RESISTANCE DE MATÉRIAUX

# RESISTANCE DE MATÉRIAUX ## Généralités sur les poutres ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les généralités des poutres, un élément fondamental en Résistance des Matériaux et en Mécanique Appliquée. Les poutres sont des composants structurels essentiels que l'on retrouve partout, des ponts aux bâtiments en passant par les machines. Comprendre leur comportement est crucial pour concevoir des structures sûres et efficaces. Dans cette leçon, nous allons définir ce qu'est une poutre, explorer les différents types de forces qu'elles subissent (sollicitations), étudier leur géométrie et identifier les différents types d'appuis qui les maintiennent. ### Concepts Clés #### Définition d'une poutre Une poutre est une pièce de structure dont une dimension (sa longueur) est beaucoup plus grande que les deux autres (sa section transversale). Son rôle principal est de résister à des charges appliquées généralement perpendiculairement à son axe longitudinal, ce qui a pour effet de la faire fléchir. #### Types de Sollicitations Une sollicitation est l'ensemble des forces et moments agissant sur une poutre. Voici les types principaux de sollicitations internes que peut subir une poutre sous l'effet de charges externes: ##### Traction/Compression Il s'agit de forces axiales agissant le long de l'axe longitudinal de la poutre. La **traction** tend à étirer la poutre, tandis que la **compression** tend à la raccourcir. Ces sollicitations sont souvent moins prédominantes pour les poutres que pour d'autres éléments comme les tirants ou les poteaux. ##### Cisaillement Le cisaillement résulte de forces agissant perpendiculairement à l'axe longitudinal de la poutre et parallèlement à la section transversale, tendant à faire glisser une partie de la poutre par rapport à une autre. On l'appelle aussi effort tranchant. ##### Flexion La flexion est la sollicitation la plus courante et la plus caractéristique des poutres. Elle est causée par des forces ou des moments qui tendent à courber la poutre. La flexion induit à la fois de la traction sur une partie de la section (fibres inférieures ou supérieures) et de la compression sur l'autre partie. ##### Torsion La torsion est une sollicitation due à un moment qui tend à faire vriller ou tordre la poutre autour de son axe longitudinal. C'est moins fréquent pour les poutres simples mais peut être présent dans des configurations complexes ou pour des arbres de transmission. #### Géométrie d'une poutre * **Ligne moyenne (ou axe neutre):** C'est la ligne imaginaire qui relie les centres de gravité de toutes les sections transversales de la poutre. C'est le lieu où les fibres ne sont ni étirées ni comprimées en flexion pure. * **Section droite (ou section transversale):** C'est la forme de la poutre si on la coupe perpendiculairement à sa ligne moyenne (ex: rectangulaire, circulaire, en I). * **Portée:** C'est la distance entre les points d'appui d'une poutre. #### Appuis et Liaisons Les appuis sont les éléments qui relient la poutre à son environnement et qui limitent ses mouvements. Chaque type d'appui génère des **réactions d'appui** (forces ou moments) qui s'opposent aux mouvements entravés. ##### Appui Simple (ou Appui à rouleau / Pivot Glissant) Cet appui empêche le mouvement vertical (translation) mais permet la rotation et la translation horizontale. Il génère une seule réaction, perpendiculaire à la surface d'appui (généralement verticale). ##### Appui Double (ou Appui Articulé / Pivot) Cet appui empêche les mouvements verticaux et horizontaux (translations) mais permet la rotation. Il génère deux réactions: une verticale et une horizontale. ##### Encastrement L'encastrement est le type d'appui le plus restrictif. Il empêche toute translation (verticale et horizontale) et toute rotation. Il génère donc trois réactions: une force verticale, une force horizontale et un moment d'encastrement. #### Actions Mécaniques (Charges) Les actions mécaniques sont les forces et moments externes appliqués à la poutre. ##### Forces Concentrées Une force concentrée est une force appliquée en un seul point de la poutre. Par exemple, une personne debout sur une poutre. ##### Charges Réparties Une charge répartie est une force distribuée sur une certaine longueur de la poutre. Elle peut être: * **Uniformément répartie:** La force est constante sur toute la longueur (ex: le poids propre d'un plancher sur une poutre). Représentée par \( q \) en N/m. * **Triangulaire:** La force varie linéairement sur la longueur. ##### Moments Un moment est une action qui tend à provoquer une rotation. Il est généralement exprimé en Newton-mètres (Nm). Un moment peut être appliqué directement sur la poutre. Un moment