Primitives d'une fonction sur un intervalle

# Primitives d'une fonction sur un intervalle ## Introduction La dérivation est une opération qui, à une fonction $f$, associe sa fonction dérivée $f'$. La question qui se pose naturellement est la suivante : étant donné une fonction $f$, peut-on trouver une fonction $F$ dont $f$ est la dérivée ? Cette opération, appelée **primitive**, est l'opération inverse de la dérivation. Elle est fondamentale en mathématiques car elle permet, entre autres, de calculer des aires sous des courbes et de résoudre des équations différentielles. Dans ce chapitre, nous étudierons la définition d'une primitive, la détermination des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées, et la recherche de la primitive vérifiant une condition initiale donnée. ## I. Primitives des fonctions usuelles : définition et modes de détermination ### I.1. Définition d'une primitive > **Définition (à retenir)** : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On appelle **primitive** de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$ : > $$F'(x) = f(x)$$ **Exemple fondamental** : Soit $f(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $F(x) = x^2$ est une primitive de $f$ car $F'(x) = 2x = f(x)$. De même, $G(x) = x^2 + 3$ est aussi une primitive de $f$ car $G'(x) = 2x = f(x)$. ### I.2. Ensemble des primitives d'une fonction > **Théorème (à retenir)** : Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions de la forme : > $$x \mapsto F(x) + C$$ > où $C$ est une constante réelle quelconque. **Démonstration** : Soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur $I$. Alors pour tout $x \in I$ : $$(G - F)'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$$ La fonction $G - F$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $I$. D'après le théorème des accroissements finis, une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle. Il existe donc une constante $C \in \mathbb{R}$ telle que pour tout $x \in I$ : $$G(x) - F(x) = C$$ d'où $G(x) = F(x) + C$. **Remarque importante** : L'hypothèse que $I$ est un intervalle est essentielle. Sur une réunion d'intervalles disjoints, la constante peut être différente sur chaque intervalle. ### I.3. Tableau des primitives des fonctions usuelles Par lecture inverse du tableau des dérivées, on obtient le tableau suivant des primitives usuelles. > **Tableau des primitives usuelles (à retenir)** : Soit $C$ une constante réelle arbitraire. | Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Intervalle $I$ | |:---:|:---:|:---:| | $a$ (constante) | $ax + C$ | $\mathbb{R}$ | | $x^n$ ($n \in \mathbb{N}$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $\mathbb{R}$ | | $\dfrac{1}{x^2}$ | $-\dfrac{1}{x} + C$ | $]-\infty; 0[$ ou $]0; +\infty[$ | | $\dfrac{1}{x}$ | $\ln\vert x\vert + C$ | $]-\infty; 0[$ ou $]0; +\infty[$ | | $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x} + C$ | $]0; +\infty[$ | | $e^x$ | $e^x + C$ | $\mathbb{R}$ | | $\sin x$ | $-\cos x + C$ | $\mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $\sin x + C$ | $\mathbb{R}$ | | $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ | $\tan x + C$ | $]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi; \dfrac{\pi}{2} + k\pi[$, $k \in \mathbb{Z}$ | | $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x + C$ | $]k\pi; (k+1)\pi[$, $k \in \mathbb{Z}$ | **Vérification pour quelques lignes du tableau** : 1. Pour $f(x) = x^n$ avec $n \in \mathbb{N}$ : $F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Alors $F'(x) = \dfrac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n = f(x)$. 