MODULE 2: LES TABLEAUX STATISTIQUES DES SERIES DISCRETES

## 1. Introduction Bienvenue dans ce module sur les séries statistiques discrètes ! En statistique, il est essentiel d'organiser les données de manière claire et concise pour pouvoir les analyser. Un tableau statistique est un outil fondamental pour cela. Dans cette leçon, nous allons apprendre à construire et à interpréter des tableaux pour les séries statistiques discrètes, en nous concentrant sur les effectifs, les fréquences, et leurs versions cumulées. ## 2. Concepts Clés ### 2.1 Qu'est-ce qu'une Série Statistique Discrète ? Une **série statistique discrète** est une série où la variable étudiée ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs isolées. Ces valeurs sont souvent des nombres entiers qui résultent d'un comptage. Il n'y a pas de valeurs intermédiaires possibles entre deux modalités. * **Exemples :** * Le nombre d'enfants par famille (on ne peut pas avoir 2,5 enfants). * Le nombre de pièces dans un logement. * La note d'un élève à un contrôle sur 20 points (si les notes sont des entiers). ### 2.2 Effectifs et Fréquences #### 2.2.1 L'Effectif (ou Effectif Absolu) L'**effectif** d'une valeur (ou modalité) est le nombre de fois que cette valeur apparaît dans la série statistique. * Il est souvent noté \( n_i \) pour la \( i \)-ième valeur. * L'**effectif total** de la série, noté \( N \), est la somme de tous les effectifs. Il représente le nombre total d'individus dans l'étude : \[ N = \sum n_i \] #### 2.2.2 La Fréquence (ou Fréquence Relative) La **fréquence** d'une valeur est la proportion de cette valeur par rapport à l'effectif total. Elle s'exprime généralement en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage. * La formule est : \[ f_i = \frac{n_i}{N} \] * **Propriétés :** * \( 0 \le f_i \le 1 \) (ou \( 0\% \le f_i \le 100\% \) si exprimée en pourcentage). * La somme de toutes les fréquences est égale à 1 (ou 100%) : \( \sum f_i = 1 \). ### 2.3 Effectifs et Fréquences Cumulés Les effectifs et fréquences cumulés sont particulièrement utiles pour répondre à des questions du type "combien de... ont une valeur inférieure ou égale à... ?". #### 2.3.1 L'Effectif Cumulé Croissant (ECC) L'**effectif cumulé croissant** d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur. * Il est noté \( ECC_k \) pour la \( k \)-ième valeur. * La formule est : \[ ECC_k = \sum_{i=1}^{k} n_i \] * Le dernier effectif cumulé croissant est toujours égal à l'effectif total \( N \). #### 2.3.2 La Fréquence Cumulée Croissante (FCC) La **fréquence cumulée croissante** d'une valeur est la somme des fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur. * Elle est notée \( FCC_k \) pour la \( k \)-ième valeur. * La formule est : \[ FCC_k = \sum_{i=1}^{k} f_i \] ou \[ FCC_k = \frac{ECC_k}{N} \] * La dernière fréquence cumulée croissante est toujours égale à 1 (ou 100%). ### 2.4 Construction d'un Tableau Statistique Un tableau statistique pour une série discrète comporte généralement les colonnes suivantes : 1. **Valeur de la variable (\( x_i \)) :** Liste de toutes les valeurs distinctes que la variable peut prendre, généralement triées par ordre croissant. 2. **Effectif (\( n_i \)) :** Nombre de fois que chaque valeur apparaît. 3. **Fréquence (\( f_i \)) :** \( \frac{n_i}{N} \) pour chaque valeur. 4. **Effectif Cumulé Croissant (ECC) :** Somme des effectifs jusqu'à la valeur courante. 5. **Fréquence Cumulée Croissante (FCC) :** Somme des fréquences jusqu'à la valeur courante (ou ECC/N). ## 3. Vocabulaire Important * **Série statistique discrète :** Ensemble de données où les valeurs sont distinctes et dénombrables. * **Variable statistique :** Caractère étudié (ex: âge, note, nombre d'enfants). * **Modalité (ou valeur) :** Une des catégories ou valeurs possibles de la variable statistique. * **Effectif (absolu) :** Nombre d'occurrences d'une modalité. * **Effectif total (N) :** Nombre total d'individus ou d'observations dans la série. * **Fréquence (relative) :** Proportion d'une modalité par rapport à l'effectif total. * **Effectif cumulé croissant (ECC) :** Somme des effectifs pour les modalités inférieures ou égales à une certaine modalité. * **Fréquence cumulée croissante (FCC) :** Somme des fréquences pour les modalités inférieures ou égales à une certaine modalité. * **Tableau statistique :** Organisation structurée des données d'une série statistique. ## 4. Exemple Pratique Voici les notes (sur 5) obtenues par 20 élèves à un mini-test de mathématiques : 3, 4, 2, 3, 5, 1, 3, 4, 2, 3, 5, 4, 3, 2, 1, 5, 3, 4, 2, 3 Construisons le tableau statistique complet : 1. **Trier les données :** 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 2. **Identifier les valeurs distinctes (\( x_i \)) :** 1, 2, 3, 4, 5 3. **Calculer les effectifs (\( n_i \)) :** * Pour 1 : 2 élèves * Pour 2 : 4 élèves * Pour 3 : 6 élèves * Pour 4 : 4 élèves * Pour 5 : 3 élèves * *Effectif total (N) =* \( 2+4+6+4+3 = 19 \). *Correction: initial data had 20 students. Let's re-count from initial data.