CINEMATIQUE

# CINEMATIQUE ## Notions de cinématique (Généralités ; Position et trajectoire d'un point mobile ; Vecteur position ; Vecteur vitesse ; Vecteur accélération) # Notions de cinématique (Généralités ; Position et trajectoire d'un point mobile ; Vecteur position ; Vecteur vitesse ; Vecteur accélération)IntroductionLa cinématique est une branche de la mécanique qui décrit le mouvement des corps sans s'intéresser aux causes de ce mouvement (les forces). C'est la base pour comprendre comment les objets se déplacent. En mécanique appliquée, la cinématique nous permet d'analyser et de prédire la position, la vitesse et l'accélération d'un système.## Généralités sur la cinématique### Qu'est-ce que la cinématique ?La cinématique étudie le mouvement des objets. Elle répond aux questions "Où se trouve l'objet ?", "À quelle vitesse se déplace-t-il ?" et "Comment sa vitesse change-t-elle ?". Elle ne prend pas en compte les forces qui provoquent ces mouvements.### Point matérielEn cinématique, pour simplifier l'étude, on représente souvent un objet (voiture, balle, avion) par un "point matériel". Un point matériel est un objet dont la taille et la forme sont négligeables par rapport à l'étendue de son mouvement. Toute la masse de l'objet est alors considérée concentrée en ce point.### RéférentielPour décrire un mouvement, il est indispensable de choisir un **référentiel**. Un référentiel est un corps de référence par rapport auquel on étudie le mouvement. Il est constitué :* D'un **repère d'espace** (généralement un repère cartésien \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) ).* D'une **horloge** qui permet de mesurer le temps \( t \).Le choix du référentiel est crucial car le mouvement d'un point dépend du référentiel d'étude.## Position et trajectoire d'un point mobile### La position d'un point mobileLa position d'un point matériel \( M \) à un instant \( t \) est déterminée par ses coordonnées dans le repère choisi. Par exemple, en coordonnées cartésiennes, sa position est donnée par \( (x(t), y(t), z(t)) \).### La trajectoireLa **trajectoire** d'un point mobile est l'ensemble de toutes les positions successives occupées par ce point au cours du temps, dans un référentiel donné. C'est le chemin parcouru par le point.* Si la trajectoire est une ligne droite, le mouvement est dit **rectiligne**.* Si la trajectoire est un cercle, le mouvement est dit **circulaire**.* Si la trajectoire est une courbe quelconque, le mouvement est dit **curviligne**.## Le vecteur positionLe **vecteur position** \( \vec{OM}(t) \) relie l'origine \( O \) du repère au point mobile \( M \) à l'instant \( t \). Il s'exprime en fonction des coordonnées du point:En repère cartésien \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) :\[ \vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k} \]* \( x(t) \), \( y(t) \), \( z(t) \) sont les coordonnées du point \( M \) qui varient avec le temps.* \( \vec{i} \), \( \vec{j} \), \( \vec{k} \) sont les vecteurs unitaires des axes \( Ox \), \( Oy \), \( Oz \).## Le vecteur vitesse### Vitesse moyenneLa vitesse moyenne est le rapport entre la distance parcourue (ou le déplacement) et la durée du parcours. C'est une notion globale sur un intervalle de temps.### Vitesse instantanéeLe **vecteur vitesse instantanée** \( \vec{v}(t) \) décrit la rapidité et la direction du mouvement d'un point mobile à un instant précis. Il est obtenu en dérivant le vecteur position par rapport au temps :\[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \dot{x}(t)\vec{i} + \dot{y}(t)\vec{j} + \dot{z}(t)\vec{k} \]Où \( \dot{x}(t) = \frac{dx}{dt} \), \( \dot{y}(t) = \frac{dy}{dt} \) et \( \dot{z}(t) = \frac{dz}{dt} \) sont les composantes de la vitesse.* Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire au point \( M \).