est le produit d'une force par une distance perpendiculaire à la ligne d'action de la force: \[ M = F imes d \] ### Vocabulaire * **Poutre:** Élément de structure long et mince supportant principalement des charges transversales. * **Sollicitation:** Forces et moments internes subis par un matériau. * **Flexion:** Déformation d'une poutre sous l'effet de charges transversales. * **Cisaillement (Effort Tranchant):** Force qui tend à faire glisser des sections de la poutre l'une par rapport à l'autre. * **Torsion:** Déformation due à un moment de vrillage autour de l'axe longitudinal. * **Traction/Compression:** Forces axiales qui étirent ou raccourcissent la poutre. * **Appui:** Point de liaison entre la poutre et son environnement. * **Encastrement:** Type d'appui qui bloque toute translation et rotation. * **Portée:** Distance entre deux appuis d'une poutre. * **Charge Concentrée:** Force appliquée en un seul point. * **Charge Répartie:** Force distribuée sur une longueur de la poutre. * **Moment:** Force qui tend à provoquer une rotation (unité: Nm). ### Exemples 1. **Pont Simple:** Un pont routier est souvent constitué de poutres reposant sur des appuis doubles (ou articulés) à chaque extrémité, supportant des charges réparties (le poids de la chaussée) et des charges concentrées (les véhicules). 2. **Planche à Plonger:** Une planche de plongée est un exemple typique de **poutre en porte-à-faux** (ou console). Elle est encastrée à une extrémité (où elle est fixée au sol) et libre à l'autre. Lorsque quelqu'un se tient à l'extrémité libre, elle subit une forte flexion. 3. **Étagère Murale:** Une étagère fixée au mur est une poutre encastrée à une extrémité et supportant des charges (les objets posés dessus) qui peuvent être considérées comme réparties ou concentrées. ### Exercices 1. Dessinez une poutre de 5 mètres de long. Ajoutez un appui double à l'extrémité gauche et un appui simple à l'extrémité droite. Dessinez une force concentrée de 1000 N appliquée au milieu de la poutre, dirigée vers le bas. 2. Identifiez le type d'appui le plus approprié pour chacune des situations suivantes: * Un mât de drapeau fixé au sol. * Une balançoire d'enfant (les points de fixation de la barre horizontale). * Une roue de chariot sur un axe (l'axe). 3. Expliquez la différence entre une charge concentrée et une charge uniformément répartie, et donnez un exemple pour chacune dans la vie courante. ### Devoir 1. Dessinez une poutre de 8 mètres de long encastrée à l'extrémité gauche. Appliquez une charge uniformément répartie de 500 N/m sur toute la longueur de la poutre. Dessinez également une force concentrée de 2000 N à 6 mètres de l'encastrement. 2. Recherchez et décrivez deux exemples concrets de structures utilisant des poutres où la sollicitation de flexion est prédominante et deux où le cisaillement est significatif. Expliquez pourquoi dans chaque cas. 3. À l'aide d'un petit objet flexible (comme une règle en plastique ou un bâtonnet), appliquez différentes forces pour simuler les sollicitations de traction, compression, flexion et torsion. Décrivez ce que vous observez pour chaque cas. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons posé les bases de l'étude des poutres en Résistance des Matériaux. Nous avons appris qu'une poutre est un élément structurel long conçu pour résister principalement à la flexion. Nous avons distingué les différents types de sollicitations (traction, compression, cisaillement, flexion, torsion) et avons vu comment la géométrie de la poutre (ligne moyenne, section droite, portée) est définie. Enfin, nous avons étudié les principaux types d'appuis (simple, double, encastrement) et les actions mécaniques (charges concentrées, réparties, moments) qui s'exercent sur les poutres. Ces connaissances sont essentielles pour aborder les calculs de résistance et de déformation des poutres dans les prochaines leçons. ## Sollicitation de Traction Simple ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la sollicitation de traction simple! En mécanique appliquée, comprendre comment les matériaux réagissent aux forces est essentiel. La traction simple est l'un des modes de sollicitation les plus fondamentaux. Elle se produit lorsqu'un corps est soumis à des forces qui tendent à l'étirer le long d'un axe, comme tirer sur une corde ou un câble. Nous allons découvrir les concepts clés qui nous permettront de calculer les contraintes et les déformations associées à ce type de sollicitation. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la Traction Simple La traction simple est un état de contrainte où un corps est soumis à deux forces égales et opposées, agissant le long de son axe longitudinal et tendant à l'allonger. Ces forces sont appliquées au centre de gravité de la section droite du matériau. #### 2. Hypothèses Fondamentales de la Résistance des Matériaux Pour simplifier l'étude et les calculs, nous faisons généralement les hypothèses suivantes: * **Matériau homogène et isotrope:** Le matériau a les mêmes propriétés mécaniques en tout point et dans toutes les directions. * **Petites déformations:** Les déformations sont suffisamment faibles pour que les dimensions initiales de la pièce puissent être utilisées dans les calculs. * **Principe de Saint-Venant:** L'effet des forces locales s'atténue rapidement à mesure que l'on s'éloigne du point d'application. * **Sections planes restent planes:** Les sections droites de la pièce, perpendiculaires à l'axe longitudinal, restent planes et perpendiculaires à l'axe déformé après l'application de la charge. #### 3. Efforts Normaux et Contrainte Nominale Lorsque l'on exerce une force de traction, des forces internes se développent dans le matériau pour résister à cette sollicitation. Ces forces internes, agissant perpendiculairement à la section de la pièce, sont appelées **efforts normaux**. La **contrainte normale (\( \sigma \))** représente la force par unité de surface. Elle est une mesure de l'intensité des forces internes. \[ \sigma = \frac{F}{S} \] Où: * \( \sigma \) (sigma) est la contrainte normale, exprimée en Pascals (Pa), Mégapascals (MPa) ou Gigapascals (GPa). * \( F \) est la force normale (force de traction), exprimée en Newtons (N). * \( S \) est l'aire de la section droite du matériau, exprimée en mètres carrés (\( m^2 \)). **Note:** Pour la traction, la contrainte \( \sigma \) est positive. Pour la compression, elle est négative. #### 4. Déformation Linéaire (Allongement Relatif) Sous l'effet d'une force de traction, la pièce s'allonge. Cet allongement est mesuré par la **déformation linéaire (\( \epsilon \))**, également appelée allongement relatif. Elle représente la variation de longueur par rapport à la longueur initiale. \[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \] Où: * \( \epsilon \) (epsilon) est la déformation linéaire, une grandeur sans dimension (m/m). * \( \Delta L \) est l'allongement total de la pièce, exprimé en mètres (m). * \( L_0 \) est la longueur initiale de la pièce, exprimée en mètres (m). #### 5. Loi de Hooke et Module d'Young Dans le domaine élastique (c'est-à-dire tant que le matériau peut retrouver sa forme initiale après l'enlèvement de la charge), la contrainte est directement proportionnelle à la déformation. C'est la **Loi de Hooke**: \[ \sigma = E \cdot \epsilon \] Où: * \( E \) est le **Module d'Young** (ou module d'élasticité longitudinale), exprimé en Pascals (Pa), Mégapascals (MPa) ou Gigapascals (GPa). Il caractérise la rigidité du matériau. Plus \( E \) est élevé, plus le matériau est rigide et moins il se déforme sous une contrainte donnée. #### 6. Coefficient de Poisson (\( \nu \)) Lorsque la pièce s'allonge dans le sens longitudinal sous traction, elle a tendance à se rétrécir dans le sens transversal (sa section diminue). Le **coefficient de Poisson (\( \nu \))** est le rapport entre la déformation transversale et la déformation longitudinale. \[ \nu = - \frac{\epsilon_t}{\epsilon_l} \] Où: * \( \nu \) (nu) est le coefficient de Poisson, une grandeur sans dimension. * \( \epsilon_t \) est la déformation transversale. * \( \epsilon_l \) est la déformation longitudinale (\( \epsilon \)). Pour la plupart des matériaux, \( \nu \) est compris entre 0,25 et 0,35. #### 7. Conditions de Résistance et de Déformation Pour qu'une pièce résiste à la traction sans déformation permanente ni rupture, la contrainte maximale calculée ne doit pas dépasser une certaine valeur appelée **contrainte admissible (\( \sigma_{adm} \))**. La contrainte admissible est déterminée à partir de la **limite élastique (\( R_e \))** du matériau et d'un **coefficient de sécurité (s)**. \[ \sigma_{adm} = \frac{R_e}{s} \] La condition de résistance est alors: \[ \sigma_{max} \le \sigma_{adm} \] De même, une condition de déformation peut être imposée pour limiter l'allongement total de la pièce (par exemple, pour des raisons de fonctionnalité). ### Vocabulaire * **Traction simple:** Sollicitation où une pièce est tirée le long de son axe. * **Contrainte normale (\( \sigma \)):** Force interne par unité de surface, perpendiculaire à la section. * **Déformation linéaire (\( \epsilon \)):** Allongement relatif, variation de longueur par rapport à la longueur initiale. * **Module d'Young (E):** Caractéristique du matériau mesurant sa rigidité. * **Loi de Hooke:** Relation linéaire entre contrainte et déformation dans le domaine élastique. * **Limite élastique (\( R_e \)):** Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans déformation permanente. * **Coefficient de Poisson (\( \nu \)):** Rapport entre la déformation transversale et la déformation longitudinale. * **Coefficient de sécurité (s):** Facteur utilisé pour assurer une marge de sécurité dans la conception. * **Allongement (\( \Delta L \)):** Augmentation de la longueur d'une pièce. * **Section (S):** Aire de la coupe transversale d'une pièce. * **Pascal (Pa), Mégapascal (MPa), Gigapascal (GPa):** Unités de contrainte et de module d'Young. \( 1 \text{ MPa} = 10^6 \text{ Pa} \), \( 1 \text{ GPa} = 10^9 \text{ Pa} \). ### Exemples #### Exemple 1: Calcul de Contrainte Une barre cylindrique en acier de diamètre 20 mm est soumise à une force de traction de 30 kN. 1. **Calculer l'aire de la section (S):** \( D = 20 \text{ mm} = 0,020 \text{ m} \) \( S = \pi \frac{D^2}{4} = \pi \frac{(0,020)^2}{4} \approx 0,000314 \text{ m}^2 \) 2. **Calculer la contrainte (\( \sigma \)):** \( F = 30 \text{ kN} = 30000 \text{ N} \) \( \sigma = \frac{F}{S} = \frac{30000}{0,000314} \approx 95541400 \text{ Pa} \approx 95,54 \text{ MPa} \) #### Exemple 2: Calcul d'Allongement La barre de l'exemple 1 a une longueur initiale de 2 m et un Module d'Young \( E = 200 \text{ GPa} \). 1. **Calculer la déformation linéaire (\( \epsilon \)) en utilisant la Loi de Hooke:** \( \sigma = 95,54 \text{ MPa} = 95,54 \times 10^6 \text{ Pa} \) \( E = 200 \text{ GPa} = 200 \times 10^9 \text{ Pa} \) \( \epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{95,54 \times 10^6}{200 \times 10^9} \approx 0,0004777 \) 2. **Calculer l'allongement total (\( \Delta L \)):** \( \Delta L = \epsilon \cdot L_0 = 0,0004777 \cdot 2 \approx 0,000955 \text{ m} \approx 0,955 \text{ mm} \) #### Exemple 3: Dimensionnement de Section On souhaite concevoir une tige qui doit supporter une charge de traction de 50 kN. Le matériau utilisé a une limite élastique \( R_e = 300 \text{ MPa} \). Un coefficient de sécurité de \( s = 3 \) est requis. 1. **Calculer la contrainte admissible (\( \sigma_{adm} \)):** \( \sigma_{adm} = \frac{R_e}{s} = \frac{300 \text{ MPa}}{3} = 100 \text{ MPa} \) 2. **Déterminer l'aire minimale de la section (S) requise:** \( S = \frac{F}{\sigma_{adm}} = \frac{50 \text{ kN}}{100 \text{ MPa}} = \frac{50000 \text{ N}}{100 \times 10^6 \text{ Pa}} = 0,0005 \text{ m}^2 \) Pour une tige cylindrique, \( S = \pi \frac{D^2}{4} \), donc \( D = \sqrt{\frac{4S}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 0,0005}{\pi}} \approx 0,0252 \text{ m} = 25,2 \text{ mm} \). Il faudrait donc choisir un diamètre supérieur à 25,2 mm. ### Exercices 1. Une sangle textile de section rectangulaire 50 mm x 10 mm est soumise à une force de traction de 2 kN. Calculez la contrainte normale dans la sangle. Exprimez le résultat en MPa. 2. Une barre en aluminium de longueur initiale 1,5 m et de Module d'Young \( E = 70 \text{ GPa} \) subit une contrainte de 50 MPa. Quel est son allongement total? 3. Un câble en acier (\( R_e = 400 \text{ MPa} \)) doit supporter une charge de 10 kN avec un coefficient de sécurité de 4. Quelle est l'aire minimale de sa section transversale? Quel serait le diamètre minimal si le câble est cylindrique? ### Devoirs 1. Un tirant de pont d'une longueur de 10 m est fait d'un alliage spécial (\( E = 150 \text{ GPa} \)). Il est cylindrique avec un diamètre de 40 mm. Il est conçu pour supporter une charge maximale de 200 kN. La contrainte admissible de l'alliage est de 120 MPa. a. Le tirant respecte-t-il la condition de résistance sous la charge maximale? b. Quel serait l'allongement total du tirant sous cette charge maximale? c. Si l'on exige que l'allongement ne dépasse pas 5 mm, quelle est la charge maximale admissible basée sur cette condition de déformation? 2. Expliquez l'importance du coefficient de sécurité en ingénierie et donnez un exemple où un coefficient élevé est crucial. ### Résumé La sollicitation de traction simple est un concept fondamental en résistance des matériaux. Elle décrit l'état d'une pièce soumise à des forces d'étirement axiales. Nous avons appris que ces forces entraînent une **contrainte normale (\( \sigma \))** (force par unité de surface) et une **déformation linéaire (\( \epsilon \))** (allongement relatif). La **Loi de Hooke** relie ces deux grandeurs via le **Module d'Young (E)**, qui caractérise la rigidité du matériau. Enfin, pour garantir la sécurité et la fonctionnalité des pièces, il est impératif de s'assurer que les contraintes calculées ne dépassent pas la **contrainte admissible**, dérivée de la limite élastique du matériau et d'un **coefficient de sécurité**. Comprendre ces principes est essentiel pour la conception et l'analyse de structures et de composants mécaniques. ## Sollicitation de Compression Simple ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur la **sollicitation de compression simple** en Résistance des Matériaux (RDM). La compression est une force fondamentale en mécanique qui agit sur les corps en tendant à les raccourcir ou à les écraser. Comprendre comment les matériaux réagissent à ces forces est essentiel pour concevoir des structures sûres et efficaces, des bâtiments aux machines. Dans cette leçon, nous allons explorer les concepts clés tels que l'effort normal, la contrainte, la déformation et la loi de Hooke appliquée à la compression. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la Compression Simple La compression simple est un type de sollicitation où un corps est soumis à deux forces égales et opposées, agissant le long de son axe longitudinal, qui tendent à le raccourcir. Ces forces sont appelées des **forces de compression**. #### 2. Hypothèses de la Résistance des Matériaux (RDM) Pour simplifier l'étude des matériaux, la RDM repose sur plusieurs hypothèses : * **Matériau homogène :** Le matériau a les mêmes propriétés partout. * **Matériau isotrope :** Les propriétés du matériau sont identiques dans toutes les directions. * **Section droite constante :** La forme et la taille de la section transversale de la pièce sont uniformes sur toute sa longueur. * **Comportement élastique linéaire :** Le matériau retrouve sa forme initiale après la suppression de la charge et la relation entre la contrainte et la déformation est linéaire (Loi de Hooke). * **Petites déformations :** Les déformations sont considérées comme faibles par rapport aux dimensions initiales de la pièce. #### 3. Effort Normal (N) L'**effort normal** est la force interne qui agit perpendiculairement à la section transversale d'une pièce. En compression, cet effort tend à comprimer la matière. Par convention, l'effort normal en compression est souvent considéré comme **négatif**. * **Unité :** Le Newton (N). #### 4. Contrainte Normale (\( \sigma \)) La **contrainte normale** représente la force appliquée par unité de surface de la section transversale. C'est une mesure de l'intensité des forces internes au sein du matériau. La formule de la contrainte normale (\( \sigma \)) est : \[ \sigma = \frac{N}{S} \] Où : * \( \sigma \) : contrainte normale (en Pascals (Pa) ou N/mm²) * \( N \) : effort normal (en Newtons (N)) * \( S \) : aire de la section transversale (en mètres carrés (m²) ou mm²) En compression, la contrainte \( \sigma_c \) est négative. ##### Condition de Résistance Pour qu'une pièce résiste à la compression, la valeur absolue de la contrainte de compression ne doit pas dépasser une certaine limite appelée la Résistance Pratique à la Compression (\( R_{pc} \)). \[ |\sigma_c| \le R_{pc} \] Où : * \( R_{pc} \) : Résistance Pratique à la Compression (en Pa ou N/mm²). Elle est calculée à partir de la limite élastique (\( R_e \)) ou de la résistance à la compression (\( R_c \)) divisée par un coefficient de sécurité (\( s \)) : \( R_{pc} = \frac{R_e}{s} \) ou \( R_{pc} = \frac{R_c}{s} \). #### 5. Déformation Relative (\( \varepsilon \)) La **déformation relative** (ou allongement unitaire) est le rapport entre le changement de longueur (raccourcissement \( \Delta L \)) et la longueur initiale (\( L_0 \)) de la pièce sous l'effet de la charge. La formule de la déformation relative (\( \varepsilon \)) est : \[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \] Où : * \( \varepsilon \) : déformation relative (sans unité, car c'est un rapport de longueurs) * \( \Delta L \) : variation de longueur (raccourcissement en mm ou m). En compression, \( \Delta L \) est négatif. * \( L_0 \) : longueur initiale (en mm ou m) #### 6. Loi de Hooke (pour la Compression) Dans le domaine élastique, la loi de Hooke établit une relation linéaire entre la contrainte et la déformation. Cette loi est fondamentale pour le calcul des déformations. La formule de la loi de Hooke est : \[ \sigma = E \cdot \varepsilon \] Où : * \( E \) : Module d'Young (ou module d'élasticité longitudinale). C'est une propriété intrinsèque du matériau qui indique sa rigidité. (en Pascals (Pa) ou N/mm²) #### 7. Calcul du Raccourcissement (\( \Delta L \)) En combinant les formules de la contrainte, de la déformation et de la loi de Hooke, nous pouvons calculer directement le raccourcissement d'une pièce : Partant de \( \sigma = \frac{N}{S} \) et \( \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \) et \( \sigma = E \cdot \varepsilon \) : \( \frac{N}{S} = E \cdot \frac{\Delta L}{L_0} \) Donc, le raccourcissement \( \Delta L \) est : \[ \Delta L = \frac{N \cdot L_0}{E \cdot S} \] #### 8. Coefficient de Poisson (\( \nu \)) Lorsque l'on