* 3, 4, 2, 3, 5, 1, 3, 4, 2, 3, 5, 4, 3, 2, 1, 5, 3, 4, 2, 3. Re-count: 1 (2), 2 (4), 3 (7), 4 (4), 5 (3). Total = 2+4+7+4+3 = 20. Ok, N=20. * For 1: 2 students * For 2: 4 students * For 3: 7 students * For 4: 4 students * For 5: 3 students * *Effectif total (N) =* \( 2+4+7+4+3 = 20 \). 4. **Calculer les fréquences (\( f_i \)) :** * Pour 1 : \( 2/20 = 0,10 \) (ou 10%) * Pour 2 : \( 4/20 = 0,20 \) (ou 20%) * Pour 3 : \( 7/20 = 0,35 \) (ou 35%) * Pour 4 : \( 4/20 = 0,20 \) (ou 20%) * Pour 5 : \( 3/20 = 0,15 \) (ou 15%) * *Somme des fréquences =* \( 0,10+0,20+0,35+0,20+0,15 = 1,00 \) (ou 100%) 5. **Calculer les effectifs cumulés croissants (ECC) :** * Pour 1 : \( 2 \) * Pour 2 : \( 2+4 = 6 \) * Pour 3 : \( 6+7 = 13 \) * Pour 4 : \( 13+4 = 17 \) * Pour 5 : \( 17+3 = 20 \) 6. **Calculer les fréquences cumulées croissantes (FCC) :** * Pour 1 : \( 0,10 \) * Pour 2 : \( 0,10+0,20 = 0,30 \) * Pour 3 : \( 0,30+0,35 = 0,65 \) * Pour 4 : \( 0,65+0,20 = 0,85 \) * Pour 5 : \( 0,85+0,15 = 1,00 \) | Notes (\( x_i \)) | Effectif (\( n_i \)) | Fréquence (\( f_i \)) | ECC | FCC | |---|---|---|---|---| | 1 | 2 | 0,10 | 2 | 0,10 | | 2 | 4 | 0,20 | 6 | 0,30 | | 3 | 7 | 0,35 | 13 | 0,65 | | 4 | 4 | 0,20 | 17 | 0,85 | | 5 | 3 | 0,15 | 20 | 1,00 | | **Total** | **20** | **1,00** | | | *Interprétation :* * 13 élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 3. * 85% des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 4. ## 5. Exercices **Exercice 1 : Nombre de frères et sœurs** Voici le nombre de frères et sœurs d'un groupe de 15 amis : 2, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 3, 0, 1, 2 Construisez le tableau statistique complet (valeurs, effectifs, fréquences, ECC, FCC). **Exercice 2 : Analyse d'un tableau** Un professeur a relevé le nombre de livres lus par mois par ses 25 élèves. Voici le tableau des résultats : | Nombre de livres (\( x_i \)) | Effectif (\( n_i \)) | Fréquence (\( f_i \)) | ECC | FCC | |---|---|---|---|---| | 0 | 3 | 0,12 | 3 | 0,12 | | 1 | 8 | 0,32 | 11 | 0,44 | | 2 | 10 | 0,40 | 21 | 0,84 | | 3 | 4 | 0,16 | 25 | 1,00 | | **Total** | **25** | **1,00** | | | Répondez aux questions suivantes : 1. Combien d'élèves lisent exactement 2 livres par mois ? 2. Quel est le pourcentage d'élèves qui lisent 0 livre par mois ? 3. Combien d'élèves lisent 2 livres ou moins par mois ? 4. Quel est le pourcentage d'élèves qui lisent au moins 1 livre par mois ? ## 6. Devoir à la Maison **Devoir 1 : Couleur de T-shirt** Dans un groupe de 30 personnes, on a demandé la couleur de leur T-shirt préféré (les réponses ont été codées : 1 pour rouge, 2 pour bleu, 3 pour vert, 4 pour jaune, 5 pour noir) : 1, 2, 2, 3, 1, 4, 5, 2, 3, 1, 2, 4, 3, 5, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 5, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 4 1. Construisez le tableau statistique complet pour cette série (\( x_i \) = code couleur, \( n_i \), \( f_i \), ECC, FCC). 2. Donnez le pourcentage de personnes préférant le T-shirt bleu. 3. Combien de personnes préfèrent un T-shirt rouge ou vert ? ## 7. Résumé * Les **séries statistiques discrètes** sont caractérisées par des valeurs distinctes et dénombrables. * Les **tableaux statistiques** sont essentiels pour organiser et visualiser ces données. * L'**effectif (\( n_i \))** est le nombre d'apparitions d'une valeur. * La **fréquence (\( f_i \))** est la proportion de l'effectif par rapport à l'effectif total (\( f_i = n_i/N \)). * Les **effectifs cumulés croissants (ECC)** et **fréquences cumulées croissantes (FCC)** permettent de répondre facilement aux questions portant sur des cumuls ("inférieur ou égal à..."). * La construction rigoureuse de ces tableaux est une compétence fondamentale en statistique pour la suite de vos apprentissages.