* Sa norme (ou module), notée \( v(t) = ||\vec{v}(t)|| \), représente la **vitesse scalaire** du point mobile à l'instant \( t \).\[ v(t) = \sqrt{(\dot{x}(t))^2 + (\dot{y}(t))^2 + (\dot{z}(t))^2} \]L'unité du système international (SI) pour la vitesse est le mètre par seconde (m/s).## Le vecteur accélération### Accélération moyenneL'accélération moyenne est le rapport de la variation de vitesse sur la durée de cette variation.### Accélération instantanéeLe **vecteur accélération instantanée** \( \vec{a}(t) \) décrit la variation du vecteur vitesse au cours du temps. Il est obtenu en dérivant le vecteur vitesse par rapport au temps (ou en dérivant deux fois le vecteur position) :\[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} = \ddot{x}(t)\vec{i} + \ddot{y}(t)\vec{j} + \ddot{z}(t)\vec{k} \]Où \( \ddot{x}(t) = \frac{d^2x}{dt^2} \), \( \ddot{y}(t) = \frac{d^2y}{dt^2} \) et \( \ddot{z}(t) = \frac{d^2z}{dt^2} \) sont les composantes de l'accélération.* L'accélération représente la variation de la vitesse, soit en norme, soit en direction, soit les deux.* L'unité SI pour l'accélération est le mètre par seconde au carré (m/s²).Vocabulary* **Cinématique:** Branche de la mécanique étudiant le mouvement sans en considérer les causes.* **Point matériel:** Modélisation d'un objet dont la taille est négligeable par rapport à son mouvement.* **Référentiel:** Système de référence (repère d'espace + horloge) pour étudier un mouvement.* **Trajectoire:** Ensemble des positions successives d'un point mobile.* **Vecteur position \( \vec{OM} \):** Vecteur reliant l'origine du repère au point mobile.* **Vecteur vitesse \( \vec{v} \):** Vecteur tangent à la trajectoire, décrivant la rapidité et la direction du mouvement (dérivée du vecteur position).* **Vitesse scalaire \( v \):** Norme du vecteur vitesse, représentant la valeur de la vitesse.* **Vecteur accélération \( \vec{a} \):** Vecteur décrivant la variation du vecteur vitesse (dérivée du vecteur vitesse).* **Dérivée:** Opération mathématique mesurant le taux de variation instantané d'une fonction.* **Norme (ou module):** Longueur d'un vecteur.Examples1. **Mouvement rectiligne uniforme:**Un point mobile se déplace sur l'axe des x. Sa position est donnée par \( x(t) = 2t + 5 \) (en mètres, t en secondes).* **Vecteur position:** \( \vec{OM}(t) = (2t+5)\vec{i} \)* **Vecteur vitesse:** \( \vec{v}(t) = \frac{d}{dt}(2t+5)\vec{i} = 2\vec{i} \) (La vitesse est constante, 2 m/s).* **Vecteur accélération:** \( \vec{a}(t) = \frac{d}{dt}(2\vec{i}) = \vec{0} \) (L'accélération est nulle, car la vitesse est constante).2. **Mouvement d'une balle lancée (simplifié en 2D):**Une balle est lancée avec les coordonnées de position suivantes :\( x(t) = 3t \)\( y(t) = -5t^2 + 10t \)(en mètres, t en secondes)* **Vecteur position:** \( \vec{OM}(t) = 3t\vec{i} + (-5t^2 + 10t)\vec{j} \)* **Vecteur vitesse:**\( \vec{v}(t) = \frac{d}{dt}(3t)\vec{i} + \frac{d}{dt}(-5t^2 + 10t)\vec{j} \)\( \vec{v}(t) = 3\vec{i} + (-10t + 10)\vec{j} \)* **Vecteur accélération:**\( \vec{a}(t) = \frac{d}{dt}(3)\vec{i} + \frac{d}{dt}(-10t + 10)\vec{j} \)\( \vec{a}(t) = 0\vec{i} + (-10)\vec{j} = -10\vec{j} \) (C'est l'accélération due à la gravité, si on prend g=10 m/s²).Exercises1. Un point mobile a pour vecteur position \( \vec{OM}(t) = (t^2+1)\vec{i} + (3t)\vec{j} \) (en mètres, t en secondes).* a) Donnez l'expression du vecteur vitesse \( \vec{v}(t) \).* b) Calculez la vitesse instantanée du mobile à \( t = 2 \text{ s} \).* c) Donnez l'expression du vecteur accélération \( \vec{a}(t) \).2. Décrivez la trajectoire d'un objet si son vecteur position est \( \vec{OM}(t) = (R\cos(\omega t))\vec{i} + (R\sin(\omega t))\vec{j} \), où \( R \) et \( \omega \) sont des constantes.Assignment1. Un satellite se déplace dans l'espace. Son vecteur position est donné par \( \vec{OM}(t) = (200t)\vec{i} + (100t^2 - 50)\vec{j} + (500)\vec{k} \) (coordonnées en km, temps en heures).