Fonctions logarithme népérien

# Fiche de cours : Fonctions logarithme népérien **Niveau :** Terminale (Séries littéraires A1, A2, A3, A4, A5, ABI) **Programme officiel MINESEC — Approche par compétences** **Durée indicative :** 6 à 8 séances --- ## Introduction La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est l'une des fonctions transcendantes fondamentales de l'analyse. Introduite historiquement pour simplifier les calculs de produits et de quotients, elle est aujourd'hui indispensable pour modéliser des phénomènes de croissance lente, résoudre des équations où l'inconnue apparaît en exposant, et calculer des primitives de fonctions rationnelles simples. Dans ce chapitre, nous étudions sa définition rigoureuse, ses propriétés algébriques, ses limites usuelles, sa dérivée, ainsi que les techniques de calcul de primitives associées. L'objectif est de vous rendre capable de manipuler cette fonction avec aisance dans des contextes variés, conformément aux exigences du Baccalauréat camerounais. --- ## I. Définition, ensemble de définition, propriétés algébriques ### I.1. Définition > **Définition (à retenir) :** La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par : > $$ > \ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt > $$ > pour tout $x > 0$. Elle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $]0; +\infty[$ telle que $f'(x) = \frac{1}{x}$ et $f(1) = 0$. **Remarque fondamentale :** La fonction $\ln$ n'est définie que pour des arguments strictement positifs. Ainsi, pour toute expression $E(x)$, l'expression $\ln(E(x))$ n'a de sens que si $E(x) > 0$. ### I.2. Ensemble de définition > **Propriété (à retenir) :** L'ensemble de définition de la fonction $x \mapsto \ln(x)$ est $D = ]0; +\infty[$. Pour une fonction composée $f(x) = \ln(u(x))$, l'ensemble de définition est l'ensemble des réels $x$ tels que $u(x) > 0$. **Exemple 1 :** Déterminer l'ensemble de définition de $f(x) = \ln(2x - 3)$. **Résolution :** On doit avoir $2x - 3 > 0$, soit $x > \frac{3}{2}$. Donc $D_f = \left]\frac{3}{2}; +\infty\right[$. **Exemple 2 :** Déterminer l'ensemble de définition de $g(x) = \ln(x^2 - 1)$. **Résolution :** On doit avoir $x^2 - 1 > 0$, soit $(x-1)(x+1) > 0$. Le tableau de signes donne : - $x^2 - 1 > 0$ pour $x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$. Donc $D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$. **Exemple 3 :** Déterminer l'ensemble de définition de $h(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right)$. **Résolution :** On doit avoir $\frac{x+1}{x-2} > 0$. Le tableau de signes du quotient donne : - $x+1 > 0 \iff x > -1$ - $x-2 > 0 \iff x > 2$ Le quotient est positif sur $]-\infty; -1[ \cup ]2; +\infty[$. Donc $D_h = ]-\infty; -1[ \cup ]2; +\infty[$. ### I.3. Propriétés algébriques > **Propriétés fondamentales (à retenir) :** Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et pour tout entier relatif $n \in \mathbb{Z}$ : > $$ > \ln(1) = 0 \quad ; \quad \ln(e) = 1 > $$ > $$ > \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) > $$ > $$ > \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) > $$ > $$ > \ln(a^n) = n \ln(a) > $$ > $$ > \ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a) > $$ > $$ > \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a) > $$ **Démonstration