Étude complète de fonctions

# Fiche de cours : Étude complète de fonctions ## Introduction L'étude complète d'une fonction est une compétence fondamentale en mathématiques, particulièrement au programme des séries littéraires du Cameroun. Elle consiste à déterminer l'ensemble de définition, calculer les limites aux bornes de cet ensemble, étudier la dérivabilité, établir le sens de variation, construire le tableau de variations et enfin tracer la courbe représentative. Ce chapitre traite quatre familles de fonctions : les polynômes de degré inférieur ou égal à 3, les fonctions rationnelles du type $x \mapsto \dfrac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$, les fonctions logarithmiques du type $x \mapsto \ln(ax + b)$ et les fonctions exponentielles du type $x \mapsto e^{ax + b}$. La démarche générale d'étude d'une fonction $f$ suit toujours le même protocole : 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ ; 2. Calculer les limites aux bornes de $D_f$ ; 3. Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe ; 4. En déduire le sens de variation de $f$ ; 5. Dresser le tableau de variations complet ; 6. Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé. --- ## I. Étude sur $\mathbb{R}$ de fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3 ### I.1. Généralités sur les fonctions polynômes > **Définition (à retenir)** : Une fonction polynôme de degré $n$ (où $n \in \mathbb{N}$) est une fonction $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$, où $a_n \neq 0$. Le degré de $P$ est $n$. Dans ce programme, on se limite aux degrés $n \leq 3$. Les fonctions polynômes sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ tout entier. ### I.2. Étude de la fonction affine $f(x) = ax + b$ (degré 1) Soit $f(x) = ax + b$ avec $a \neq 0$. - **Ensemble de définition** : $D_f = \mathbb{R}$. - **Limites** : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{si } a > 0 \\ -\infty & \text{si } a < 0 \end{cases}$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \begin{cases} -\infty & \text{si } a > 0 \\ +\infty & \text{si } a < 0 \end{cases}$. - **Dérivée** : $f'(x) = a$. Le signe de $f'(x)$ est celui de $a$. - **Sens de variation** : si $a > 0$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; si $a < 0$, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. - **Courbe** : une droite de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$. ### I.3. Étude de la fonction trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (degré 2) Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. > **Propriété (à retenir)** : La fonction trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $f'(x) = 2ax + b$. Le signe de $f'(x)$ dépend de $a$ et de la racine $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$. - **Ensemble de définition** : $D_f = \mathbb{R}$. - **Limites** : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{si } a > 0 \\ -\infty & \text{si } a < 0 \end{cases}$. - **Dérivée** : $f'(x) = 2ax + b$. La dérivée s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$. - **Signe de la dérivée** : - Si $a > 0$ : $f'(x) < 0$ pour $x < x_0$ et $f'(x) > 0$ pour $x > x_0$. - Si $a < 0$ : $f'(x) > 0$ pour $x < x_0$ et $f'(x) < 0$ pour $x > x_0$. - **Sens de variation** : - Si $a > 0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty, x_0]$ puis croissante sur $[x_0, +\infty[$. - Si $a < 0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty, x_0]$ puis décroissante sur $[x_0, +\infty[$. - **Extremum** : $f$ admet un extremum en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, de valeur $f(x_0) = -\dfrac{\Delta}{4a}$ où $\Delta = b^2 - 4ac$. **Exemple résolu** : Étudions la fonction $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$. 1. $D_f = \mathbb{R}$. 2. $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$ car $a = 2 > 0$. 3. $f'(x) = 4x - 4 = 4(x - 1)$. $f'(x) = 0 \iff x = 1$. 