Probabilités (suite)

# Probabilités (suite) ## Variables aléatoires ### Introduction Bienvenue à cette nouvelle leçon sur les probabilités ! Après avoir étudié les événements aléatoires et le calcul de leurs probabilités, nous allons maintenant introduire un concept fondamental qui permet de quantifier les résultats d'une expérience aléatoire : les variables aléatoires. Une variable aléatoire est un outil puissant qui transforme les issues d'une expérience en nombres, facilitant ainsi leur analyse statistique et la prise de décision. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une Variable Aléatoire Une **variable aléatoire** (souvent notée \(X, Y, ...\)) est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue possible d'une expérience aléatoire. * **Exemple :** On lance deux fois une pièce de monnaie. L'ensemble des issues possibles (l'univers \( \Omega \)) est \( \{ (P,P), (P,F), (F,P), (F,F) \} \). Si \(X\) est la variable aléatoire qui compte le nombre de "Pile", alors : * \( X((P,P)) = 2 \) * \( X((P,F)) = 1 \) * \( X((F,P)) = 1 \) * \( X((F,F)) = 0 \) #### 2. Loi de Probabilité d'une Variable Aléatoire La **loi de probabilité** d'une variable aléatoire \(X\) est l'ensemble des valeurs prises par \(X\) et les probabilités associées à chacune de ces valeurs. * Elle est souvent présentée sous forme de tableau : | Valeurs de \(X\) (\(x_i\)) | \(x_1\) | \(x_2\) | ... | \(x_n\) | |---|---|---|---|---| | \(P(X=x_i)\) | \(p_1\) | \(p_2\) | ... | \(p_n\) | * La somme des probabilités doit toujours être égale à 1 : \( \[ \sum_{i=1}^{n} p_i = p_1 + p_2 + ... + p_n = 1 \] \) #### 3. Espérance Mathématique L'**espérance mathématique** (ou valeur moyenne) d'une variable aléatoire \(X\), notée \(E(X)\), est la valeur moyenne que l'on peut espérer obtenir si l'expérience est répétée un grand nombre de fois. Elle est calculée par : * \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + ... + x_n p_n \] * **Interprétation :** Si \(E(X) > 0\), le jeu est favorable au joueur. Si \(E(X) < 0\), il est défavorable. Si \(E(X) = 0\), le jeu est équitable. #### 4. Variance et Écart-type La **variance** et l'**écart-type** sont des mesures de la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance. * La **variance** de \(X\), notée \(V(X)\), mesure l'écart quadratique moyen à l'espérance : * \[ V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(X=x_i) \] * Une formule plus pratique pour le calcul est : \( \[ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] \) où \( E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(X=x_i) \). * L'**écart-type** de \(X\), noté \( \sigma(X) \), est la racine carrée de la variance : * \[ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \] * **Interprétation :** Un écart-type élevé indique que les valeurs de \(X\) sont très dispersées autour de l'espérance, tandis qu'un faible écart-type indique qu'elles sont concentrées. ### Vocabulaire * **Variable aléatoire :** Fonction associant une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire. * **Loi de probabilité :** Ensemble des valeurs possibles d'une variable aléatoire et de leurs probabilités associées. * **Espérance mathématique :** Valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire sur un grand nombre de répétitions. * **Variance :** Mesure de la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance (moyenne des carrés des écarts à l'espérance). * **Écart-type :** Racine carrée de la variance ; mesure de la dispersion dans la même unité que la variable aléatoire. ### Exemples #### Exemple 1 : Lancer de dé On lance un dé équilibré à six faces. On considère la variable aléatoire \(X\) qui représente le nombre obtenu sur la face supérieure. 