* a) Quel est le vecteur position du satellite à \( t = 1 \text{ heure} \) ?* b) Calculez le vecteur vitesse du satellite en fonction du temps.* c) Déterminez la norme de la vitesse du satellite à \( t = 0.5 \text{ heure} \).* d) Calculez le vecteur accélération du satellite.* e) Le mouvement est-il rectiligne, circulaire ou curviligne ? Justifiez votre réponse.2. Expliquez avec vos propres mots la différence entre la vitesse moyenne et la vitesse instantanée.SummaryLa cinématique est l'étude du mouvement sans les forces. Pour décrire un mouvement, nous avons besoin d'un **référentiel** et d'un **point matériel**.* La **trajectoire** est le chemin parcouru par le point.* Le **vecteur position** \( \vec{OM}(t) \) localise le point dans l'espace.* Le **vecteur vitesse** \( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} \) indique la rapidité et la direction du mouvement, il est tangent à la trajectoire. Sa norme est la vitesse scalaire.* Le **vecteur accélération** \( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} \) décrit comment le vecteur vitesse change.Ces concepts fondamentaux nous permettent d'analyser n'importe quel mouvement. ## Mouvement rectiligne uniforme(Définition ; Vitesse ; Accélération ; Hodographe ; Diagramme du mouvement ) ### Introduction Bienvenue à cette leçon de Mécanique Appliquée sur l'un des mouvements les plus fondamentaux en physique : le **Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)**. La cinématique est l'étude du mouvement des corps sans se soucier des causes de ce mouvement. Aujourd'hui, nous allons explorer le MRU, caractérisé par sa simplicité et sa prévisibilité, et nous allons comprendre comment décrire ce type de mouvement à travers sa définition, sa vitesse, son accélération, son hodographe et ses diagrammes. C'est une base essentielle pour comprendre des mouvements plus complexes. ### Concepts Clés #### 1. Définition du Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) Un corps est en Mouvement Rectiligne Uniforme si : * Sa **trajectoire est une ligne droite**. Le mouvement s'effectue le long d'un axe unique (par exemple, l'axe des x). * Sa **vitesse est constante** en grandeur (norme), en direction et en sens. Cela signifie que le mobile parcourt des distances égales pendant des intervalles de temps égaux. * Son **accélération est nulle**. #### 2. La Vitesse dans le MRU ##### Définition de la Vitesse La vitesse \\( v \\) est la mesure de la rapidité avec laquelle un corps change de position. Dans le MRU, la vitesse est constante. ##### Calcul de la Vitesse La vitesse moyenne (qui est aussi la vitesse instantanée dans un MRU) est donnée par la variation de position (ou déplacement) divisée par l'intervalle de temps correspondant : \[ v = \\frac{\\Delta x}{\\Delta t} = \\frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} \] Où : * \\( v \\) est la vitesse (en mètres par seconde, m/s). * \\( \\Delta x \\) est le déplacement (variation de position, en mètres, m). * \\( \\Delta t \\) est l'intervalle de temps (en secondes, s). * \\( x_f \\) est la position finale et \\( x_i \\) est la position initiale. * \\( t_f \\) est le temps final et \\( t_i \\) est le temps initial. ##### Équation Horaire du Mouvement (ou Loi Horaire) L'équation horaire décrit la position \\( x \\) d'un mobile à tout instant \\( t \\). Si on prend \\( t_i = 0 \\) (instant initial) et \\( x_i = x_0 \\) (position initiale), l'équation devient : \[ x(t) = v \\cdot t + x_0 \] Où : * \\( x(t) \\) est la position du mobile à l'instant \\( t \\). * \\( v \\) est la vitesse constante. * \\( t \\) est l'instant considéré. * \\( x_0 \\) est la position initiale à l'instant \\( t=0 \\). #### 3. L'Accélération dans le MRU ##### Définition de l'Accélération