4. Signe de $f'(x)$ : $f'(x) < 0$ sur $]-\infty, 1[$ et $f'(x) > 0$ sur $]1, +\infty[$. 5. $f$ est décroissante sur $]-\infty, 1]$ et croissante sur $[1, +\infty[$. 6. Minimum : $f(1) = 2 - 4 + 1 = -1$. 7. Tableau de variations : $$ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow & -1 & \nearrow & +\infty \end{array} $$ 8. Courbe représentative (parabole de sommet $S(1, -1)$) : ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = 2x² - 4x + 1","type":"line","series":[{"label":"f(x) = 2x² - 4x + 1","points":[[-2,17],[-1.5,11.5],[-1,7],[-0.5,3.5],[0,1],[0.5,-0.5],[1,-1],[1.5,-0.5],[2,1],[2.5,3.5],[3,7],[3.5,11.5],[4,17],[4.5,23.5],[5,31]]}]} ``` ### I.4. Étude de la fonction cubique $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (degré 3) Soit $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ avec $a \neq 0$. > **Propriété (à retenir)** : La fonction cubique $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$, qui est un trinôme du second degré. - **Ensemble de définition** : $D_f = \mathbb{R}$. - **Limites** : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{si } a > 0 \\ -\infty & \text{si } a < 0 \end{cases}$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \begin{cases} -\infty & \text{si } a > 0 \\ +\infty & \text{si } a < 0 \end{cases}$. - **Dérivée** : $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. C'est un trinôme du second degré dont le discriminant est $\Delta' = 4b^2 - 12ac = 4(b^2 - 3ac)$. - **Signe de la dérivée** : on étudie le signe du trinôme $3ax^2 + 2bx + c$ selon la valeur de $\Delta'$ : - Si $\Delta' < 0$ : $f'(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. - Si $\Delta' = 0$ : $f'(x)$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{3a}$ et est du signe de $a$ ailleurs. - Si $\Delta' > 0$ : $f'(x)$ s'annule en deux points $x_1 < x_2$ et son signe suit la règle du trinôme. **Exemple résolu** : Étudions la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. 1. $D_f = \mathbb{R}$. 2. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ car $a = 1 > 0$. 3. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. $f'(x) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 2$. 4. Signe de $f'(x)$ : $f'(x) > 0$ sur $]-\infty, 0[$, $f'(x) < 0$ sur $]0, 2[$, $f'(x) > 0$ sur $]2, +\infty[$. 5. $f$ est croissante sur $]-\infty, 0]$, décroissante sur $[0, 2]$, croissante sur $[2, +\infty[$. 6. Extremums : $f(0) = 2$ (maximum local) et $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$ (minimum local). 7. Tableau de variations : $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow & +\infty \end{array} $$ 8. Courbe représentative : ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x³ - 3x² + 2","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x³ - 3x² + 2","points":[[-2,-18],[-1.5,-8.125],[-1,-2],[0,2],[0.5,1.375],[1,0],[1.5,-1.375],[2,-2],[2.5,-1.125],[3,2],[3.5,8.125],[4,18],[4.5,32.375],[5,52],[-0.5,1.125]]}]} ``` --- ## II. Étude de fonctions rationnelles du type $x \mapsto \dfrac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$ sur $\mathbb{R}$ ### II.1. Généralités > **Définition (à retenir)** : Une fonction rationnelle est une fonction qui s'écrit comme quotient de deux fonctions polynômes. On étudie ici les fonctions du type $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$ où $a, b, c, d, e$ sont des réels avec $d \neq 0$ et le numérateur n'est pas un multiple du dénominateur. - **Ensemble de définition** : $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\dfrac{e}{d} \right\}$ car le dénominateur $dx + e$ s'annule en $x = -\dfrac{e}{d}$. ### II.2. Limites - **Limites en $-\dfrac{e}{d}$** : on étudie la limite du numérateur et du dénominateur. Le dénominateur tend vers $0$ en changeant de signe de part et d'autre de $-\dfrac{e}{d}$. On obtient des limites infinies ($+\infty$ ou $-\infty$) selon