1. **Univers :** \( \Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) 2. **Valeurs de \(X\) :** \( \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) 3. **Loi de probabilité :** Pour un dé équilibré, chaque face a une probabilité de \( \frac{1}{6} \). | \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |---|---|---|---|---|---|---| | \(P(X=x_i)\) | \( \frac{1}{6} \) | \( \frac{1}{6} \) | \( \frac{1}{6} \) | \( \frac{1}{6} \) | \( \frac{1}{6} \) | \( \frac{1}{6} \) | 4. **Espérance :** \( \[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \] \) 5. **Variance :** D'abord, calculons \(E(X^2)\) \( \[ E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \] \) Puis, \( \[ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2.917 \] \) 6. **Écart-type :** \( \[ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx \sqrt{2.917} \approx 1.708 \] \) #### Exemple 2 : Jeu de cartes Un jeu est proposé. On tire une carte d'un jeu de 32 cartes bien mélangé. Si on tire un as, on gagne 10 €. Si on tire une figure (roi, dame, valet) qui n'est pas un as, on gagne 2 €. Si on tire une autre carte, on perd 3 €. Soit \(X\) la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. 1. **Nombre d'as :** 4 (sur 32) 2. **Nombre de figures (non as) :** 3 figures par couleur (Roi, Dame, Valet) \( \times \) 4 couleurs = 12 figures. Moins les 4 as, cela fait \(12 - 4 = 8\) figures non as (attention, les as sont souvent considérés comme des figures, mais ici on les distingue). En France, un jeu de 32 cartes inclut les figures (Valet, Dame, Roi) et les As pour chaque couleur. Si les As sont considérés à part, il y a \(3\) figures (V,D,R) par couleur, soit \(3 \times 4 = 12\) figures. Et \(4\) As. Total \(12+4=16\) figures au sens large. Ici, l'énoncé dit "figure qui n'est pas un as", donc \(12\) figures classiques. 3. **Nombre d'autres cartes :** \(32 - 4 - 12 = 16\) cartes. * \(P(X=10 \text{ €}) = P(\text{As}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \) * \(P(X=2 \text{ €}) = P(\text{Figure non as}) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} \) * \(P(X=-3 \text{ €}) = P(\text{Autre carte}) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \) 4. **Loi de probabilité :** | \(x_i\) | 10 | 2 | -3 | |---|---|---|---| | \(P(X=x_i)\) | \( \frac{1}{8} \) | \( \frac{3}{8} \) | \( \frac{1}{2} \) | 5. **Espérance :** \( \[ E(X) = 10 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + (-3) \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{8} + \frac{6}{8} - \frac{3}{2} = \frac{16}{8} - \frac{12}{8} = \frac{4}{8} = 0.5 \] \) Le gain moyen attendu est de 0.5 €. Le jeu est favorable au joueur. ### Exercices #### Exercice 1 Une variable aléatoire \(Y\) a la loi de probabilité suivante : | \(y_i\) | -2 | 0 | 1 | 3 | |---|---|---|---|---| | \(P(Y=y_i)\) | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.2 | 1. Vérifier que c'est bien une loi de probabilité. 2. Calculer l'espérance \(E(Y)\). 3. Calculer la variance \(V(Y)\) et l'écart-type \( \sigma(Y) \). #### Exercice 2 Dans une urne, il y a 3 boules rouges (R) et 2 boules vertes (V), toutes indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux boules de l'urne. On gagne 5 € pour chaque boule rouge tirée et on perd 2 € pour chaque boule verte tirée. Soit \(X\) la variable aléatoire désignant le gain total. 1. Déterminer toutes les issues possibles de cette expérience. 2. Déterminer les valeurs possibles de \(X\). 3. Établir la loi de probabilité de \(X\). 4. Calculer l'espérance de \(X\) et interpréter le résultat. ### Devoir Maison #### Problème 1 Un QCM est composé de 5 questions. Pour chaque question, 4 réponses sont proposées, dont une seule est correcte. Un candidat répond au hasard à toutes les questions. * Une bonne réponse rapporte 2 points. * Une mauvaise réponse fait perdre 1 point. * Une absence de réponse ne rapporte ni ne retire de point (mais ici, le candidat répond à tout). Soit \(N\) le nombre de bonnes réponses obtenues par le candidat et \(S\) sa note finale. 1. Donner la loi de probabilité de \(N\). 2. Exprimer \(S\) en fonction de \(N\). 3. Déduire la loi de probabilité de \(S\). 4. Calculer l'espérance de \(S\). Que peut-on en conclure pour ce candidat ? 5. Calculer l'écart-type de \(S\). #### Problème 2 Un commerçant achète des pommes auprès de deux producteurs A et B. 60% des pommes proviennent du producteur A et 40% du producteur B. * 20% des pommes du producteur A sont de "catégorie 2". * 10% des pommes du producteur B sont de "catégorie 2". Le commerçant met toutes les pommes en vrac et tire une pomme au hasard. S'il tire une pomme de "catégorie 2", il la vend 0.50 € et perd 0.10 € sur celle-ci. S'il tire une pomme de "catégorie 1", il la vend 1.20 € et gagne 0.40 € sur celle-ci. Soit \(X\) la variable aléatoire représentant le gain (ou la perte) du commerçant sur une pomme tirée au hasard. 