Chap10: Équations différentielles

# Chap10: Équations différentielles ## Présentation et vocabulaire ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les équations différentielles ! Ce domaine des mathématiques est fondamental car il permet de modéliser une multitude de phénomènes naturels, physiques, biologiques, économiques et même sociaux. Que ce soit pour décrire le mouvement d'une planète, l'évolution d'une population ou la décroissance radioactive, les équations différentielles sont des outils indispensables. Dans cette première leçon, nous allons poser les bases : comprendre ce qu'est une équation différentielle, découvrir le vocabulaire associé et explorer quelques exemples simples qui vous serviront de point de départ. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une équation différentielle ? Une **équation différentielle** est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction ainsi que ses dérivées successives. En d'autres termes, c'est une relation entre une fonction \( y \) (souvent d'une variable \( x \) ou \( t \)), et une ou plusieurs de ses dérivées (\( y' \), \( y'' \), etc.). * **Exemple simple :** L'équation \( y' = 2x \) est une équation différentielle. On cherche une fonction \( y(x) \) dont la dérivée est \( 2x \). * **Exemple plus complexe :** L'équation \( y'' + 4y = 0 \) est une autre équation différentielle. On cherche une fonction \( y(x) \) dont la somme de la dérivée seconde et de quatre fois la fonction elle-même est nulle. #### Ordre d'une équation différentielle L'**ordre** d'une équation différentielle est déterminé par l'ordre le plus élevé de la dérivée qui apparaît dans l'équation. * \( y' = 2x \) est une équation différentielle d'ordre 1 (car la dérivée la plus haute est \( y' \)). * \( y'' + 4y = 0 \) est une équation différentielle d'ordre 2 (car la dérivée la plus haute est \( y'' \)). #### Solution d'une équation différentielle Une **solution** (ou fonction solution) d'une équation différentielle est une fonction qui, lorsqu'elle est substituée à l'inconnue \( y \) dans l'équation, rend l'égalité vraie sur un certain intervalle. * **Solution générale :** C'est l'ensemble de toutes les fonctions qui vérifient l'équation. Elle contient souvent une ou plusieurs constantes arbitraires (par exemple, notées \( C \)). * **Solution particulière :** C'est une solution spécifique obtenue en attribuant des valeurs aux constantes de la solution générale. Une solution particulière est souvent déterminée par des **conditions initiales**. #### Conditions initiales Les **conditions initiales** sont des informations supplémentaires qui permettent de fixer les constantes de la solution générale et ainsi de trouver une solution particulière unique. Elles spécifient généralement la valeur de la fonction (et parfois de ses dérivées) en un point donné. Par exemple, \( y(0) = 3 \) ou \( y'(1) = 0 \). ### Vocabulaire * **Équation différentielle :** Équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir ses dérivées. * **Fonction inconnue :** La fonction \( y(x) \) que l'on cherche à déterminer. * **Dérivée :** Taux de variation de la fonction (\( y' \), \( y'' \), etc.). * **Ordre :** Ordre de la dérivée la plus élevée apparaissant dans l'équation. * **Solution générale :** Ensemble de toutes les fonctions qui vérifient l'équation différentielle. Contient des constantes arbitraires. * **Solution particulière :** Une solution spécifique de l'équation, obtenue à partir de la solution générale en fixant les constantes. * **Condition initiale :** Valeur de la fonction (ou de ses dérivées) en un point donné, utilisée pour trouver une solution particulière unique. ### Exemples #### Exemple 1: Équation différentielle d'ordre 1 simple Considérons l'équation différentielle \[ y' = 2x \] Pour trouver les solutions, il suffit de prendre la primitive de \( 2x \). La solution générale est \( y(x) = x^2 + C \), où \( C \) est une constante réelle. Si l'on ajoute la condition initiale \( y(0) = 5 \) : \( y(0) = 0^2 + C = 5 \), donc \( C = 5 \). La solution particulière est alors \( y(x) = x^2 + 5 \). #### Exemple 