Chap5 : Séries statistiques regroupées en classes de même amplitude

# Chap5 : Séries statistiques regroupées en classes de même amplitude ## Effectifs; effectifs cumulés; fréquences; fréquences cumulées ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre de statistiques! Nous allons explorer comment organiser et analyser des données lorsque nous avons un grand nombre d'observations. Souvent, il est plus pratique de regrouper ces données en **classes**. Dans cette leçon, nous allons apprendre à calculer et à interpréter les **effectifs**, les **effectifs cumulés**, les **fréquences** et les **fréquences cumulées** pour ces séries statistiques regroupées en classes de même amplitude. Ces outils sont fondamentaux pour résumer l'information et en tirer des conclusions pertinentes. ### Concepts Clés #### 1. Séries statistiques regroupées en classes Lorsque l'on étudie un caractère (par exemple, la taille des élèves, les salaires dans une entreprise), si les valeurs sont nombreuses ou continues, il est courant de les regrouper en **classes**. Une classe est un intervalle de valeurs. L'**amplitude** d'une classe est la différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure. Dans cette leçon, nous nous intéresserons aux classes de même amplitude. Exemple: Pour les tailles en cm, on peut avoir des classes [150; 160[, [160; 170[, etc. L'amplitude de ces classes est \( 170 - 160 = 10 \) cm. #### 2. Effectifs (\( n_i \)) L'**effectif** d'une classe (noté \( n_i \)) est le nombre d'individus ou d'observations dont la valeur du caractère étudié appartient à cette classe. C'est la donnée de base de toute série statistique. * **Effectif total (\( N \))**: C'est la somme de tous les effectifs des classes. Si une série comporte \( k \) classes, alors: \[ N = n_1 + n_2 + ... + n_k = \sum_{i=1}^{k} n_i \] #### 3. Effectifs Cumulés Les effectifs cumulés permettent de savoir combien d'observations se situent en dessous (ou au-dessus) d'une certaine valeur ou classe. * **Effectifs Cumulés Croissants (ECC)**: L'ECC d'une classe est la somme de l'effectif de cette classe et de tous les effectifs des classes précédentes. Cela indique le nombre total d'observations ayant une valeur inférieure ou égale à la borne supérieure de la classe actuelle. Pour la classe \( i \), l'ECC est \( ECC_i = n_1 + n_2 + ... + n_i = \sum_{j=1}^{i} n_j \). Le dernier ECC doit être égal à l'effectif total \( N \). * **Effectifs Cumulés Décroissants (ECD)**: L'ECD d'une classe est la somme de l'effectif de cette classe et de tous les effectifs des classes suivantes. Cela indique le nombre total d'observations ayant une valeur supérieure ou égale à la borne inférieure de la classe actuelle. Pour la classe \( i \), l'ECD est \( ECD_i = n_i + n_{i+1} + ... + n_k = \sum_{j=i}^{k} n_j \). Le premier ECD doit être égal à l'effectif total \( N \). #### 4. Fréquences (\( f_i \)) La **fréquence** d'une classe (notée \( f_i \)) est la proportion d'observations de cette classe par rapport à l'effectif total. Elle s'exprime généralement en valeur décimale entre 0 et 1, ou en pourcentage. * **Formule de la fréquence**: Pour chaque classe \( i \): \[ f_i = \frac{n_i}{N} \] * **Somme des fréquences**: La somme de toutes les fréquences doit être égale à 1 (ou 100% si exprimée en pourcentage). \[ \sum_{i=1}^{k} f_i = 1 \] #### 5. Fréquences Cumulées Similaires aux effectifs cumulés, mais basées sur les proportions. * **Fréquences Cumulées Croissantes (FCC)**: La FCC d'une classe est la somme de la fréquence de cette classe et de toutes les fréquences des classes précédentes. Elle représente la proportion d'observations ayant une valeur inférieure ou égale à la borne supérieure de la classe actuelle. Pour la classe \( i \), la FCC est \( FCC_i = f_1 + f_2 + ... + f_i = \sum_{j=1}^{i} f_j \). La dernière FCC doit être égale à 1 (ou 100%). * **Fréquences Cumulées Décroissantes (FCD)**: La FCD d'une classe est la somme de la fréquence de cette classe et de toutes les fréquences des classes suivantes. Elle représente la proportion d'observations ayant une valeur supérieure ou égale à la borne inférieure de la classe actuelle. Pour la classe \( i \), la FCD est \( FCD_i = f_i + f_{i+1} + ... + f_k = \sum_{j=i}^{k} f_j \). La première FCD doit être égale à 1 (ou 100%). ### Vocabulaire * **Série statistique**: Ensemble de données relatives à l'étude d'un caractère sur une population. * **Classe**: Intervalle de valeurs dans lequel sont regroupées les données. Ex: [10; 20[. * **Amplitude**: La longueur d'une classe (borne supérieure - borne inférieure). * **Effectif (\( n_i \))**: Nombre d'observations appartenant à une classe donnée. * **Effectif cumulé croissant (ECC)**: Somme des effectifs jusqu'à une classe donnée incluse. * **Effectif cumulé décroissant (ECD)**: Somme des effectifs à partir d'une classe donnée incluse jusqu'à la dernière. * **Fréquence (\( f_i \))**: Proportion d'observations d'une classe par rapport à l'effectif total (\( f_i = n_i / N \)). * **Fréquence cumulée croissante (FCC)**: Somme des fréquences jusqu'à une classe donnée incluse. * **Fréquence cumulée décroissante (FCD)**: Somme des fréquences à partir d'une classe donnée incluse jusqu'à la dernière. ### Exemples Considérons les durées (en minutes) passées chaque jour par 50 élèves sur les réseaux sociaux. Les données sont regroupées en classes de même amplitude: | Classes de durée (minutes) | Effectif (\( n_i \)) | | :------------------------- | :--------------------- | | [0; 30[ | 8 | | [30; 60[ | 15 | | [60; 90[ | 12 | | [90; 120[ | 10 | | [120; 150[ | 5 | | **Total** | **N = 50** | Complétons le tableau avec les effectifs cumulés, fréquences et fréquences cumulées: | Classes (min) | \( n_i \) | ECC | ECD | \( f_i = n_i/N \) | FCC | FCD | | :-------------- | :------- | :-- | :-- | :----------------- | :-- | :-- | | [0; 30[ | 8 | 8 | 50 | \( 8/50 = 0.16 \) | 0.16| 1 | | [30; 60[ | 15 | \( 8+15 = 23 \) | \( 50-8 = 42 \) | \( 15/50 = 0.30 \) | \( 0.16+0.30=0.46 \) | \( 1-0.16=0.84 \) | | [60; 90[ | 12 | \( 23+12 = 35 \) | \( 42-15 = 27 \) | \( 12/50 = 0.24 \) | \( 0.46+0.24=0.70 \) | \( 0.84-0.30=0.54 \) | | [90; 120[ | 10 | \( 35+10 = 45 \) | \( 27-12 = 15 \) | \( 10/50 = 0.20 \) | \( 0.70+0.20=0.90 \) | \( 0.54-0.24=0.30 \) | | [120; 150[ | 5 | \( 45+5 = 50 \) | \( 15-10 = 5 \) | \( 5/50 = 0.10 \) | \( 0.90+0.10=1.00 \) | \( 0.30-0.20=0.10 \) | | **Total** | **50** | | | **1.00** | | | Interprétation: * ECC de 60 minutes est 23: 23 élèves passent moins de 60 minutes sur les réseaux sociaux. * FCC de 90 minutes est 0.70: 70% des élèves passent moins de 90 minutes sur les réseaux sociaux. * FCD de 60 minutes est 0.54: 54% des élèves passent 60 minutes ou plus sur les réseaux sociaux. ### Exercices Voici les notes obtenues par 40 élèves à un examen, regroupées en classes sur 20 points: | Classes de notes | Effectif (\( n_i \)) | | :--------------- | :--------------------- | | [0; 4[ | 3 | | [4; 8[ | 7 | | [8; 12[ | 15 | | [12; 16[ | 10 | | [16; 20[ | 5 | 1. Calculez l'effectif total \( N \). 2. Complétez le tableau suivant en ajoutant les colonnes pour les ECC, ECD, \( f_i \), FCC et FCD. | Classes de notes | \( n_i \) | ECC | ECD | \( f_i \) | FCC | FCD | | :--------------- | :------- | :-- | :-- | :-------- | :-- | :-- | | [0; 4[ | 3 | | | | | | | [4; 8[ | 7 | | | | | | | [8; 12[ | 15 | | | | | | | [12; 16[ | 10 | | | | | | | [16; 20[ | 5 | | | | | | | **Total** | | | | | | | 3. Combien d'élèves ont obtenu une note inférieure à 12? 4. Quel pourcentage d'élèves a obtenu une note supérieure ou égale à 8? ### Devoirs Une entreprise a relevé les temps de fabrication (en heures) d'une certaine pièce pour 100 ouvriers. Les résultats sont regroupés en classes: | Classes de temps (heures) | Effectif (\( n_i \)) | | :------------------------ | :--------------------- | | [1; 3[ | 10 | | [3; 5[ | 25 | | [5; 7[ | 35 | | [7; 9[ | 20 | | [9; 11[ | 10 | 1. Calculez l'effectif total. 2. Construisez un tableau complet avec les effectifs (\( n_i \)), les effectifs cumulés croissants (ECC), les effectifs cumulés décroissants (ECD), les fréquences (\( f_i \)) en décimales (arrondies à \( 10^{-2} \) si nécessaire), les fréquences cumulées croissantes (FCC) et les fréquences cumulées décroissantes (FCD). 3. Interprétez les valeurs de FCC pour la classe [5; 7[ et de FCD pour la classe [7; 9[. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris à organiser et à analyser des séries statistiques regroupées en classes de même amplitude. Nous avons vu l'importance des concepts suivants: * Les **effectifs (\( n_i \))** comptent le nombre d'observations dans chaque classe. * Les **effectifs cumulés (ECC/ECD)** donnent un aperçu du nombre d'observations en dessous ou au-dessus d'une certaine valeur. * Les **fréquences (\( f_i = n_i/N \))** représentent la proportion de chaque classe par rapport au total, souvent exprimées en pourcentages. * Les **fréquences cumulées (FCC/FCD)** indiquent la proportion des observations en dessous ou au-dessus d'une certaine valeur. La maîtrise de ces outils est essentielle pour toute analyse statistique, permettant de mieux comprendre la distribution des données et de prendre des décisions éclairées.