1. Construire un arbre pondéré représentant la situation. 2. Déterminer la probabilité qu'une pomme soit de "catégorie 2". 3. Déterminer la loi de probabilité de \(X\). 4. Calculer l'espérance de \(X\) et interpréter ce résultat pour le commerçant. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le concept fondamental de la **variable aléatoire**, qui nous permet de traduire les résultats d'expériences aléatoires en valeurs numériques. Nous avons appris à définir la **loi de probabilité** d'une variable aléatoire, qui associe une probabilité à chaque valeur possible. Nous avons également introduit des indicateurs clés pour caractériser ces variables : * L'**espérance mathématique** \(E(X)\), qui représente la moyenne des résultats sur le long terme. * La **variance** \(V(X)\) et l'**écart-type** \( \sigma(X) \), qui mesurent la dispersion des résultats autour de cette moyenne. Un faible écart-type indique des résultats très regroupés, tandis qu'un écart-type élevé signifie une grande variabilité. Ces outils sont essentiels pour analyser les jeux de hasard, prendre des décisions dans l'incertain et modéliser de nombreux phénomènes réels en science et en économie. ## Épreuves de Bernoulli ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur les probabilités ! Aujourd'hui, nous allons aborder une notion fondamentale en probabilités : l'épreuve de Bernoulli. Il s'agit d'un type d'expérience aléatoire très simple mais extrêmement utile pour modéliser de nombreuses situations. Comprendre l'épreuve de Bernoulli est une étape clé pour aborder des concepts plus complexes comme la loi binomiale. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une Épreuve de Bernoulli ? Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne possède que deux issues possibles. Ces deux issues sont généralement appelées « succès » et « échec ». * **Succès :** L'issue de l'expérience qui nous intéresse ou que l'on considère comme "positive" pour l'étude. * **Échec :** L'autre issue possible de l'expérience. **Exemples d'épreuves de Bernoulli :** * Lancer une pièce de monnaie et observer si elle tombe sur « pile » (succès) ou « face » (échec). * Vérifier si un produit fabriqué est conforme (succès) ou défectueux (échec). * Répondre à une question à choix multiples et donner la bonne réponse (succès) ou une mauvaise réponse (échec). #### Probabilités associées À chaque épreuve de Bernoulli est associée une probabilité de succès. * La probabilité de succès est notée \( p \). C'est un nombre réel tel que \( 0 \le p \le 1 \). * La probabilité d'échec est donc \( 1-p \). Si \( S \) est l'événement "succès" et \( E \) est l'événement "échec", alors \( P(S) = p \) et \( P(E) = 1-p \). #### Variable Aléatoire de Bernoulli On peut associer une variable aléatoire \( X \) à une épreuve de Bernoulli. Cette variable prend les valeurs : * \( X = 1 \) si l'issue est un succès. * \( X = 0 \) si l'issue est un échec. #### Loi de Bernoulli La loi de probabilité de cette variable aléatoire \( X \) est appelée la loi de Bernoulli de paramètre \( p \). Elle est définie par : * \( P(X=1) = p \) * \( P(X=0) = 1-p \) **Espérance d'une loi de Bernoulli :** L'espérance \( E(X) \) d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli est donnée par : \[ E(X) = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \] **Variance d'une loi de Bernoulli :** La variance \( V(X) \) est une mesure de la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance. Pour une loi de Bernoulli, elle est donnée par : \[ V(X) = (1-p)^2 \cdot p + (0-p)^2 \cdot (1-p) = p(1-p)^2 + p^2(1-p) = p(1-p)( (1-p) + p ) = p(1-p) \] ### Vocabulaire * **Épreuve de Bernoulli :** Expérience aléatoire à deux issues possibles (succès/échec). * **Succès :** L'une des deux issues d'une épreuve de Bernoulli, celle que l'on étudie ou qui nous intéresse. * **Échec :** L'autre issue possible d'une épreuve de Bernoulli. * **Probabilité de succès (\( p \)) :** La probabilité que l'issue de l'épreuve soit un succès. * **Variable aléatoire de Bernoulli :** Variable aléatoire prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. * **Loi de Bernoulli :** La distribution de probabilité associée à une variable aléatoire de Bernoulli, caractérisée par son paramètre \( p \). * **Espérance (\( E(X) \)) :** La valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire. * **Variance (\( V(X) \)) :** Mesure de la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance. ### Exemples #### Exemple 1 : Le dé pipé Un dé à six faces est pipé de telle sorte que la probabilité d'obtenir un 6 est de \( \frac{1}{3} \). On lance ce dé une seule fois. 1. **Est-ce une épreuve de Bernoulli ?