Chap15: Repérage d'un point sur une droite

# Chap15: Repérage d'un point sur une droite ## Demi-droite graduée, droite graduée : Origine, unité, abscisse d'un point ### Introduction Bonjour les élèves ! Aujourd'hui, nous allons apprendre à situer des points sur une ligne droite. C'est un peu comme donner une adresse à un point pour le retrouver facilement. Nous allons découvrir ce qu'est une demi-droite graduée, une droite graduée, et comment utiliser l'origine, l'unité et l'abscisse pour cela. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une droite et une demi-droite ? * **Une droite** est un trait droit qui n'a ni début ni fin. Elle s'étend à l'infini dans les deux sens. On ne peut pas la dessiner en entier ! * **Une demi-droite** est un trait droit qui a un début, un point de départ, mais pas de fin. Elle s'étend à l'infini dans un seul sens. #### La demi-droite graduée Pour pouvoir situer des points sur une demi-droite, on va la "graduer", c'est-à-dire y marquer des repères avec des nombres. * **L'Origine :** C'est le point de départ de notre demi-droite graduée. On lui associe toujours le nombre \(0\). C'est le début de notre "chemin". * **L'Unité :** C'est la distance que l'on choisit entre deux repères consécutifs (qui se suivent) sur la demi-droite. C'est comme la taille d'un pas. Si l'unité est de 1 cm, alors chaque pas de 1 cm correspond à un nombre en plus. On marque généralement le \(1\) à la distance d'une unité de l'origine. * **Les Graduations :** Ce sont les petits traits que l'on marque sur la demi-droite pour indiquer les nombres (\(0, 1, 2, 3, ...\)). Voici comment ça peut ressembler : ``` 0 1 2 3 4 5 ... |---|---|---|---|---|----> ``` Ici, l'origine est \(0\) et l'unité est la distance entre \(0\) et \(1\), entre \(1\) et \(2\), etc. #### La droite graduée Une droite graduée est comme une demi-droite graduée, mais elle s'étend dans les deux sens à partir de l'origine. Elle a aussi une **origine** (le point \(0\)) et une **unité**. Pour les premières années, nous nous concentrerons sur la partie positive, mais sachez qu'elle existe aussi de l'autre côté de l'origine. #### L'abscisse d'un point Quand un point est placé sur une demi-droite ou une droite graduée, le nombre qui lui correspond s'appelle son **abscisse**. C'est son "adresse" sur la ligne. Par exemple, sur la demi-droite graduée ci-dessous : ``` 0 1 2 3 4 5 ... |---|---|---|---|---|----> A B ``` * Le point A est situé sur la graduation \(1\). Donc, l'abscisse du point A est \(1\). On écrit \(A(1)\). * Le point B est situé sur la graduation \(4\). Donc, l'abscisse du point B est \(4\). On écrit \(B(4)\). ### Vocabulaire * **Droite :** Un trait droit sans début ni fin. * **Demi-droite :** Un trait droit avec un début mais pas de fin. * **Demi-droite graduée :** Une demi-droite sur laquelle on a marqué des nombres à intervalles réguliers. * **Origine :** Le point de départ d'une demi-droite graduée ou le point central d'une droite graduée, correspondant au nombre \(0\). * **Unité :** La distance choisie entre deux graduations successives. * **Graduation :** Un repère, un petit trait sur la droite ou la demi-droite qui indique un nombre. * **Abscisse :** Le nombre qui correspond à la position d'un point sur une droite ou une demi-droite graduée. ### Exemples **Exemple 1 : Trouver l'abscisse d'un point** Regardons cette demi-droite graduée avec une unité de 1 cm. ``` 0 cm 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm |-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----> C D ``` * Quel est l'abscisse du point C ? Le point C est sur le \(2\). Donc, l'abscisse de C est \(2\). \(C(2)\). * Quel est l'abscisse du point D ? Le point D est sur le \(5\). Donc, l'abscisse de D est \(5\). \(D(5)\). **Exemple 2 : Placer un point dont on connaît