Chap1: Ensemble IN des entiers naturels

# Chap1: Ensemble IN des entiers naturels ## Entiers naturels ; lecture et écriture ### Introduction Bonjour les enfants ! Aujourd'hui, nous allons découvrir les nombres qui nous servent à compter tous les jours : les **entiers naturels**. Nous allons apprendre à les lire et à les écrire correctement. Ces nombres sont très importants car ils nous aident à savoir combien il y a de billes, de crayons ou d'amis autour de nous ! ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un entier naturel ? * Les **entiers naturels** sont les nombres que nous utilisons pour compter des choses entières. Ils commencent à zéro et continuent pour toujours : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, et ainsi de suite. * Ils n'ont pas de virgule, pas de fractions et ne sont pas des nombres négatifs. * On utilise parfois le symbole \( \mathbb{N} \) pour parler de l'ensemble de tous les entiers naturels. #### Le système de numération décimale * Nous utilisons un système de numération appelé le **système décimal**. Cela signifie que nous comptons en groupes de dix. * Nous avons 10 **chiffres** pour écrire tous les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. * La position d'un chiffre dans un nombre est très importante. Chaque position a une valeur différente : * **Unités** (le premier chiffre à droite) * **Dizaines** (le deuxième chiffre à droite, il représente des groupes de 10) * **Centaines** (le troisième chiffre à droite, il représente des groupes de 100) * **Milliers** (le quatrième chiffre à droite, il représente des groupes de 1000) Etc. #### Lire les entiers naturels * Pour lire un grand nombre, il faut le découper en tranches de trois chiffres, en commençant par la droite. On utilise des espaces pour séparer ces tranches. * Chaque tranche a un nom : les unités simples, les milliers, les millions, etc. * Exemple : Le nombre 1 234 567 se lit un million deux cent trente-quatre mille cinq cent soixante-sept. * On lit chaque tranche de gauche à droite. #### Écrire les entiers naturels * Pour écrire un nombre que l'on vous dicte, il faut bien écouter la valeur de chaque chiffre ou de chaque tranche. * N'oubliez pas d'utiliser un espace pour séparer les tranches de trois chiffres. C'est plus facile à lire ! * Exemple : "Cent cinquante-huit" s'écrit 158. * Exemple : "Trois mille deux cents" s'écrit 3 200. ### Vocabulaire * **Entier naturel** : Un nombre entier positif ou nul utilisé pour compter (0, 1, 2, 3...). \( \mathbb{N} \). * **Chiffre** : Un symbole utilisé pour écrire les nombres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). * **Nombre** : Une quantité exprimée à l'aide de chiffres. * **Unité** : La valeur du chiffre à l'extrême droite d'un nombre (par exemple, le 3 dans 23). * **Dizaine** : La valeur du deuxième chiffre à droite d'un nombre (par exemple, le 2 dans 23 représente 20). * **Centaine** : La valeur du troisième chiffre à droite d'un nombre (par exemple, le 1 dans 123 représente 100). * **Mille** : Égale à 10 centaines (1 000). * **Million** : Égale à 1 000 milliers (1 000 000). * **Système décimal** : Un système de numération basé sur des groupes de dix. ### Exemples #### Lire ces nombres : * 25 : vingt-cinq * 147 : cent quarante-sept * 3 456 : trois mille quatre cent cinquante-six * 12 000 : douze mille * 5 789 123 : cinq millions sept cent quatre-vingt-neuf mille cent vingt-trois #### Écrire ces nombres en chiffres : * Vingt-trois : 23 * Cent soixante-douze : 172 * Cinq mille quarante : 5 040 * Un million deux cent mille : 1 200 000 ### Exercices 1. **Lis à voix haute les nombres suivants :** * 8 * 42 * 305 * 7 001 * 23 456 2. **Écris en chiffres les nombres suivants :** * Quatorze * Deux cent cinquante-neuf * Huit mille trois cents 3. **Quelle est la valeur du chiffre '5' dans chaque nombre ?