2. Pour $f(x) = \dfrac{1}{x}$ : $F(x) = \ln|x|$. Sur $]0; +\infty[$, $|x| = x$ donc $F'(x) = \dfrac{1}{x}$. Sur $]-\infty; 0[$, $|x| = -x$ donc $F'(x) = \dfrac{-1}{-x} = \dfrac{1}{x}$. 3. Pour $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ : $F(x) = 2\sqrt{x}$. Alors $F'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} = f(x)$. ### I.4. Linéarité de la primitive > **Propriété (à retenir)** : Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$, et $\lambda$ un réel. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et $G$ une primitive de $g$ sur $I$, alors : > 1. $F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I$ ; > 2. $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$ sur $I$. **Démonstration** : Pour tout $x \in I$ : $$(F + G)'(x) = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$$ et $$(\lambda F)'(x) = \lambda F'(x) = \lambda f(x)$$ **Exemple 1** : Déterminer une primitive de $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : Par linéarité, on cherche une primitive de chaque terme : - Une primitive de $3x^2$ est $3 \times \dfrac{x^3}{3} = x^3$ ; - Une primitive de $-5x$ est $-5 \times \dfrac{x^2}{2} = -\dfrac{5x^2}{2}$ ; - Une primitive de $2$ est $2x$. Donc une primitive de $f$ est : $$F(x) = x^3 - \dfrac{5x^2}{2} + 2x$$ **Vérification** : $F'(x) = 3x^2 - 5x + 2 = f(x)$. **Exemple 2** : Déterminer une primitive de $g(x) = \dfrac{2}{x} + 3e^x$ sur $]0; +\infty[$. **Solution** : Une primitive de $\dfrac{2}{x}$ est $2\ln|x| = 2\ln x$ sur $]0; +\infty[$. Une primitive de $3e^x$ est $3e^x$. Donc : $$G(x) = 2\ln x + 3e^x$$ **Vérification** : $G'(x) = \dfrac{2}{x} + 3e^x = g(x)$. ### I.5. Primitives de fonctions composées > **Théorème (à retenir)** : Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. > 1. Une primitive de $u'(x) \cdot [u(x)]^n$ (pour $n \in \mathbb{N}$) est $\dfrac{[u(x)]^{n+1}}{n+1}$ ; > 2. Une primitive de $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ est $\ln|u(x)|$ (lorsque $u$ ne s'annule pas sur $I$) ; > 3. Une primitive de $u'(x) \cdot e^{u(x)}$ est $e^{u(x)}$ ; > 4. Une primitive de $u'(x) \cdot \sin(u(x))$ est $-\cos(u(x))$ ; > 5. Une primitive de $u'(x) \cdot \cos(u(x))$ est $\sin(u(x))$. **Démonstration pour le cas 1** : Soit $H(x) = \dfrac{[u(x)]^{n+1}}{n+1}$. Alors par dérivation d'une fonction composée : $$H'(x) = \dfrac{(n+1)[u(x)]^n \cdot u'(x)}{n+1} = u'(x) \cdot [u(x)]^n$$ **Exemple 3** : Déterminer une primitive de $h(x) = 2x(x^2 + 1)^4$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : On reconnaît la forme $u'(x) \cdot [u(x)]^n$ avec $u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$, $n = 4$. Donc : $$H(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^5}{5}$$ **Vérification** : $H'(x) = \dfrac{5(x^2+1)^4 \cdot 2x}{5} = 2x(x^2+1)^4 = h(x)$. **Exemple 4** : Déterminer une primitive de $k(x) = \dfrac{3x^2}{x^3 + 1}$ sur $]0; +\infty[$. **Solution** : On reconnaît la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = x^3 + 1$ et $u'(x) = 3x^2$. Sur $]0; +\infty[$, $u(x) > 0$ donc $|u(x)| = u(x)$. Ainsi : $$K(x) = \ln(x^3 + 1)$$ **Vérification** : $K'(x) = \dfrac{3x^2}{x^3 + 1} = k(x)$. **Exemple 5** : Déterminer une primitive de $p(x) = 2x \cdot e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$. **Solution** : On reconnaît la forme $u'(x) \cdot e^{u(x)}$ avec $u(x) = x^2$ et $u'(x) = 2x$. Donc : $$P(x) = e^{x^2}$$ **Vérification** : $P'(x) = 2x \cdot e^{x^2} = p(x)$. ### I.6. Représentation graphique des primitives Considérons la fonction $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$. Ses primitives sont de la forme $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + C$. Traçons plusieurs de ces primitives pour différentes valeurs de $C$ : ```onbuch-plot {"title":"Primitives de f(x) = x² pour différentes valeurs de C", "type":"line", "series":[ {"label":"F(x) = x³/3 + 2", "points":[[-3,-7],[-2.8,-5.314],[-2.6,-3.859],[-2.4,-2.608],[-2.2,-1.549],[-2,-0.667],[-1.8,0.056],[-1.6,0.635],[-1.4,1.085],[-1.2,1.424],[-1,1.667],[-0.8,1.829],[-0.6,1.928],[-0.4,1.979],[-0.2,1.997],[0,2],[0.2,2.003],[0.4,2.021],[0.6,2.072],[0.8,2.171],[1,2.333],[1.2,2.576],[1.4,2.915],[1.6,3.365],[1.8,3.944],[2,4.667],[2.2,5.549],[2.4,6.608],[2.6,7.859],[2.8,9.317],[3,11]]}, {"label":"F(x) = x³/3", "points":[[-3,-9],[-2.6,-5.859],[-2.2,-3.549],[-1.8,-1.944],[-1.4,-0.915],[-1,-0.333],[-0.6,-0.072],[-0.2,-0.003],[0,0],[0.2,0.003],[0.6,0.072],[1,0.333],[1.4,0.915],[1.8,1.944],[2.2,3.549],[2.6,5.859],[3,9]]}, {"label":"F(x) = x³/3 - 2", "points":[[-3,-11],[-2.6,-7.859],[-2.2,-5.549],[-1.8,-3.944],[-1.4,-2.915],[-1,-2.333],[-0.6,-2.072],[-0.2,-2.003],[0,-2],[0.2,-1.997],[0.6,-1.928],[1,-1.667],[1.4,-1.085],[1.8,-0.056],[2.2,1.549],[2.6,3.859],[3,7]]} ]} ``` On observe que toutes les courbes des primitives se déduisent les unes des autres par une translation verticale. ## II. Détermination de la primitive $F$ sur un intervalle $I$ d'une fonction $f$ continue sur $I$ telle que $F(a) = b$ ### II.1. Existence et unicité de la primitive vérifiant une condition initiale > **Théorème fondamental (à retenir)** : Toute fonction $f$ **continue** sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. De plus, pour tout $a \in I$ et tout $b \in \mathbb{R}$, il existe une **unique** primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que : > $$F(a) = b$$ **Démonstration de l'unicité** : Supposons que $F_1$ et $F_2$ soient deux primitives de $f$ sur $I$ vérifiant $F_1(a) = F_2(a) = b$. Alors $F_1 - F_2$ est une primitive de la fonction nulle sur $I$, donc $F_1 - F_2$ est constante sur $I$. Il existe $C \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in I$ : $$F_1(x) - F_2(x) = C$$ En particulier, en $x = a$ : $F_1(a) - F_2(a) = b - b = 0 = C$. Donc $C = 0$ et $F_1 = F_2$ sur $I$. L'unicité est démontrée. **Démonstration de