v\approx1500$ m/s). Un objet en mouvement réfléchit l’onde ; le décalage mesuré permet de déterminer la vitesse radiale de l’objet. La formule complète (aller‑retour) est > $$ f' = f_{0}\,\frac{v \pm v_{o}}{v \mp v_{s}}\,\frac{v \pm v_{s}}{v \mp v_{o}} ,$$ où les signes dépendent du sens relatif de déplacement. **Exemple 6 – Détection d’un sous‑marin** : Un sonar de fréquence $f_{0}=10$ kHz est fixé sur un navire immobile ($v_{o}=0$). Un sous‑marin s’approche à $v_{s}=5$ m/s. Quelle fréquence l’écho reçu présente‑t‑il ? **Solution** : 1. Fréquence reçue par le sous‑marin (observateur mobile, source fixe) : $$ f_{1}=f_{0}\,\frac{v+v_{s}}{v}=10^{4}\,\frac{1500+5}{1500}=10^{4}\times1.00333\approx10033.3\ \text{Hz}. $$ 2. Fréquence renvoyée (source mobile, observateur fixe) : $$ f' = f_{1}\,\frac{v}{v-v_{s}}=10033.3\,\frac{1500}{1500-5}=10033.3\times1.00334\approx10066.8\ \text{Hz}. $$ Le décalage mesuré est donc d’environ **+66,8 Hz**, permettant de déduire la vitesse d’approche. --- ## III. Manifestations de l’effet Doppler dans le domaine électromagnétique ### A. Effet Doppler relativiste pour la lumière Lorsque la vitesse relative $v$ devient comparable à $c$, la formule classique n’est plus valable. En relativité restreinte, la fréquence observée $f'$ liée à la fréquence propre $f_{0}$ de la source est > $$ f' = f_{0}\,\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\quad\text{(source s’éloignant)} ,$$ > $$ f' = f_{0}\,\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\quad\text{(source s’approchant)} ,$$ avec $\beta = v/c$. Cette expression résulte de l’invariance de la phase d’onde sous transformation de Lorentz. **Démonstration (source s’éloignant)** : Dans le référentiel de la source, l’onde a une période $T_{0}=1/f_{0}$. Dans le référentiel de l’observateur qui s’éloigne à vitesse $v$, le temps entre deux fronts successifs subit un allongement dû au décalage de temps de relativité : $$ T' = \gamma\,(T_{0} + \frac{v\,\lambda_{0}}{c^{2}}) = \gamma\,T_{0}\,(1+\beta), $$ où $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^{2}}$ et $\lambda_{0}=cT_{0}$. En utilisant $\gamma(1+\beta)=\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$, on obtient $$ f' = \frac{1}{T'} = f_{0}\,\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} . $$ **Exemple 7 – Décalage Doppler relativiste** : Une galaxie émet une raie d’hydrogène à $\lambda_{0}=656,3$ nm (raie H‑α). On mesure sur Terre $\lambda'=660,0$ nm. Quelle est la vitesse de récession de la galaxie ? **Solution** : $$ \frac{\lambda'}{\lambda_{0}} = \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{\lambda'}{\lambda_{0}}\right)^{2}= \frac{1+\beta}{1-\beta}. $$ Calculons le rapport : $$ R = \frac{660,0}{656,3}=1.00564,\quad R^{2}=1.01133. $$ Alors $$ \frac{1+\beta}{1-\beta}=1.01133 \;\Longrightarrow\; 1+\beta =1.01133(1-\beta) \\ 1+\beta =1.01133 -1.01133\beta \\ \beta +1.01133\beta =1.01133-1 \\ \beta(2.01133)=0.01133 \\ \beta =\frac{0.01133}{2.01133}\approx0.00563. $$ Ainsi $v = \beta c \approx 0.00563 \times 3.00\times10^{8}\ \text{m/s} \approx 1.69\times10^{6}\ \text{m/s}=1690\ \text{km/s}$. La galaxie s’éloigne donc à environ **1 690 km/s**. ### B. Décalage vers le rouge cosmologique (effet Hubble) À très grande distance, le décalage observé n’est plus dû uniquement à un mouvement propre mais à l’expansion de l’espace. La loi de Hubble relie la vitesse de récession $v$ à la distance $d$ : > $$ v = H_{0}\,d ,$$ où $H_{0}\approx 70\ \text{km/s/Mpc}$ (valeur admise actuellement). Le décalage spectral $z$ est lié à $v$ par la formule relativiste précédente ; pour $z\ll1$, on a l’approximation $z\approx v/c$. **Exemple 8 – Distance d’une galaxie** : Une galaxie présente un décalage vers le rouge $z=0,02$. En supposant que cet effet soit dominé par l’expansion de l’Univers, estimer sa distance. **Solution** : Pour $z=0,02$, on utilise l’approximation $v\approx zc$ : $$ v \approx 0,02 \times 3,00\times10^{5}\ \text{km/s}=6,0\times10^{3}\ \text{km/s}. $$ En appliquant la loi de Hubble : $$ d = \frac{v}{H_{0}} = \frac{6,0\times10^{3}\ \text{km/s}}{70\ \text{km/s/Mpc}} \approx 85,7\ \text{Mpc}. $$ La galaxie se trouve donc à environ **86 Mpc** (≈ 280 millions d’années‑lumière). ### C. Radar Doppler et lidar Un radar émet une onde radio de fréquence $f_{0}$ ; la réflexion sur une cible en mouvement produit un décalage Doppler deux fois (aller‑retour) : > $$ \Delta f = \frac{2 f_{0} v_{r}}{c} ,$$ où $v_{r}$ est la composante radiale de la vitesse de la cible. Le lidar utilise le même principe avec des ondes laser (fréquence optique). **Exemple 9 – Détection d’une voiture par radar** : Un radar de fréquence $f_{0}=24$ GHz (bande K) mesure un décalage fréquentiel $\Delta f=1,5$ kHz. Quelle est la vitesse radiale de la voiture ? **Solution** : $$ v_{r}= \frac{\Delta f \, c}{2 f_{0}} = \frac{1,5\times10^{3}\times3,00\times10^{8}}{2\times24\times10^{9}} = \frac{4,5\times10^{11}}{48\times10^{9}} = 9,375\ \text{m/s}\approx 33,8\ \text{km/h}. $$ La voiture se déplace donc à environ **34 km/h** dans la direction du radar. ### D. Imagerie par résonance magnétique (IRM) – effet Doppler du flux sanguin En IRM, les séquences de contraste de phase (phase‑contrast MRI) mesurent le décalage de phase des spins provoqué par le mouvement du sang, analogue à l’effet Doppler. La vitesse moyenne $v$ dans un voxel est reliée au décalage de phase $\Delta\phi$ par > $$ \Delta\phi = \gamma \, G \, \delta \, v ,$$ où $\gamma$ est le rapport gyromagnétique du proton, $G$ le gradient de champ appliqué, $\delta$ la durée du gradient. Bien que cette expression ne soit pas une formule de Doppler classique, elle illustre le même principe : la mesure d’un décalage (ici de phase) lié à la vitesse d’un milieu en mouvement. --- ## IV. Applications technologiques de l’effet Doppler ### A. Radar Doppler météorologique Les radars météorologiques émettent des impulsions micro‑ondes (≈ 3 GHz) et analysent le décalage Doppler des précipitations pour déterminer la vitesse du vent dans les nuages. La capacité à distinguer les mouvements radiaux permet de détecter les phénomènes de rotation (mésocyclones, tornades). ### B. Sonar Doppler pour la navigation sous‑marine Les sonars actifs utilisent des impulsions acoustiques (≈ 3–12 kHz) pour mesurer la vitesse relative du fond marin ou d’autres objets. Le traitement du signal fournit non seulement la distance mais aussi le vecteur vitesse, essentiel pour la navigation inertielle sous‑marine. ### C. Détecteur de vitesse (radar routier) Les radars fixes ou mobiles employés par les forces de l’ordre fonctionnent sur le principe du Doppler : ils émettent une onde continue (souvent 24 GHz ou 35 GHz) et mesurent le décalage fréquentiel de l’onde réfléchie par le véhicule. La précision atteint généralement ±1 km/h. ### D. Analyse du sang (échographie Doppler) Comme vu précédemment, l’échographie