Chap5 : Fonctions dérivées

# Chap5 : Fonctions dérivées ## Approche intuitive de la notion de nombre dérivé Leçon 13: Fonction dérivée (formules usuelles) ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur les fonctions dérivées ! Après avoir abordé intuitivement la notion de nombre dérivé, nous allons maintenant apprendre à calculer rapidement la fonction dérivée de nombreuses fonctions usuelles sans avoir à passer par la limite du taux de variation. La fonction dérivée est un outil essentiel en mathématiques pour étudier le sens de variation des fonctions, trouver les extremums et déterminer la pente des tangentes à une courbe en un point donné. Préparez-vous à découvrir les "recettes" de dérivation ! ### Concepts Clés #### Rappel : Nombre dérivé et fonction dérivée * Le **nombre dérivé** d'une fonction \(f\) en un point \(a\), noté \(f'(a)\), représente le taux de variation instantané de la fonction en ce point. Il est défini par la limite, si elle existe : \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \] * Géométriquement, \(f'(a)\) est la **pente (ou coefficient directeur)** de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse \(a\). * La **fonction dérivée**, notée \(f'\), est la fonction qui, à chaque \(x\) de l'ensemble de dérivabilité de \(f\), associe le nombre dérivé \(f'(x)\). #### Formules usuelles de dérivation Voici les formules à connaître par cœur pour dériver les fonctions les plus courantes : ##### Dérivée des fonctions de référence * **Fonction constante** Si \(f(x) = c\) (où \(c\) est un nombre réel constant), alors sa dérivée est : \[ f'(x) = 0 \] _Exemple :_ Si \(f(x) = 5\), alors \(f'(x) = 0\). * **Fonction linéaire** Si \(f(x) = ax+b\) (où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels), alors sa dérivée est : \[ f'(x) = a \] _Exemple :_ Si \(f(x) = 3x - 7\), alors \(f'(x) = 3\). * **Fonction puissance** Si \(f(x) = x^n\) (où \(n\) est un entier naturel non nul), alors sa dérivée est : \[ f'(x) = nx^{n-1} \] _Exemple :_ Si \(f(x) = x^4\), alors \(f'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3\). * **Fonction inverse** Si \(f(x) = \frac{1}{x}\) (pour \(x \ne 0\)), alors sa dérivée est : \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \] * **Fonction racine carrée** Si \(f(x) = \sqrt{x}\) (pour \(x > 0\)), alors sa dérivée est : \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] ##### Opérations sur les fonctions dérivables * **Dérivée d'une somme de fonctions** Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\), alors la fonction \(u+v\) est dérivable sur \(I\) et sa dérivée est : \[ (u+v)' = u' + v' \] * **Dérivée du produit d'une fonction par une constante** Si \(u\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \(k\) est une constante réelle, alors la fonction \(ku\) est dérivable sur \(I\) et sa dérivée est : \[ (ku)' = k u' \] ### Vocabulaire * **Nombre dérivé :** La pente de la tangente à la courbe d'une fonction en un point donné. Il indique la vitesse de variation instantanée de la fonction. * **Fonction dérivée :** Une nouvelle fonction construite à partir de la fonction originale, qui donne le nombre dérivé en chaque point où la fonction est dérivable. Elle est notée \(f'\). * **Tangente :** Une droite qui touche une courbe en un seul point et dont la pente est égale au nombre dérivé de la fonction en ce point. * **Taux de variation :** Le rapport \( \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \) qui mesure le changement moyen d'une fonction entre deux points. Il tend vers le nombre dérivé quand \(x_2\) se rapproche de \(x_1\). ### Exemples Appliquons les formules pour dériver quelques fonctions : 1. **Soit** \(f(x) = 2x^3 + 5x - 1\). * La dérivée de \(2x^3\) est \(2 \times (x^3)' = 2 \times 3x^2 = 6x^2\). * La dérivée de \(5x\) est \(5 \times (x)' = 5 \times 1 = 5\). * La dérivée de \(-1\) (constante) est \(0\). * Donc, \(f'(x) = 6x^2 + 5 + 0 = 6x^2 + 5\). 