Chap9 : Transformations affines du plan

# Chap9 : Transformations affines du plan ## Composée de deux rotations de même sens ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer la composition de deux rotations. Vous avez déjà étudié les rotations individuellement et la notion de composition de transformations. Nous allons nous concentrer sur le cas particulier où les deux rotations sont de même sens (par exemple, toutes deux dans le sens trigonométrique positif ou toutes deux dans le sens négatif). Vous verrez que le résultat de cette composition peut être une nouvelle rotation ou une translation, selon les angles des rotations initiales. ### Concepts Clés #### Rappel sur les rotations Une rotation est une transformation géométrique qui fait "tourner" une figure autour d'un point fixe appelé **centre de rotation**. Elle est définie par : * Un **centre** \( O \). * Un **angle** \( \alpha \) (mesuré en degrés ou en radians). * Un **sens** (positif ou trigonométrique, négatif ou horaire). Les rotations sont des **isométries**, ce qui signifie qu'elles conservent les distances, les angles, les aires et l'orientation des figures. #### Composition de transformations La composition de deux transformations \( f \) et \( g \), notée \( g \circ f \), applique d'abord la transformation \( f \) à un point, puis applique la transformation \( g \) au résultat de \( f \). Autrement dit, pour un point \( M \), \( (g \circ f)(M) = g(f(M)) \). #### Composée de deux rotations de même sens Considérons deux rotations \( r_1 = R(O_1, \alpha_1) \) et \( r_2 = R(O_2, \alpha_2) \) avec des centres \( O_1 \) et \( O_2 \) distincts et des angles \( \alpha_1 \) et \( \alpha_2 \) de même sens. ##### Cas 1 : La somme des angles n'est pas un multiple de \( 360^\circ \) (ou \( 2\pi \) radians) Si \( \alpha_1 + \alpha_2 \neq 2k\pi \) (où \( k \) est un entier), alors la composée \( r_2 \circ r_1 \) est une **rotation**. * **Son angle** est la somme des angles des deux rotations : \( \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 \). * **Son centre** \( \Omega \) est un point unique qui est invariant par la composition, c'est-à-dire \( r_2(r_1(\Omega)) = \Omega \). Pour le trouver géométriquement : 1. Choisissez un point arbitraire \( M \) qui n'est pas \( O_1 \) ou \( O_2 \). 2. Déterminez son image \( M_1 = r_1(M) \). 3. Déterminez l'image de \( M_1 \) par \( r_2 \), soit \( M_2 = r_2(M_1) \). 4. Le centre \( \Omega \) de \( r_2 \circ r_1 \) est le point d'intersection des médiatrices des segments \( [M M_2] \) et \( [P P_2] \) où \( P \) est un autre point arbitraire et \( P_2 = (r_2 \circ r_1)(P) \). ##### Cas 2 : La somme des angles est un multiple de \( 360^\circ \) (ou \( 2\pi \) radians) Si \( \alpha_1 + \alpha_2 = 2k\pi \) (où \( k \) est un entier), alors la composée \( r_2 \circ r_1 \) est une **translation**. * **Son vecteur de translation** \( \vec{u} \) est tel que pour tout point \( M \), \( (r_2 \circ r_1)(M) = M + \vec{u} \). Pour trouver ce vecteur géométriquement : 1. Choisissez un point arbitraire \( M \) (par exemple, le centre \( O_1 \) de la première rotation). 2. Déterminez son image \( M_1 = r_1(M) \). 3. Déterminez l'image de \( M_1 \) par \( r_2 \), soit \( M_2 = r_2(M_1) \). 4. Le vecteur de translation \( \vec{u} \) est alors le vecteur \( \overrightarrow{M M_2} \). * Si vous choisissez \( M = O_1 \), alors \( M_1 = r_1(O_1) = O_1 \). Donc \( M_2 = r_2(O_1) \). Le vecteur de translation est alors \( \vec{u} = \overrightarrow{O_1 r_2(O_1)} \). ### Vocabulaire * **Rotation** : Transformation qui fait pivoter une figure autour d'un point. * **Centre de rotation** : Le point fixe autour duquel une rotation est effectuée. * **Angle de rotation** : La mesure de la rotation autour du centre. * **Sens de rotation** : La direction de la rotation (positif/trigonométrique ou négatif/horaire). * **Composée de transformations** : Le résultat de l'application successive de deux ou plusieurs transformations. * **Translation** : Transformation qui déplace chaque point d'une figure selon le même vecteur. * **Vecteur de translation** : Le vecteur qui définit le déplacement d'une translation. * **Isométrie** : Transformation qui conserve les distances et les angles (comme la rotation et la translation). ### Exemples #### Exemple 1 : Composée de deux rotations (somme des angles non nulle) Soient deux rotations \( r_1 = R(A, 60^\circ) \) et \( r_2 = R(B, 30^\circ) \), où \( A \) et \( B \) sont deux points distincts du plan. Les deux rotations sont de sens positif. 