** * Dans 523 : C'est le chiffre des __________, il vaut _________. * Dans 150 : C'est le chiffre des __________, il vaut _________. ### Devoirs à la maison 1. **Écris en toutes lettres (en mots) les nombres suivants :** * 99 * 101 * 1 000 * 10 000 * 4 321 000 2. **Écris en chiffres les nombres suivants :** * Trente-sept * Six cent huit * Neuf mille neuf * Deux millions cinq cent mille quatorze ### Résumé Nous avons appris aujourd'hui que les **entiers naturels** sont les nombres que nous utilisons pour compter, comme 0, 1, 2, 3... et qu'ils n'ont pas de virgule. Nous utilisons le **système décimal** avec 10 chiffres (0 à 9). La position d'un chiffre est très importante pour connaître sa valeur (unités, dizaines, centaines...). Pour lire et écrire de grands nombres, il faut les regrouper par tranches de trois chiffres. Bravo pour tous vos efforts ! ## Entiers naturels et ordre - Entiers naturels consécutifs – Nombre d’entiers consécutifs entre deux entiers ### Introduction Bienvenue dans ce cours de mathématiques ! Aujourd'hui, nous allons découvrir un type de nombres très spécial et très utile : les nombres entiers naturels. Ce sont les nombres que tu utilises tous les jours pour compter des objets, des amis, ou tes jouets. Nous allons apprendre à les reconnaître, à les ranger, et à comprendre ce que sont les nombres qui se suivent, appelés "consécutifs". ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que les nombres entiers naturels ? Les **nombres entiers naturels** sont les nombres que nous utilisons pour compter. Ils commencent à zéro et continuent à l'infini, sans virgule ni fraction. * Les nombres entiers naturels sont : \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \), et ainsi de suite. * On utilise parfois un grand N pour les représenter : \( \mathbb{N} \). * Chaque nombre entier naturel a un successeur (le nombre juste après) et, sauf pour 0, un prédécesseur (le nombre juste avant). #### L'ordre des nombres entiers naturels Il est important de savoir comment les nombres entiers naturels sont ordonnés. Cela nous aide à les comparer. * **Comparer les nombres** : C'est dire si un nombre est plus grand que, plus petit que ou égal à un autre nombre. * **Plus grand que** : On utilise le signe \( > \). Par exemple, \( 5 > 3 \) (cinq est plus grand que trois). * **Plus petit que** : On utilise le signe \( < \). Par exemple, \( 2 < 7 \) (deux est plus petit que sept). * **Égal à** : On utilise le signe \( = \). Par exemple, \( 4 = 4 \) (quatre est égal à quatre). * Quand on compte, les nombres sont rangés dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand). #### Les nombres entiers naturels consécutifs Des nombres **consécutifs** sont des nombres entiers naturels qui se suivent sans aucun autre nombre entre eux. * Pour trouver le nombre consécutif d'un nombre, il suffit d'ajouter \( 1 \). * Exemple : Le consécutif de \( 8 \) est \( 8 + 1 = 9 \). * Pour trouver le nombre précédent, il faut soustraire \( 1 \). * Exemple : Le nombre qui précède \( 8 \) est \( 8 - 1 = 7 \). * Deux nombres sont consécutifs s'ils sont côte à côte dans la suite naturelle des nombres, comme \( 10 \) et \( 11 \), ou \( 25 \) et \( 26 \). #### Compter le nombre d'entiers