Chap8: Suites numériques

# Chap8: Suites numériques ## Diverses déterminations de suites numériques ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les suites numériques ! Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. En d'autres termes, c'est une succession de nombres qui sont souvent liés entre eux par une certaine règle. Comprendre comment ces suites sont définies est fondamental en mathématiques. Dans cette leçon, nous allons explorer les différentes manières de déterminer et de représenter une suite numérique, qu'il s'agisse d'une formule directe ou d'une relation qui dépend des termes précédents. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une suite numérique ? Une suite numérique est une fonction dont l'ensemble de départ est \( \mathbb{N} \) (l'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire \( 0, 1, 2, 3, \dots \) ) et l'ensemble d'arrivée est \( \mathbb{R} \) (l'ensemble des nombres réels). * **Notation :** Une suite est généralement notée \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ou simplement \( (u_n) \). Le nombre \( u_n \) est appelé le terme d'indice \( n \) (ou \( n \)-ième terme) de la suite. * **Indice :** L'indice \( n \) est un entier qui indique la position du terme dans la suite. Souvent, le premier terme est \( u_0 \) (pour \( n=0 \)) ou \( u_1 \) (pour \( n=1 \) ), selon le contexte. #### Détermination d'une suite par une formule explicite Une suite est définie de manière explicite si chaque terme \( u_n \) peut être calculé directement en fonction de son indice \( n \). * **Forme générale :** \[ u_n = f(n) \] * **Avantage :** Pour calculer un terme quelconque de la suite, il suffit de remplacer \( n \) par sa valeur dans la formule. Il n'est pas nécessaire de calculer les termes précédents. * **Exemple :** La suite définie par \( u_n = 2n+3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). Pour trouver \( u_5 \), on calcule \( u_5 = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13 \). #### Détermination d'une suite par une relation de récurrence Une suite est définie par une relation de récurrence si chaque terme est calculé à partir du ou des termes qui le précèdent. * **Forme générale :** Pour définir une suite par récurrence, il faut deux éléments : 1. Le ou les premiers termes de la suite (par exemple \( u_0 \)). 2. Une relation qui exprime \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \) (ou parfois \( u_n \) en fonction de \( u_{n-1} \) et \( u_{n-2} \), etc.). * Exemple : \[ u_{n+1} = g(u_n) \] * **Inconvénient :** Pour calculer un terme \( u_n \), il faut d'abord calculer tous les termes précédents jusqu'à \( u_{n-1} \). * **Exemple :** La suite définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = u_n + 2 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). * \( u_1 = u_0 + 2 = 1 + 2 = 3 \) * \( u_2 = u_1 + 2 = 3 + 2 = 5 \) * \( u_3 = u_2 + 2 = 5 + 2 = 7 \) #### Représentation graphique d'une suite Une suite \( (u_n) \) peut être représentée graphiquement par des points dans un repère. Chaque point a pour coordonnées \( (n, u_n) \). * **Nuage de points :** C'est une façon de visualiser l'évolution des termes de la suite. Les points ne sont pas reliés car les indices \( n \) sont des entiers. * **Pour les suites récurrentes :** Il est parfois utile de tracer la droite \( y=x \) et la courbe de la fonction \( y=g(x) \) (si \( u_{n+1}=g(u_n) \) ) pour visualiser graphiquement les termes de la suite. Les termes \( u_n \) sont alors lus sur l'axe des abscisses (ou ordonnées). ### Vocabulaire * **Suite numérique :** Une liste ordonnée de nombres réels indexée par des entiers naturels. * **Terme général :** Le \( n \)-ième nombre d'une suite, noté \( u_n \). * **Indice :** L'entier \( n \) qui numérote le terme \( u_n \) dans la suite. * **Formule explicite :** Une règle qui permet de calculer \( u_n \) directement en fonction de \( n \). * **Relation de récurrence :** Une règle qui définit un terme de la suite en fonction d'un ou plusieurs termes précédents. * **Premier terme :** Le terme initial de la suite, souvent \( u_0 \) ou \( u_1 \). ### Exemples #### Exemple 1 : Suite définie par une formule explicite Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N} \) par \( u_n = n^2 - 3n + 1 \). Calculons les premiers termes : * \( u_0 = 0^2 - 3(0) + 1 = 1 \) * \( u_1 = 1^2 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \) * \( u_2 = 2^2 - 