Chap4: Primitives d’une fonction continue sur un intervalle

# Chap4: Primitives d’une fonction continue sur un intervalle ## Primitives d’une fonction continues sur un intervalle: définition, exemple et détermination ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons découvrir un concept fondamental en analyse : la primitive d'une fonction. Si la dérivation permet de calculer la pente d'une courbe en un point donné, la recherche de primitives est l'opération inverse. Elle nous permettra de retrouver une fonction connaissant sa dérivée. C'est un outil essentiel pour la résolution de nombreux problèmes en mathématiques, en physique et dans d'autres sciences. ### I. Définition d'une primitive #### Définition Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On appelle primitive de \( f \) sur \( I \) toute fonction \( F \) qui est dérivable sur \( I \) et telle que, pour tout \( x otin I \): \[ F'(x) = f(x) \] **Exemple:** Si \( f(x) = 2x \) sur \( \mathbb{R} \), alors \( F(x) = x^2 \) est une primitive de \( f \) car \( F'(x) = 2x = f(x) \). Mais \( F(x) = x^2 + 3 \) est aussi une primitive, car \( F'(x) = 2x = f(x) \). Et \( F(x) = x^2 - 10 \) l'est également. ### II. Existence et unicité d'une primitive #### Théorème d'existence **Toute fonction continue sur un intervalle \( I \) admet des primitives sur cet intervalle.** C'est un théorème fondamental qui garantit que pour la plupart des fonctions que nous rencontrons (polynômes, exponentielles, logarithmes, trigonométriques, etc.), des primitives existent. #### Unicité à une constante près Si \( F_1 \) et \( F_2 \) sont deux primitives d'une même fonction \( f \) sur un intervalle \( I \), alors il existe une constante réelle \( C \) telle que, pour tout \( x otin I \): \[ F_2(x) = F_1(x) + C \] Cela signifie que si vous trouvez une primitive \( F(x) \) d'une fonction \( f(x) \), toutes les autres primitives sont de la forme \( F(x) + C \), où \( C \) est une constante réelle arbitraire. Cette constante est appelée la **constante d'intégration**. ### III. Propriétés des primitives Les primitives suivent des règles de linéarité similaires à celles des dérivées: * **Primitive d'une somme:** Si \( F \) est une primitive de \( f \) et \( G \) est une primitive de \( g \) sur un intervalle \( I \), alors \( F+G \) est une primitive de \( f+g \) sur \( I \). \( \text{Autrement dit: } \int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \) * **Primitive d'un produit par une constante:** Si \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( I \) et \( k \) est un nombre réel, alors \( kF \) est une primitive de \( kf \) sur \( I \). \( \text{Autrement dit: } \int kf(x) dx = k \int f(x) dx \) Ces propriétés permettent de trouver des primitives de fonctions complexes en les décomposant en sommes ou produits par des constantes de fonctions plus simples. ### IV. Tableau des primitives usuelles Connaître les primitives des fonctions de base est essentiel. Le tableau ci-dessous récapitule les principales: | Fonction \( f(x) \) | Primitive \( F(x) \) (à une constante près) | Intervalle de validité \( I \) | | :------------------- | :------------------------------------------- | :----------------------------- | | \( k \) (constante) | \( kx \) | \( \mathbb{R} \) | | \( x^n \) (\( n \in \mathbb{Z}, n \ne -1 \)) | \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \) | \( \mathbb{R} \) si \( n \ge 0 \); \( \mathbb{R}^* \) si \( n < 0 \) et \( n \ne -1 \) | | \( \frac{1}{x} \) | \( \ln|x| \) | \( ]0;+\infty[ \) ou \( ]-\infty;0[ \) | | \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) | \( 2\sqrt{x} \) | \( ]0;+\infty[ \) | | \( e^x \) | \( e^x \) | \( \mathbb{R} \) | | \( \cos(x) \) | \( \sin(x) \) | \( \mathbb{R} \) | | \( \sin(x) \) | \( -\cos(x) \) | \( \mathbb{R} \) | | \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \) | \( \tan(x) \) | \( ]-\frac{\pi}{2} + k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi[ \) pour \( k \in \mathbb{Z} \) | **Primitives de fonctions composées (formes \( u'f(u) \))** | Fonction \( f(x) \) | Primitive \( F(x) \) (à une constante près) | | :------------------- | :------------------------------------------- | | \( u'(x) (u(x))^n \) (\( n \ne -1 \)) | \( \frac{(u(x))^{n+1}}{n+1} \) | | \( \frac{u'(x)}{u(x)} \) | \( \ln|u(x)| \) | | \( u'(x) e^{u(x)} \) | \( e^{u(x)} \) | | \( \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}} \) | \( 2\sqrt{u(x)} \) | | \( u'(x) \cos(u(x)) \) | \( \sin(u(x)) \) | | \( u'(x) \sin(u(x)) \) | \( -\cos(u(x)) \) | ### V. Vocabulaire * **Primitive:** Une fonction \( F \) dont la dérivée est une fonction donnée \( f \). On dit que \( F \) est une primitive de \( f \). * **Intégration:** L'opération qui consiste à trouver une primitive d'une fonction. C'est l'opération inverse de la dérivation. * **Constante d'intégration:** La constante \( C \) qui apparaît lors de la détermination d'une primitive. Elle est due au fait que la dérivée d'une constante est nulle. * **Intervalle:** Un ensemble de nombres réels qui ne contient "aucun trou". Pour qu'une fonction admette des primitives, elle doit être continue sur un intervalle. ### VI. Exemples d'application #### Exemple 1: Primitive simple Déterminer une primitive de \( f(x) = 3x^2 - 4x + 5 \) sur \( \mathbb{R} \). En utilisant les propriétés de linéarité et le tableau des primitives usuelles: * Une primitive de \( 3x^2 \) est \( 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \frac{x^3}{3} = x^3 \). * Une primitive de \( -4x \) est \( -4 \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \frac{x^2}{2} = -2x^2 \). * Une primitive de \( 5 \) est \( 5x \). Donc, une primitive de \( f(x) \) est \( F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C \), où \( C \) est une constante réelle. #### Exemple 2: Primitive satisfaisant une condition initiale Trouver la primitive \( F \) de \( f(x) = \cos(x) \) sur \( \mathbb{R} \) telle que \( F(0) = 1 \). * Une primitive générale de \( f(x) = \cos(x) \) est \( F(x) = \sin(x) + C \). * Pour trouver \( C \), on utilise la condition \( F(0) = 1 \): \( \sin(0) + C = 1 \) \( 0 + C = 1 \) \( C = 1 \) La primitive recherchée est donc \( F(x) = \sin(x) + 1 \). #### Exemple 3: Primitive de fonction composée Déterminer une primitive de \( f(x) = (2x+1)e^{x^2+x} \) sur \( \mathbb{R} \). On reconnaît la forme \( u'(x) e^{u(x)} \). Posons \( u(x) = x^2+x \). Alors \( u'(x) = 2x+1 \). Donc \( f(x) = u'(x) e^{u(x)} \). Une primitive est \( e^{u(x)} \). Ainsi, \( F(x) = e^{x^2+x} + C \). ### VII. Exercices Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur les intervalles spécifiés: 1. \( f(x) = 4x^3 - 2x + 5 \) sur \( \mathbb{R} \) 2. \( g(x) = e^x + \frac{1}{x^2} \) sur \( ]0;+\infty[ \) 3. \( h(x) = \sin(2x) \) sur \( \mathbb{R} \) 4. \( k(x) = \frac{2x}{x^2+1} \) sur \( \mathbb{R} \) 5. Soit \( f(x) = 2x - 3 \). Trouver la primitive \( F \) de \( f \) telle que \( F(1) = 0 \). ### VIII. Devoirs 1. Soit la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = (2x-1)e^x \). Déterminer une primitive \( F \) de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) en cherchant \( F(x) \) sous la forme \( (ax+b)e^x \), où \( a \) et \( b \) sont des constantes réelles à déterminer. 2. Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes sur les intervalles spécifiés: a. \( f(x) = x\sqrt{x} \) sur \( ]0;+\infty[ \) b. \( g(x) = \frac{1}{x-3} \) sur \( ]3;+\infty[ \) c. \( h(x) = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \) sur \( \mathbb{R} \) d. \( k(x) = \frac{e^x}{e^x+1} \) sur \( \mathbb{R} \) ### IX. Résumé Pour récapituler les points clés de cette leçon: * Une fonction \( F \) est une primitive de \( f \) sur un intervalle \( I \) si \( F \) est dérivable sur \( I \) et \( F'(x) = f(x) \) pour tout \( x \) dans \( I \). * Toute fonction continue sur un intervalle \( I \) admet des primitives sur cet intervalle. * Si \( F_1 \) et \( F_2 \) sont deux primitives de la même fonction \( f \) sur \( I \), alors elles ne diffèrent que par une constante additive \( C \) (\( F_2(x) = F_1(x) + C \)). * Les primitives sont linéaires: la primitive d'une somme est la somme des primitives, et la primitive d'un produit par une constante est le produit de la constante par la primitive. * Il est essentiel de maîtriser le tableau des primitives usuelles et de savoir reconnaître les formes composées pour trouver les primitives des fonctions plus complexes.