consécutifs entre deux entiers Parfois, on veut savoir combien de nombres il y a entre deux nombres donnés (en les incluant). * Pour compter le nombre d'entiers consécutifs de \( A \) à \( B \) (où \( A \) est le plus petit nombre et \( B \) le plus grand nombre), on utilise la règle suivante : \[ \text{Nombre d'entiers} = (\text{Plus grand nombre} - \text{Plus petit nombre}) + 1 \] * Exemple : Combien y a-t-il de nombres de \( 3 \) à \( 7 \) inclus ? * Les nombres sont : \( 3, 4, 5, 6, 7 \). * Si on les compte, il y en a \( 5 \). * En utilisant la formule : \( (7 - 3) + 1 = 4 + 1 = 5 \). ### Vocabulaire * **Entier naturel** : Un nombre que l'on utilise pour compter (\( 0, 1, 2, 3, ... \)). * **Ordre** : La façon dont les nombres sont rangés (du plus petit au plus grand, ou inversement). * **Consécutif** : Se dit de nombres qui se suivent immédiatement dans la suite naturelle (par exemple, \( 5 \) et \( 6 \)). * **Plus grand que** : Utilise le signe \( > \). * **Plus petit que** : Utilise le signe \( < \). * **Égal à** : Utilise le signe \( = \). ### Exemples 1. **Identifier les entiers naturels** : * Lesquels de ces nombres sont des entiers naturels ? \( 7, 3.5, 0, \frac{1}{2}, 100 \). * Réponse : \( 7, 0, 100 \) sont des entiers naturels. 2. **Comparer des nombres** : * Compare \( 15 \) et \( 9 \) : \( 15 > 9 \). * Compare \( 20 \) et \( 20 \) : \( 20 = 20 \). * Compare \( 4 \) et \( 11 \) : \( 4 < 11 \). 3. **Trouver des nombres consécutifs** : * Quel est le nombre consécutif de \( 12 \) ? Réponse : \( 13 \). * Quels sont les trois nombres consécutifs qui commencent par \( 23 \) ? Réponse : \( 23, 24, 25 \). 4. **Compter des entiers consécutifs** : * Combien y a-t-il de nombres entiers de \( 1 \) à \( 5 \) inclus ? * Les nombres sont : \( 1, 2, 3, 4, 5 \). * Il y en a \( (5 - 1) + 1 = 4 + 1 = 5 \) nombres. ### Exercices 1. Écris les cinq premiers nombres entiers naturels. 2. Compare les nombres suivants en utilisant \( < \), \( > \) ou \( = \) : * \( 8 \) \( \text{____} \) \( 6 \) * \( 14 \) \( \text{____} \) \( 19 \) * \( 25 \) \( \text{____} \) \( 25 \) 3. Quel est le nombre consécutif de \( 30 \) ? 4. Écris trois nombres consécutifs qui suivent \( 48 \). 5. Combien de nombres entiers y a-t-il de \( 10 \) à \( 13 \) inclus ? (Liste-les et utilise la formule). ### Devoirs 1. Donne un exemple de trois nombres entiers naturels consécutifs différents de ceux vus en classe. 2. Range les nombres suivants du plus petit au plus grand : \( 17, 3, 22, 9, 0, 1 \). 3. Combien de nombres entiers y a-t-il de \( 20 \) à \( 26 \) inclus ? 4. Trouve le nombre qui précède et le nombre qui suit : * \( \text{____} \) \( 99 \) \( \text{____} \) * \( \text{____} \) \( 10 \) \( \text{____} \) ### Résumé Dans cette leçon, tu as appris que les **nombres entiers naturels** sont les nombres que l'on utilise pour compter, à partir de \( 0 \). Tu sais maintenant comment **ordonner** ces nombres en utilisant \( < \), \( > \) et \( = \). Tu as aussi découvert que les nombres **consécutifs** sont ceux qui se suivent directement. Enfin, tu as appris une astuce pour **compter combien de nombres** il y a entre deux entiers donnés en utilisant la formule simple : \( (\text{Plus grand} - \text{Plus petit}) + 1 \). Continue à t'exercer et ces concepts deviendront très faciles pour toi ! ## Addition, soustraction, multiplication et division de nombres entiers naturels -propriétés d’addition et de multiplication ### Introduction Bonjour à toutes et à tous ! Aujourd'hui, nous allons découvrir ou revoir les