L'accélération \\( a \\) mesure la variation de la vitesse par unité de temps. \[ a = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} \] Où l'accélération est exprimée en mètres par seconde carrée (m/s²). ##### Accélération Nulle dans le MRU Puisque la vitesse \\( v \\) est constante dans un MRU (\\( v_f = v_i \\)), la variation de vitesse \\( \\Delta v \\) est nulle. Par conséquent, l'accélération est toujours **nulle** dans un Mouvement Rectiligne Uniforme. \[ a = 0 \] #### 4. L'Hodographe L'hodographe est la courbe décrite par l'extrémité du vecteur vitesse d'un mobile au cours du temps, lorsque ce vecteur est ramené à une origine fixe. Dans le cas du MRU, le vecteur vitesse \\( \\vec{v} \\) est constant (même direction, même sens, même norme). L'hodographe du MRU est donc un **point** (l'extrémité du vecteur vitesse, puisque le vecteur ne change pas). #### 5. Diagrammes du Mouvement Les diagrammes (ou graphiques) sont des représentations visuelles des grandeurs cinématiques en fonction du temps. ##### Diagramme Position-Temps (x(t)) Représente la position du mobile en fonction du temps. * Puisque \\( x(t) = v \\cdot t + x_0 \\) est une équation de droite de type \\( y = mx + b \\), le graphique \\( x(t) \\) est une **droite**. * La **pente** de cette droite représente la vitesse \\( v \\). * Si \\( v > 0 \\), la droite monte. * Si \\( v < 0 \\), la droite descend. * Si \\( v = 0 \\) (corps immobile), la droite est horizontale. * L'**ordonnée à l'origine** est la position initiale \\( x_0 \\). ##### Diagramme Vitesse-Temps (v(t)) Représente la vitesse du mobile en fonction du temps. * Puisque la vitesse \\( v \\) est constante dans un MRU, le graphique \\( v(t) \\) est une **droite horizontale**. * L'**aire** sous la courbe \\( v(t) \\) entre deux instants \\( t_1 \\) et \\( t_2 \\) représente le déplacement \\( \\Delta x \\) effectué pendant cet intervalle : \\( \\Delta x = v \\cdot (t_2 - t_1) \\). ##### Diagramme Accélération-Temps (a(t)) Représente l'accélération du mobile en fonction du temps. * Puisque l'accélération \\( a \\) est nulle dans un MRU, le graphique \\( a(t) \\) est une **droite confondue avec l'axe des abscisses** (l'axe des temps). ### Vocabulaire * **Cinématique** : Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans considérer les forces qui les produisent. * **Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)** : Mouvement d'un corps dont la trajectoire est une ligne droite et la vitesse est constante. * **Trajectoire** : Chemin suivi par un corps en mouvement. * **Position (\\( x \\))** : Emplacement d'un corps par rapport à une origine de référence. * **Vitesse (\\( v \\))** : Grandeur vectorielle qui indique la rapidité et la direction du changement de position. Dans le MRU, la vitesse est constante. * **Accélération (\\( a \\))** : Grandeur vectorielle qui indique la rapidité et la direction du changement de vitesse. Dans le MRU, l'accélération est nulle. * **Équation Horaire** : Relation mathématique qui donne la position d'un mobile en fonction du temps. * **Hodographe** : Lieu géométrique des extrémités des vecteurs vitesse tracés à partir d'une origine fixe. Pour le MRU, c'est un point. * **Diagramme du mouvement** : Représentation graphique des grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération) en fonction du temps. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de la position Un mobile se déplace en MRU avec une vitesse de 5 m/s. À l'instant initial (\\( t=0 \\)), il se trouve à la position \\( x_0 = 10 \\) m. 1. Quelle est son équation horaire ? Réponse : \\( x(t) = 5t + 10 \\) (en m). 2. Quelle est sa position après 3 secondes ? Réponse : \\( x(3) = 5(3) + 10 = 15 + 10 = 25 \\) m. #### Exemple 2 : Interprétation d'un graphique v(t) Un graphique vitesse-temps montre une ligne horizontale à \\( v = -2 \\) m/s. 1. Quel type de mouvement est-ce ? Réponse : Mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante). 