3(2) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1 \) * \( u_3 = 3^2 - 3(3) + 1 = 9 - 9 + 1 = 1 \) * \( u_4 = 4^2 - 3(4) + 1 = 16 - 12 + 1 = 5 \) #### Exemple 2 : Suite définie par une relation de récurrence Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 4 \) et \( v_{n+1} = rac{v_n}{2} + 1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). Calculons les premiers termes : * \( v_0 = 4 \) * \( v_1 = rac{v_0}{2} + 1 = rac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3 \) * \( v_2 = rac{v_1}{2} + 1 = rac{3}{2} + 1 = 1.5 + 1 = 2.5 \) * \( v_3 = rac{v_2}{2} + 1 = rac{2.5}{2} + 1 = 1.25 + 1 = 2.25 \) ### Exercices 1. **Calcul de termes (explicite) :** Soit la suite \( (x_n) \) définie par \( x_n = rac{n}{n+1} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). * Calculez \( x_0, x_1, x_5, x_{99} \). 2. **Calcul de termes (récurrence) :** Soit la suite \( (y_n) \) définie par \( y_0 = 10 \) et \( y_{n+1} = y_n - 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). * Calculez \( y_1, y_2, y_3, y_4 \). 3. **Identification de suite :** Donnez les 4 premiers termes de la suite \( (z_n) \) définie par \( z_n = (-1)^n imes 2n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). 4. **Définition à partir des termes :** Les premiers termes d'une suite sont \( 2, 4, 6, 8, ext{...} \). * Donnez une formule explicite pour cette suite. * Donnez une relation de récurrence et son premier terme. ### Devoirs 1. **Population bactérienne :** Une culture de bactéries commence avec 500 bactéries. Chaque jour, le nombre de bactéries triple. * Modélisez cette situation à l'aide d'une suite numérique. Donnez son premier terme \( u_0 \). * Écrivez une relation de récurrence pour cette suite. * Écrivez une formule explicite pour cette suite. * Combien y aura-t-il de bactéries après 3 jours ? Après 5 jours ? 2. **Suite alternée :** Soit la suite \( (a_n) \) définie par \( a_n = rac{(-1)^n}{n+1} \) pour \( n \ge 0 \). * Calculez \( a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \). * Représentez graphiquement les 5 premiers termes de cette suite. 3. **Suite de Fibonacci modifiée :** Soit la suite \( (f_n) \) définie par \( f_0 = 1, f_1 = 1 \) et \( f_{n+2} = f_{n+1} + f_n \) pour \( n \ge 0 \). * Calculez \( f_2, f_3, f_4, f_5, f_6 \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les **diverses manières de déterminer une suite numérique**. Nous avons appris qu'une suite peut être définie de deux manières principales : * **De manière explicite :** Une formule directe \( u_n = f(n) \) qui permet de calculer n'importe quel terme de la suite en connaissant seulement son indice \( n \). * **Par récurrence :** En spécifiant le ou les premiers termes et une relation \( u_{n+1} = g(u_n) \) qui permet de calculer un terme à partir du (ou des) précédent(s). Chaque méthode a ses avantages et ses inconvénients, et la compréhension des deux est cruciale pour travailler avec les suites numériques. Nous avons également vu comment représenter graphiquement une suite, ce qui peut aider à visualiser son comportement. ## Diverses déterminations de suites numériques ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les suites numériques ! Les suites numériques sont des listes ordonnées de nombres. Elles sont omniprésentes en mathématiques et dans de nombreuses applications pratiques, de la finance à la physique. Dans cette leçon, nous allons explorer les différentes manières de définir et de représenter ces suites, ce qui nous permettra de comprendre comment leurs termes sont générés et de prédire leur comportement. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une suite numérique ? Une suite numérique est une fonction dont l'ensemble de départ est (généralement) l'ensemble des entiers naturels \( \mathbb{N} \) (ou une partie de \( \mathbb{N} \)) et dont l'ensemble d'arrivée est \( \mathbb{R} \). * **Notation :** Une suite est généralement notée \( (u_n)_{n \in I} \) ou simplement \( u_n \). Le terme \( u_n \) est le terme de rang \( n \) (ou d'indice \( n \)). * **Indice :** L'indice \( n \) est un nombre entier qui indique la position du terme dans la suite. Souvent, les suites commencent à \( n=0 \) (\( u_0 \) est le premier terme) ou à \( n=1 \) (\( u_1 \) est le premier terme). #### Définition d'une suite par une formule explicite Une suite est définie de manière explicite si chaque terme \( u_n \) est donné directement en fonction de son rang \( n \). * **Forme