quatre grandes opérations que l'on utilise avec les nombres pour compter : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Nous allons aussi apprendre des astuces, appelées "propriétés", qui nous aident à calculer plus facilement, surtout pour l'addition et la multiplication. Prêts à explorer le monde des nombres ? ### Concepts Clés #### L'Ensemble \( \mathbb{N} \) des Entiers Naturels Les **nombres entiers naturels** sont les nombres que nous utilisons pour compter des objets : 0, 1, 2, 3, 4, 5, et ainsi de suite. Ils sont infinis ! On représente cet ensemble par le symbole \( \mathbb{N} \). #### L'Addition L'addition, c'est l'opération qui permet d'ajouter des quantités ensemble. Le résultat de l'addition s'appelle la **somme**. * **Exemple :** Si tu as 3 pommes et qu'on t'en donne 2 de plus, tu as \( 3 + 2 = 5 \) pommes. ##### Propriétés de l'addition * **Commutativité :** L'ordre des nombres n'a pas d'importance pour le résultat de l'addition. * \( a + b = b + a \) * **Exemple :** \( 4 + 7 = 11 \) et \( 7 + 4 = 11 \). * **Associativité :** Quand on additionne plusieurs nombres, la façon de les grouper ne change pas le résultat. * \( (a + b) + c = a + (b + c) \) * **Exemple :** \( (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 \) et \( 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 \). * **Élément neutre :** Ajouter zéro ne change pas le nombre. * \( a + 0 = a \) * **Exemple :** \( 9 + 0 = 9 \). #### La Soustraction La soustraction, c'est l'opération qui permet d'enlever une quantité d'une autre. Le résultat s'appelle la **différence**. * **Exemple :** Si tu as 8 biscuits et que tu en manges 3, il te reste \( 8 - 3 = 5 \) biscuits. * **Attention :** Pour la soustraction, l'ordre des nombres est très important ! \( 5 - 2 \) n'est pas la même chose que \( 2 - 5 \) si on reste dans les entiers naturels. #### La Multiplication La multiplication, c'est une façon rapide d'ajouter plusieurs fois le même nombre. Le résultat de la multiplication s'appelle le **produit**. * **Exemple :** Si tu as 3 sacs, et que chaque sac contient 4 billes, tu as \( 3 \times 4 = 12 \) billes. (C'est comme \( 4 + 4 + 4 \) ) ##### Propriétés de la multiplication * **Commutativité :** L'ordre des nombres n'a pas d'importance pour le résultat de la multiplication. * \( a \times b = b \times a \) * **Exemple :** \( 5 \times 2 = 10 \) et \( 2 \times 5 = 10 \). * **Associativité :** Quand on multiplie plusieurs nombres, la façon de les grouper ne change pas le résultat. * \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \) * **Exemple :** \( (1 \times 2) \times 4 = 2 \times 4 = 8 \) et \( 1 \times (2 \times 4) = 1 \times 8 = 8 \). * **Élément neutre :** Multiplier un nombre par 1 ne change pas le nombre. * \( a \times 1 = a \) * **Exemple :** \( 15 \times 1 = 15 \). * **Élément absorbant :** Multiplier un nombre par 0 donne toujours 0. * \( a \times 0 = 0 \) * **Exemple :** \( 7 \times 0 = 0 \). * **Distributivité :** La multiplication est "distributive" par rapport à l'addition (et la soustraction). Cela signifie qu'on peut distribuer la multiplication sur les nombres qu'on additionne ou soustrait à l'intérieur de parenthèses. * \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \) * **Exemple :** \( 3 \times (2 + 4) = 3 \times 6 = 18 \). C'est la même chose que \( (3 \times 2) + (3 \times 4) = 6 + 12 = 18 \). #### La Division La division, c'est l'opération qui permet de partager une quantité en parts égales ou de savoir combien de fois un nombre est contenu dans un autre. Le