Doppler couleur représente la vitesse du sang par une cartographie de couleurs (rouge = vers le transducer, bleu = éloigné). Elle permet de détecter les sténoses, les insuffisances valvulaires ou les thromboses. ### E. Spectroscopie Doppler (laser) Dans un laser à fréquence fixe, le déplacement d’un miroir ou d’un objet réfléchissant induit un décalage Doppler mesurable par interférométrie. Cette technique sert à mesurer des vibrations de l’ordre du nanomètre ou des vitesses de quelques µm/s dans les expériences de mécanique des fluides. ### F. Télécommunications (effet Doppler dans les systèmes satellitaires) Dans les liaisons satellitaires (GPS, télécommunications), le mouvement relatif du satellite par rapport au récepteur provoque un décalage Doppler de la porteuse. Les récepteurs doivent compenser ce décalage (souvent de l’ordre de quelques kHz) pour maintenir la synchronisation et éviter les erreurs de décodage. --- ## Synthèse du chapitre - **Effet Doppler classique (onde mécanique)** : > $$ f' = f_{0}\,\frac{v \pm v_{o}}{v \mp v_{s}} $$ - $v$ : vitesse de propagation dans le milieu. - Signes : $+$ au numérateur si l’observateur se rapproche, $-$ s’il s’éloigne ; $-$ au dénominateur si la source se rapproche, $+$ si elle s’éloigne. - **Effet Doppler électromagnétique (vitesse << c)** : même forme avec $v\to c$. - **Effet Doppler relativiste (lumière)** : > $$ f' = f_{0}\,\sqrt{\frac{1\mp\beta}{1\pm\beta}} $$ - $\beta=v/c$ ; le signe supérieur correspond à l’approche, l’inférieur à l’éloignement. - **Applications** : - Acoustique : sirène, ultrasons médicaux, sonar. - Électromagnétique : radar, lidar, décalage rouge cosmologique, spectroscopie laser, systèmes satellitaires. - **Formules clés à retenir** (au moins 8) : > $ f' = f_{0}\frac{v\pm v_{o}}{v\mp v_{s}} $ > $ \Delta f = \frac{2 f_{0} v \cos\theta}{c} $ (échographie) > $ f' = f_{0}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} $ (recul) > $ v = H_{0} d $ (loi de Hubble) > $ \Delta f = \frac{2 f_{0} v_{r}}{c} $ (radar) > $ \lambda' = \lambda_{0}\sqrt{\frac{1\mp\beta}{1\pm\beta}} $ (longueur d’onde) > $ z = \frac{\lambda'-\lambda_{0}}{\lambda_{0}} $ (décalage rouge) > $ \Delta\phi = \gamma G \delta v $ (IRM phase‑contrast) --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Effet Doppler | Variation de la fréquence perçue d’une onde due au mouvement relatif de la source et/ou de l’observateur. | | Fréquence propre ($f_{0}$) | Fréquence de l’onde telle qu’émise dans le référentiel de la source au repos. | | Vitesse de propagation ($v$) | Vitesse de l’onde dans le milieu considéré (son dans l’air, lumière dans le vide, etc.). | | Facteur de Lorentz ($\gamma$) | $\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$, avec $\beta=v/c$. | | Décalage vers le rouge ($z$) | $z = (\lambda'-\lambda_{0})/\lambda_{0}$ ; mesure de l’étirement de la longueur d’onde. | | Loi de Hubble | Relation $v = H_{0} d$ liant la vitesse de récession d’une galaxie à sa distance. | | Radar Doppler | Système qui mesure le décalage fréquentiel d’une onde radio réfléchie pour déterminer la vitesse radiale d’une cible. | | Échographie Doppler | Technique médicale utilisant le décalage Doppler des ultrasons pour visualiser le flux sanguin. | | Lidar | Analogique du radar mais utilisant des ondes laser (souvent dans le visible ou l’infrarouge). | | Phase‑contrast IRM | Séquence d’imagerie qui convertit les variations de phase des spins protoniques en image de vitesse du sang. | | β (beta) | Rapport $v/c$, utilisé dans les formules relativistes de l’effet Doppler. | | décalage fréquentiel ($\Delta f$) | Différence entre la fréquence reçue et la fréquence émise, souvent deux fois l’effet Doppler aller‑retour. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 (niveau facile) Une voiture klaxon émet un son de fréquence $f_{0}=500$ Hz. La voiture se déplace vers un piéton immobile à $v_{s}=15$ m/s. Quelle fréquence le piéton entend‑il ? (Prendre $v=340$ m/s.) **Corrigé** : $$ f' = f_{0}\,\frac{v}{v-v_{s}} = 500\,\frac{340}{340-15}=500\,\frac{340}{325}=500\times1,04615\approx523\ \text{Hz}. $$ Le piéton perçoit environ **523 Hz**. --- ### Exercice 2 (niveau intermédiaire) Un sous‑marin émet un signal sonar de fréquence $f_{0}=8$ kHz. Un navire de surface se déplace vers le sous‑marin à $v_{o}=10$ m/s tandis que le sous‑marin s’éloigne du navire à $v_{s}=5$ m/s. Quelle fréquence le navire reçoit‑il ? (Vitesse du son dans l’eau $v=1500$ m/s.) **Corrigé** : 1. Fréquence reçue par le navire (observateur mobile, source fixe) : $$ f_{1}=f_{0}\,\frac{v+v_{o}}{v}=8000\,\frac{1500+10}{1500}=8000\times1,006667\approx8053,3\ \text{Hz}. $$ 2. Comme la source (sous‑marin) s’éloigne, on applique le facteur source mobile : $$ f' = f_{1}\,\frac{v}{v+v_{s}}=8053,3\,\frac{1500}{1500+5}=8053,3\times0,99668\approx8025\ \text{Hz}. $$ Le navire reçoit donc environ **8,03 kHz**. --- ### Exercice 3 (niveau intermédiaire – effet Doppler relativiste) Une étoile émet une raie d’absorption à $\lambda_{0}=486,1$ nm (raie H‑β). Sur Terre, on mesure $\lambda'=492,0$ nm. Calculer la vitesse radiale de l’étoile. **Corrigé** : $$ \frac{\lambda'}{\lambda_{0}} = \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \;\Longrightarrow\; \left(\frac{\lambda'}{\lambda_{0}}\right)^{2}= \frac{1+\beta}{1-\beta}. $$ $$ R = \frac{492,0}{486,1}=1,01213,\quad R^{2}=1,0244. $$ $$ \frac{1+\beta}{1-\beta}=1,0244 \;\Longrightarrow\; 1+\beta =1,0244(1-\beta) \\ 1+\beta =1,0244 -1,0244\beta \\ \beta +1,0244\beta =1,0244-1 \\ \beta(2,0244)=0,0244 \\ \beta =\frac{0,0244}{2,0244}\approx0,01205. $$ $$ v = \beta c =0,01205\times3,00\times10^{5}\ \text{km/s}\approx3615\ \text{km/s}. $$ L’étoile s’éloigne donc à environ **3 600 km/s**. --- ### Exercice 4 (niveau avancé – échographie Doppler) Un appareil d’échographie travaille à $f_{0}=4$ MHz. L’angle entre le faisceau et l’artère est $\theta=45^{\circ}$ ($\cos\theta=0,7071$). Le décalage fréquentiel mesuré est $\Delta f=8$ kHz. Déterminer la vitesse du sang dans l’artère. **Corrigé** : $$ v = \frac{\Delta f \, c}{2 f_{0} \cos\theta} = \frac{8\times10^{3}\times1540}{2\times4\times10^{6}\times0,7071} = \frac{1,232\times10^{7}}{5,6568\times10^{6}} \approx 2,18\ \text{m/s}. $$ La vitesse du sang est donc d’environ **2,2 m/s**. --- ### Exercice 5 (niveau avancé – radar) Un radar de fréquence $f_{0}=13,5$ GHz mesure un décalage Doppler $\Delta f=2,2$ kHz provenant d’un objet en mouvement. Quelle est la vitesse radiale de l’objet ? **Corrigé** : $$ v_{r}= \frac{\Delta f \, c}{2 f_{0}} = \frac{2,2\times10^{3}\times3,00\times10^{8}}{2\times13,5\times10^{9}} = \frac{6,6\times10^{11}}{27\times10^{9}} = 24,44\ \text{m/s}\approx 88\ \text{km/h}. $$ L’objet se déplace donc à environ **88 km/h** dans la direction du radar. --- ### Exercice 6 (niveau expert – combinaison d’effets) Un avion émet un signal radio de fréquence $f_{0}=10$ GHz vers un sol stationnaire. L’avion vole à $v_{a}=250$ m/s selon une trajectoire qui forme un angle de $30^{\circ}$ avec la ligne de vue du sol vers l’avion (c’est‑à‑dire que la composante radiale de la vitesse de l’avion est $v_{a}\cos30^{\circ}$). Quel décalage fréquentiel le sol mesure‑t‑il sur le signal réfléchi (aller‑retour) ? **Corrigé** : 1. Composante radiale de la vitesse de l’avion : $$ v_{r}= v_{a}\cos30^{\circ}=250\times0,8660\approx216,5\ \text{m/s}. $$ 2. Déploiement aller‑retour : le décalage Doppler total est deux fois l’effet simple (car la réflexion agit comme une nouvelle source mobile) : $$ \Delta f = \frac{2 f_{0} v_{r}}{c} = \frac{2\times10^{10}\times216,5}{3,00\times10^{8}} = \frac{4,33\times10^{12}}{3,00\times10^{8}} \approx 1,44\times10^{4}\ \text{Hz}=14,4\ \text{kHz}. $$ Le sol mesure donc un décalage d’environ **14,4 kHz**. --- ## Erreurs fréquentes | Erreur fréquente | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |------------------|--------------------------|------------------| | **Confondre les signes** dans la formule $f' = f_{0}\frac{v\pm v_{o}}{v\mp v_{s}}$ | L’élève oublie que le signe du numérateur dépend du mouvement de l’observateur et celui du dénominateur du mouvement de la source. | Mémoriser la règle : « + si l’on se rapproche, – si l’on s’éloigne » pour chaque terme séparément. Toujours vérifier la direction du mouvement avant d’appliquer le signe. | | **Utiliser la formule classique pour des vitesses proches de $c$** | On applique $f' = f_{0}\frac{c\pm v_{o}}{c\mp v_{s}}$ alors que $v$ n’est plus négligeable devant $c$. | Vérifier le rapport $v/c$. Si $v/c > 0,01$ (ou selon la précision demandée), utiliser la forme relativiste $f' = f_{0}\sqrt{(1\mp\beta)/(1\pm\beta)}$. | | **Oublier le facteur 2 dans l’effet Doppler aller‑retour** (radar, échographie, sonar) | On considère seulement le décalage subi lors de l’allée ou du retour, oubliant que la réflexion agit comme une seconde étape. | Toujours se demander : « Combien de fois l’onde rencontre‑t‑elle un objet en mouvement ? » Pour une réflexion, multiplier par 2. | | **Mélanger longueur d’onde et fréquence** lors du calcul du décalage rouge | On utilise $\Delta\lambda/\lambda_{0}=v/c$ alors que la relation exacte implique la racine carrée pour des vitesses relativistes. | Pour $z\ll1$, l’approximation $z\approx v/c$ est valable ; sinon, utiliser la formule complète $1+z = \sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$. | | **Ne pas convertir les unités** (km/h → m/s, MHz → Hz) | L’erreur d’un facteur 1000 ou 10⁶ conduit à des résultats absurdes. | Toujours écrire les unités explícitement et effectuer les conversions avant de substituer dans les formules. | | **Negliger l’angle $\theta$** dans les formules comportant $\cos\theta$ (échographie, radar) | On suppose que le mouvement est parfaitement radial alors qu’il peut être oblique. | Identifier clairement la composante radiale de la vitesse : $v_{r}=v\cos\theta$. Dessiner un schéma si nécessaire. | --- *Fin du cours.* Vous disposez maintenant d’une présentation complète de l’effet Doppler, de ses manifestations acoustiques et électromagnétiques, de ses applications technologiques, ainsi que d’outils méthodologiques (formules, démonstrations, exemples, exercices et pièges à éviter) permettant de réussir l’épreuve du baccalauréat camerounais en physique, séries C et E. Bon travail et bonne révision !