générale :** \( u_n = f(n) \), où \( f \) est une fonction. * **Avantage :** Il est facile de calculer n'importe quel terme de la suite sans connaître les termes précédents. * **Exemple :** Si \( u_n = 2n + 1 \), alors : * \( u_0 = 2(0) + 1 = 1 \) * \( u_1 = 2(1) + 1 = 3 \) * \( u_{10} = 2(10) + 1 = 21 \) #### Définition d'une suite par une relation de récurrence Une suite est définie par récurrence si chaque terme est exprimé en fonction d'un ou plusieurs termes précédents. Pour qu'une suite définie par récurrence soit entièrement déterminée, il faut également connaître les premiers termes (termes initiaux). * **Forme générale :** \( u_{n+1} = f(u_n) \) (ou plus généralement \( u_{n+1} = f(u_n, u_{n-1}, ...) \)), et un ou plusieurs termes initiaux. * **Avantage :** Modélise bien les phénomènes où l'état futur dépend de l'état présent. * **Inconvénient :** Pour calculer un terme lointain (par exemple \( u_{100} \)), il faut calculer tous les termes précédents. * **Exemple :** Soit la suite définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = 2u_n - 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). * \( u_1 = 2u_0 - 3 = 2(1) - 3 = -1 \) * \( u_2 = 2u_1 - 3 = 2(-1) - 3 = -5 \) ##### Cas particuliers : Suites arithmétiques et géométriques * **Suites arithmétiques :** Chaque terme est obtenu en ajoutant une constante (appelée raison \( r \)) au terme précédent. * **Définition par récurrence :** \( u_{n+1} = u_n + r \) * **Définition explicite :** \( u_n = u_0 + nr \) si la suite commence à \( u_0 \), ou \( u_n = u_p + (n-p)r \) pour un terme \( u_p \) donné. * **Suites géométriques :** Chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante (appelée raison \( q \)). * **Définition par récurrence :** \( u_{n+1} = u_n \times q \) * **Définition explicite :** \( u_n = u_0 \times q^n \) si la suite commence à \( u_0 \), ou \( u_n = u_p \times q^{n-p} \) pour un terme \( u_p \) donné. #### Représentation graphique d'une suite Une suite \( (u_n) \) peut être représentée graphiquement par un nuage de points \( (n, u_n) \) dans un repère orthogonal. * **Pour une suite définie explicitement :** On trace les points \( (n, u_n) \) directement. Par exemple, pour \( u_n = n^2 \), on trace les points \( (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), ... \). * **Pour une suite définie par récurrence :** On utilise souvent la courbe de la fonction \( f \) telle que \( u_{n+1} = f(u_n) \) et la droite d'équation \( y=x \). 1. Placer \( u_0 \) sur l'axe des abscisses. 2. Calculer \( u_1 = f(u_0) \) en allant verticalement jusqu'à la courbe de \( f \), puis horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées pour lire \( u_1 \). 3. Pour reporter \( u_1 \) sur l'axe des abscisses (afin de calculer \( u_2 \)), on trace une ligne horizontale de \( (0, u_1) \) jusqu'à la droite \( y=x \), puis une ligne verticale jusqu'à l'axe des abscisses. Cela donne \( u_1 \) sur l'axe des abscisses. 4. Répéter l'opération pour trouver \( u_2, u_3, ... \). ### Vocabulaire * **Suite numérique :** Une liste ordonnée de nombres réels. * **Terme :** Chaque nombre de la suite.\ * **Indice (ou rang) :** La position d'un terme dans la suite (souvent noté \( n \)). * **Formule explicite :** Une règle qui donne directement \( u_n \) en fonction de \( n \). * **Relation de récurrence :** Une règle qui donne \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \) (ou des termes précédents). * **Premier terme :** Le terme initial de la suite (par exemple \( u_0 \) ou \( u_1 \)). * **Suite arithmétique :** Une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante (la raison \( r \)). * **Suite géométrique :** Une suite où le rapport entre deux termes consécutifs est constant (la raison \( q \)). ### Exemples #### Exemple 1 : Suite définie explicitement Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = n^2 - 3n + 2 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). * Calculons les premiers termes : * \( u_0 = 0^2 - 3(0) + 2 = 2 \) * \( u_1 = 1^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \) * \( u_2 = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 \) * \( u_3 = 3^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 \) #### Exemple 2 : Suite définie par récurrence Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 5 \) et \( v_{n+1} = 0.5 v_n + 1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). * Calculons les premiers termes : * \( v_0 = 5 \) * \( v_1 = 0.5 v_0 + 1 = 0.5(5) + 1 = 2.5 + 1 = 3.5 \) * \( v_2 = 0.5 v_1 + 1 = 0.5(3.5) + 1 = 1.75 + 1 = 2.75 \) * \( v_3 = 0.5 v_2 + 1 = 0.5(2.75) + 1 = 1.375 + 1 = 2.375 \) #### Exemple 3 : Suite arithmétique Soit \( (w_n) \) une suite arithmétique de premier terme \( w_0 = 7 \) et de raison \( r = -2 \). * La formule explicite est \( w_n = w_0 + nr \). * \( w_n = 7 + n(-2) = 7 - 2n \). * Calculons \( w_5 \) : * \( w_5 = 7 - 2(5) = 7 - 10 = -3 \). #### Exemple 4 : Suite géométrique Soit \( (t_n) \) une suite géométrique de premier terme \( t_0 = 2 \) et de raison \( q = 3 \). * La formule explicite est \( t_n = t_0 \times q^n \). * \( t_n = 2 \times 3^n \). * Calculons \( t_4 \) : * \( t_4 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162 \). #### Exemple 5 : Représentation graphique d'une suite par récurrence Soit la suite définie par \( u_0 = 0.5 \) et \( u_{n+1} = 2u_n(1-u_n) \). La fonction associée est \( f(x) = 2x(1-x) \). On trace la parabole \( y = 2x(1-x) \) et la droite \( y=x \). 1. Placer \( u_0 = 0.5 \) sur l'axe des abscisses. 2. Verticalement jusqu'à la courbe de \( f \), on obtient le point \( (0.5, f(0.5)) \). 3. Horizontalement jusqu'à la droite \( y=x \), on obtient le point \( (f(0.5), f(0.5)) \). 4. Verticalement jusqu'à l'axe des abscisses, on obtient \( u_1 = f(0.5) \). 5. Répéter le processus pour \( u_2, u_3, ... \) en partant de \( u_1 \) sur l'axe des abscisses. Cela crée un « escalier » ou une « spirale » qui montre le comportement de la suite. ### Exercices 1. **Calcul de termes (explicite) :** Soit la suite \( (a_n) \) définie par \( a_n = (-1)^n \times n! \) pour \( n \in \mathbb{N} \). Calculez \( a_0, a_1, a_2, a_3 \). 2. **Calcul de termes (récurrence) :** Soit la suite \( (b_n) \) définie par \( b_0 = 3 \) et \( b_{n+1} = rac{1}{b_n} + n \) pour \( n \in \mathbb{N} \). Calculez \( b_1, b_2, b_3 \). 3. **Identification de suite :** Pour chacune des suites suivantes, dites si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'un ni l'autre. Si elle est arithmétique ou géométrique, donnez sa raison et son premier terme. a) \( c_n = 3n - 5 \) b) \( d_n = 4 imes (0.5)^n \) c) \( e_n = n^2 + 1 \) 4. **Formule explicite à partir de récurrence (cas simples) :** Soit une suite arithmétique \( (f_n) \) telle que \( f_0 = -2 \) et \( f_{n+1} = f_n + 4 \). Donnez la formule explicite de \( f_n \). ### Devoir à la maison 1. **Suite explicite et propriété :** Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = rac{2n-1}{n+1} \) pour \( n \in \mathbb{N} \). a) Calculez les cinq premiers termes de la suite. b) Montrez que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_n < 2 \). 2. **Suite par récurrence et conjectures graphiques :** Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 1 \) et \( v_{n+1} = rac{1}{2}v_n + 3 \). a) Calculez \( v_1, v_2, v_3, v_4 \). b) Représentez graphiquement les premiers termes de la suite en utilisant la fonction \( f(x) = rac{1}{2}x + 3 \) et la droite \( y=x \). c) Quelle conjecture pouvez-vous faire sur le sens de variation de la suite et sa convergence ? 3. **Problème concret :** Une population de bactéries double toutes les heures. Au début de l'expérience (heure 0), il y a 100 bactéries. a) Modélisez cette situation par une suite numérique \( P_n \) où \( P_n \) représente le nombre de bactéries à l'heure \( n \). b) Donnez une formule explicite pour \( P_n \). c) Combien de bactéries y aura-t-il après 5 heures ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons découvert que les suites numériques sont des listes ordonnées de nombres. Il existe deux manières principales de les définir : * **Par une formule explicite :** Chaque terme \( u_n \) est directement calculable en fonction de son rang \( n \). C'est pratique pour trouver n'importe quel terme rapidement. * **Par une relation de récurrence :** Chaque terme est défini à partir du (ou des) précédent(s), nécessitant la connaissance des premiers termes. C'est utile pour modéliser des évolutions pas à pas. Nous avons aussi vu des cas particuliers importants comme les suites arithmétiques (addition d'une raison constante) et géométriques (multiplication par une raison constante), ainsi que la représentation graphique des suites, notamment avec la droite \( y=x \) pour les suites récurrentes. La maîtrise de ces différentes déterminations est fondamentale pour l'étude et l'application des suites en mathématiques.