résultat s'appelle le **quotient**. * **Exemple :** Si tu as 10 bonbons et que tu veux les partager équitablement entre 2 amis, chacun aura \( 10 \div 2 = 5 \) bonbons. ##### Division euclidienne (ou division avec reste) Parfois, on ne peut pas partager tout parfaitement. Il reste un petit quelque chose. On parle alors de division euclidienne. * **Dividende :** Le nombre que l'on divise. * **Diviseur :** Le nombre par lequel on divise. * **Quotient :** Le résultat de la division (combien de parts entières). * **Reste :** Ce qui reste après le partage. La règle est : \( \text{Dividende} = (\text{Diviseur} \times \text{Quotient}) + \text{Reste} \), et le reste doit toujours être plus petit que le diviseur. * **Exemple :** Si tu as 17 chocolats et que tu veux les mettre dans des boîtes de 5 chocolats. Tu peux faire 3 boîtes pleines (\( 5 \times 3 = 15 \)) et il te restera 2 chocolats. * \( 17 = (5 \times 3) + 2 \) * Dividende = 17, Diviseur = 5, Quotient = 3, Reste = 2. ### Vocabulaire * **Entier naturel :** Un nombre positif sans virgule, utilisé pour compter (0, 1, 2, 3...). * **Somme :** Le résultat d'une addition. * **Terme :** Chacun des nombres que l'on additionne ou soustrait. * **Différence :** Le résultat d'une soustraction. * **Produit :** Le résultat d'une multiplication. * **Facteur :** Chacun des nombres que l'on multiplie. * **Quotient :** Le résultat d'une division. * **Dividende :** Le nombre que l'on divise dans une division. * **Diviseur :** Le nombre par lequel on divise dans une division. * **Reste :** Ce qui reste après une division euclidienne lorsque le partage n'est pas parfait. ### Exemples 1. **Addition :** \( 12 + 8 = 20 \) 2. **Soustraction :** \( 25 - 10 = 15 \) 3. **Multiplication :** \( 6 \times 7 = 42 \) 4. **Division :** \( 30 \div 5 = 6 \) 5. **Propriété d'addition (commutativité) :** \( 15 + 6 = 21 \) et \( 6 + 15 = 21 \) 6. **Propriété de multiplication (distributivité) :** * Calcule \( 4 \times (5 + 2) = 4 \times 7 = 28 \) * Ou bien \( (4 \times 5) + (4 \times 2) = 20 + 8 = 28 \) ### Exercices 1. Calcule : * \( 9 + 6 = \text{?} \) * \( 18 - 7 = \text{?} \) * \( 5 \times 8 = \text{?} \) * \( 24 \div 4 = \text{?} \) 2. Trouve le reste et le quotient de la division euclidienne de 20 par 3. 3. Écris un exemple pour la propriété d'associativité de l'addition. ### Devoirs 1. Calcule les opérations suivantes : * \( 13 + 7 + 10 = \text{?} \) * \( 35 - 12 = \text{?} \) * \( 9 \times 6 = \text{?} \) * \( 45 \div 5 = \text{?} \) 2. Un boulanger a 28 croissants. Il veut faire des paquets de 4 croissants. Combien de paquets peut-il faire ? Lui restera-t-il des croissants ? 3. Vrai ou Faux ? Justifie ta réponse pour les "Faux". * \( 7 + 0 = 7 \) (Vrai/Faux) * \( 5 - 3 = 3 - 5 \) (Vrai/Faux) * \( 4 \times 1 = 4 \) (Vrai/Faux) * \( 6 \times (2 + 3) = (6 \times 2) + 3 \) (Vrai/Faux) ### Résumé Nous avons appris aujourd'hui les bases des quatre opérations avec les nombres entiers naturels : * L'**addition** (qui donne une **somme**) et ses propriétés (commutativité, associativité, élément neutre 0). * La **soustraction** (qui donne une **différence**), où l'ordre est important. * La **multiplication** (qui donne un **produit**) et ses propriétés (commutativité, associativité, élément neutre 1, élément absorbant 0, distributivité). * La **division** (qui donne un **quotient** et parfois un **reste**), avec le dividende et le diviseur. Maîtriser ces opérations et leurs propriétés est essentiel pour tous les futurs calculs ! Continuez à vous entraîner !