de $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ :** Soit $a > 0$ fixé. Considérons la fonction $\phi$ définie sur $]0; +\infty[$ par $\phi(x) = \ln(a x)$. Alors $\phi$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et : $$ \phi'(x) = \frac{a}{a x} = \frac{1}{x} $$ Ainsi, $\phi$ et $\ln$ ont la même dérivée sur $]0; +\infty[$. Il existe donc une constante $C$ telle que $\phi(x) = \ln(x) + C$ pour tout $x > 0$. En évaluant en $x = 1$ : $$ \phi(1) = \ln(a) = \ln(1) + C = 0 + C = C $$ Donc $C = \ln(a)$, et par suite $\ln(a x) = \ln(x) + \ln(a)$. En posant $x = b$, on obtient $\ln(a b) = \ln(a) + \ln(b)$. **Exemple numérique :** Calculer $\ln(4) + \ln(8) - \ln(2)$. **Résolution :** $$ \ln(4) + \ln(8) - \ln(2) = \ln\left(\frac{4 \times 8}{2}\right) = \ln\left(\frac{32}{2}\right) = \ln(16) = \ln(2^4) = 4\ln(2) $$ **Exemple numérique :** Simplifier $A = \ln(12) - \ln(3) + \ln(5)$. **Résolution :** $$ A = \ln\left(\frac{12}{3}\right) + \ln(5) = \ln(4) + \ln(5) = \ln(20) $$ --- ## II. Équations, inéquations et systèmes ayant pour inconnue auxiliaire $\ln$ ### II.1. Équations de la forme $\ln(u(x)) = \ln(v(x))$ ou $\ln(u(x)) = k$ > **Propriété (à retenir) :** Pour tous $a > 0$ et $b > 0$ : > $$ > \ln(a) = \ln(b) \iff a = b > $$ > Pour tout réel $k$ : > $$ > \ln(a) = k \iff a = e^k > $$ **Méthode :** Pour résoudre une équation contenant $\ln$, on commence par déterminer l'ensemble de définition, puis on applique les propriétés ci-dessus. **Exemple 1 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3)$. **Résolution :** 1. **Domaine :** $2x - 1 > 0 \iff x > \frac{1}{2}$ et $x + 3 > 0 \iff x > -3$. Donc $D = \left]\frac{1}{2}; +\infty\right[$. 2. **Résolution :** $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3) \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$. 3. **Vérification :** $4 \in D$. Donc $S = \{4\}$. **Exemple 2 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(3x + 2) = 2$. **Résolution :** 1. **Domaine :** $3x + 2 > 0 \iff x > -\frac{2}{3}$. Donc $D = \left]-\frac{2}{3}; +\infty\right[$. 2. **Résolution :** $\ln(3x + 2) = 2 \iff 3x + 2 = e^2 \iff 3x = e^2 - 2 \iff x = \frac{e^2 - 2}{3}$. 3. **Vérification :** $\frac{e^2 - 2}{3} \approx \frac{7,389 - 2}{3} = \frac{5,389}{3} \approx 1,796 > -\frac{2}{3}$. Donc $S = \left\{\frac{e^2 - 2}{3}\right\}$. **Exemple 3 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x) + \ln(x - 2) = \ln(3)$. **Résolution :** 1. **Domaine :** $x > 0$ et $x - 2 > 0 \iff x > 2$. Donc $D = ]2; +\infty[$. 2. **Résolution :** $\ln(x) + \ln(x - 2) = \ln(3) \iff \ln(x(x - 2)) = \ln(3) \iff x(x - 2) = 3$. $$ x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x - 3)(x + 1) = 0 $$ Donc $x = 3$ ou $x = -1$. 3. **Vérification :** $x = -1 \notin D$, donc on rejette. $x = 3 \in D$. Donc $S = \{3\}$. ### II.2. Inéquations de la forme $\ln(u(x)) < \ln(v(x))$ ou $\ln(u(x)) \leq k$ > **Propriété (à retenir) :** La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. Par conséquent, pour tous $a > 0$ et $b > 0$ : > $$ > \ln(a) < \ln(b) \iff a < b > $$ > $$ > \ln(a) \leq k \iff a \leq e^k > $$ **Exemple 1 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(2x + 1) \leq \ln(x + 4)$. **Résolution :** 1. **Domaine :** $2x + 1 > 0 \iff x > -\frac{1}{2}$ et $x + 4 > 0 \iff x > -4$. Donc $D = \left]-\frac{1}{2}; +\infty\right[$. 