l'existence** : L'existence découle du fait que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (ce résultat sera établi dans le chapitre sur l'intégration). Si $F_0$ est une primitive quelconque de $f$ sur $I$, alors toutes les primitives sont de la forme $F_0 + C$. La condition $F(a) = b$ donne : $$F_0(a) + C = b \iff C = b - F_0(a)$$ La primitive cherchée est donc : $$F(x) = F_0(x) + b - F_0(a)$$ ### II.2. Méthode de détermination **Méthode pratique** : Pour déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $I$ vérifiant $F(a) = b$ : 1. Déterminer une primitive $F_0$ de $f$ sur $I$ (sans constante) ; 2. Écrire la forme générale des primitives : $F(x) = F_0(x) + C$ ; 3. Utiliser la condition $F(a) = b$ pour déterminer $C$ : $F_0(a) + C = b$, donc $C = b - F_0(a)$ ; 4. Conclure : $F(x) = F_0(x) + b - F_0(a)$. ### II.3. Exemples entièrement résolus **Exemple 6** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1) = 4$. **Solution** : 1. Une primitive de $f$ est $F_0(x) = x^3 - x^2 + x$ (car $F_0'(x) = 3x^2 - 2x + 1 = f(x)$). 2. Toutes les primitives s'écrivent : $F(x) = x^3 - x^2 + x + C$. 3. Condition $F(1) = 4$ : $1^3 - 1^2 + 1 + C = 4$, donc $1 - 1 + 1 + C = 4$, d'où $1 + C = 4$ et $C = 3$. 4. La primitive cherchée est : $$F(x) = x^3 - x^2 + x + 3$$ **Vérification** : $F'(x) = 3x^2 - 2x + 1 = f(x)$ et $F(1) = 1 - 1 + 1 + 3 = 4$. **Exemple 7** : Déterminer la primitive $G$ de $g(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0; +\infty[$ telle que $G(2) = 1$. **Solution** : 1. Une primitive de $g$ sur $]0; +\infty[$ est $G_0(x) = -\dfrac{1}{x}$. 2. Toutes les primitives s'écrivent : $G(x) = -\dfrac{1}{x} + C$. 3. Condition $G(2) = 1$ : $-\dfrac{1}{2} + C = 1$, donc $C = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$. 4. La primitive cherchée est : $$G(x) = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2}$$ **Vérification** : $G'(x) = \dfrac{1}{x^2} = g(x)$ et $G(2) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 1$. **Exemple 8** : Déterminer la primitive $H$ de $h(x) = \cos x + 2\sin x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $H\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$. **Solution** : 1. Une primitive de $h$ est $H_0(x) = \sin x - 2\cos x$ (car $H_0'(x) = \cos x + 2\sin x = h(x)$). 2. Toutes les primitives s'écrivent : $H(x) = \sin x - 2\cos x + C$. 3. Condition $H\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$ : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - 2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + C = 0$, donc $1 - 2 \times 0 + C = 0$, d'où $1 + C = 0$ et $C = -1$. 4. La primitive cherchée est : $$H(x) = \sin x - 2\cos x - 1$$ **Vérification** : $H'(x) = \cos x + 2\sin x = h(x)$ et $H\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 - 0 - 1 = 0$. **Exemple 9** : Déterminer la primitive $K$ de $k(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $K(0) = 3$. **Solution** : 1. On reconnaît la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$. Comme $u(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, une primitive est $K_0(x) = \ln(x^2 + 1)$. 2. Toutes les primitives s'écrivent : $K(x) = \ln(x^2 + 1) + C$. 