2. **Soit** \(g(x) = \frac{3}{x} + \sqrt{x}\). * La dérivée de \(\frac{3}{x}\) est \(3 \times (\frac{1}{x})' = 3 \times (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{3}{x^2}\). * La dérivée de \(\sqrt{x}\) est \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) (pour \(x > 0\)). * Donc, \(g'(x) = -\frac{3}{x^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\) pour \(x > 0\). 3. **Soit** \(h(x) = -4x^2 + 10x - 2\). * La dérivée de \(-4x^2\) est \(-4 \times (x^2)' = -4 \times 2x = -8x\). * La dérivée de \(10x\) est \(10\). * La dérivée de \(-2\) est \(0\). * Donc, \(h'(x) = -8x + 10\). ### Exercices Dérivez les fonctions suivantes en utilisant les formules apprises. Donnez l'ensemble de définition de la dérivée si nécessaire. 1. \(f(x) = 12\) 2. \(g(x) = -5x + 3\) 3. \(h(x) = x^6\) 4. \(i(x) = 7\sqrt{x}\) 5. \(j(x) = -\frac{8}{x}\) 6. \(k(x) = 5x^3 - 2x^2 + 4x - 9\) 7. \(l(x) = -x^4 + \frac{2}{x} + 3\sqrt{x}\) ### Devoirs Pour vous entraîner, dérivez les fonctions suivantes et précisez l'intervalle sur lequel la fonction dérivée est définie : 1. \(f(x) = 6x^5 - \frac{1}{3}x^3 + x - 10\) 2. \(g(x) = \frac{4}{x} + 5x^2 - 2\sqrt{x} + 1\) 3. \(h(x) = (x-2)^2 \) (Astuce : développez d'abord \(h(x)\) avant de dériver). 4. Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\). a. Calculez la fonction dérivée \(f'(x)\). b. En déduire la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x=3\). ### Résumé * La **fonction dérivée** \(f'\) est un outil puissant qui donne la pente de la tangente à la courbe de \(f\) en chaque point, et donc le sens de variation de la fonction. * Le calcul de la dérivée suit des règles spécifiques, les **formules de dérivation**. * Voici un tableau récapitulatif des formules de base à mémoriser : | Fonction \(f(x)\) | Fonction dérivée \(f'(x)\) | Conditions | | :------------------- | :----------------------------- | :--------- | | \(c\) (constante) | \(0\) | | | \(x\) | \(1\) | | | \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) | \(nx^{n-1}\) | | | \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | \(x \ne 0\) | | \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(x > 0\) | | \(u+v\) | \(u'+v'\) | | | \(ku\) | \(ku'\) | | En maîtrisant ces formules, vous pourrez dériver une grande variété de fonctions et résoudre de nombreux problèmes en mathématiques et dans d'autres sciences. Continuez à pratiquer pour solidifier vos connaissances ! ## Fonction dérivée (formules usuelles) Leçon 12 : Equation de la tangente en un point d'une courbe ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer une application fondamentale des fonctions dérivées : la détermination de l'équation d'une droite tangente à une courbe en un point donné. Comprendre la tangente est crucial car elle représente la meilleure approximation linéaire d'une fonction autour de ce point, nous donnant des informations précieuses sur la pente et le comportement local de la courbe. ### Concepts Clés #### Rappel : Le Nombre Dérivé et le Coefficient Directeur Vous avez appris que le nombre dérivé \( f'(a) \) d'une fonction \( f \) en un point \( a \) représente le coefficient directeur (ou la pente) de la tangente à la courbe représentative de \( f \) au point d'abscisse \( a \). Géométriquement, si vous zoomez suffisamment sur un point d'une courbe, la courbe ressemble de plus en plus à une droite : c'est la tangente. #### L'Équation d'une Droite Une droite est généralement représentée par l'équation \( y = mx + p \), où \( m \) est le coefficient directeur et \( p \) est l'ordonnée à l'origine. #### Formule de l'Équation de la Tangente Soit \( f \) une fonction dérivable en \( a \). La courbe représentative de \( f \) est notée \( \mathcal{C}_f \). La tangente à la courbe \( \mathcal{C}_f \) au point \( A(a, f(a)) \) a pour équation : \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \] Décortiquons cette formule : * \( f'(a) \) est le **coefficient directeur** de la tangente. C'est le nombre dérivé de \( f \) en \( a \). * \( (x - a) \) représente la différence d'abscisse entre un point courant \( (x,y) \) sur la tangente et le point de tangence \( (a, f(a)) \). * \( f(a) \) est l'**ordonnée** du point de tangence. Il assure que la droite passe bien par le point \( A(a, f(a)) \). **Étapes pour trouver l'équation de la tangente :** 1. Calculer \( f(a) \) : l'ordonnée du point de tangence. 