STATIQUE GRAPHIQUE

# STATIQUE GRAPHIQUE ## Résolution graphique ### Introduction Bienvenue dans cette leçon dédiée à la résolution graphique en statique ! En mécanique appliquée, nous étudions l'équilibre des systèmes. Plutôt que d'utiliser des calculs complexes, la statique graphique nous offre une méthode visuelle et intuitive pour déterminer les forces inconnues agissant sur un solide ou un système en équilibre. Cette approche est particulièrement utile pour résoudre des problèmes où les forces sont nombreuses ou orientées de manière complexe. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la Statique Graphique ? La statique graphique est une branche de la mécanique qui utilise des constructions géométriques (dessins à l'échelle) pour analyser les forces et les moments agissant sur des corps rigides en équilibre. Elle permet de visualiser la direction et l'intensité des forces. #### Principe Fondamental de la Statique (PFS) Pour qu'un corps soit en équilibre (c'est-à-dire qu'il ne bouge pas et ne tourne pas), deux conditions doivent être remplies : * La somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au corps doit être nulle. Autrement dit, le polygone des forces doit être fermé. \[ \Sigma \vec{F} = \vec{0} \] * La somme des moments de toutes les forces extérieures par rapport à n'importe quel point doit être nulle. Autrement dit, le polygone funiculaire doit être fermé. \[ \Sigma \vec{M} = \vec{0} \] En statique graphique, nous nous concentrons sur la traduction visuelle de ces principes. #### Le Dynamique (Polygone des Forces) Le dynamique, ou polygone des forces, est une représentation graphique de toutes les forces agissant sur un système. Chaque force est représentée par un vecteur (un segment orienté) dont la longueur est proportionnelle à l'intensité de la force (selon une échelle de forces choisie) et dont l'orientation est celle de la force. * **Construction :** Pour un système en équilibre, si vous placez les vecteurs force bout à bout, le dernier vecteur doit revenir au point de départ du premier, formant ainsi un polygone fermé. Si le polygone n'est pas fermé, le système n'est pas en équilibre. * **Utilité :** Permet de trouver la grandeur et la direction d'une ou plusieurs forces inconnues si le système est en équilibre. #### Le Funiculaire (Polygone Funiculaire) Le funiculaire est une construction graphique utilisée pour résoudre l'équilibre de systèmes soumis à des forces non concourantes (forces dont les lignes d'action ne se coupent pas en un même point) ou pour déterminer des réactions d'appui. * **Construction :** Le funiculaire est construit en projetant les forces sur des lignes parallèles (rayons polaires) issues d'un point arbitraire appelé « pôle » dans le dynamique. Il permet de vérifier la condition d'équilibre des moments. Les côtés du funiculaire sont parallèles aux rayons polaires du dynamique. * **Utilité :** Essentiel pour trouver des points d'application de forces résultantes, des lignes d'action ou des réactions aux appuis pour des systèmes de forces quelconques. La fermeture du funiculaire garantit l'équilibre des moments. ### Vocabulaire * **Statique graphique :** Méthode de résolution des problèmes d'équilibre par des constructions géométriques. * **Dynamique (Polygone des forces) :** Représentation graphique des forces enchaînées bout à bout. * **Funiculaire (Polygone funiculaire) :** Polygone dont les côtés sont parallèles aux rayons polaires du dynamique, utilisé pour l'équilibre des moments. * **Pôle :** Point arbitraire dans le dynamique à partir duquel partent les rayons polaires. * **Rayon polaire :** Ligne reliant le pôle aux sommets du polygone des forces. * **Échelle de forces :** Rapport entre la longueur d'un segment sur le dessin et l'intensité réelle de la force qu'il représente (ex: 1 cm = 10 N). * **Échelle de longueurs :** Rapport entre la longueur d'un segment sur le dessin et la longueur réelle (ex: 1 cm = 1 m). * **Forces concourantes :** Forces dont les lignes d'action se coupent en un même point. * **Forces non concourantes :** Forces dont les lignes d'action ne se coupent pas en un même point. ### Exemples #### Exemple 1 : Équilibre d'un objet sous trois forces concourantes Un objet de poids \( P = 100 \text{ N} \) est suspendu à un point A par deux câbles AC et AB. Le câble AC fait un angle de \( 30^ \) avec l'horizontale, et le câble AB fait un angle de \( 60^ \) avec l'horizontale. Déterminer graphiquement les tensions \( T_{AC} \) et \( T_{AB} \). 