3. Condition $K(0) = 3$ : $\ln(0^2 + 1) + C = 3$, donc $\ln(1) + C = 3$, d'où $0 + C = 3$ et $C = 3$. 4. La primitive cherchée est : $$K(x) = \ln(x^2 + 1) + 3$$ **Vérification** : $K'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1} = k(x)$ et $K(0) = \ln(1) + 3 = 3$. **Exemple 10** : Déterminer la primitive $L$ de $l(x) = 5e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $L(0) = 2$. **Solution** : 1. On reconnaît la forme $u'(x) \cdot e^{u(x)}$ avec $u(x) = 2x$ et $u'(x) = 2$. On a $5e^{2x} = \dfrac{5}{2} \times 2e^{2x} = \dfrac{5}{2} \times u'(x) e^{u(x)}$. Une primitive est donc $L_0(x) = \dfrac{5}{2} e^{2x}$. 2. Toutes les primitives s'écrivent : $L(x) = \dfrac{5}{2} e^{2x} + C$. 3. Condition $L(0) = 2$ : $\dfrac{5}{2} e^{0} + C = 2$, donc $\dfrac{5}{2} + C = 2$, d'où $C = 2 - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{1}{2}$. 4. La primitive cherchée est : $$L(x) = \dfrac{5}{2} e^{2x} - \dfrac{1}{2}$$ **Vérification** : $L'(x) = \dfrac{5}{2} \times 2e^{2x} = 5e^{2x} = l(x)$ et $L(0) = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = 2$. ### II.4. Interprétation graphique de la condition initiale La condition $F(a) = b$ signifie que la courbe représentative de $F$ passe par le point $A(a; b)$. Parmi toutes les courbes des primitives de $f$ (qui se déduisent par translation verticale), on sélectionne celle qui passe par le point donné. **Exemple 11** : Soit $f(x) = x$ sur $\mathbb{R}$. Les primitives de $f$ sont $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + C$. Traçons la primitive passant par le point $A(1; 2)$. La condition $F(1) = 2$ donne : $\dfrac{1^2}{2} + C = 2$, donc $\dfrac{1}{2} + C = 2$, d'où $C = \dfrac{3}{2}$. La primitive cherchée est $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{3}{2}$. ```onbuch-plot {"title":"Primitive de f(x) = x passant par A(1; 2)", "type":"line", "series":[ {"label":"F(x) = x²/2 + 3/2", "points":[[-3,6],[-2.8,5.42],[-2.6,4.88],[-2.4,4.38],[-2.2,3.92],[-2,3.5],[-1.8,3.12],[-1.6,2.78],[-1.4,2.48],[-1.2,2.22],[-1,2],[-0.8,1.82],[-0.6,1.68],[-0.4,1.58],[-0.2,1.52],[0,1.5],[0.2,1.52],[0.4,1.58],[0.6,1.68],[0.8,1.82],[1,2],[1.2,2.22],[1.4,2.48],[1.6,2.78],[1.8,3.12],[2,3.5],[2.2,3.92],[2.4,4.38],[2.6,4.88],[2.8,5.42],[3,6]]}, {"label":"F(x) = x²/2", "points":[[-3,4.5],[-2.8,3.92],[-2.6,3.38],[-2.4,2.88],[-2.2,2.42],[-2,2],[-1.8,1.62],[-1.6,1.28],[-1.4,0.98],[-1.2,0.72],[-1,0.5],[-0.8,0.32],[-0.6,0.18],[-0.4,0.08],[-0.2,0.02],[0,0],[0.2,0.02],[0.4,0.08],[0.6,0.18],[0.8,0.32],[1,0.5],[1.2,0.72],[1.4,0.98],[1.6,1.28],[1.8,1.62],[2,2],[2.2,2.42],[2.4,2.88],[2.6,3.38],[2.8,3.92],[3,4.5]]}, {"label":"F(x) = x²/2 - 1/2", "points":[[-3,4],[-2.8,3.42],[-2.6,2.88],[-2.4,2.38],[-2.2,1.92],[-2,1.5],[-1.8,1.12],[-1.6,0.78],[-1.4,0.48],[-1.2,0.22],[-1,0],[-0.8,-0.18],[-0.6,-0.32],[-0.4,-0.42],[-0.2,-0.48],[0,-0.5],[0.2,-0.48],[0.4,-0.42],[0.6,-0.32],[0.8,-0.18],[1,0],[1.2,0.22],[1.4,0.48],[1.6,0.78],[1.8,1.12],[2,1.5],[2.2,1.92],[2.4,2.38],[2.6,2.88],[2.8,3.42],[3,4]]} ]} ``` Le point $A(1; 2)$ est marqué sur la courbe de la primitive $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{3}{2}$. ### II.5. Cas