2. Dans quelle direction se déplace le mobile ? Réponse : Le signe négatif indique qu'il se déplace dans le sens négatif de l'axe (par exemple, vers la gauche si l'axe est horizontal). 3. Quelle est son accélération ? Réponse : Zéro, car la vitesse est constante. #### Exemple 3 : Calcul de la vitesse à partir de positions Un coureur est à \\( x_1 = 20 \\) m à \\( t_1 = 2 \\) s et à \\( x_2 = 50 \\) m à \\( t_2 = 8 \\) s. Supposons un MRU. Quelle est sa vitesse ? \[ v = \\frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \\frac{50 - 20}{8 - 2} = \\frac{30}{6} = 5 \\text{ m/s} \] ### Exercices 1. Un train roule en MRU à une vitesse de 72 km/h. Exprimez cette vitesse en m/s. 2. Un cycliste se déplace à 15 m/s en MRU. Quelle distance parcourt-il en 2 minutes ? 3. Un objet a l'équation horaire suivante : \\( x(t) = -3t + 20 \\) (en m). * Quelle est sa position initiale ? * Quelle est sa vitesse ? * Dans quel sens se déplace-t-il ? * Quelle est son accélération ? 4. Décrivez l'hodographe d'un mobile en MRU. 5. Représentez schématiquement les diagrammes x(t), v(t) et a(t) pour un MRU où \\( v > 0 \\) et \\( x_0 > 0 \\). ### Devoir 1. Un avion se déplace à une vitesse constante de 900 km/h. Il doit parcourir une distance de 1800 km. * Combien de temps (en heures et en minutes) le vol durera-t-il ? * Si le vol commence à 8h00, à quelle heure arrivera-t-il à destination ? 2. Un marcheur part d'un point A (considéré comme l'origine \\( x=0 \\)) et se dirige vers un point B à 1,5 m/s. Au même instant, un coureur part d'un point C situé à 50 m du point A (dans le même sens que B) et se dirige vers A à 5 m/s. * Écrivez l'équation horaire pour le marcheur et pour le coureur. * À quel instant et à quelle position se croisent-ils ? 3. Analyser le graphique suivant (supposez qu'il s'agit d'un MRU) : * [Imaginez un graphique x(t) une droite linéaire croissante, partant de x=0, montant à x=10m en t=5s] * Quelle est la vitesse du mobile ? * Écrivez l'équation horaire du mouvement. * Dessinez les diagrammes v(t) et a(t) correspondants. ### Résumé Le **Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU)** est un concept fondamental en cinématique. Il est défini par une **trajectoire rectiligne** et une **vitesse constante**. Cette constance de la vitesse implique une **accélération nulle**. L'**équation horaire** du MRU est \\( x(t) = v \\cdot t + x_0 \\), ce qui se traduit par un **diagramme position-temps (x(t)) en forme de droite**. Le **diagramme vitesse-temps (v(t)) est une droite horizontale**, et le **diagramme accélération-temps (a(t)) est confondu avec l'axe des temps (zéro)**. L'hodographe du MRU est un simple point, représentant le vecteur vitesse constant. Maîtriser le MRU est essentiel pour aborder des mouvements plus complexes en physique. ## Mouvement circulaire uniforme (Définitions ; Vitesse ; Accélération ; Lois du mouvement circulaire uniforme ; Hodographe ; Diagramme du mouvement ) ### 1. Introduction Bienvenue dans cette leçon sur le mouvement circulaire uniforme (MCU). Ce type de mouvement est fondamental en mécanique et se retrouve dans de nombreuses situations, du mouvement des planètes autour du soleil à celui d'un point sur une roue en rotation. Comprendre le MCU nous permettra d'analyser et de prédire le comportement d'objets se déplaçant sur une trajectoire circulaire à vitesse constante. ### 2. Concepts Clés #### 2.1. Définitions Fondamentales * **Mouvement Circulaire Uniforme (MCU):** Un mouvement est dit circulaire uniforme si la trajectoire de l'objet est un cercle et si la grandeur de sa vitesse (son module) reste constante. Seule la direction de la vitesse change constamment. * **Période (T):** C'est le temps nécessaire