2: Équation différentielle du type \( y' = ay \) Considérons l'équation différentielle \[ y' = 3y \] Les solutions de cette équation sont de la forme \( y(x) = C e^{ax} \). Dans notre cas, \( a=3 \). La solution générale est \( y(x) = C e^{3x} \), où \( C \) est une constante réelle. Si l'on ajoute la condition initiale \( y(1) = 2 \) : \( y(1) = C e^{3 imes 1} = 2 \), donc \( C e^3 = 2 \), ce qui donne \( C = rac{2}{e^3} = 2e^{-3} \). La solution particulière est alors \( y(x) = 2e^{-3} e^{3x} = 2e^{3x-3} \). #### Exemple 3: Vérification d'une solution Vérifions si la fonction \( f(x) = e^{2x} \) est une solution de l'équation différentielle \[ y'' - 3y' + 2y = 0 \] 1. Calculons les dérivées de \( f(x) = e^{2x} \) : * \( f'(x) = 2e^{2x} \) * \( f''(x) = 4e^{2x} \) 2. Substituons dans l'équation : \( f''(x) - 3f'(x) + 2f(x) = 4e^{2x} - 3(2e^{2x}) + 2(e^{2x}) \) \( = 4e^{2x} - 6e^{2x} + 2e^{2x} \) \( = (4 - 6 + 2)e^{2x} = 0e^{2x} = 0 \) L'égalité est vraie. Donc, \( f(x) = e^{2x} \) est bien une solution de cette équation différentielle. ### Exercices 1. Indiquez l'ordre de chacune des équations différentielles suivantes : * a) \( y' + xy = ext{cos}(x) \) * b) \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) * c) \( y''' + (y')^2 = e^x \) 2. Vérifiez si la fonction \( f(x) = 3e^{-2x} \) est une solution de l'équation différentielle \( y' + 2y = 0 \). 3. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle \( y' = 4x^3 - 1 \). 4. Déterminez la solution particulière de l'équation \( y' = 5y \) sachant que \( y(0) = 7 \). ### Devoir 1. Vérifiez si la fonction \( g(x) = ext{cos}(x) + ext{sin}(x) \) est une solution de l'équation différentielle \( y'' + y = 0 \). 2. Résolvez l'équation différentielle \( y' = ext{cos}(2x) \) avec la condition initiale \( y(rac{\pi}{4}) = 0 \). 3. On considère un phénomène de désintégration radioactive où la quantité d'une substance \( N(t) \) diminue à un taux proportionnel à la quantité présente. Cette situation est modélisée par l'équation différentielle \( N'(t) = -k N(t) \), où \( k \) est une constante positive. Si la quantité initiale de la substance est \( N_0 \) (c'est-à-dire \( N(0) = N_0 \)), déterminez l'expression de \( N(t) \). ### Résumé Dans cette leçon introductive, nous avons défini les équations différentielles comme des équations impliquant une fonction inconnue et ses dérivées. Nous avons appris à identifier leur ordre et à distinguer les solutions générales des solutions particulières, souvent déterminées par des conditions initiales. Les exemples ont illustré comment trouver ou vérifier des solutions pour des types d'équations simples. Les équations différentielles sont un outil puissant pour modéliser le monde qui nous entoure, et cette introduction est la première étape vers leur maîtrise. ## Équations f'=af ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les équations différentielles. En mathématiques et en physique, de nombreux phénomènes naturels décrivent une quantité dont le taux de variation est lié à la quantité elle-même. C'est précisément ce que modélisent les équations différentielles. Nous allons nous concentrer sur l'une des formes les plus fondamentales et les plus courantes : l'équation \( f' = af \). ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une équation différentielle ? Une équation différentielle est une équation qui met en relation une fonction inconnue, sa variable et ses dérivées. Par exemple, \( f'(x) = 2f(x) \) est une équation différentielle. Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions qui satisfont cette relation. #### L'équation différentielle \( f' = af \) C'est une équation différentielle du premier ordre (car elle n'implique que la première dérivée) de la forme: \[ f'(x) = af(x) \] où \( a \) est une constante réelle donnée. Cette équation peut aussi s'écrire \( y' = ay \) si \( y \) est une fonction de \( x \). Elle signifie que la dérivée de la fonction est proportionnelle à la fonction elle-même. Les fonctions exponentielles sont au cœur de la résolution de ces équations. #### Solutions de l'équation \( f' = af \) Les solutions générales de l'équation différentielle \[ f'(x) = af(x) \] sont toutes les fonctions de la forme: \[ f(x) = Ce^{ax} \] où \( C \) est une constante réelle arbitraire. Cette constante \( C \) est déterminée par une condition supplémentaire. #### Détermination d'une solution particulière Pour trouver une solution unique (appelée solution particulière), il est nécessaire de connaître une condition initiale. Une condition initiale est la valeur de la fonction en un point donné, par exemple \( f(x_0) = y_0 \). En substituant ces valeurs dans la solution générale \( f(x) = Ce^{ax} \), on peut déterminer la valeur de la constante \( C \). #### Interprétation graphique La relation \( f'(x) = af(x) \) signifie que la pente de la tangente à la courbe de \( f \) en tout point \( (x, f(x)) \) est égale à \( a \) fois la valeur de la fonction en ce point. Le signe de \( a \) indique si la fonction est croissante (\( a > 0 \)) ou décroissante (\( a < 0 \)) lorsque \( f(x) > 0 \). #### Applications Ces équations modélisent de nombreux phénomènes, tels que : * La croissance ou la décroissance de populations (biologie). * La désintégration radioactive (physique). * La charge ou la décharge d'un condensateur (électricité). * Le refroidissement d'un corps (thermodynamique). ### Vocabulaire * **Équation différentielle:** Une équation qui lie une fonction inconnue et ses dérivées. * **Solution générale:** L'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont une équation différentielle. Elle contient une constante arbitraire (ou plus). * **Solution particulière:** Une solution spécifique de l'équation différentielle, obtenue en utilisant une condition initiale pour déterminer la valeur de la constante arbitraire. * **Condition initiale:** Une information spécifique sur la valeur de la fonction à un point donné, par exemple \( f(0) = 5 \). * **Fonction exponentielle:** Une fonction de la forme \( x \mapsto e^{kx} \), où \( k \) est une constante. Elle est fondamentale pour les solutions de \( f' = af \). ### Exemples #### Exemple 1: Résolution générale Trouver la solution générale de l'équation différentielle \( f'(x) = 3f(x) \). * **Solution:** L'équation est de la forme \( f' = af \) avec \( a=3 \). La solution générale est donc \[ f(x) = Ce^{3x} \] où \( C \) est une constante réelle. #### Exemple 2: Résolution particulière Trouver la solution particulière de l'équation différentielle \( f'(x) = -2f(x) \) satisfaisant la condition initiale \( f(0) = 4 \). * **Solution:** 1. La solution générale est \( f(x) = Ce^{-2x} \). 2. Utilisons la condition initiale \( f(0) = 4 \): \( 4 = Ce^{-2 imes 0} \) \( 4 = Ce^0 \) \( 4 = C imes 1 \) \( C = 4 \) 3. La solution particulière est donc \[ f(x) = 4e^{-2x} \] #### Exemple 3: Application (Croissance de population) Une population de bactéries \( P(t) \) croît à un taux proportionnel à sa taille. Si le taux de croissance est de 10% par heure et qu'initialement il y a 1000 bactéries, quelle sera la population après \( t \) heures ? * **Solution:** 1. L'équation différentielle est \( P'(t) = 0.10 P(t) \) (car 10% de taux de croissance, donc \( a = 0.10 \)). 2. La condition initiale est \( P(0) = 1000 \). 3. La solution générale est \( P(t) = Ce^{0.10t} \). 4. Utilisons la condition initiale : \( 1000 = Ce^{0.10 imes 0} \) \( 1000 = C \) 5. La fonction de population est donc \[ P(t) = 1000e^{0.10t} \] ### Exercices 1. Résoudre l'équation différentielle \( f'(x) = 5f(x) \). 2. Trouver la solution particulière de l'équation différentielle \( f'(x) = -4f(x) \) sachant que \( f(0) = 2 \). 3. Vérifier que la fonction \( f(x) = 7e^{0.5x} \) est une solution de l'équation différentielle \( 2f'(x) = f(x) \). ### Devoirs 1. Résoudre l'équation différentielle \( 2y' = 6y \) avec la condition initiale \( y(1) = 3e^3 \). 