2. Calculer \( f'(x) \) : la fonction dérivée de \( f \). 3. Calculer \( f'(a) \) : le coefficient directeur de la tangente. 4. Substituer ces valeurs dans la formule \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]. ### Vocabulaire * **Tangente :** Droite qui touche une courbe en un seul point, appelée point de tangence, et ayant la même pente que la courbe en ce point. * **Point de tangence :** Le point où la tangente touche la courbe. * **Nombre dérivé (ou dérivée en un point) :** La valeur \( f'(a) \) qui représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( a \). * **Coefficient directeur (ou pente) :** La mesure de l'inclinaison d'une droite. Pour une tangente, elle est donnée par le nombre dérivé. ### Exemples #### Exemple 1 : Fonction quadratique Soit la fonction \( f(x) = x^2 \). Déterminons l'équation de la tangente à \( \mathcal{C}_f \) au point d'abscisse \( a=1 \). 1. Calculons \( f(1) \) : \( f(1) = 1^2 = 1 \). Le point de tangence est \( (1, 1) \). 2. Calculons la fonction dérivée \( f'(x) \) : \( f'(x) = 2x \). 3. Calculons le coefficient directeur \( f'(1) \) : \( f'(1) = 2(1) = 2 \). 4. Appliquons la formule : \( y = f'(1)(x - 1) + f(1) \) \( y = 2(x - 1) + 1 \) \( y = 2x - 2 + 1 \) \( y = 2x - 1 \) L'équation de la tangente est \( y = 2x - 1 \). #### Exemple 2 : Fonction inverse Soit la fonction \( f(x) = rac{1}{x} \). Déterminons l'équation de la tangente à \( \mathcal{C}_f \) au point d'abscisse \( a=2 \). 1. Calculons \( f(2) \) : \( f(2) = rac{1}{2} \). Le point de tangence est \( (2, rac{1}{2}) \). 2. Calculons la fonction dérivée \( f'(x) \) : \( f'(x) = -rac{1}{x^2} \). 3. Calculons le coefficient directeur \( f'(2) \) : \( f'(2) = -rac{1}{2^2} = -rac{1}{4} \). 4. Appliquons la formule : \( y = f'(2)(x - 2) + f(2) \) \( y = -rac{1}{4}(x - 2) + rac{1}{2} \) \( y = -rac{1}{4}x + rac{2}{4} + rac{1}{2} \) \( y = -rac{1}{4}x + rac{1}{2} + rac{1}{2} \) \( y = -rac{1}{4}x + 1 \) L'équation de la tangente est \( y = -rac{1}{4}x + 1 \). ### Exercices 1. Soit \( f(x) = 3x^2 - 4x + 1 \). Déterminez l'équation de la tangente à \( \mathcal{C}_f \) au point d'abscisse \( a=0 \). 2. Soit \( g(x) = rac{x+1}{x-1} \). Déterminez l'équation de la tangente à \( \mathcal{C}_g \) au point d'abscisse \( a=2 \). 3. Soit \( h(x) = \sqrt{x} \). Déterminez l'équation de la tangente à \( \mathcal{C}_h \) au point d'abscisse \( a=4 \). ### Devoir Maison 1. Soit \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \). Déterminez l'équation de la tangente à \( \mathcal{C}_f \) au point d'abscisse \( a=-1 \). Tracez la courbe et sa tangente sur le même graphique. 2. Pour quelle(s) valeur(s) de \( a \) la tangente à la courbe de \( f(x) = x^2 - 5x + 3 \) est-elle horizontale ? (Indice : une tangente horizontale a une pente nulle). 3. On considère la fonction \( f(x) = 2x^2 + x - 1 \). Déterminez l'équation de la tangente à \( \mathcal{C}_f \) qui a un coefficient directeur égal à 5. ### Résumé La capacité à trouver l'équation de la tangente est une compétence clé en calcul différentiel. Elle repose sur la compréhension que le nombre dérivé \( f'(a) \) donne la pente de la tangente au point \( (a, f(a)) \). La formule fondamentale à retenir est : \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \] Maîtriser cette formule et les étapes associées vous permettra d'analyser le comportement local des fonctions et de résoudre de nombreux problèmes en mathématiques et dans d'autres sciences.