pour que l'objet effectue un tour complet sur sa trajectoire circulaire. Elle s'exprime en secondes (s). * **Fréquence (f):** C'est le nombre de tours complets effectués par l'objet par unité de temps. Elle s'exprime en Hertz (Hz) ou en \( s^{-1} \). La relation entre la période et la fréquence est: \[ f = \frac{1}{T} \] * **Vitesse angulaire (\( \omega \)):** Elle représente la vitesse à laquelle l'angle de position de l'objet change. Elle s'exprime en radians par seconde (rad/s). Elle est liée à la période et à la fréquence par les relations: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \] Où \( 2\pi \) radians représente un tour complet. #### 2.2. Vitesse Bien que la grandeur de la vitesse soit constante dans un MCU, la vitesse est un vecteur et sa direction change continuellement. Le vecteur vitesse \( \vec{v} \) est toujours tangent à la trajectoire circulaire et son module est donné par: \[ v = \frac{\text{Distance parcourue}}{\text{Temps}} = \frac{2\pi R}{T} \] Où \( R \) est le rayon du cercle. En utilisant la relation entre \( T \) et \( \omega \), on obtient: \[ v = R\omega \] #### 2.3. Accélération Parce que la direction du vecteur vitesse change constamment, il y a une accélération, même si la grandeur de la vitesse est constante. Cette accélération est appelée **accélération centripète** (ou normale) et est toujours dirigée vers le centre du cercle. Le module de l'accélération centripète \( \vec{a}_c \) est donné par: \[ a_c = \frac{v^2}{R} \] En substituant \( v = R\omega \) dans cette formule, on obtient également: \[ a_c = R\omega^2 \] Le vecteur accélération centripète \( \vec{a}_c \) est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse \( \vec{v} \). #### 2.4. Lois du Mouvement Circulaire Uniforme Si on considère un objet se déplaçant sur un cercle de rayon \( R \) et partant d'une position angulaire initiale \( \theta_0 \) à l'instant \( t=0 \), sa position angulaire \( \theta(t) \) à un instant \( t \) est donnée par: \[ \theta(t) = \theta_0 + \omega t \] Les coordonnées cartésiennes de l'objet (si le centre du cercle est à l'origine) sont: \[ x(t) = R \cos(\theta(t)) = R \cos(\theta_0 + \omega t) \] \[ y(t) = R \sin(\theta(t)) = R \sin(\theta_0 + \omega t) \] #### 2.5. Hodographe L'hodographe est la courbe tracée par l'extrémité du vecteur vitesse lorsque son origine est fixée en un point donné (souvent l'origine du repère). Pour un mouvement circulaire uniforme, comme le module de la vitesse \( v \) est constant et sa direction change de manière continue, l'hodographe est un **cercle** de rayon \( v \). Le centre de ce cercle est à l'origine si tous les vecteurs vitesses sont reportés à partir de l'origine. #### 2.6. Diagramme du Mouvement Un diagramme du mouvement est une représentation graphique de la trajectoire de l'objet, montrant les vecteurs vitesse et accélération à différents instants. Pour un MCU: * Les vecteurs vitesse \( \vec{v} \) sont tangents au cercle à chaque point, avec la même longueur (module). * Les vecteurs accélération \( \vec{a}_c \) sont dirigés vers le centre du cercle à chaque point, et sont perpendiculaires aux vecteurs vitesse, ayant également la même longueur (module). ### 3. Vocabulaire * **Mouvement Circulaire Uniforme (MCU):** Mouvement sur une trajectoire circulaire avec une vitesse de module constant. * **Période (T):** Temps pour un tour complet. * **Fréquence (f):** Nombre de tours par unité de temps. * **Vitesse angulaire (\( \omega \)):** Vitesse de rotation (rad/s). * **Vitesse linéaire (\( v \)):** Vitesse tangentielle à la trajectoire. * **Accélération centripète (\( a_c \)):** Accélération dirigée vers le centre du cercle, responsable du changement de direction de la vitesse. * **Rayon (R):** Rayon de la trajectoire circulaire. * **Radian:** Unité de mesure d'angle. \( 2\pi \) radians = 360 degrés. * **Hodographe:** Représentation des vecteurs vitesses pour un mouvement donné. ### 4. Exemples **Exemple 1: Un point sur un CD en rotation** Considérons un CD qui tourne à 33 tours par minute. Un point se trouve à 6 cm du centre. 