** Oui, car il n'y a que deux issues qui nous intéressent : obtenir un 6 (succès) ou ne pas obtenir un 6 (échec). 2. **Définir \( p \) :** La probabilité de succès est \( p = P(\text{obtenir un 6}) = \frac{1}{3} \). 3. **Probabilité d'échec :** La probabilité d'échec est \( 1-p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \). 4. **Variable aléatoire \( X \) :** \( X=1 \) si on obtient un 6, \( X=0 \) sinon. 5. **Espérance :** \( E(X) = p = \frac{1}{3} \). 6. **Variance :** \( V(X) = p(1-p) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \). #### Exemple 2 : Contrôle qualité Dans une usine, 2% des ampoules produites sont défectueuses. On choisit une ampoule au hasard. 1. **Définir succès et échec :** On peut définir le succès comme "l'ampoule est défectueuse". L'échec est "l'ampoule n'est pas défectueuse". 2. **Définir \( p \) :** \( p = P(\text{ampoule défectueuse}) = 0.02 \). 3. **Probabilité d'échec :** \( 1-p = 1 - 0.02 = 0.98 \) (l'ampoule n'est pas défectueuse). 4. **Espérance :** \( E(X) = 0.02 \). 5. **Variance :** \( V(X) = 0.02 \cdot 0.98 = 0.0196 \). ### Exercices #### Exercice 1 Pour chacune des situations suivantes, indiquez si c'est une épreuve de Bernoulli. Si oui, définissez le succès, l'échec et donnez la valeur de \( p \). 1. On tire une carte d'un jeu de 32 cartes et on regarde si c'est un as. 2. On lance deux dés et on regarde la somme des faces. 3. Un archer tire sur une cible. Il atteint la cible avec une probabilité de 0.85. 4. On choisit un élève au hasard dans une classe de 30 élèves pour savoir s'il porte des lunettes, sachant que 12 élèves portent des lunettes. #### Exercice 2 Soit \( X \) une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre \( p = 0.4 \). 1. Donnez la loi de probabilité de \( X \). 2. Calculez l'espérance \( E(X) \). 3. Calculez la variance \( V(X) \). ### Devoir à la Maison #### Exercice 1 Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire une boule au hasard. 1. Décrivez cette situation comme une épreuve de Bernoulli si le succès est "tirer une boule rouge". Donnez \( p \). 2. Décrivez cette situation comme une épreuve de Bernoulli si le succès est "tirer une boule bleue". Donnez \( p \). 3. Pour chacun des cas ci-dessus, calculez l'espérance et la variance de la variable aléatoire associée. #### Exercice 2 Dans un questionnaire à choix multiples, il y a 4 réponses possibles par question, dont une seule est juste. Un étudiant répond au hasard à une question. 1. Est-ce une épreuve de Bernoulli ? Justifiez votre réponse et définissez \( p \). 2. Quelle est la probabilité que l'étudiant réponde correctement ? 3. Calculez l'espérance et la variance de la variable aléatoire \( X \) qui vaut 1 si l'étudiant répond juste et 0 sinon. ### Résumé En conclusion, une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire simple mais fondamentale qui n'a que deux issues : un succès avec une probabilité \( p \) et un échec avec une probabilité \( 1-p \). On peut lui associer une variable aléatoire \( X \) prenant les valeurs 1 (succès) et 0 (échec). La loi de Bernoulli permet de modéliser cette situation. L'espérance d'une loi de Bernoulli est \( E(X) = p \) et sa variance est \( V(X) = p(1-p) \). La maîtrise de ce concept est essentielle pour comprendre les lois de probabilité plus avancées. ## Variables aléatoires ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les variables aléatoires, un concept fondamental en probabilités qui nous permet de relier les issues d'une expérience aléatoire à des valeurs numériques. Cela facilite l'analyse quantitative des phénomènes incertains. Nous explorerons comment définir ces variables, décrire leur comportement à travers des lois de probabilité, et calculer des mesures clés comme l'espérance et la variance. Nous aborderons également une loi de probabilité très importante : la loi binomiale. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une variable aléatoire Une **variable aléatoire** est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue possible d'une expérience aléatoire. Elle est généralement notée par une lettre majuscule, comme \( X \) ou \( Y \). * **Exemple :** Lors du lancer d'un dé à six faces, si \( X \) est la variable aléatoire représentant le nombre obtenu, alors les valeurs possibles de \( X \) sont \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). * **Exemple :** Lors du lancer de deux pièces de monnaie, si \( Y \) est le nombre de "Pile" obtenus, les valeurs possibles de \( Y \) sont \( \{0, 1, 2\} \). #### 2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire La **loi de probabilité** d'une variable aléatoire discrète \( X \) est l'ensemble des valeurs \( x_i \) que \( X \) peut prendre et des probabilités associées \( P(X=x_i) \). Elle peut être représentée sous forme de tableau : | Valeurs de \( X \) (\( x_i \)) | \( x_1 \) | \( x_2 \) | ... | \( x_n \) | |---|---|---|---|---| | Probabilités (\( P(X=x_i) \)) | \( p_1 \) | \( p_2 \) | ... | \( p_n \) | **Propriétés :** * Pour toute valeur \( x_i \), \( P(X=x_i) \ge 0 \). * La somme de toutes les probabilités est égale à 1 : \[ \sum_{i=1}^{n} P(X=x_i) = 1 \] #### 3. Espérance d'une variable aléatoire L'**espérance** (ou moyenne) d'une variable aléatoire \( X \), notée \( E(X) \), représente la valeur moyenne que l'on peut attendre de \( X \) sur un grand nombre d'expériences. C'est une mesure de la tendance centrale. La formule de l'espérance est : \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) \] * **Interprétation :** Si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs obtenues tendra vers \( E(X) \). #### 4. Variance et Écart-type d'une variable aléatoire La **variance** et l'**écart-type** sont des mesures de la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance. Elles indiquent à quel point les valeurs sont étalées ou concentrées. ##### 4.1 Variance La variance de \( X \), notée \( V(X) \), est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance : \[ V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(X=x_i) \] Une formule alternative, souvent plus simple pour le calcul, est la formule de König-Huygens : \[ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] où \( E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(X=x_i) \). ##### 4.2 Écart-type L'**écart-type** de \( X \), noté \( \sigma(X) \), est la racine carrée positive de la variance : \[ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \] * **Interprétation :** Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs de la variable aléatoire sont dispersées autour de son espérance. #### 5. Loi de Bernoulli et Loi Binomiale ##### 5.1 Épreuve de Bernoulli Une **épreuve de Bernoulli** est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : * **Succès** (S), avec une probabilité \( p \). * **Échec** (E), avec une probabilité \( 1-p \). * **Exemple :** Lancer une pièce et obtenir "Pile" (succès) ou "Face" (échec). ##### 5.2 Loi Binomiale On considère une expérience constituée de \( n \) répétitions *identiques et indépendantes* d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \( p \) (probabilité de succès). La variable aléatoire \( X \) qui compte le nombre de succès parmi ces \( n \) répétitions suit une **loi binomiale**. On la note \( X \sim B(n, p) \). * **Paramètres :** \( n \) (nombre de répétitions) et \( p \) (probabilité de succès). * **Probabilité :** La probabilité d'obtenir exactement \( k \) succès parmi \( n \) répétitions est donnée par la formule : \[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] où \( k \) est un entier tel que \( 0 \le k \le n \), et \( \binom{n}{k} \) est le coefficient binomial (nombre de façons de choisir \( k \) succès parmi \( n \) répétitions), calculé par : \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] * **Espérance et Variance pour une loi Binomiale :** * Espérance : \[ E(X) = np \] * Variance : \[ V(X) = np(1-p) \] ### Vocabulaire * **Variable aléatoire :** Fonction qui attribue une valeur numérique à chaque résultat d'une expérience