Chap6 : Généralités sur les fonctions numériques

# Chap6 : Généralités sur les fonctions numériques ## Notion de fonctions et d’applications Leçon 19: Composition des applications et opérations sur les fonctions ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer des manières de combiner des fonctions déjà connues pour en créer de nouvelles. Nous verrons comment enchaîner l'application de fonctions (la composition) et comment effectuer des opérations arithmétiques basiques (somme, produit, quotient) sur des fonctions. Ces concepts sont fondamentaux pour comprendre des fonctions plus complexes en mathématiques et leurs applications dans divers domaines. ### Concepts Clés #### Composition des applications (ou fonctions) La composition de fonctions consiste à appliquer une fonction à un résultat déjà obtenu par une autre fonction. Imaginez une machine qui prend un nombre, le transforme, puis une seconde machine prend le résultat de la première et le transforme à nouveau. * **Définition**: Soient deux fonctions \( f: A \to B \) et \( g: B \to C \). La fonction composée de \( g \) par \( f \), notée \( g \circ f \) (lire "\( g \) rond \( f \) "), est la fonction qui à tout \( x \) de l'ensemble \( A \) associe l'image de \( f(x) \) par \( g \). Formellement, \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \] * **Condition d'existence**: Pour que la composition \( g \circ f \) soit définie, l'ensemble d'arrivée de \( f \) doit être inclus dans l'ensemble de départ de \( g \). Autrement dit, le domaine de \( g \) doit contenir l'image de \( f \). * **Ordre de composition**: L'ordre est crucial. En général, \( g \circ f \ne f \circ g \). La fonction \( f \) est appliquée en premier, suivie de \( g \). #### Opérations sur les fonctions Nous pouvons définir des opérations arithmétiques entre des fonctions, de la même manière que nous le faisons avec des nombres. * **Somme de deux fonctions**: Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions. La somme \( f+g \) est la fonction définie par : \[ (f+g)(x) = f(x) + g(x) \] Le domaine de \( f+g \) est l'intersection des domaines de \( f \) et \( g \) : \( D_{f+g} = D_f \cap D_g \). * **Produit d'une fonction par un scalaire**: Soit \( f \) une fonction et \( k \) un nombre réel. Le produit \( k \cdot f \) est la fonction définie par : \[ (k \cdot f)(x) = k \cdot f(x) \] Le domaine de \( k \cdot f \) est le même que celui de \( f \) : \( D_{k \cdot f} = D_f \). * **Produit de deux fonctions**: Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions. Le produit \( f \cdot g \) est la fonction définie par : \[ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \] Le domaine de \( f \cdot g \) est l'intersection des domaines de \( f \) et \( g \) : \( D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g \). * **Quotient de deux fonctions**: Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions. Le quotient \( \frac{f}{g} \) est la fonction définie par : \[ \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \] Le domaine de \( \frac{f}{g} \) est l'intersection des domaines de \( f \) et \( g \), à l'exception des valeurs de \( x \) pour lesquelles \( g(x) = 0 \) : \( D_{\frac{f}{g}} = \{ x \in D_f \cap D_g \mid g(x) \ne 0 \} \). ### Vocabulaire * **Fonction composée**: Fonction obtenue en appliquant une fonction au résultat d'une autre fonction. * **Domaine de définition** (ou ensemble de définition): L'ensemble de toutes les valeurs d'entrée pour lesquelles une fonction est définie. * **Image**: La valeur de sortie d'une fonction pour une entrée donnée. * **Antécédent**: La valeur d'entrée d'une fonction qui donne une image spécifique. * **Opérations sur les fonctions**: Opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division) appliquées aux fonctions. ### Exemples #### Exemple 1: Composition de fonctions Soient les fonctions \( f(x) = 2x+1 \) et \( g(x) = x^2 \). 