les signes. - **Limites en $\pm\infty$** : on factorise par le terme de plus haut degré : $$f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{dx + e} = \dfrac{x^2\left(a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}\right)}{x\left(d + \frac{e}{x}\right)} = x \cdot \dfrac{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}}{d + \frac{e}{x}}$$ Ainsi, $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ selon le signe de $\dfrac{a}{d}$. ### II.3. Dérivée et sens de variation > **Propriété (à retenir)** : La dérivée de $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$ est $f'(x) = \dfrac{adx^2 + 2aex + (be - cd)}{(dx + e)^2}$. **Démonstration** : On applique la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x) = ax^2 + bx + c$ et $v(x) = dx + e$. $u'(x) = 2ax + b$ et $v'(x) = d$. $$f'(x) = \dfrac{(2ax + b)(dx + e) - (ax^2 + bx + c)d}{(dx + e)^2} = \dfrac{2adx^2 + 2aex + bdx + be - adx^2 - bdx - cd}{(dx + e)^2}$$ $$f'(x) = \dfrac{adx^2 + 2aex + be - cd}{(dx + e)^2}$$ Le dénominateur $(dx + e)^2$ est toujours strictement positif sur $D_f$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui du numérateur $N(x) = adx^2 + 2aex + (be - cd)$, qui est un trinôme du second degré. ### II.4. Asymptotes > **Propriété (à retenir)** : La droite d'équation $x = -\dfrac{e}{d}$ est une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$. La droite d'équation $y = \dfrac{a}{d}x + \dfrac{bd - ae}{d^2}$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. **Démonstration de l'asymptote oblique** : On effectue la division euclidienne de $ax^2 + bx + c$ par $dx + e$ : $$ax^2 + bx + c = \left(\dfrac{a}{d}x + \dfrac{bd - ae}{d^2}\right)(dx + e) + \dfrac{cd^2 - bde + ae^2}{d^2}$$ Le reste $R = \dfrac{cd^2 - bde + ae^2}{d^2}$ est une constante. Ainsi : $$f(x) = \dfrac{a}{d}x + \dfrac{bd - ae}{d^2} + \dfrac{R}{dx + e}$$ Comme $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{R}{dx + e} = 0$, la droite $y = \dfrac{a}{d}x + \dfrac{bd - ae}{d^2}$ est bien asymptote oblique. **Exemple résolu** : Étudions la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$. 1. **Ensemble de définition** : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. 2. **Limites** : - En $1$ : $\lim_{x \to 1^-} (x^2 - x + 1) = 1$ et $\lim_{x \to 1^-} (x - 1) = 0^-$, donc $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. De même, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. - En $\pm\infty$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$. 3. **Asymptotes** : $x = 1$ est asymptote verticale. Division euclidienne : $x^2 - x + 1 = (x)(x - 1) + 1$, donc $f(x) = x + \dfrac{1}{x - 1}$. L'asymptote oblique est $y = x$. 4. **Dérivée** : $f'(x) = \dfrac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{2x^2 - 2x - x + 1 - x^2 + x - 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$. 5. **Signe de $f'(x)$** : le dénominateur est positif sur $D_f$. Le numérateur $x(x - 2)$ s'annule en $x = 0$ et $x = 2$. - $f'(x) > 0$ sur $]-\infty, 0[$ ; - $f'(x) < 0$ sur $]0, 1[$ et sur $]1, 2[$ ; - $f'(x) > 0$ sur $]2, +\infty[$. 6. **Sens de variation** : $f$ est croissante sur $]-\infty, 0]$, décroissante sur $[0, 1[$ et sur $]1, 2]$, croissante sur $[2, +\infty[$. 7. **Extremums** : $f(0) = \dfrac{1}{-1} = -1$ (maximum local) et $f(2) = \dfrac{4 - 2 + 1}{1} = 3$ (minimum local). 8. **Tableau de variations** : $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 0 & & 1 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \text{∄} & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & -1 & \searrow & -\infty & \searrow & 3 & \nearrow & +\infty \end{array} $$ 9. **Courbe représentative** : ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = (x² - x + 1)/(x - 1)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (x² - x + 1)/(x - 1)","points":[[-5,-4.1667],[-4,-3.4],[-3,-2.75],[-2,-2.3333],[-1,-1.5],[0,-1],[0.5,0.75],[0.8,2.6],[1.2,6.2],[1.5,5.5],[2,3],[2.5,3.1667],[3,3.5],[3.5,3.9],[4,4.3333],[4.5,4.7857],[5,5.25]]}]} ``` --- ## III. Étude de fonctions logarithmiques du type $x \mapsto \ln(ax + b)$ ### III.1. Généralités et ensemble de définition > **Définition (à retenir)** : La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $]0, +\infty[$ par $\ln(x) = \int_1^x \dfrac{1}{t} \, dt$. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$, $\ln(x) = y \iff e^y = x$. Soit $f(x) = \ln(ax + b)$ avec $a \neq 0$. La fonction $\ln$ est définie pour $ax + b > 0$. - Si $a > 0$ : $ax + b > 0 \iff x > -\dfrac{b}{a}$, donc $D_f = \left] -\dfrac{b}{a}, +\infty \right[$. - Si $a < 0$ : $ax + b > 0 \iff x < -\dfrac{b}{a}$, donc $D_f = \left] -\infty, -\dfrac{b}{a} \right[$. ### III.2. Limites - **Limite en $-\dfrac{b}{a}$** (borne de $D_f$) : $ax + b \to 0^+$, donc $\ln(ax + b) \to -\infty$. La droite $x = -\dfrac{b}{a}$ est une asymptote verticale. - **Limite en $+\infty$** (si $a > 0$) : $ax + b \to +\infty$, donc $\ln(ax + b) \to +\infty$. - **Limite en $-\infty$** (si $a < 0$) : $ax + b \to +\infty$ (car $a < 0$), donc $\ln(ax + b) \to +\infty$. ### III.3. Dérivée et sens de variation > **Propriété (à retenir)** : La fonction $f(x) = \ln(ax + b)$ est dérivable sur son ensemble de définition et $f'(x) = \dfrac{a}{ax + b}$. **Démonstration** : On utilise la formule de dérivation d'une fonction composée : $(\ln(u))' = \dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = ax + b$ et $u'(x) = a$. Donc $f'(x) = \dfrac{a}{ax + b}$. **Signe de la dérivée** : sur $D_f$, le dénominateur $ax + b$ est strictement positif par définition de $D_f$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $a$. - Si $a > 0$ : $f'(x) > 0$ sur $D_f$, donc $f$ est strictement croissante sur $D_f$. - Si $a < 0$ : $f'(x) < 0$ sur $D_f$, donc $f$ est strictement décroissante sur $D_f$. ### III.4. Propriétés algébriques du logarithme > **Propriétés (à retenir)** : Pour tous réels $x > 0$ et $y > 0$, et pour tout entier relatif $n$ : > - $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$ > - $\ln\left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y)$ > - $\ln(x^n) = n\ln(x)$ > - $\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln(x)$ > - $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$ **Exemple résolu** : Étudions la fonction $f(x) = \ln(2x + 4)$. 1. **Ensemble de définition** : $2x + 4 > 0 \iff x > -2$. Donc $D_f = ]-2, +\infty[$. 2. **Limites** : - $\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} \ln(2x + 4) = -\infty$ car $2x + 4 \to 0^+$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ car $2x + 4 \to +\infty$. 3. **Asymptote** : $x = -2$ est asymptote verticale. 4. **Dérivée** : $f'(x) = \dfrac{2}{2x + 4} = \dfrac{1}{x + 2}$. 5. **Signe de $f'(x)$** : sur $]-2, +\infty[$, $x + 2 > 0$, donc $f'(x) > 0$. 6. **Sens de variation** : $f$ est strictement croissante sur $]-2, +\infty[$. 7. **Tableau de variations** : $$ \begin{array}{c|ccc} x & -2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & \text{∄} & + & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \end{array} $$ 8. **Points particuliers** : $f(0) = \ln(4) = 2\ln(2) \approx 1,386$ ; $f(-1) = \ln(2) \approx 0,693$ ; $f(1) = \ln(6) \approx 1,792$. 9. **Courbe représentative** : ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = ln(2x + 4)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = ln(2x + 4)","points":[[-1.9,-2.3026],[-1.8,-1.6094],[-1.5,-0.6931],[-1,-0.6931],[-0.5,1.0986],[0,1.3863],[0.5,1.6094],[1,1.7918],[1.5,1.9459],[2,2.0794],[2.5,2.1972],[3,2.3026],[3.5,2.3979],[4,2.4849],[4.5,2.5649],[5,2.6391]]}]} ``` **Exemple résolu** : Étudions la fonction $g(x) = \ln(-x + 3)$. 1. **Ensemble de définition** : $-x + 3 > 0 \iff x < 3$. Donc $D_g = ]-\infty, 3[$. 2. **Limites** : - $\lim_{x \to 3^-} g(x) = -\infty$ car $-x + 3 \to 0^+$. - $\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$ car $-x + 3 \to +\infty$. 