comprime un matériau dans une direction, il a tendance à s'épaissir dans les directions transversales. Le **coefficient de Poisson** (\( \nu \)) quantifie ce phénomène. \[ \nu = -\frac{\varepsilon_t}{\varepsilon_l} \] Où : * \( \nu \) : coefficient de Poisson (sans unité, généralement entre 0 et 0.5 pour la plupart des matériaux) * \( \varepsilon_t \) : déformation transversale (variation de largeur/épaisseur par rapport à la dimension initiale) * \( \varepsilon_l \) : déformation longitudinale (\( \varepsilon \) calculée précédemment) Le signe négatif est là car la déformation transversale est positive (épaississement) quand la déformation longitudinale est négative (raccourcissement). ### Vocabulaire * **Compression simple :** Sollicitation axiale tendant à raccourcir un corps. * **Effort normal (N) :** Force interne perpendiculaire à la section, agissant le long de l'axe. * **Contrainte normale (\( \sigma \)) :** Force par unité de surface, mesure de l'intensité des forces internes. * **Déformation relative (\( \varepsilon \)) :** Rapport entre le changement de longueur et la longueur initiale. * **Module d'Young (E) :** Caractéristique d'un matériau mesurant sa rigidité à la déformation élastique. * **Limite élastique (\( R_e \)) :** La contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans déformation permanente. * **Résistance Pratique à la Compression (\( R_{pc} \)) :** La contrainte de compression maximale autorisée, tenant compte d'un coefficient de sécurité. * **Coefficient de Poisson (\( \nu \)) :** Rapport entre la déformation transversale et la déformation longitudinale. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de contrainte dans un poteau Un poteau carré en béton de 200 mm de côté supporte une charge axiale de 200 kN. 1. Calculer l'aire de la section (\( S \)). 2. Calculer la contrainte de compression (\( \sigma_c \)). **Solution :** 1. \( S = 200 \text{ mm} \times 200 \text{ mm} = 40 000 \text{ mm}^2 = 0.04 \text{ m}^2 \) 2. \( N = -200 \text{ kN} = -200 000 \text{ N} \) (en compression, N est négatif) \( \sigma_c = \frac{N}{S} = \frac{-200 000 \text{ N}}{40 000 \text{ mm}^2} = -5 \text{ N/mm}^2 = -5 \text{ MPa} \) La contrainte de compression est de 5 MPa. #### Exemple 2 : Calcul du raccourcissement Une barre cylindrique en acier de 1.5 m de long et de 50 mm de diamètre est soumise à un effort de compression de 50 kN. L'acier a un Module d'Young \( E = 200 \text{ GPa} \). 1. Calculer l'aire de la section (\( S \)). 2. Calculer le raccourcissement (\( \Delta L \)). **Solution :** 1. Rayon \( r = 50/2 = 25 \text{ mm} \) \( S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (25 \text{ mm})^2 \approx 1963.5 \text{ mm}^2 \) 2. \( N = -50 \text{ kN} = -50 000 \text{ N} \) \( L_0 = 1.5 \text{ m} = 1500 \text{ mm} \) \( E = 200 \text{ GPa} = 200 000 \text{ N/mm}^2 \) \( \Delta L = \frac{N \cdot L_0}{E \cdot S} = \frac{(-50 000 \text{ N}) \cdot (1500 \text{ mm})}{(200 000 \text{ N/mm}^2) \cdot (1963.5 \text{ mm}^2)} \approx -0.191 \text{ mm} \) La barre se raccourcit d'environ 0.191 mm. ### Exercices #### Exercice 1 Un pilier en bois de 150 mm x 150 mm supporte une charge de 120 kN. Quelle est la contrainte de compression dans le bois ? #### Exercice 2 Une courte colonne en aluminium (\( E = 70 \text{ GPa} \)) de 30 cm de long et de section circulaire de 60 mm de diamètre est soumise à une force de compression de 80 kN. Calculer : 1. L'aire de la section. 2. La contrainte de compression. 3. Le raccourcissement de la colonne. 4. Si la Résistance Pratique à la Compression du matériau est de 100 MPa, la colonne est-elle suffisamment dimensionnée ? Justifier. ### Devoir à la Maison 1. Une barre en cuivre (\( E = 110 \text{ GPa} \), \( \nu = 0.35 \)) de 2 m de long et de section rectangulaire de 40 mm x 60 mm est soumise à une force de compression axiale de 150 kN. * Calculez la contrainte de compression dans la barre. * Calculez le raccourcissement total de la barre. * Calculez la variation de la dimension de 40 mm et de 60 mm due à l'effet Poisson. * Vérifiez si la barre respecte la condition de résistance si \( R_{pc} = 120 \text{ MPa} \). 