1. Calculons \( (g \circ f)(x) \) : \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)^2 \) \( (g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x + 1 \) Le domaine de \( f \) est \( \mathbb{R} \) et le domaine de \( g \) est \( \mathbb{R} \). La composition est donc définie sur \( \mathbb{R} \). 2. Calculons \( (f \circ g)(x) \) : \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2)+1 \) \( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 \) Le domaine de \( g \) est \( \mathbb{R} \) et le domaine de \( f \) est \( \mathbb{R} \). La composition est donc définie sur \( \mathbb{R} \). Remarque: Comme nous pouvons le voir, \( (g \circ f)(x) \ne (f \circ g)(x) \). #### Exemple 2: Opérations sur les fonctions avec domaines Soient les fonctions \( f(x) = x+3 \) et \( g(x) = \sqrt{x} \). Le domaine de \( f \) est \( D_f = \mathbb{R} \). Le domaine de \( g \) est \( D_g = [0, +\infty[ \). L'intersection de leurs domaines est \( D_f \cap D_g = [0, +\infty[ \). 1. **Somme** \( (f+g)(x) \): \( (f+g)(x) = f(x) + g(x) = x+3+\sqrt{x} \) Le domaine de \( f+g \) est \( [0, +\infty[ \). 2. **Produit** \( (f \cdot g)(x) \): \( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = (x+3)\sqrt{x} \) Le domaine de \( f \cdot g \) est \( [0, +\infty[ \). 3. **Quotient** \( \left(\frac{f}{g}\right)(x) \): \( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x+3}{\sqrt{x}} \) Pour le domaine, nous devons avoir \( x \ge 0 \) et \( \sqrt{x} \ne 0 \). Donc \( x \ne 0 \). Le domaine de \( \frac{f}{g} \) est \( ]0, +\infty[ \). ### Exercices 1. Soient \( f(x) = 3x-2 \) et \( g(x) = x^2+5 \). a. Calculez \( (f \circ g)(x) \). b. Calculez \( (g \circ f)(x) \). c. Évaluez \( (f \circ g)(1) \) et \( (g \circ f)(1) \). 2. Soient \( h(x) = \frac{1}{x} \) et \( k(x) = x+4 \). a. Déterminez le domaine de \( h \) et \( k \). b. Calculez \( (h+k)(x) \) et son domaine. c. Calculez \( (h \cdot k)(x) \) et son domaine. d. Calculez \( (\frac{h}{k})(x) \) et son domaine. e. Calculez \( (h \circ k)(x) \) et son domaine. 3. Vrai ou Faux : Si \( f(x) = x \) et \( g(x) = x^2 \), alors \( f \circ g = g \circ f \). ### Devoir 1. Soient \( f(x) = \sqrt{x-1} \) et \( g(x) = x^2+2 \). a. Déterminez les domaines de \( f \) et \( g \). b. Calculez \( (g \circ f)(x) \) et son domaine de définition. c. Calculez \( (f \circ g)(x) \) et son domaine de définition. 2. Soient les fonctions \( f(x) = x^2-4 \) et \( g(x) = \frac{1}{x-2} \). a. Déterminez \( (f+g)(x) \) et \( (f-g)(x) \), ainsi que leurs domaines respectifs. b. Déterminez \( (f \cdot g)(x) \) et \( (\frac{f}{g})(x) \), ainsi que leurs domaines respectifs. 3. Trouvez deux fonctions \( f \) et \( g \) telles que \( (f \circ g)(x) = \frac{1}{x^2+1} \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris deux manières principales de combiner des fonctions : la **composition** et les **opérations arithmétiques**. La composition \( (g \circ f)(x) \) signifie appliquer \( f \) en premier, puis \( g \) au résultat, soit \( g(f(x)) \). Les opérations comme la somme \( (f+g)(x) = f(x)+g(x) \), le produit \( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \) et le quotient \( (\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \) combinent les fonctions point par point. Un aspect crucial à toujours considérer est la détermination correcte du **domaine de définition** des nouvelles fonctions obtenues, en particulier lors de compositions ou de quotients, pour éviter les divisions par zéro ou les racines de nombres négatifs.