l'abscisse** Tracez une demi-droite graduée avec une origine \(O\) et une unité de \(2\) carreaux. Placez le point E d'abscisse \(3\) et le point F d'abscisse \(6\). * Je commence par tracer ma demi-droite, je marque \(0\) (l'origine). * Mon unité est de \(2\) carreaux. Donc, je marque \(1\) à \(2\) carreaux de \(0\), puis \(2\) à \(2\) carreaux de \(1\), et ainsi de suite. * Pour le point E d'abscisse \(3\), je compte \(3\) unités (soit \(3 \times 2 = 6\) carreaux) à partir de l'origine et je place mon point E. * Pour le point F d'abscisse \(6\), je compte \(6\) unités (soit \(6 \times 2 = 12\) carreaux) à partir de l'origine et je place mon point F. ``` 0 1 2 3 4 5 6 |-------|-------|-------|-------|-------|-------|-----> (2 carreaux = 1 unité) E F ``` ### Exercices 1. Trace une demi-droite graduée. Choisis une unité de \(3\) carreaux. Place l'origine \(O(0)\) puis les points \(G(2)\), \(H(5)\) et \(I(1)\). 2. Observe la demi-droite graduée ci-dessous. ``` 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|-----> J K L M ``` Quelles sont les abscisses des points J, K, L et M ? Écris-les comme dans l'exemple: \(J(...)\). 3. Sur une autre demi-droite graduée avec une unité de \(1\) cm, marque les points dont les abscisses sont \(0, 3, 7, 10\). ### Devoirs 1. Sur une feuille à carreaux, trace une demi-droite graduée. Prends comme unité \(4\) carreaux (soit \(2\) cm). a. Place le point \(A\) d'abscisse \(0\). b. Place le point \(B\) d'abscisse \(4\). c. Place le point \(C\) d'abscisse \(2\). d. Place le point \(D\) d'abscisse \(7\). 2. Dessine une droite graduée (juste la partie positive avec \(0, 1, 2, ...\)) et place dessus un point \(P\) dont l'abscisse est \(3\) et un point \(Q\) dont l'abscisse est \(8\). Choisis toi-même ton unité. 3. Écris une phrase pour expliquer ce qu'est l'abscisse d'un point. ### Résumé * Une **demi-droite graduée** a une **origine** (le point \(0\)) et une **unité** (la distance entre deux graduations). * Chaque point sur cette demi-droite est repéré par un nombre appelé son **abscisse**. * Pour placer un point, on compte les unités à partir de l'origine. * Pour trouver l'abscisse d'un point, on lit le nombre sous la graduation où il se trouve. ## Milieu d'un segment ; Distance entre deux points d’abscisses données droite graduée : Origine, unité, abscisse d'un point ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre essentiel des mathématiques ! Nous allons explorer comment situer précisément des points sur une ligne droite. Vous apprendrez à utiliser une "droite graduée" pour repérer chaque point grâce à un nombre unique appelé son abscisse. Ensuite, nous découvrirons comment calculer le point central d'un segment, appelé son milieu, et comment déterminer la distance exacte entre deux points donnés sur cette droite. Ces compétences sont fondamentales et vous serviront dans de nombreux domaines des mathématiques. ### Concepts Clés #### La Droite Graduée Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi : * Une **origine** : C'est le point de départ, généralement noté `O`, dont l'abscisse est \( 0 \). * Un **sens** : Une direction privilégiée, indiquée par une flèche (souvent vers la droite), qui définit le sens des nombres positifs. * Une **unité de longueur** : C'est une longueur de référence, qui permet de graduer la droite régulièrement. #### Abscisse d'un point Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre unique appelé son **abscisse**. On note l'abscisse d'un point `M` par \( x_M \). * Les nombres positifs sont à droite de l'origine. * Les nombres négatifs sont à gauche de l'origine. #### Milieu d'un Segment Le **milieu** d'un segment est le point qui se trouve exactement au centre de ce segment, à égale distance de ses deux extrémités. Si vous avez deux points `A` et `B` sur une droite