2. La température \( T(t) \) d'un corps se refroidissant dans une pièce à température ambiante \( T_{amb} = 25^ ext{o}C \) est donnée par l'équation différentielle \( T'(t) = -0.05(T(t) - T_{amb}) \). * Soit \( heta(t) = T(t) - T_{amb} \). Montrer que \( heta'(t) = -0.05 heta(t) \). * Si la température initiale du corps est de \( 100^ ext{o}C \), déterminer la fonction \( heta(t) \). * En déduire l'expression de \( T(t) \). * Quelle sera la température du corps après 20 minutes ? ### Résumé Les équations différentielles de la forme \( f' = af \) sont des outils puissants pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance. Leur solution générale est \( f(x) = Ce^{ax} \). Pour trouver une solution particulière unique, une condition initiale est nécessaire pour déterminer la constante \( C \). Ces équations sont fondamentales en sciences et en ingénierie. ## Equations af''+bf'+cf=0 où a, b et c sont des réels ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants. Ces équations, de la forme \( af''+bf'+cf=0 \), sont fondamentales en mathématiques et trouvent des applications dans de nombreux domaines comme la physique (oscillations, circuits électriques) ou l'ingénierie. Comprendre comment les résoudre est une compétence essentielle pour analyser des systèmes dynamiques. ### Concepts Clés #### Définition d'une équation différentielle linéaire du second ordre homogène à coefficients constants Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction à ses dérivées. Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est de la forme : \\[ ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0 \\\] où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des nombres réels, avec \( a \neq 0 \), et \( y \) est une fonction de la variable \( x \) (souvent le temps \( t \) en physique), et \( y' \) et \( y'' \) sont ses première et seconde dérivées. #### L'équation caractéristique Pour résoudre l'équation différentielle \( ay''+by'+cy=0 \), nous allons chercher des solutions de la forme \( y(x) = e^{rx} \). En substituant cette forme dans l'équation différentielle, nous obtenons : * \( y'(x) = re^{rx} \) * \( y''(x) = r^2e^{rx} \) Ce qui donne : \\[ a(r^2e^{rx}) + b(re^{rx}) + c(e^{rx}) = 0 \\\] En factorisant \( e^{rx} \) (qui n'est jamais nul), nous obtenons l'équation caractéristique : \\[ ar^2 + br + c = 0 \\\] C'est une équation quadratique dont les racines \( r \) détermineront la forme de la solution générale de l'équation différentielle. #### Résolution de l'équation caractéristique et solutions de l'équation différentielle La nature des solutions de l'équation caractéristique dépend de son discriminant, \( \Delta = b^2 - 4ac \). ##### Cas 1 : Le discriminant est strictement positif (\( \Delta > 0 \)) * L'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes, notées \( r_1 \) et \( r_2 \). * \\[ r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\\] * La solution générale de l'équation différentielle est de la forme : \\[ y(x) = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x} \\\] où \( A \) et \( B \) sont des constantes réelles arbitraires. ##### Cas 2 : Le discriminant est nul (\( \Delta = 0 \)) * L'équation caractéristique a une seule racine réelle (racine double), notée \( r_0 \). * \\[ r_0 = \frac{-b}{2a} \\\] * La solution générale de l'équation différentielle est de la forme : \\[ y(x) = (Ax+B)e^{r_0 x} \\\] où \( A \) et \( B \) sont des constantes réelles arbitraires. ##### Cas 3 : Le discriminant est strictement négatif (\( \Delta < 0 \)) * L'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées, notées \( r_1 \) et \( r_2 \). * \\[ r_1 = \alpha + i\beta \quad \text{et} \quad r_2 = \alpha - i\beta \\\] où \( \alpha = \frac{-b}{2a} \) et \( \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \). * La solution générale de l'équation différentielle est de la forme : \\[ y(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)) \\\] où \( A \) et \( B \) sont des constantes réelles arbitraires. ### Vocabulaire * **Équation différentielle** : Une équation qui relie une fonction à une ou plusieurs de ses dérivées. * **Équation caractéristique** : L'équation polynomiale (quadratique ici) dérivée de l'équation différentielle, dont les racines déterminent la forme de la solution générale. * **Solution générale** : L'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont l'équation différentielle. Elle contient des constantes arbitraires (\( A \) et \( B \) ici). * **Discriminant (\( \Delta \))** : La quantité \( b^2 - 4ac \) qui détermine la nature des racines d'une équation quadratique. * **Racines réelles** : Solutions de l'équation caractéristique qui sont des nombres réels. * **Racines complexes conjuguées** : Solutions de l'équation caractéristique qui sont des nombres complexes de la forme \( \alpha \pm i\beta \). ### Exemples #### Exemple 1 : Cas \( \Delta > 0 \) Résoudre l'équation différentielle \( y'' - y' - 2y = 0 \). 