1. **Nature de la composée** : La somme des angles est \( 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ \). Puisque \( 90^\circ \) n'est pas un multiple de \( 360^\circ \), la composée \( r_2 \circ r_1 \) est une rotation. 2. **Caractéristiques** : * **Angle** : L'angle de la rotation composée est \( 90^\circ \). * **Centre** : Pour trouver le centre \( \Omega \) : * Choisissez un point \( M \), par exemple \( M \) tel que \( \vec{AM} \) soit horizontal. * Construisez \( M_1 = r_1(M) \). Pour cela, tracez le cercle de centre \( A \) et de rayon \( AM \), puis placez \( M_1 \) sur ce cercle tel que \( \angle MAM_1 = 60^\circ \) (dans le sens positif). * Construisez \( M_2 = r_2(M_1) \). Pour cela, tracez le cercle de centre \( B \) et de rayon \( BM_1 \), puis placez \( M_2 \) sur ce cercle tel que \( \angle M_1BM_2 = 30^\circ \) (dans le sens positif). * Le centre \( \Omega \) est le point d'intersection des médiatrices des segments \( [M M_2] \) et de \( [A A_2] \) (où \( A_2 = r_2(r_1(A)) \)). #### Exemple 2 : Composée de deux rotations (somme des angles nulle) Soient deux rotations \( r_1 = R(A, 90^\circ) \) et \( r_2 = R(B, -90^\circ) \), où \( A \) et \( B \) sont deux points distincts du plan. La première est de sens positif, la seconde de sens négatif (mais on parle de "même sens" dans le sens où on considère \( +90^\circ \) et \( -90^\circ \) comme angles orientés). 1. **Nature de la composée** : La somme des angles est \( 90^\circ + (-90^\circ) = 0^\circ \). Puisque \( 0^\circ \) est un multiple de \( 360^\circ \) (\( k=0 \)), la composée \( r_2 \circ r_1 \) est une translation. 2. **Caractéristiques** : * **Vecteur de translation** : Pour trouver le vecteur \( \vec{u} \) : * Choisissez le point \( A \) (centre de \( r_1 \)). * L'image de \( A \) par \( r_1 \) est \( A_1 = r_1(A) = A \) (car \( A \) est le centre de \( r_1 \)). * L'image de \( A_1 \) par \( r_2 \) est \( A_2 = r_2(A) \). Pour cela, tracez le cercle de centre \( B \) et de rayon \( BA \), puis placez \( A_2 \) sur ce cercle tel que \( \angle ABA_2 = -90^\circ \) (dans le sens négatif). * Le vecteur de translation \( \vec{u} \) est \( \overrightarrow{A A_2} \). ### Exercices 1. Soient deux points \( P \) et \( Q \) distincts. Déterminez la nature et les caractéristiques de la composée \( r_2 \circ r_1 \) dans les cas suivants, où les angles sont donnés en degrés : * \( r_1 = R(P, 60^\circ) \) et \( r_2 = R(Q, 60^\circ) \) * \( r_1 = R(P, 180^\circ) \) et \( r_2 = R(Q, 180^\circ) \) * \( r_1 = R(P, 135^\circ) \) et \( r_2 = R(Q, -135^\circ) \) 2. On considère deux rotations de même sens positif : \( r_A \) de centre \( A \) et d'angle \( \frac{\pi}{3} \) radians, et \( r_B \) de centre \( B \) et d'angle \( \frac{\pi}{6} \) radians. \( A \) et \( B \) sont distants de 5 cm. Décrivez la transformation \( r_B \circ r_A \). ### Devoirs 1. Dessinez deux points \( C \) et \( D \) et un point \( M \). Soient \( r_1 = R(C, 90^\circ) \) et \( r_2 = R(D, 45^\circ) \). Construisez l'image de \( M \) par \( r_2 \circ r_1 \). Quelle est la nature de la transformation \( r_2 \circ r_1 \) et quel est son angle ? 2. Soient trois points \( X, Y, Z \) non alignés. On définit \( r_1 = R(X, 120^\circ) \) et \( r_2 = R(Y, -120^\circ) \). Sans construire, déterminez la nature de \( r_2 \circ r_1 \). En choisissant le point \( X \) comme point de départ, construisez géométriquement le vecteur de translation de la composée. ### Résumé La composition de deux rotations de même sens dans le plan peut donner deux types de transformations : * Si la **somme de leurs angles n'est pas un multiple de \( 360^\circ \)**, la composée est une **nouvelle rotation**. L'angle de cette rotation est la somme des angles initiaux, et son centre peut être déterminé géométriquement en cherchant le point invariant. * Si la **somme de leurs angles est un multiple de \( 360^\circ \)**, la composée est une **translation**. Le vecteur de cette translation peut être déterminé en calculant l'image d'un point arbitraire (par exemple, un des centres de rotation) par la composition des deux rotations.