3. **Asymptote** : $x = 3$ est asymptote verticale. 4. **Dérivée** : $g'(x) = \dfrac{-1}{-x + 3} = \dfrac{1}{x - 3}$. 5. **Signe de $g'(x)$** : sur $]-\infty, 3[$, $x - 3 < 0$, donc $g'(x) < 0$. 6. **Sens de variation** : $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty, 3[$. 7. **Tableau de variations** : $$ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & 3 \\ \hline g'(x) & & - & \text{∄} \\ \hline g(x) & +\infty & \searrow & -\infty \end{array} $$ 8. **Courbe représentative** : ```onbuch-plot {"title":"Courbe de g(x) = ln(-x + 3)","type":"line","series":[{"label":"g(x) = ln(-x + 3)","points":[[-5,2.0794],[-4,1.9459],[-3,1.7918],[-2,1.6094],[-1,1.3863],[0,1.0986],[0.5,0.9163],[1,0.6931],[1.5,0.4055],[2,0],[2.2,-0.2231],[2.4,-0.5108],[2.6,-0.9163],[2.8,-1.6094],[2.9,-2.3026],[2.95,-2.9957]]}]} ``` --- ## IV. Étude de fonctions exponentielles du type $x \mapsto e^{ax + b}$ ### IV.1. Généralités et ensemble de définition > **Définition (à retenir)** : La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $e^x$, est définie sur $\mathbb{R}$ par $\exp(x) = e^x$. C'est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ égale à sa propre dérivée et prenant la valeur $1$ en $0$. Elle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ et strictement croissante. Soit $f(x) = e^{ax + b}$ avec $a \neq 0$. La fonction exponentielle est définie pour tout réel, donc $D_f = \mathbb{R}$. ### IV.2. Limites - **Limite en $+\infty$** : - Si $a > 0$ : $ax + b \to +\infty$, donc $e^{ax + b} \to +\infty$. - Si $a < 0$ : $ax + b \to -\infty$, donc $e^{ax + b} \to 0^+$. - **Limite en $-\infty$** : - Si $a > 0$ : $ax + b \to -\infty$, donc $e^{ax + b} \to 0^+$. - Si $a < 0$ : $ax + b \to +\infty$, donc $e^{ax + b} \to +\infty$. > **Limites de référence (à retenir)** : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. Plus généralement, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$. ### IV.3. Dérivée et sens de variation > **Propriété (à retenir)** : La fonction $f(x) = e^{ax + b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = ae^{ax + b}$. **Démonstration** : On utilise la formule de dérivation d'une fonction composée : $(e^u)' = u'e^u$ avec $u(x) = ax + b$ et $u'(x) = a$. Donc $f'(x) = ae^{ax + b}$. **Signe de la dérivée** : $e^{ax + b} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $a$. - Si $a > 0$ : $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Si $a < 0$ : $f'(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. ### IV.4. Propriétés algébriques de l'exponentielle > **Propriétés (à retenir)** : Pour tous réels $x$ et $y$, et pour tout entier relatif $n$ : > - $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ > - $e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}$ > - $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$ > - $(e^x)^n = e^{nx}$ > - $e^0 = 1$ et $e^1 = e$ > - $e^{\ln(x)} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ **Exemple résolu** : Étudions la fonction $f(x) = e^{2x - 1}$. 1. **Ensemble de définition** : $D_f = \mathbb{R}$. 2. **Limites** : - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ car $2x - 1 \to +\infty$. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0^+$ car $2x - 1 \to -\infty$. 3. **Asymptote** : la droite $y = 0$ (axe des abscisses) est asymptote horizontale en $-\infty$. 4. **Dérivée** : $f'(x) = 2e^{2x - 1}$. 5. **Signe de $f'(x)$** : $e^{2x - 1} > 0$ et $2 > 0$, donc $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 6. **Sens de variation** : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 7. **Tableau de variations** : $$ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & +\infty \end{array} $$ 8. **Points particuliers** : $f(0) = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0,368$ ; $f(0,5) = e^0 = 1$ ; $f(1) = e^1 = e \approx 2,718$ ; $f(1,5) = e^2 \approx 7,389$. 