aléatoire. * **Loi de probabilité :** Distribution des probabilités sur l'ensemble des valeurs possibles d'une variable aléatoire. * **Espérance (\( E(X) \)) :** Moyenne pondérée des valeurs d'une variable aléatoire par leurs probabilités ; représente la valeur moyenne attendue. * **Variance (\( V(X) \)) :** Mesure de la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance. * **Écart-type (\( \sigma(X) \)) :** Racine carrée de la variance, donne une mesure de dispersion dans la même unité que la variable aléatoire. * **Épreuve de Bernoulli :** Expérience aléatoire à deux issues possibles (succès ou échec). * **Loi Binomiale (\( B(n, p) \)) :** Loi de probabilité du nombre de succès lors de \( n \) répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli. * **Coefficient binomial (\( \binom{n}{k} \)) :** Nombre de combinaisons de \( k \) éléments choisis parmi \( n \). ### Exemples #### Exemple 1 : Somme de deux dés On lance deux dés équilibrés et on note \( X \) la variable aléatoire représentant la somme des résultats. 1. **Valeurs possibles de \( X \) :** \( \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} \). 2. **Loi de probabilité :** Il y a \( 6 \times 6 = 36 \) issues possibles. | \( x_i \) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | \( P(X=x_i) \) | \( 1/36 \) | \( 2/36 \) | \( 3/36 \) | \( 4/36 \) | \( 5/36 \) | \( 6/36 \) | \( 5/36 \) | \( 4/36 \) | \( 3/36 \) | \( 2/36 \) | \( 1/36 \) | 3. **Espérance :** \[ E(X) = 2(\frac{1}{36}) + 3(\frac{2}{36}) + \dots + 12(\frac{1}{36}) = \frac{252}{36} = 7 \] 4. **Variance (calcul long, mais l'idée est là) :** \[ V(X) = \sum (x_i - 7)^2 P(X=x_i) = \frac{210}{36} \approx 5.83 \] L'écart-type est \( \sigma(X) = \sqrt{5.83} \approx 2.41 \). #### Exemple 2 : QCM au hasard (Loi Binomiale) Un élève répond au hasard à un QCM de 10 questions. Chaque question a 4 choix de réponse, dont une seule est correcte. Soit \( X \) le nombre de bonnes réponses. 1. **Identification :** Chaque question est une épreuve de Bernoulli (bonne ou mauvaise réponse). \( n=10 \) (nombre de questions), \( p=1/4=0.25 \) (probabilité de bonne réponse). Donc \( X \sim B(10, 0.25) \). 2. **Probabilité d'avoir exactement 3 bonnes réponses (\( k=3 \)) :** \[ P(X=3) = \binom{10}{3} (0.25)^3 (0.75)^{10-3} = \frac{10!}{3!7!} (0.25)^3 (0.75)^7 \] \[ P(X=3) = 120 \times 0.015625 \times 0.13348 \approx 0.2503 \] 3. **Espérance :** \[ E(X) = np = 10 \times 0.25 = 2.5 \] En répondant au hasard, l'élève peut s'attendre à 2.5 bonnes réponses en moyenne. 4. **Variance :** \[ V(X) = np(1-p) = 10 \times 0.25 \times (1-0.25) = 10 \times 0.25 \times 0.75 = 1.875 \] L'écart-type est \( \sigma(X) = \sqrt{1.875} \approx 1.37 \). ### Exercices #### Exercice 1 : Tirage de boules Une urne contient 4 boules vertes et 6 boules jaunes. On tire simultanément 3 boules de l'urne. Soit \( X \) la variable aléatoire désignant le nombre de boules vertes tirées. 1. Déterminer les valeurs possibles de \( X \). 2. Établir la loi de probabilité de \( X \) sous forme de tableau. 3. Calculer l'espérance \( E(X) \). 4. Calculer la variance \( V(X) \) et l'écart-type \( \sigma(X) \). #### Exercice 2 : Fiabilité d'un composant Une usine fabrique des composants électroniques. La probabilité qu'un composant soit défectueux est de 0.02. On prélève au hasard un échantillon de 20 composants. 1. Soit \( Y \) la variable aléatoire représentant le nombre de composants défectueux dans l'échantillon. Quelle est la loi de probabilité de \( Y \) ? Justifier votre réponse et donner ses paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun composant défectueux dans l'échantillon (\( P(Y=0) \)). 3. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement un composant défectueux dans l'échantillon (\( P(Y=1) \)). 4. Calculer l'espérance et l'écart-type de \( Y \). ### Devoir Maison #### Problème 1 : Jeu de dés Un joueur lance un dé équilibré à six faces. S'il obtient un 6, il gagne 10 euros. S'il obtient un 1, il gagne 5 euros. Pour toute autre issue, il perd 3 euros. Soit \( G \) la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. 1. Déterminer les valeurs possibles de \( G \). 2. Établir la loi de probabilité de \( G \). 3. Calculer l'espérance \( E(G) \). Le jeu est-il favorable au joueur à long terme ? Justifier. 