2. Recherchez et comparez les valeurs du Module d'Young (E) et de la Résistance Pratique à la Compression (\( R_{pc} \)) pour les matériaux suivants : l'acier, le béton armé, le bois de chêne et l'aluminium. Expliquez comment ces différences influencent leur utilisation dans des applications structurelles soumises à la compression. ### Résumé La sollicitation de compression simple est un concept fondamental en mécanique. Nous avons vu que : * L'**effort normal** (\( N \)) est la force axiale de compression. * La **contrainte normale** (\( \sigma = N/S \)) mesure la force par unité de surface et doit être inférieure à la **Résistance Pratique à la Compression** (\( R_{pc} \)). * La **déformation relative** (\( \varepsilon = \Delta L / L_0 \)) est le raccourcissement par rapport à la longueur initiale. * La **Loi de Hooke** (\( \sigma = E \cdot \varepsilon \)) relie contrainte et déformation via le **Module d'Young** (\( E \)). * Le **raccourcissement** peut être calculé par \( \Delta L = (N \cdot L_0) / (E \cdot S) \). * Le **coefficient de Poisson** (\( \nu \)) décrit l'effet d'élargissement transversal sous compression. La compréhension de ces concepts est cruciale pour l'analyse et la conception de structures et de pièces soumises à des charges de compression, garantissant ainsi leur sécurité et leur fonctionnalité. ## Sollicitation de cisaillement simple ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur la sollicitation de cisaillement simple. En mécanique appliquée, les pièces sont soumises à différentes forces qui peuvent les déformer ou les rompre. Après avoir étudié la traction et la compression, nous allons nous intéresser à un autre type de sollicitation très courant : le cisaillement. Comprendre le cisaillement est essentiel pour concevoir des assemblages fiables comme ceux utilisant des rivets, des boulons ou des goupilles. ### Concepts Clés #### Définition du cisaillement simple Le cisaillement simple est une sollicitation où une pièce est soumise à deux forces égales et opposées, agissant dans des plans très proches, tendant à faire glisser une partie de la pièce par rapport à une autre. Imaginez des ciseaux qui coupent une feuille de papier : la force de cisaillement agit sur la zone coupée. #### Effort tranchant (T) L'effort tranchant, noté \( T \) (ou parfois \( V \) ou \( F_t \)), est la résultante des forces extérieures perpendiculaires à l'axe longitudinal de la pièce, qui tendent à cisailler la matière. Il est généralement exprimé en Newtons (N) ou en kiloNewtons (kN). #### Contrainte de cisaillement (\( \tau \)) La contrainte de cisaillement, notée \( \tau \) (tau), est l'intensité de l'effort tranchant répartie sur la section cisaillée. Elle représente la force interne par unité de surface qui s'oppose à la déformation de cisaillement. Sa formule est : \[ \tau = \frac{T}{S} \] où : * \( \tau \) est la contrainte de cisaillement (en Pascals (Pa) ou N/mm²). * \( T \) est l'effort tranchant (en Newtons (N)). * \( S \) est la surface cisaillée (en mètres carrés (m²) ou mm²). #### Condition de résistance au cisaillement Pour qu'une pièce résiste à l'effort de cisaillement sans se rompre ou se déformer de manière excessive, la contrainte de cisaillement calculée (\( \tau \)) ne doit pas dépasser une valeur maximale admissible, appelée résistance pratique au cisaillement (\( R_{pg} \) ou \( \tau_{adm} \)). La condition est la suivante : \[ \tau \le R_{pg} \] La résistance pratique au cisaillement (\( R_{pg} \)) est obtenue à partir de la résistance élastique au glissement (\( R_{eg} \)) ou de la résistance à la rupture au cisaillement (\( R_{rg} \)) divisée par un coefficient de sécurité \( s \) : \[ R_{pg} = \frac{R_{eg}}{s} \] ou \[ R_{pg} = \frac{R_{rg}}{s} \] (Note : souvent, pour les métaux, \( R_{eg} \) est estimée à \( 0.5 \) à \( 0.8 \) fois \( R_e \), la limite élastique en traction). #### Exemples de pièces soumises au cisaillement De nombreuses pièces mécaniques sont conçues pour résister au cisaillement : * **Rivets, boulons, goupilles :** Utilisés pour assembler des pièces. La rupture se produit généralement par cisaillement du corps de l'élément d'assemblage. * **Clavettes :** Permettent de transmettre un mouvement de rotation en résistant au cisaillement entre un arbre et un moyeu. * **Barres de cisaillement dans les cisailles industrielles :** La machine utilise le principe du cisaillement pour couper des tôles ou des barres. #### Calcul de la surface cisaillée (S) La surface cisaillée est la section de la matière qui va "être coupée" par l'effort tranchant. * **Pour un rivet, un boulon, une goupille :** Si l'élément est sollicité en cisaillement simple sur une seule section, la surface \( S \) est la section transversale de l'élément, souvent un cercle. \[ S = \frac{\pi d^2}{4} \] où \( d \) est le diamètre du rivet/boulon/goupille. * **Cas de cisaillement multiple :** Dans certains assemblages (ex: double cisaillement), une même pièce peut être cisaillée sur plusieurs sections. Dans ce cas, \( S \) est la somme des surfaces cisaillées (par exemple, \( S = 2 \times \frac{\pi d^2}{4} \) pour le double cisaillement). ### Vocabulaire * **Cisaillement simple :** Sollicitation où deux forces opposées et proches tendent à faire glisser une partie d'une pièce par rapport à l'autre. * **Effort tranchant (\( T \)) :** Force qui provoque le cisaillement, perpendiculaire à l'axe de la pièce. * **Contrainte de cisaillement (\( \tau \)) :** Force par unité de surface dans la section cisaillée (\( \tau = T/S \)). * **Surface cisaillée (\( S \)) :** Aire de la section qui subit l'action de cisaillement. * **Résistance pratique au cisaillement (\( R_{pg} \)) :** Contrainte maximale admissible que le matériau peut supporter en cisaillement sans dommage. * **Coefficient de sécurité (\( s \)) :** Facteur utilisé pour assurer la sécurité de la pièce en dimensionnant de manière à ce que les contraintes réelles soient bien inférieures aux limites de rupture. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de la contrainte de cisaillement dans un boulon Un assemblage est maintenu par un boulon de diamètre \( d = 10 \text{ mm} \). Une force de cisaillement \( T = 5 \text{ kN} \) agit sur le boulon. Calculez la contrainte de cisaillement subie par le boulon. 1. **Calcul de la surface cisaillée \( S \) :** \( d = 10 \text{ mm} = 0.01 \text{ m} \) \[ S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.01)^2}{4} \approx 7.854 \times 10^{-5} \text{ m}^2 \] Ou en mm² : \( S = \frac{\pi (10)^2}{4} \approx 78.54 \text{ mm}^2 \) 2. **Conversion de l'effort tranchant \( T \) :** \( T = 5 \text{ kN} = 5000 \text{ N} \) 3. **Calcul de la contrainte de cisaillement \( \tau \) :** \[ \tau = \frac{T}{S} = \frac{5000 \text{ N}}{7.854 \times 10^{-5} \text{ m}^2} \approx 63.66 \times 10^6 \text{ Pa} = 63.66 \text{ MPa} \] Ou en N/mm² : \( \tau = \frac{5000 \text{ N}}{78.54 \text{ mm}^2} \approx 63.66 \text{ N/mm}^2 \] La contrainte de cisaillement dans le boulon est d'environ \( 63.66 \text{ MPa} \). #### Exemple 2 : Vérification de résistance Reprenons l'exemple 1. Le boulon est en acier avec une résistance pratique au cisaillement \( R_{pg} = 80 \text{ MPa} \). Le boulon résiste-t-il à la force appliquée ? * Contrainte calculée \( \tau = 63.66 \text{ MPa} \). * Résistance pratique \( R_{pg} = 80 \text{ MPa} \). Comme \( \tau \le R_{pg} \) (c'est-à-dire \( 63.66 \text{ MPa} \le 80 \text{ MPa} \)), le boulon **résiste** à la force de cisaillement appliquée. ### Exercices Répondez aux questions suivantes et résolvez les problèmes. 1. Définissez avec vos propres mots ce qu'est le cisaillement simple. 2. Quelle est la formule de la contrainte de cisaillement et que représente chaque terme ? 3. Un rivet de diamètre \( 8 \text{ mm} \) relie deux tôles. Il est soumis à un effort tranchant de \( 3 \text{ kN} \). * a) Calculez la surface cisaillée du rivet. * b) Calculez la contrainte de cisaillement dans le rivet. * c) Si la résistance pratique au cisaillement de l'acier du rivet est de \( 55 \text{ MPa} \), le rivet résiste-t-il ? 4. Une goupille de \( 6 \text{ mm} \) de diamètre est utilisée pour bloquer une pièce. Si elle doit résister à une force de cisaillement maximale de \( 1.5 \text{ kN} \), quelle devrait être la résistance pratique au cisaillement minimale du matériau de la goupille ? ### Devoirs 1. Recherchez et décrivez trois autres exemples de pièces mécaniques soumises principalement au cisaillement. 2. Un arbre de transmission de \( 40 \text{ mm} \) de diamètre est assemblé à un moyeu par une clavette carrée de \( 10 \text{ mm} \) de côté et de \( 60 \text{ mm} \) de long. Si l'arbre transmet un couple qui génère un effort tranchant de \( 12 \text{ kN} \) dans la clavette, calculez la contrainte de cisaillement subie par la clavette. (Attention : la surface cisaillée de la clavette est son côté en contact avec l'arbre ou le moyeu, soit \( \text{côté} \times \text{longueur} \)). 3. Un poinçon circulaire est utilisé pour découper des disques en tôle d'acier de \( 2 \text{ mm} \) d'épaisseur. Le diamètre du disque est de \( 25 \text{ mm} \). La résistance à la rupture au cisaillement de la tôle est \( R_{rg} = 300 \text{ MPa} \). Quel effort minimal (force) est nécessaire pour découper un disque ? (Indice : la surface cisaillée est le contour du disque multiplié par l'épaisseur de la tôle.) ### Résumé Pour résumer, le cisaillement simple est une sollicitation fondamentale en mécanique où des forces opposées et proches tendent à faire glisser des sections de matière. L'effort tranchant \( T \) est la force en jeu. La contrainte de cisaillement \( \tau \) est la mesure de cette force par unité de surface cisaillée \( S \), calculée par la formule \[ \tau = \frac{T}{S} \]. Pour assurer la sécurité et la durabilité des pièces, il est impératif que la contrainte calculée \( \tau \) ne dépasse jamais la résistance pratique au cisaillement \( R_{pg} \) du matériau. Ces principes sont cruciaux pour la conception et l'analyse de nombreux assemblages mécaniques.