Chap12. Parallélogramme

# Chap12. Parallélogramme ## Parallélogramme, losange, rectangle, carré, périmètre et aire. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre passionnant sur les formes géométriques ! Aujourd'hui, nous allons découvrir quatre figures importantes : le parallélogramme, le rectangle, le losange et le carré. Nous apprendrons à reconnaître leurs caractéristiques spéciales et à calculer leur périmètre (le tour de la figure) et leur aire (la surface qu'elles occupent). Préparez-vous à explorer le monde des formes ! ### Concepts Clés #### 1. Le Parallélogramme Un parallélogramme est une figure à quatre côtés (un quadrilatère) qui possède des propriétés très spécifiques : * **Côtés opposés parallèles :** Les côtés qui se font face sont parallèles (ils ne se croiseront jamais si on les prolonge). Par exemple, si on a un parallélogramme ABCD, le côté AB est parallèle au côté CD, et le côté BC est parallèle au côté AD. * **Côtés opposés de même longueur :** Les côtés qui se font face ont la même mesure. Donc, AB = CD et BC = AD. * **Angles opposés de même mesure :** Les angles qui se font face sont égaux. Par exemple, l'angle A est égal à l'angle C, et l'angle B est égal à l'angle D. * **Diagonales :** Les segments qui relient deux sommets opposés s'appellent des diagonales. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent toujours en leur milieu. #### 2. Les Parallélogrammes Particuliers Certains parallélogrammes ont des propriétés encore plus spécifiques et portent des noms différents. ##### a) Le Rectangle Un rectangle est un parallélogramme très spécial. C'est un quadrilatère qui a : * **Quatre angles droits :** Tous ses angles mesurent 90 degrés (l'angle d'un coin de table). * **Côtés opposés de même longueur et parallèles.** (Comme tout parallélogramme). * **Diagonales :** Les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu ET elles ont la même longueur. * **Périmètre d'un rectangle :** Pour calculer le périmètre (P) d'un rectangle, on additionne la longueur de tous ses côtés. Si L est la longueur et l est la largeur : \[ P = L + l + L + l = 2 imes (L + l) \] * **Aire d'un rectangle :** Pour calculer l'aire (A) d'un rectangle, on multiplie sa longueur par sa largeur : \[ A = L imes l \] ##### b) Le Losange Un losange est un autre type de parallélogramme. Il a : * **Quatre côtés de même longueur :** Tous ses côtés mesurent la même chose. * **Côtés opposés parallèles.** (Comme tout parallélogramme). * **Angles opposés de même mesure.** (Comme tout parallélogramme). * **Diagonales :** Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu ET elles sont perpendiculaires (elles forment un angle droit entre elles). * **Périmètre d'un losange :** Si c est la longueur d'un côté (puisqu'ils sont tous égaux) : \[ P = c + c + c + c = 4 imes c \] * **Aire d'un losange :** Si D est la longueur de la grande diagonale et d est la longueur de la petite diagonale : \[ A = \frac{D \times d}{2} \] ##### c) Le Carré Le carré est le plus spécial de tous ! C'est à la fois un rectangle ET un losange. Il a donc toutes les propriétés des deux : * **Quatre côtés de même longueur.** * **Quatre angles droits.** * **Diagonales :** Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires ET ont la même longueur. * **Périmètre d'un carré :** Si c est la longueur d'un côté : \[ P = 4 imes c \] * **Aire d'un carré :** Si c est la longueur d'un côté : \[ A = c imes c = c^2 \] #### 3. Le Périmètre Le périmètre est la **longueur du contour** d'une figure géométrique. Imagine que tu fais le tour de la figure, la distance que tu parcours est le périmètre. Il se mesure en unités de longueur (comme le centimètre (cm), le mètre (m), etc.). #### 4. L'Aire L'aire est la **mesure de la surface** occupée par une figure géométrique. C'est l'espace qu'elle prend sur une feuille, par exemple. Elle se mesure en unités de surface (comme le centimètre carré (cm²), le mètre carré (m²), etc.). ### Vocabulaire * **Parallélogramme :** Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. * **Rectangle :** Parallélogramme ayant quatre angles droits. * **Losange :** Parallélogramme ayant quatre côtés de même longueur. * **Carré :** Parallélogramme ayant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur (c'est un rectangle et un losange à la fois). * **Côté :** Segment qui forme le bord d'une figure. * **Angle droit :** Angle qui mesure 90 degrés (il forme un coin parfait). * **Diagonale :** Segment qui relie deux sommets non consécutifs d'un polygone. * **Parallèle :** Lignes qui ne se rencontrent jamais. * **Perpendiculaire :** Lignes qui se coupent en formant un angle droit. * **Périmètre :** La longueur du contour d'une figure. * **Aire :** La mesure de la surface occupée par une figure. * **Longueur (L) :** La dimension la plus longue d'une figure (comme un rectangle). * **Largeur (l) :** La dimension la moins longue d'une figure (comme un rectangle). ### Exemples #### Exemple 1 : Rectangle Un terrain de football est rectangulaire. Sa longueur est de 100 m et sa largeur est de 60 m. * **Calcul du périmètre :** \[ P = 2 \times (L + l) = 2 \times (100 ext{ m} + 60 ext{ m}) = 2 \times 160 ext{ m} = 320 ext{ m} \] Le périmètre du terrain est de 320 mètres. * **Calcul de l'aire :** \[ A = L imes l = 100 ext{ m} imes 60 ext{ m} = 6000 ext{ m}^2 \] L'aire du terrain est de 6000 mètres carrés. #### Exemple 2 : Carré Une table carrée a un côté de 80 cm. * **Calcul du périmètre :** \[ P = 4 \times c = 4 \times 80 ext{ cm} = 320 ext{ cm} \] Le périmètre de la table est de 320 centimètres. * **Calcul de l'aire :** \[ A = c imes c = 80 ext{ cm} imes 80 ext{ cm} = 6400 ext{ cm}^2 \] L'aire de la table est de 6400 centimètres carrés. #### Exemple 3 : Losange Un cerf-volant a la forme d'un losange. La longueur de ses côtés est de 50 cm. * **Calcul du périmètre :** \[ P = 4 \times c = 4 \times 50 ext{ cm} = 200 ext{ cm} \] Le périmètre du cerf-volant est de 200 centimètres. ### Exercices 1. **Vrai ou Faux :** * Un carré est toujours un rectangle. (Vrai/Faux) * Un rectangle est toujours un carré. (Vrai/Faux) * Les diagonales d'un parallélogramme ont toujours la même longueur. (Vrai/Faux) * Un losange a quatre côtés égaux. (Vrai/Faux) 2. Calcule le périmètre d'un rectangle dont la longueur est de 12 cm et la largeur de 5 cm. 3. Calcule l'aire d'un carré dont le côté mesure 7 mètres. 4. Dessine un parallélogramme qui n'est ni un rectangle ni un losange. ### Devoir à la maison 1. Une piscine rectangulaire mesure 20 mètres de long et 10 mètres de large. On veut mettre une clôture tout autour. Quelle longueur de clôture faut-il acheter ? Si on veut couvrir le fond de la piscine, quelle surface doit-on couvrir ? 2. Dessine un losange avec des diagonales de 6 cm et 8 cm. Calcule son aire. 3. Trouve dans ta maison un objet qui a la forme d'un rectangle, d'un carré et d'un parallélogramme (qui n'est ni rectangle ni carré). Décris leurs propriétés. 4. Un carré a un périmètre de 36 cm. Quelle est la longueur de son côté ? Quelle est son aire ? ### Résumé Nous avons appris à identifier et à décrire le **parallélogramme**, le **rectangle**, le **losange** et le **carré**. Chaque figure a ses propres caractéristiques, mais elles partagent toutes le fait d'être des quadrilatères. Nous avons également vu comment calculer le **périmètre** (le contour) et l'**aire** (la surface) de ces figures en utilisant des formules simples. Retenez bien les propriétés de chaque figure, car elles vous aideront à résoudre de nombreux problèmes en géométrie ! ## Propriétés : longueur des côtés opposés, diagonales, angles aux sommets opposés. ### Introduction Bienvenue à ce cours sur le parallélogramme ! Un parallélogramme est une forme géométrique très spéciale à quatre côtés. Dans cette leçon, nous allons explorer les propriétés uniques de ses côtés, de ses diagonales et de ses angles. Comprendre ces propriétés t'aidera à mieux travailler avec les figures géométriques. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un Parallélogramme ? Un **parallélogramme** est un quadrilatère (une figure à quatre côtés) dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. * Cela signifie que si tu as un parallélogramme ABCD, alors le côté AB est parallèle au côté CD, et le côté AD est parallèle au côté BC. #### Propriété 1 : Longueur des Côtés Opposés * Dans un parallélogramme, les côtés qui se font face (les côtés opposés) ont toujours la même longueur. * Si ABCD est un parallélogramme, cela veut dire que : * La longueur de AB est égale à la longueur de CD : \( AB = CD \) * La longueur de AD est égale à la longueur de BC : \( AD = BC \) #### Propriété 2 : Les Diagonales * Les **diagonales** d'un parallélogramme sont les segments qui relient deux sommets non consécutifs (qui ne sont pas côte à côte). * Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent exactement en leur milieu. * Le point où elles se coupent est le centre du parallélogramme. * Si les diagonales AC et BD d'un parallélogramme ABCD se coupent en un point O, alors : * O est le milieu du segment AC, donc \( AO = OC \) * O est le milieu du segment BD, donc \( BO = OD \) #### Propriété 3 : Les Angles ##### Angles aux Sommets Opposés * Dans un parallélogramme, les angles qui se font face (les angles opposés) ont la même mesure. * Si ABCD est un