9. **Courbe représentative** : ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = e^(2x - 1)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = e^(2x - 1)","points":[[-3,0.0009],[-2.5,0.0025],[-2,0.0067],[-1.5,0.0183],[-1,0.0498],[-0.5,0.1353],[0,0.3679],[0.25,0.6065],[0.5,1],[0.75,1.6487],[1,2.7183],[1.25,4.4817],[1.5,7.3891],[1.75,12.1825],[2,20.0855],[2.25,33.1155]]}]} ``` **Exemple résolu** : Étudions la fonction $g(x) = e^{-x + 2}$. 1. **Ensemble de définition** : $D_g = \mathbb{R}$. 2. **Limites** : - $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0^+$ car $-x + 2 \to -\infty$. - $\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$ car $-x + 2 \to +\infty$. 3. **Asymptote** : la droite $y = 0$ est asymptote horizontale en $+\infty$. 4. **Dérivée** : $g'(x) = -e^{-x + 2}$. 5. **Signe de $g'(x)$** : $e^{-x + 2} > 0$ et $-1 < 0$, donc $g'(x) < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 6. **Sens de variation** : $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. 7. **Tableau de variations** : $$ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\ \hline g'(x) & & - & \\ \hline g(x) & +\infty & \searrow & 0 \end{array} $$ 8. **Points particuliers** : $g(0) = e^2 \approx 7,389$ ; $g(1) = e^1 = e \approx 2,718$ ; $g(2) = e^0 = 1$ ; $g(3) = e^{-1} \approx 0,368$. 9. **Courbe représentative** : ```onbuch-plot {"title":"Courbe de g(x) = e^(-x + 2)","type":"line","series":[{"label":"g(x) = e^(-x + 2)","points":[[-3,148.4132],[-2.5,90.0171],[-2,54.5982],[-1.5,33.1155],[-1,20.0855],[-0.5,12.1825],[0,7.3891],[0.5,4.4817],[1,2.7183],[1.5,1.6487],[2,1],[2.5,0.6065],[3,0.3679],[3.5,0.2231],[4,0.1353],[4.5,0.0821],[5,0.0498]]}]} ``` ### IV.5. Équations et inéquations avec exponentielles > **Propriété (à retenir)** : La fonction exponentielle étant strictement croissante et bijective de $\mathbb{R}$ sur $]0, +\infty[$, on a pour tous réels $u$ et $v$ : > - $e^u = e^v \iff u = v$ > - $e^u < e^v \iff u < v$ > - $e^u > e^v \iff u > v$ **Exemple résolu** : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x - 1} = e^{x + 3}$. $e^{2x - 1} = e^{x + 3} \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$. L'ensemble solution est $S = \{4\}$. **Exemple résolu** : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{-x + 2} < e^{3x}$. $e^{-x + 2} < e^{3x} \iff -x + 2 < 3x \iff 2 < 4x \iff x > \dfrac{1}{2}$. L'ensemble solution est $S = \left] \dfrac{1}{2}, +\infty \right[$. --- ## Conclusion L'étude complète d'une fonction suit une méthodologie rigoureuse et systématique : détermination de l'ensemble de définition, calcul des limites aux bornes, dérivation, étude du signe de la dérivée, construction du tableau de variations et tracé de la courbe représentative. Ce chapitre a permis de traiter quatre familles essentielles de fonctions : - Les **fonctions polynômes** de degré inférieur ou égal à 3, définies sur $\mathbb{R}$, dont la dérivée est un polynôme de degré inférieur ; - Les **fonctions rationnelles** du type $\dfrac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$, définies sur $\mathbb{R}$ privé d'un point, présentant une asymptote verticale et une asymptote oblique ; - Les **fonctions logarithmiques** du type $\ln(ax + b)$, définies sur un intervalle ouvert, avec une asymptote verticale à la borne de l'ensemble de définition ; - Les **fonctions exponentielles** du type $e^{ax + b}$, définies sur $\mathbb{R}$, avec une asymptote horizontale en $-\infty$ ou $+\infty$ selon le signe de $a$. Ces outils sont essentiels pour la résolution de problèmes concrets (croissance de populations, désintégration radioactive, calculs financiers, etc.) et constituent une base solide pour les études supérieures. La maîtrise de ces techniques est également indispensable pour réussir l'épreuve de mathématiques du Baccalauréat camerounais, séries littéraires.