Chap7 : Limites et continuité d’une fonction

# Chap7 : Limites et continuité d’une fonction ## Limites Leçon 24: Continuité ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer le concept fondamental de **continuité** pour une fonction. Intuitivement, une fonction est continue si l'on peut tracer sa courbe représentative sans jamais lever le crayon. En termes plus formels, la continuité est étroitement liée aux limites que nous avons étudiées précédemment. Comprendre la continuité est essentiel pour l'étude des fonctions et la résolution de nombreuses équations en mathématiques. ### Concepts Clés #### Définition de la Continuité en un Point Une fonction \( f \) est dite **continue en un point** \( a \) si et seulement si les trois conditions suivantes sont remplies : 1. \( f(a) \) est définie (le point appartient au domaine de \( f \)). 2. La limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( a \) existe, c'est-à-dire \( \lim_{x \to a} f(x) \) existe. 3. La limite est égale à la valeur de la fonction en ce point : \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \] Si l'une de ces conditions n'est pas respectée, la fonction est discontinue en \( a \). #### Continuité sur un Intervalle Une fonction \( f \) est dite **continue sur un intervalle** \( I \) si elle est continue en tout point de cet intervalle. **Propriétés importantes :** * Les fonctions polynômes sont continues sur \( \mathbb{R} \). * Les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes) sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. * Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus) sont continues sur \( \mathbb{R} \). La fonction tangente est continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition. * La fonction exponentielle est continue sur \( \mathbb{R} \). * La fonction logarithme népérien est continue sur \( ]0, +\infty[ \). * La fonction racine carrée est continue sur \( [0, +\infty[ \). #### Opérations sur les Fonctions Continues Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un intervalle \( I \), et \( k \) un réel. * La somme \( f+g \) est continue sur \( I \). * Le produit \( kf \) est continue sur \( I \). * Le produit \( fg \) est continue sur \( I \). * Le quotient \( \frac{f}{g} \) est continue sur \( I \) pour tous les \( x \in I \) tels que \( g(x) \neq 0 \). * La composée \( g \circ f \) est continue sur \( I \) si \( f \) est continue sur \( I \) et \( g \) est continue sur \( f(I) \). #### Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) Ce théorème est fondamental pour montrer l'existence de solutions à des équations. **Énoncé :** Si \( f \) est une fonction **continue** sur un intervalle \( [a, b] \), alors pour tout réel \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \) (c'est-à-dire \( f(a) \le k \le f(b) \) ou \( f(b) \le k \le f(a) \)), il existe au moins un réel \( c \) dans l'intervalle \( [a, b] \) tel que \( f(c) = k \). **Corollaire (cas particulier important pour les racines) :** Si \( f \) est une fonction **continue et strictement monotone** sur un intervalle \( [a, b] \), et si \( f(a) \) et \( f(b) \) sont de signes contraires (c'est-à-dire \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)), alors il existe un unique réel \( c \) dans l'intervalle ouvert \( ]a, b[ \) tel que \( f(c) = 0 \). ### Vocabulaire * **Continuité :** Propriété d'une fonction dont la courbe peut être tracée sans interruption. * **Discontinuité :** Point ou intervalle où une fonction n'est pas continue. * **Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :** Théorème garantissant l'existence d'au moins une solution pour \( f(x) = k \) sur un intervalle si \( f \) est continue. * **Strictement monotone :** Fonction qui est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur un intervalle. ### Exemples #### Exemple 1: Vérifier la continuité en un point Considérons la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-1 & \text{si } x > 1 \end{cases} \] Vérifions si \( f \) est continue en \( x=1 \). 1. \( f(1) = 1^2 = 1 \). La fonction est définie en \( x=1 \). 2. Calculons les limites à gauche et à droite de \( x=1 \) : * \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1 \) * \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x-1) = 2(1)-1 = 1 \) Puisque la limite à gauche est égale à la limite à droite, \( \lim_{x \to 1} f(x) = 1 \). 3. Comparons la limite et la valeur de la fonction : \( \lim_{x \to 1} f(x) = 1 \) et \( f(1) = 1 \). Puisque \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \), la fonction \( f \) est continue en \( x=1 \). #### Exemple 2: Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires Montrer que l'équation \( x^3 + x - 1 = 0 \) admet au moins une solution dans l'intervalle \( [0, 1] \). Soit \( f(x) = x^3 + x - 1 \). 1. La fonction \( f \) est une fonction polynôme, elle est donc continue sur \( \mathbb{R} \), et par conséquent continue sur l'intervalle \( [0, 1] \). 2. Calculons les valeurs de \( f \) aux bornes de l'intervalle : * \( f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1 \) * \( f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1 \) 3. Nous avons \( f(0) = -1 \) et \( f(1) = 1 \). Puisque \( -1 < 0 < 1 \) (\( k=0 \) est compris entre \( f(0) \) et \( f(1) \)), d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins un réel \( c \in [0, 1] \) tel que \( f(c) = 0 \). L'équation admet donc au moins une solution dans \( [0, 1] \). ### Exercices 1. Soit la fonction \( g \) définie par : \[ g(x) = \begin{cases} x^2+ax & \text{si } x \le 2 \\ x+6 & \text{si } x > 2 \end{cases} \] Déterminez la valeur de \( a \) pour que \( g \) soit continue en \( x=2 \). 2. Sur quels intervalles les fonctions suivantes sont-elles continues ? a. \( h(x) = x^4 - 3x^2 + 5 \) b. \( k(x) = \frac{x+1}{x-3} \) c. \( l(x) = \sqrt{x-2} \) 3. Montrez que l'équation \( \cos(x) = x \) admet au moins une solution dans l'intervalle \( [0, \frac{\pi}{2}] \). (Indice : considérez la fonction \( f(x) = \cos(x) - x \)). ### Devoirs 1. Soit \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \). a. Montrez que \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \). b. Démontrez que l'équation \( f(x) = 0 \) admet trois solutions distinctes, dont une dans l'intervalle \( ]-2, -1[ \), une autre dans \( ]0, 1[ \) et une troisième dans \( ]1, 2[ \). 2. Discutez de la continuité de la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2} & \text{si } x \neq 2 \\ 4 & \text{si } x = 2 \end{cases} \] en \( x=2 \). 3. Une fonction \( f \) est définie sur \( [0, 5] \) et est continue sur cet intervalle. On sait que \( f(0) = 3 \) et \( f(5) = -2 \). a. Peut-on affirmer que l'équation \( f(x) = 0 \) a au moins une solution dans \( [0, 5] \)? Justifiez. b. Peut-on affirmer que \( f(x) = 4 \) a au moins une solution dans \( [0, 5] \)? Justifiez. ### Résumé La continuité est une propriété fondamentale des fonctions, signifiant que leur courbe peut être tracée sans interruption. * Une fonction \( f \) est continue en un point \( a \) si \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \). * Elle est continue sur un intervalle si elle l'est en chaque point de cet intervalle. * Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles sur leur domaine, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques) sont continues. * Les opérations (somme, produit, quotient, composition) préservent la continuité sous certaines conditions. * Le **Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)** est un outil puissant pour prouver l'existence de solutions à des équations, en affirmant que si une fonction continue prend deux valeurs \( f(a) \) et \( f(b) \) aux bornes d'un intervalle, elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre \( f(a) \) et \( f(b) \) au moins une fois sur cet intervalle.