1. **Calcul de la fréquence (f):** \( f = 33 \text{ tours/min} = \frac{33}{60} \text{ tours/s} = 0.55 \text{ Hz} \) 2. **Calcul de la période (T):** \( T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0.55} \approx 1.82 \text{ s} \) 3. **Calcul de la vitesse angulaire (\( \omega \)):** \( \omega = 2\pi f = 2\pi (0.55) \approx 3.46 \text{ rad/s} \) 4. **Calcul de la vitesse linéaire (v):** \( R = 6 \text{ cm} = 0.06 \text{ m} \) \( v = R\omega = (0.06 \text{ m})(3.46 \text{ rad/s}) \approx 0.2076 \text{ m/s} \) 5. **Calcul de l'accélération centripète (\( a_c \)):** \( a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(0.2076)^2}{0.06} \approx 0.718 \text{ m/s}^2 \) Ou \( a_c = R\omega^2 = (0.06)(3.46)^2 \approx 0.72 \text{ m/s}^2 \) **Exemple 2: Mouvement d'un satellite** Un satellite effectue une orbite circulaire autour de la Terre à une altitude constante. Sa période est de 90 minutes. Le rayon de son orbite (incluant le rayon terrestre) est \( R = 6.8 \times 10^6 \text{ m} \). 1. **Calcul de la période en secondes (T):** \( T = 90 \text{ min} = 90 \times 60 \text{ s} = 5400 \text{ s} \) 2. **Calcul de la vitesse angulaire (\( \omega \)):** \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{5400} \approx 0.00116 \text{ rad/s} \) 3. **Calcul de la vitesse linéaire (v):** \( v = R\omega = (6.8 \times 10^6 \text{ m})(0.00116 \text{ rad/s}) \approx 7888 \text{ m/s} \) ### 5. Exercices 1. Un manège tourne, complétant 10 tours en 20 secondes. Quel est sa fréquence, sa période et sa vitesse angulaire? 2. Un enfant est assis à 3 mètres du centre du manège de l'exercice 1. Quelle est sa vitesse linéaire et l'accélération centripète qu'il ressent? 3. Décrivez la direction du vecteur vitesse et du vecteur accélération pour un point sur le bord d'une roue de vélo en rotation à un instant donné. 4. Si la vitesse linéaire d'un objet en MCU est doublée mais que le rayon de la trajectoire reste le même, comment l'accélération centripète est-elle affectée? ### 6. Devoir à la maison 1. Un satellite géostationnaire reste toujours au-dessus du même point de l'équateur. Sa période est la même que celle de la rotation de la Terre (24 heures). Si le rayon de son orbite est d'environ \( 4.2 \times 10^7 \text{ m} \), calculez sa vitesse linéaire et son accélération centripète. Expliquez pourquoi son accélération est dirigée vers le centre de la Terre. 2. Dessinez un diagramme du mouvement pour un objet en MCU à trois instants différents. Représentez clairement les vecteurs position, vitesse et accélération pour chaque instant. 3. Si un objet a une accélération centripète de \( 10 \text{ m/s}^2 \) et une vitesse linéaire de \( 5 \text{ m/s} \), quel est le rayon de sa trajectoire circulaire? Quelle est sa vitesse angulaire? ### 7. Résumé Le mouvement circulaire uniforme décrit un objet se déplaçant sur une trajectoire circulaire à une vitesse dont le module est constant. Malgré une vitesse constante en grandeur, la direction du vecteur vitesse change continuellement, ce qui implique l'existence d'une **accélération centripète** toujours dirigée vers le centre du cercle. Les concepts clés incluent la période (\( T \)), la fréquence (\( f \)), la vitesse angulaire (\( \omega \)), la vitesse linéaire (\( v \)) et l'accélération centripète (\( a_c \)). Ces grandeurs sont reliées par des formules essentielles telles que \( v = R\omega \) et \( a_c = R\omega^2 \) ou \( a_c = v^2/R \). L'hodographe du MCU est un cercle, et le diagramme du mouvement illustre clairement les vecteurs vitesse tangents et les vecteurs accélération centripètes.