1. **Tracer le tracé d'espace :** Dessinez les lignes d'action des forces (les câbles et la verticale pour le poids). 2. **Choisir une échelle de forces :** Par exemple, 1 cm = 20 N. 3. **Construire le dynamique :** * Dessinez le vecteur poids \( \vec{P} \) (5 cm vers le bas). * À l'extrémité de \( \vec{P} \), tracez une ligne parallèle à la ligne d'action de \( \vec{T}_{AC} \). * À l'origine de \( \vec{P} \), tracez une ligne parallèle à la ligne d'action de \( \vec{T}_{AB} \). * L'intersection de ces deux lignes donne le point de fermeture du polygone. Les longueurs des segments représentent les tensions. 4. **Mesurer et convertir :** Mesurez les longueurs des segments \( \vec{T}_{AC} \) et \( \vec{T}_{AB} \) et utilisez l'échelle de forces pour trouver leurs valeurs en Newtons. #### Exemple 2 : Détermination des réactions d'appui d'une poutre (forces non concourantes) Une poutre horizontale de longueur L est soumise à deux forces verticales descendantes \( F_1 \) et \( F_2 \) et repose sur deux appuis A et B. Déterminer graphiquement les réactions verticales \( R_A \) et \( R_B \). 1. **Tracer le tracé d'espace :** Dessinez la poutre, les points d'application des forces et les lignes d'action des réactions. 2. **Choisir les échelles :** Une échelle de longueurs (ex: 1 cm = 1 m) et une échelle de forces (ex: 1 cm = 50 N). 3. **Construire le dynamique :** * Enchaînez les vecteurs des forces connues (\( \vec{F}_1 \) et \( \vec{F}_2 \)). * Les forces inconnues \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \) fermeront le polygone. 4. **Choisir un pôle O :** Dessinez le pôle O quelque part près du dynamique et tracez les rayons polaires (0, 1, 2) reliant O aux extrémités des forces connues. 5. **Construire le funiculaire :** * Commencez par un point arbitraire sur la ligne d'action de \( R_A \). * Tracez un segment parallèle au rayon polaire 0 jusqu'à la ligne d'action de \( F_1 \). * Tracez un segment parallèle au rayon polaire 1 de la ligne d'action de \( F_1 \) à celle de \( F_2 \). * Continuez pour toutes les forces jusqu'à la ligne d'action de \( R_B \). * Joignez les points de départ et d'arrivée sur les lignes d'action de \( R_A \) et \( R_B \) pour obtenir la « ligne de fermeture » du funiculaire. 6. **Reporter la ligne de fermeture sur le dynamique :** Tracez dans le dynamique une ligne parallèle à la ligne de fermeture du funiculaire, partant du pôle O. Cette ligne coupe le polygone des forces. Le point d'intersection sépare les vecteurs des forces connues des vecteurs des réactions inconnues. 7. **Mesurer les réactions :** Les longueurs des segments correspondant à \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \) dans le dynamique donnent leurs intensités via l'échelle de forces. ### Exercices 1. Un panneau publicitaire est suspendu par deux câbles. Le poids du panneau est de 500 N. Le premier câble fait un angle de \( 45^ \) avec la verticale, le second \( 60^ \) avec la verticale. Déterminez graphiquement les tensions dans les deux câbles. 2. Une charge de 200 N est supportée par deux poutres AB et AC. AB est horizontale et AC est inclinée à \( 30^ \) par rapport à l'horizontale. Déterminez les forces dans les poutres AB et AC. ### Devoirs 1. Une potence est constituée d'une barre horizontale de 2 m de long articulée à un mur à une extrémité A et soutenue par un tirant incliné à \( 45^ \) par rapport à l'horizontale, attaché à l'autre extrémité B et au mur en C. Une charge de 1500 N est suspendue à l'extrémité B. Déterminez graphiquement la force dans le tirant et la réaction à l'articulation A. 2. Trois forces coplanaires de 100 N, 150 N et 200 N agissent sur un corps. Les angles de ces forces par rapport à l'axe des X positif sont respectivement \( 0^ \), \( 90^ \) et \( 210^ \). Déterminez graphiquement la force résultante et son angle. ### Résumé La résolution graphique est une méthode puissante et visuelle pour analyser l'équilibre des systèmes en statique. Elle repose sur deux outils principaux : * **Le dynamique (polygone des forces) :** Il traduit la condition d'équilibre des forces (\( \Sigma \vec{F} = \vec{0} \)). Sa fermeture garantit que le système ne se déplace pas. * **Le funiculaire (polygone funiculaire) :** Il traduit la condition d'équilibre des moments (\( \Sigma \vec{M} = \vec{0} \)). Sa fermeture est essentielle pour les forces non concourantes et la détermination des réactions d'appui. Ces méthodes nécessitent une grande précision dans le dessin et le choix d'échelles appropriées, mais offrent une compréhension intuitive des interactions de forces dans un système.