1. **Équation caractéristique** : \( r^2 - r - 2 = 0 \). 2. **Discriminant** : \( \Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). Puisque \( \Delta > 0 \). 3. **Racines** : \( r = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 \pm 3}{2} \). * \( r_1 = \frac{1+3}{2} = 2 \) * \( r_2 = \frac{1-3}{2} = -1 \) 4. **Solution générale** : \( y(x) = Ae^{2x} + Be^{-x} \). #### Exemple 2 : Cas \( \Delta = 0 \) Résoudre l'équation différentielle \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 1. **Équation caractéristique** : \( r^2 - 4r + 4 = 0 \). 2. **Discriminant** : \( \Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \). Puisque \( \Delta = 0 \). 3. **Racine** : \( r_0 = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \). 4. **Solution générale** : \( y(x) = (Ax+B)e^{2x} \). #### Exemple 3 : Cas \( \Delta < 0 \) Résoudre l'équation différentielle \( y'' + 2y' + 2y = 0 \). 1. **Équation caractéristique** : \( r^2 + 2r + 2 = 0 \). 2. **Discriminant** : \( \Delta = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 \). Puisque \( \Delta < 0 \). 3. **Racines** : \( r = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2(1)} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i \). * Ici, \( \alpha = -1 \) et \( \beta = 1 \). 4. **Solution générale** : \( y(x) = e^{-x}(A\cos(x) + B\sin(x)) \). ### Exercices Résolvez les équations différentielles suivantes : 1. \( y'' + 5y' + 6y = 0 \) 2. \( y'' - 6y' + 9y = 0 \) 3. \( y'' - 2y' + 5y = 0 \) 4. \( 2y'' - 5y' - 3y = 0 \) 5. \( y'' + 4y = 0 \) (Attention : il manque le terme en \( y' \)) ### Devoirs Résolvez les équations différentielles suivantes, et pour la première, trouvez la solution particulière avec les conditions initiales données : 1. \( y'' - 3y' + 2y = 0 \), avec \( y(0) = 1 \) et \( y'(0) = 0 \). 2. \( y'' + y' + y = 0 \) 3. \( 4y'' + 4y' + y = 0 \) 4. Un circuit RLC sans source est décrit par l'équation différentielle \( L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{C}Q = 0 \). Sachant que \( L=1 \) H, \( R=2 \) \( \Omega \) et \( C=0.5 \) F, trouvez la charge \( Q(t) \) sur le condensateur. ### Résumé Pour résoudre une équation différentielle de la forme \( ay''+by'+cy=0 \), la première étape cruciale est de former et de résoudre son équation caractéristique \( ar^2+br+c=0 \). La nature des solutions de cette équation caractéristique, déterminée par le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \), dicte la forme de la solution générale de l'équation différentielle : * **\( \Delta > 0 \)** : Deux racines réelles distinctes \( r_1, r_2 \) \( \rightarrow \) \( y(x) = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x} \) * **\( \Delta = 0 \)** : Une racine réelle double \( r_0 \) \( \rightarrow \) \( y(x) = (Ax+B)e^{r_0 x} \) * **\( \Delta < 0 \)** : Deux racines complexes conjuguées \( \alpha \pm i\beta \) \( \rightarrow \) \( y(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)) \) La maîtrise de ces trois cas est essentielle pour résoudre ces types d'équations différentielles. ## Equations af''+bf'+cf=d où d est une constante ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre étude des équations différentielles en nous concentrant sur un type spécifique : les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants, dont le second membre est une constante. Ces équations sont fondamentales en mathématiques et trouvent de nombreuses applications en physique (oscillations, circuits électriques), en ingénierie et dans d'autres sciences. Nous apprendrons à trouver la solution générale de ces équations en