graduée, avec les abscisses \( x_A \) et \( x_B \) respectivement, alors l'abscisse du milieu `M` du segment `[AB]` est donnée par la formule : \[ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \] #### Distance entre Deux Points La **distance** entre deux points `A` et `B` sur une droite graduée est la longueur du segment `[AB]`. Pour la calculer, on utilise la valeur absolue de la différence de leurs abscisses. Si les abscisses des points `A` et `B` sont \( x_A \) et \( x_B \), la distance `AB` (ou \( d(A,B) \)) est donnée par la formule : \[ d(A,B) = |x_B - x_A| \] La valeur absolue garantit que la distance est toujours un nombre positif ou nul. On peut aussi l'écrire \( |x_A - x_B| \), le résultat sera le même. ### Vocabulaire * **Droite graduée** : Droite munie d'une origine, d'un sens et d'une unité de longueur. * **Origine** : Le point de référence (abscisse \( 0 \)) sur une droite graduée. * **Unité de longueur** : La longueur de base utilisée pour graduer la droite. * **Sens** : La direction positive sur la droite graduée. * **Abscisse** : Le nombre qui identifie la position unique d'un point sur une droite graduée. * **Segment** : Une portion de droite délimitée par deux points. * **Milieu** : Le point qui partage un segment en deux parties de même longueur. * **Distance** : La longueur d'un segment reliant deux points. ### Exemples #### Exemple 1: Repérage de points Sur une droite graduée, placez les points suivants : * `A` d'abscisse \( 3 \) * `B` d'abscisse \( -2 \) * `C` d'abscisse \( 0.5 \) #### Exemple 2: Calcul du milieu d'un segment Soient les points `D` d'abscisse \( -3 \) et `E` d'abscisse \( 7 \). Trouvons l'abscisse du milieu `M` du segment `[DE]` : \( x_M = \frac{x_D + x_E}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) L'abscisse du milieu `M` est \( 2 \). #### Exemple 3: Calcul de la distance entre deux points Soient les points `F` d'abscisse \( 1 \) et `G` d'abscisse \( 8 \). Calculons la distance `FG` : \( d(F,G) = |x_G - x_F| = |8 - 1| = |7| = 7 \) La distance entre `F` et `G` est \( 7 \) unités. Soient les points `H` d'abscisse \( -5 \) et `I` d'abscisse \( 2 \). Calculons la distance `HI` : \( d(H,I) = |x_I - x_H| = |2 - (-5)| = |2 + 5| = |7| = 7 \) La distance entre `H` et `I` est \( 7 \) unités. ### Exercices 1. **Repérage :** Tracez une droite graduée et placez les points suivants : * `P` d'abscisse \( 4 \) * `Q` d'abscisse \( -1.5 \) * `R` d'abscisse \( 0 \) 2. **Milieu :** Soient les points `S` d'abscisse \( -4 \) et `T` d'abscisse \( 6 \). Calculez l'abscisse du milieu `K` du segment `[ST]`. 3. **Distance :** Calculez la distance entre les points suivants : * `U` d'abscisse \( 3 \) et `V` d'abscisse \( 10 \) * `W` d'abscisse \( -7 \) et `X` d'abscisse \( -2 \) ### Devoir à la maison 1. **Points fractionnaires :** Soient les points `A` d'abscisse \( \frac{1}{2} \) et `B` d'abscisse \( -\frac{3}{4} \). * Calculez l'abscisse du milieu `M` du segment `[AB]`. * Calculez la distance `AB`. 2. **Point manquant :** Le point `M` d'abscisse \( 5 \) est le milieu du segment `[CD]`. Si le point `C` a pour abscisse \( 2 \), quelle est l'abscisse du point `D` ? ### Résumé Dans ce chapitre, nous avons appris à maîtriser la notion de **droite graduée**, l'outil essentiel pour situer des points à l'aide de leur **abscisse**. Nous avons découvert que chaque point sur une droite graduée est identifié par un nombre unique. Nous avons également appris deux formules très importantes : * L'abscisse du **milieu** `M` d'un segment `[AB]` est \( x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \). * La **distance** entre deux points `A` et `B` est \( d(A,B) = |x_B - x_A| \). Ces concepts sont fondamentaux pour toutes les études géométriques et analytiques futures. Pratiquez-les bien pour les maîtriser parfaitement !