parallélogramme : * L'angle au sommet A a la même mesure que l'angle au sommet C : \( \hat{A} = \hat{C} \) * L'angle au sommet B a la même mesure que l'angle au sommet D : \( \hat{B} = \hat{D} \) ##### Angles aux Sommets Consécutifs * Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs (qui se suivent) sont **supplémentaires**. Cela signifie que la somme de leurs mesures est toujours de \( 180^ ext{o} \). * Si ABCD est un parallélogramme : * \( \hat{A} + \hat{B} = 180^ ext{o} \) * \( \hat{B} + \hat{C} = 180^ ext{o} \) * \( \hat{C} + \hat{D} = 180^ ext{o} \) * \( \hat{D} + \hat{A} = 180^ ext{o} \) ### Vocabulaire * **Parallélogramme :** Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. * **Quadrilatère :** Polygone à quatre côtés. * **Côté opposé :** Deux côtés d'un polygone qui se font face. * **Diagonale :** Segment reliant deux sommets non consécutifs d'un polygone. * **Milieu :** Point qui partage un segment en deux parties égales. * **Angle opposé :** Deux angles d'un polygone qui se font face et ne partagent pas de côté commun. * **Angle consécutif (ou adjacent) :** Deux angles d'un polygone qui partagent un côté commun. * **Supplémentaire :** Se dit de deux angles dont la somme des mesures est \( 180^ ext{o} \). * **Sommet :** Point où se rencontrent deux côtés d'un polygone. ### Exemples #### Exemple 1 : Longueur des côtés Soit un parallélogramme EFGH. Si le côté EF mesure \( 6 \text{ cm} \) et le côté FG mesure \( 4 \text{ cm} \). * Quelle est la longueur du côté GH ? Puisque GH est opposé à EF, alors \( GH = EF = 6 \text{ cm} \). * Quelle est la longueur du côté HE ? Puisque HE est opposé à FG, alors \( HE = FG = 4 \text{ cm} \). #### Exemple 2 : Diagonales Dans un parallélogramme IJKL, les diagonales IK et JL se coupent au point M. Si la longueur de IM est \( 5 \text{ cm} \) et la longueur de JL est \( 12 \text{ cm} \). * Quelle est la longueur de MK ? Puisque M est le milieu de IK, alors \( MK = IM = 5 \text{ cm} \). * Quelle est la longueur de JM ? Puisque M est le milieu de JL et que \( JL = 12 \text{ cm} \), alors \( JM = ML = JL / 2 = 12 / 2 = 6 \text{ cm} \). #### Exemple 3 : Angles Soit un parallélogramme NOPQ. Si l'angle au sommet N mesure \( 70^ ext{o} \). * Quelle est la mesure de l'angle P ? Puisque P est opposé à N, alors \( \hat{P} = \hat{N} = 70^ ext{o} \). * Quelle est la mesure de l'angle O ? Puisque O est consécutif à N, alors \( \hat{O} + \hat{N} = 180^ ext{o} \). Donc \( \hat{O} = 180^ ext{o} - 70^ ext{o} = 110^ ext{o} \). * Quelle est la mesure de l'angle Q ? Puisque Q est opposé à O, alors \( \hat{Q} = \hat{O} = 110^ ext{o} \). (On peut aussi dire que Q est consécutif à N, donc \( \hat{Q} = 180^ ext{o} - \hat{N} = 180^ ext{o} - 70^ ext{o} = 110^ ext{o} \)) ### Exercices 1. Nomme les côtés opposés et les angles opposés du parallélogramme RSTU. 2. Vrai ou Faux : Les diagonales d'un parallélogramme sont toujours de même longueur. 3. Dans un parallélogramme WXYZ, le côté WX mesure \( 8 \text{ cm} \) et le côté YZ mesure \( 8 \text{ cm} \). Le côté WZ mesure \( 5 \text{ cm} \). Combien mesure le côté XY ? 4. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent au point E. Si la longueur totale d'une diagonale est \( 16 \text{ cm} \), quelle est la distance entre un sommet et le point E ? 5. Si un angle d'un parallélogramme mesure \( 100^ ext{o} \), quelles sont les mesures des trois autres angles ? ### Devoirs 1. Dessine un parallélogramme ABCD. Mesure ses côtés et ses angles pour vérifier les propriétés que nous avons apprises. 2. Soit un parallélogramme FGHJ. Ses diagonales se coupent en K. Si \( FK = 7 \text{ cm} \) et \( GK = 5 \text{ cm} \), peux-tu trouver la longueur de HJ ? Justifie ta réponse. 3. Explique avec tes propres mots pourquoi les angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires. 4. Un menuisier veut fabriquer un cadre photo en forme de parallélogramme. Un côté mesure \( 20 \text{ cm} \) et l'autre côté mesure \( 30 \text{ cm} \). De quelles longueurs doit-il couper les autres côtés ? ### Résumé Félicitations ! Tu as maintenant appris les propriétés essentielles du parallélogramme : * **Côtés :** Les côtés opposés ont la même longueur (par exemple, \( AB = CD \)). * **Diagonales :** Les diagonales se coupent en leur milieu (par exemple, \( AO = OC \) et \( BO = OD \)). * **Angles :** Les angles opposés ont la même mesure (par exemple, \( \hat{A} = \hat{C} \)), et les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme est \( 180^ ext{o} \), par exemple, \( \hat{A} + \hat{B} = 180^ ext{o} \)). Ces propriétés sont très utiles pour reconnaître les parallélogrammes et pour résoudre des problèmes de géométrie.