combinant les solutions d'une équation homogène associée et une solution particulière. ### Concepts Clés #### Définition d'une équation différentielle du second ordre Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants se présente sous la forme : \[ ay''+by'+cy=f(x) \] Où \( a, b, c \) sont des constantes réelles avec \( a \neq 0 \), \( y \) est une fonction de \( x \), \( y' \) est sa dérivée première et \( y'' \) est sa dérivée seconde. Dans cette leçon, nous nous intéressons au cas où le second membre \( f(x) \) est une constante \( d \) : \[ ay''+by'+cy=d \] #### L'équation homogène associée La première étape pour résoudre l'équation complète est de résoudre l'équation homogène associée, qui s'obtient en remplaçant le second membre par zéro : \[ ay''+by'+cy=0 \] ##### Équation caractéristique Pour résoudre l'équation homogène, nous formons son équation caractéristique en remplaçant \( y'' \) par \( r^2 \), \( y' \) par \( r \) et \( y \) par \( 1 \) : \[ ar^2+br+c=0 \] Les racines de cette équation du second degré déterminent la forme de la solution générale de l'équation homogène \( y_h(x) \). ##### Solutions de l'équation homogène Le type de solution \( y_h(x) \) dépend du discriminant \( oldsymbol{\Delta = b^2-4ac} \) de l'équation caractéristique : * **Cas 1 : \( \Delta > 0 \)** (Deux racines réelles distinctes) Les racines sont \( r_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \) et \( r_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \). La solution générale de l'équation homogène est : \[ y_h(x) = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x} \] où \( A \) et \( B \) sont des constantes réelles. * **Cas 2 : \( \Delta = 0 \)** (Une racine réelle double) La racine est \( r_0 = \frac{-b}{2a} \). La solution générale de l'équation homogène est : \[ y_h(x) = (Ax+B)e^{r_0 x} \] où \( A \) et \( B \) sont des constantes réelles. * **Cas 3 : \( \Delta < 0 \)** (Deux racines complexes conjuguées) Les racines sont \( r_1 = \alpha - i\beta \) et \( r_2 = \alpha + i\beta \), où \( \alpha = \frac{-b}{2a} \) et \( \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \). La solution générale de l'équation homogène est : \[ y_h(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)) \] où \( A \) et \( B \) sont des constantes réelles. #### Recherche d'une solution particulière pour l'équation complète Pour l'équation complète \( ay''+by'+cy=d \) (où \( d \) est une constante), nous cherchons une solution particulière \( y_p(x) \). * **Si \( c \neq 0 \)** : Puisque le second membre est une constante, nous pouvons chercher une solution particulière constante de la forme \( y_p(x) = k \). Dans ce cas, \( y_p'(x) = 0 \) et \( y_p''(x) = 0 \). En substituant dans l'équation : \( a(0) + b(0) + c(k) = d \), ce qui donne \( ck = d \). Ainsi, la solution particulière est \( y_p(x) = \frac{d}{c} \). * **Si \( c = 0 \) et \( b \neq 0 \)** : L'équation devient \( ay''+by'=d \). Une solution particulière constante n'est pas possible (car \( y_p=k \) donnerait \( 0=d \), ce qui est faux si \( d \neq 0 \)). Nous cherchons alors une solution particulière de la forme \( y_p(x) = kx \). Dans ce cas, \( y_p'(x) = k \) et \( y_p''(x) = 0 \). En substituant dans l'équation : \( a(0) + b(k) = d \), ce qui donne \( bk = d \). Ainsi, la solution particulière est \( y_p(x) = \frac{d}{b}x \). #### Solution générale de l'équation complète La solution générale \( y(x) \) de l'équation différentielle complète \( ay''+by'+cy=d \) est la somme de la solution générale de l'équation homogène \( y_h(x) \) et d'une solution particulière \( y_p(x) \) de l'équation complète : \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) \] ### Vocabulaire * **Équation différentielle :** Équation faisant intervenir une fonction inconnue et ses dérivées. * **Équation homogène associée :** L'équation différentielle où le second membre est nul. * **Équation caractéristique :** Équation polynomiale (ici du second degré) dont les racines permettent de déterminer la forme de la solution de l'équation homogène. * **Discriminant (\( \Delta \)) :** La valeur \( b^2-4ac \) qui détermine la nature des racines d'une équation quadratique. * **Racines réelles :** Solutions réelles de l'équation caractéristique. * **Racines complexes conjuguées :** Solutions complexes de l'équation caractéristique de la forme \( \alpha \pm i\beta \). * **Solution générale :** Ensemble de toutes les fonctions qui vérifient l'équation différentielle, contenant des constantes d'intégration arbitraires. * **Solution particulière :** Une fonction spécifique (sans constantes arbitraires) qui vérifie l'équation différentielle complète. ### Exemples #### Exemple 1 Résoudre l'équation différentielle : \( y'' - 3y' + 2y = 4 \) 1. **Équation homogène :** \( y'' - 3y' + 2y = 0 \) Équation caractéristique : \( r^2 - 3r + 2 = 0 \) \( \Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 > 0 \) Racines : \( r_1 = \frac{3-1}{2} = 1 \) et \( r_2 = \frac{3+1}{2} = 2 \) Solution homogène : \( y_h(x) = Ae^x + Be^{2x} \) 2. **Solution particulière :** Le second membre est \( d=4 \) et \( c=2 \neq 0 \). On cherche \( y_p(x) = k \). En substituant : \( 2k = 4 \), donc \( k = 2 \). Solution particulière : \( y_p(x) = 2 \) 3. **Solution générale :** \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) \) \( y(x) = Ae^x + Be^{2x} + 2 \) #### Exemple 2 Résoudre l'équation différentielle : \( y'' + 4y' + 4y = 8 \) 1. **Équation homogène :** \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) Équation caractéristique : \( r^2 + 4r + 4 = 0 \) \( (r+2)^2 = 0 \) \( \Delta = 0 \), racine double : \( r_0 = -2 \) Solution homogène : \( y_h(x) = (Ax+B)e^{-2x} \) 2. **Solution particulière :** Le second membre est \( d=8 \) et \( c=4 \neq 0 \). On cherche \( y_p(x) = k \). En substituant : \( 4k = 8 \), donc \( k = 2 \). Solution particulière : \( y_p(x) = 2 \) 3. **Solution générale :** \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) \) \( y(x) = (Ax+B)e^{-2x} + 2 \) #### Exemple 3 Résoudre l'équation différentielle : \( y'' + 2y' + 5y = 10 \) 1. **Équation homogène :** \( y'' + 2y' + 5y = 0 \) Équation caractéristique : \( r^2 + 2r + 5 = 0 \) \( \Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0 \) Racines : \( r = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i \) Ici \( \alpha = -1 \) et \( \beta = 2 \). Solution homogène : \( y_h(x) = e^{-x}(A\cos(2x) + B\sin(2x)) \) 2. **Solution particulière :** Le second membre est \( d=10 \) et \( c=5 \neq 0 \). On cherche \( y_p(x) = k \). En substituant : \( 5k = 10 \), donc \( k = 2 \). Solution particulière : \( y_p(x) = 2 \) 3. **Solution générale :** \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) \) \( y(x) = e^{-x}(A\cos(2x) + B\sin(2x)) + 2 \) ### Exercices Résolvez les équations différentielles suivantes : 1. \( y'' - y' - 2y = 6 \) 2. \( y'' + 6y' + 9y = 18 \) 3. \( y'' - 2y' + 10y = -20 \) ### Devoir à la maison 1. Résoudre l'équation différentielle : \( y'' - 4y = 8 \) 2. Résoudre l'équation différentielle : \( y'' + 2y' + y = 3 \) avec les conditions initiales \( y(0)=0 \) et \( y'(0)=0 \). 3. Résoudre l'équation différentielle : \( 2y'' - y' = 4 \) *(Indice : Attention au cas où \( c=0 \). Quelle forme doit prendre la solution particulière ?)* ### Résumé Pour résoudre une équation différentielle de la forme \( ay''+by'+cy=d \) : 1. **Résoudre l'équation homogène associée** \( ay''+by'+cy=0 \) en utilisant l'équation caractéristique \( ar^2+br+c=0 \). * Si \( \Delta > 0 \), \( y_h(x) = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x} \). * Si \( \Delta = 0 \), \( y_h(x) = (Ax+B)e^{r_0 x} \). * Si \( \Delta < 0 \), \( y_h(x) = e^{\alpha x}(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)) \). 2. **Trouver une solution particulière** \( y_p(x) \) pour l'équation complète. * Si \( c \neq 0 \), chercher \( y_p(x) = k \), ce qui donne \( k = d/c \). * Si \( c = 0 \) et \( b \neq 0 \), chercher \( y_p(x) = kx \), ce qui donne \( k = d/b \). 3. **Former la solution générale** \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) \). Ces étapes vous permettront de résoudre efficacement les équations différentielles du second ordre avec un second membre constant.