particuliers et pièges à éviter **Piège 1** : L'intervalle $I$ doit être précisé. Par exemple, la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ n'admet pas de primitive sur $\mathbb{R}^*$ tout entier au sens où la constante peut différer sur $]-\infty; 0[$ et sur $]0; +\infty[$. On doit travailler séparément sur chaque intervalle. **Piège 2** : La condition initiale doit être prise en $a \in I$. Si $a \notin I$, la condition n'a pas de sens. **Piège 3** : Pour les fonctions du type $\dfrac{1}{x^n}$ avec $n \geq 2$, la primitive est $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$ et non $\ln$. La forme $\ln$ n'apparaît que pour $n = 1$. **Exemple 12** : Déterminer la primitive $M$ de $m(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]-\infty; 0[$ telle que $M(-1) = 2$. **Solution** : Sur $]-\infty; 0[$, une primitive de $m$ est $M_0(x) = \ln|x| = \ln(-x)$. Toutes les primitives s'écrivent $M(x) = \ln(-x) + C$. La condition $M(-1) = 2$ donne : $\ln(1) + C = 2$, donc $0 + C = 2$, d'où $C = 2$. La primitive cherchée est : $$M(x) = \ln(-x) + 2$$ **Vérification** : $M'(x) = \dfrac{-1}{-x} = \dfrac{1}{x} = m(x)$ et $M(-1) = \ln(1) + 2 = 2$. ### II.6. Application : résolution d'un problème de condition initiale avec une fonction composée **Exemple 13** : Déterminer la primitive $N$ de $n(x) = \dfrac{6x}{(x^2 + 1)^3}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $N(0) = 1$. **Solution** : 1. On reconnaît la forme $u'(x) \cdot [u(x)]^k$ avec $u(x) = x^2 + 1$, $u'(x) = 2x$ et $k = -3$. On écrit : $$n(x) = 3 \times 2x \times (x^2 + 1)^{-3} = 3 \times u'(x) \times [u(x)]^{-3}$$ 2. Une primitive de $u'(x) \cdot [u(x)]^{-3}$ est $\dfrac{[u(x)]^{-2}}{-2} = -\dfrac{1}{2(x^2+1)^2}$. Donc une primitive de $n$ est : $$N_0(x) = 3 \times \left(-\dfrac{1}{2(x^2+1)^2}\right) = -\dfrac{3}{2(x^2+1)^2}$$ 3. Toutes les primitives s'écrivent : $N(x) = -\dfrac{3}{2(x^2+1)^2} + C$. 4. Condition $N(0) = 1$ : $-\dfrac{3}{2(0^2+1)^2} + C = 1$, donc $-\dfrac{3}{2} + C = 1$, d'où $C = 1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$. 5. La primitive cherchée est : $$N(x) = -\dfrac{3}{2(x^2+1)^2} + \dfrac{5}{2}$$ **Vérification** : $N'(x) = -\dfrac{3}{2} \times (-2) \times (x^2+1)^{-3} \times 2x = \dfrac{6x}{(x^2+1)^3} = n(x)$ et $N(0) = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2} = 1$. ## III. Synthèse et exercices types du Baccalauréat ### III.1. Méthodologie générale > **Méthode (à retenir)** : Pour déterminer une primitive : > 1. Identifier la forme de la fonction (usuelle, somme, produit par une constante, composée) ; > 2. Utiliser le tableau des primitives usuelles ou les formules de composition ; > 3. Vérifier le résultat en dérivant la primitive trouvée ; > 4. Si une condition initiale est donnée, déterminer la constante $C$ en résolvant l'équation $F(a) = b$. ### III.2. Exercice type Baccalauréat Camerounais **Énoncé** : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 1 + \dfrac{3}{x^2 + 1}$. 1. Déterminer une primitive $F_0$ de $f$ sur $\mathbb{R}$. 2. Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 2$. 