4. Calculer la variance \( V(G) \) et l'écart-type \( \sigma(G) \). #### Problème 2 : Fabrication d'ampoules Une machine fabrique des ampoules. On sait que 5% des ampoules produites sont défectueuses. On prélève un lot de 50 ampoules. 1. Identifier la loi de probabilité de la variable aléatoire \( X \) désignant le nombre d'ampoules défectueuses dans le lot. Préciser ses paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 2 ampoules défectueuses dans le lot (arrondir à \( 10^{-3} \)). 3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une ampoule défectueuse dans le lot (arrondir à \( 10^{-3} \)). 4. Déterminer le nombre moyen d'ampoules défectueuses que l'on peut s'attendre à trouver dans un lot de 50. 5. Calculer l'écart-type du nombre d'ampoules défectueuses dans un lot de 50. ### Résumé * Une **variable aléatoire** associe une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire. * La **loi de probabilité** décrit les valeurs possibles de la variable et leurs probabilités associées. * L'**espérance** (\( E(X) \)) est la valeur moyenne attendue : \[ E(X) = \sum x_i P(X=x_i) \] * La **variance** (\( V(X) \)) et l'**écart-type** (\( \sigma(X) \)) mesurent la dispersion des valeurs : \[ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] et \( \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \). * La **loi binomiale** \( B(n, p) \) modélise le nombre de succès dans \( n \) répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès \( p \). * Pour une loi binomiale : \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \), \( E(X) = np \) et \( V(X) = np(1-p) \). ## Épreuves de Bernoulli ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les épreuves de Bernoulli ! En mathématiques, et particulièrement en probabilités, nous rencontrons souvent des expériences aléatoires simples qui n'ont que deux issues possibles. Ces expériences sont appelées des épreuves de Bernoulli, et elles constituent la base pour comprendre des concepts probabilistes plus complexes, comme la loi binomiale. Aujourd'hui, nous allons définir ce qu'est une épreuve de Bernoulli, comprendre ses caractéristiques et apprendre à modéliser les situations correspondantes. ### Concepts Clés #### Définition d'une Épreuve de Bernoulli Une **épreuve de Bernoulli** est une expérience aléatoire qui ne peut aboutir qu'à deux issues possibles, mutuellement exclusives : * Un "succès" (noté S), avec une certaine probabilité \( p \). * Un "échec" (noté E ou \( \bar{S} \)), avec une probabilité de \( 1-p \). Le paramètre \( p \) est un nombre réel tel que \( 0 \le p \le 1 \). #### Variable Aléatoire de Bernoulli À toute épreuve de Bernoulli, on peut associer une **variable aléatoire de Bernoulli** \( X \). Cette variable prend les valeurs : * \( X=1 \) en cas de succès. * \( X=0 \) en cas d'échec. #### Loi de Bernoulli La **loi de Bernoulli** décrit la distribution de probabilité de cette variable aléatoire \( X \). Elle est définie par : * \( P(X=1) = p \) (probabilité de succès) * \( P(X=0) = 1-p \) (probabilité d'échec) ##### Espérance et Variance Pour une variable aléatoire \( X \) suivant une loi de Bernoulli de paramètre \( p \) : * L'**espérance** \( E(X) \), qui représente la moyenne des résultats sur un grand nombre d'épreuves, est donnée par : \[ E(X) = 1 \times p + 0 \times (1-p) = p \] * La **variance** \( Var(X) \), qui mesure la dispersion des résultats autour de l'espérance, est donnée par : \[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Sachant que \( E(X^2) = 1^2 \times p + 0^2 \times (1-p) = p \), alors : \[ Var(X) = p - p^2 = p(1-p) \] ### Vocabulaire * **Épreuve de Bernoulli :** Expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles (succès ou échec). * **Succès :** L'une des deux issues de l'épreuve de Bernoulli, généralement celle qui nous intéresse ou que l'on souhaite observer. * **Échec :** L'autre issue possible de l'épreuve de Bernoulli. * **Paramètre \( p \) :** La probabilité de succès de l'épreuve de Bernoulli. * **Variable aléatoire de Bernoulli :** Variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. * **Loi de Bernoulli :** La distribution de probabilité d'une variable aléatoire de Bernoulli, caractérisée par \( p \). * **Espérance :** Valeur moyenne attendue de la variable aléatoire. * **Variance :** Mesure de la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance. ### Exemples #### Exemple 1 : Lancer d'une pièce équilibrée Considérons le lancer d'une pièce de monnaie équilibrée. * **Épreuve :** Lancer la pièce. * **Succès :** Obtenir "Pile". * **Échec :** Obtenir "Face". * **Probabilité de succès \( p \) :** Puisque la pièce est équilibrée, \( p = 0,5 \). * **Variable aléatoire \( X \) :** \( X=1 \) si Pile, \( X=0 \) si Face. * **Loi de probabilité :** \( P(X=1) = 0,5 \) et \( P(X=0) = 0,5 \). * **Espérance :** \( E(X) = 0,5 \). * **Variance :** \( Var(X) = 0,5 \times (1-0,5) = 0,5 \times 0,5 = 0,25 \). #### Exemple 2 : Contrôle qualité d'un produit Dans une usine, on sait que 3% des produits fabriqués sont défectueux. * **Épreuve :** Choisir un produit au hasard et vérifier s'il est défectueux. * **Succès (l'événement qui nous intéresse) :** Le produit est défectueux. * **Échec :** Le produit n'est pas défectueux. * **Probabilité de succès \( p \) :** \( p = 0,03 \). * **Variable aléatoire \( Y \) :** \( Y=1 \) si le produit est défectueux, \( Y=0 \) sinon. * **Loi de probabilité :** \( P(Y=1) = 0,03 \) et \( P(Y=0) = 1-0,03 = 0,97 \). * **Espérance :** \( E(Y) = 0,03 \). * **Variance :** \( Var(Y) = 0,03 \times 0,97 = 0,0291 \). ### Exercices 1. **Définition et exemple :** Expliquez avec vos propres mots ce qu'est une épreuve de Bernoulli. Donnez un exemple concret d'une telle épreuve, différent de ceux vus en cours, en spécifiant clairement le succès, l'échec et le paramètre \( p \). 2. **Tirage dans une urne :** Une urne contient 5 boules rouges et 15 boules vertes. On tire une boule au hasard. On s'intéresse à l'événement "Tirer une boule rouge". * S'agit-il d'une épreuve de Bernoulli ? Justifiez votre réponse. * Si oui, définissez la variable aléatoire \( X \) associée à cette épreuve. * Calculez le paramètre \( p \) et donnez la loi de probabilité de \( X \). * Calculez l'espérance et la variance de \( X \). 3. **Questionnaire à choix multiples (QCM) :** Un élève répond au hasard à une question d'un QCM qui propose 5 réponses, dont une seule est correcte. * Définissez l'épreuve de Bernoulli associée à l'événement "L'élève répond correctement". * Déterminez le paramètre \( p \) de cette épreuve. * Quelle est la probabilité que l'élève réponde incorrectement ? * Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire associée à cette épreuve. ### Devoir 1. **Lancer de dé :** On lance un dé à six faces équilibré. * Considérons l'événement \( A \) : "Obtenir un nombre pair". Est-ce une épreuve de Bernoulli ? Si oui, déterminez son paramètre \( p \) et la loi de la variable aléatoire associée. * Considérons l'événement \( B \) : "Obtenir un nombre strictement inférieur à 3". Est-ce une épreuve de Bernoulli ? Si oui, déterminez son paramètre \( p \) et la loi de la variable aléatoire associée. * Considérons l'événement \( C \) : "Obtenir un multiple de 3". Est-ce une épreuve de Bernoulli ? Si oui, déterminez son paramètre \( p \) et la loi de la variable aléatoire associée. 2. **Situation de la vie courante :** Choisissez une situation de la vie courante qui peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli (par exemple : un client qui achète un produit en ligne, un feu de signalisation qui est vert ou rouge, etc.). * Décrivez clairement l'épreuve. * Identifiez le succès et l'échec. * Estimez ou donnez une valeur plausible pour le paramètre \( p \). * Définissez la variable aléatoire associée et donnez sa loi de probabilité. * Calculez son espérance et sa variance. ### Résumé Pour récapituler, une **épreuve de Bernoulli** est une expérience aléatoire simple avec exactement deux issues : un **succès** (avec probabilité \( p \)) et un **échec** (avec probabilité \( 1-p \)). La **variable aléatoire de Bernoulli** associée prend la valeur 1 pour un succès et 0 pour un échec. Sa **loi de probabilité** est donnée par \( P(X=1)=p \) et \( P(X=0)=1-p \). Enfin, son **espérance** est \( E(X)=p \) et sa **variance** est \( Var(X)=p(1-p) \). Ces concepts fondamentaux sont essentiels pour aborder des lois de probabilité plus complexes, comme la loi binomiale, que nous verrons prochainement.