3. Vérifier que $F$ est bien une primitive de $f$ et que $F(0) = 2$. **Solution** : 1. Par linéarité, on décompose $f$ en trois termes : - Une primitive de $2x$ est $x^2$ ; - Une primitive de $1$ est $x$ ; - Pour $\dfrac{3}{x^2 + 1}$, on reconnaît la forme $\dfrac{3}{1 + x^2}$. On sait que $\arctan'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$, donc une primitive de $\dfrac{3}{x^2 + 1}$ est $3\arctan(x)$. Ainsi, une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est : $$F_0(x) = x^2 + x + 3\arctan(x)$$ 2. Toutes les primitives de $f$ s'écrivent $F(x) = x^2 + x + 3\arctan(x) + C$. La condition $F(0) = 2$ donne : $$0^2 + 0 + 3\arctan(0) + C = 2$$ $$0 + 0 + 3 \times 0 + C = 2$$ $$C = 2$$ La primitive cherchée est : $$F(x) = x^2 + x + 3\arctan(x) + 2$$ 3. **Vérification** : $$F'(x) = 2x + 1 + 3 \times \dfrac{1}{1 + x^2} = 2x + 1 + \dfrac{3}{x^2 + 1} = f(x)$$ Et $F(0) = 0 + 0 + 3\arctan(0) + 2 = 0 + 0 + 0 + 2 = 2$. La vérification est complète. ### III.3. Exercice d'approfondissement **Énoncé** : Soit $g$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x}$. 1. Simplifier l'expression de $g(x)$. 2. Déterminer la primitive $G$ de $g$ sur $]0; +\infty[$ telle que $G(1) = 0$. 3. Calculer $G(e)$. **Solution** : 1. On simplifie : $$g(x) = \dfrac{2x + 1}{x} = \dfrac{2x}{x} + \dfrac{1}{x} = 2 + \dfrac{1}{x}$$ 2. Une primitive de $g$ sur $]0; +\infty[$ est $G_0(x) = 2x + \ln x$ (car $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0; +\infty[$). Toutes les primitives s'écrivent : $$G(x) = 2x + \ln x + C$$ La condition $G(1) = 0$ donne : $2 \times 1 + \ln(1) + C = 0$, donc $2 + 0 + C = 0$, d'où $C = -2$. La primitive cherchée est : $$G(x) = 2x + \ln x - 2$$ 3. On calcule : $$G(e) = 2e + \ln(e) - 2 = 2e + 1 - 2 = 2e - 1$$ **Vérification** : $G'(x) = 2 + \dfrac{1}{x} = g(x)$ et $G(1) = 2 + 0 - 2 = 0$. ### III.4. Tableau récapitulatif des primitives avec conditions initiales > **Récapitulatif (à retenir)** : Pour déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $I$ vérifiant $F(a) = b$ : > - Étape 1 : Trouver une primitive $F_0$ de $f$ sur $I$ ; > - Étape 2 : Écrire $F(x) = F_0(x) + C$ ; > - Étape 3 : Résoudre $F_0(a) + C = b$ pour trouver $C$ ; > - Étape 4 : Écrire la primitive $F(x) = F_0(x) + b - F_0(a)$. ## Conclusion Dans ce chapitre, nous avons étudié la notion de primitive d'une fonction sur un intervalle. Nous avons vu que toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante additive. La détermination des primitives des fonctions usuelles se fait par lecture inverse du tableau des dérivées, et la linéarité de la dérivation permet d'étendre ce résultat aux combinaisons linéaires de fonctions usuelles. Pour les fonctions composées, des formules spécifiques permettent de trouver les primitives. Enfin, la condition initiale $F(a) = b$ permet de sélectionner une unique primitive parmi toutes celles de $f$, ce qui est essentiel dans de nombreuses applications pratiques, notamment en physique (lois de mouvement) et en économie. La maîtrise de ces techniques est indispensable pour aborder le chapitre suivant sur le calcul intégral, où les primitives jouent un rôle central dans le calcul d'aires et de volumes.