2. **Résolution :** $\ln(2x + 1) \leq \ln(x + 4) \iff 2x + 1 \leq x + 4 \iff x \leq 3$. 3. **Intersection avec le domaine :** $x \in \left]-\frac{1}{2}; 3\right]$. Donc $S = \left]-\frac{1}{2}; 3\right]$. **Exemple 2 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(3x - 5) > 0$. **Résolution :** 1. **Domaine :** $3x - 5 > 0 \iff x > \frac{5}{3}$. Donc $D = \left]\frac{5}{3}; +\infty\right[$. 2. **Résolution :** $\ln(3x - 5) > 0 \iff \ln(3x - 5) > \ln(1) \iff 3x - 5 > 1 \iff 3x > 6 \iff x > 2$. 3. **Intersection :** $x > 2$ est déjà dans $D$. Donc $S = ]2; +\infty[$. **Exemple 3 :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(x^2 - 1) < \ln(3)$. **Résolution :** 1. **Domaine :** $x^2 - 1 > 0 \iff x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$. 2. **Résolution :** $\ln(x^2 - 1) < \ln(3) \iff x^2 - 1 < 3 \iff x^2 < 4 \iff -2 < x < 2$. 3. **Intersection :** $S = ]-2; -1[ \cup ]1; 2[$. ### II.3. Systèmes avec inconnue auxiliaire $\ln$ **Méthode :** On pose $X = \ln(x)$ et $Y = \ln(y)$ (avec $x > 0$, $y > 0$), on résout le système linéaire en $X$ et $Y$, puis on revient à $x = e^X$ et $y = e^Y$. **Exemple :** Résoudre le système : $$ \begin{cases} \ln(x) + \ln(y) = 3 \\ 2\ln(x) - \ln(y) = 0 \end{cases} $$ **Résolution :** 1. **Domaine :** $x > 0$ et $y > 0$. 2. **Inconnues auxiliaires :** Posons $X = \ln(x)$ et $Y = \ln(y)$. Le système devient : $$ \begin{cases} X + Y = 3 \\ 2X - Y = 0 \end{cases} $$ 3. **Résolution :** De la deuxième équation, $Y = 2X$. En substituant dans la première : $X + 2X = 3 \iff 3X = 3 \iff X = 1$. Donc $Y = 2$. 4. **Retour :** $x = e^X = e^1 = e$ et $y = e^Y = e^2$. 5. **Vérification :** $e > 0$ et $e^2 > 0$. Donc $S = \{(e; e^2)\}$. **Exemple 2 :** Résoudre le système : $$ \begin{cases} \ln(x) - \ln(y) = 1 \\ \ln(xy) = 5 \end{cases} $$ **Résolution :** 1. **Domaine :** $x > 0$, $y > 0$. 2. **Inconnues auxiliaires :** $X = \ln(x)$, $Y = \ln(y)$. Le système devient : $$ \begin{cases} X - Y = 1 \\ X + Y = 5 \end{cases} $$ 3. **Résolution :** En additionnant : $2X = 6 \iff X = 3$. En soustrayant : $2Y = 4 \iff Y = 2$. 4. **Retour :** $x = e^3$ et $y = e^2$. 5. **Vérification :** $e^3 > 0$, $e^2 > 0$. Donc $S = \{(e^3; e^2)\}$. --- ## III. Limites usuelles ### III.1. Limites fondamentales > **Limites à connaître (à retenir) :** > $$ > \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty > $$ > $$ > \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty > $$ > $$ > \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 > $$ > $$ > \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 > $$ > $$ > \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = 1 > $$ > $$ > \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 > $$ **Interprétation :** La fonction $\ln$ croît vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, mais moins vite que toute fonction puissance positive. Elle tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives, mais moins vite que toute fonction puissance négative. ### III.2. Limites de fonctions composées **Méthode :** Pour calculer $\lim_{x \to a} \ln(u(x))$, on étudie d'abord $\lim_{x \to a} u(x)$. Si cette limite est $L > 0$, alors $\lim_{x \to a} \ln(u(x)) = \ln(L)$. Si $L = +\infty$, la limite est $+\infty$. Si $L = 0^+$, la limite est $-\infty$. **Exemple 1 :** Calculer $\lim_{x \to +\infty} \ln(2x + 1)$. **Résolution :** $\lim_{x \to +\infty} (2x + 1) = +\infty$. Donc $\lim_{x \to +\infty} \ln(2x + 1) = +\infty$. **Exemple 2 :** Calculer $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x + 1}{x}\right)$. **Résolution :** $\frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$. Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{x} \to 0$, donc $1 + \frac{1}{x} \to 1$. Par continuité de $\ln$ en $1$ : $$ \lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \ln(1) = 0 $$ **Exemple 3 :** Calculer $\lim_{x \to 2} \ln(x^2 - 3)$. **Résolution :** Quand $x \to 2$, $x^2 - 3 \to 4 - 3 = 1$. Donc $\lim_{x \to 2} \ln(x^2 - 3) = \ln(1) = 0$. **Exemple 4 :** Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(3x + 1)}{x}$. **Résolution :** On écrit : $$ \frac{\ln(3x + 1)}{x} = \frac{\ln(3x + 1)}{3x + 1} \times \frac{3x + 1}{x} $$ Quand $x \to +\infty$, $3x + 1 \to +\infty$, donc $\frac{\ln(3x + 1)}{3x + 1} \to 0$ (limite usuelle). De plus, $\frac{3x + 1}{x} = 3 + \frac{1}{x} \to 3$. Par produit : $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(3x + 1)}{x} = 0 \times 3 = 0 $$ **Exemple 5 :** Calculer $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x^2)$. **Résolution :** On utilise $\ln(x^2) = 2\ln(x)$ pour $x > 0$. Donc : $$ x \ln(x^2) = 2x\ln(x) $$ Or $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ (limite usuelle). Donc $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x^2) = 2 \times 0 = 0$. **Exemple 6 :** Calculer $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x^2}\right)$. **Résolution :** $\frac{x^2 + 1}{x^2} = 1 + \frac{1}{x^2}$. Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{x^2} \to 0$, donc $1 + \frac{1}{x^2} \to 1$. Par continuité : $$ \lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = \ln(1) = 0 $$ **Exemple 7 :** Calculer $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + 3x)}{x}$. **Résolution :** On écrit : $$ \frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3 \times \frac{\ln(1 + 3x)}{3x} $$ Posons $t = 3x$. Quand $x \to 0^+$, $t \to 0^+$. Donc $\frac{\ln(1 + t)}{t} \to 1$ (limite usuelle). Par suite : $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3 \times 1 = 3 $$ --- ## IV. Dérivée ### IV.1. Dérivée de la fonction $\ln$ > **Propriété (à retenir) :** La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et pour tout $x > 0$ : > $$ > \ln'(x) = \frac{1}{x} > $$ ### IV.2. Dérivée de $\ln(u(x))$ > **Théorème (à retenir) :** Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. Alors la fonction $f(x) = \ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et : > $$ > f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} > $$ **Exemple 1 :** Dériver $f(x) = \ln(3x + 2)$ sur $I = \left]-\frac{2}{3}; +\infty\right[$. **Résolution :** $u(x) = 3x + 2$, $u'(x) = 3$. Donc : $$ f'(x) = \frac{3}{3x + 2} $$ **Exemple 2 :** Dériver $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$. **Résolution :** $u(x) = x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$, $u'(x) = 2x$. Donc : $$ g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} $$ **Exemple 3 :** Dériver $h(x) = \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)$ sur $]1; +\infty[$. **Résolution :** On peut utiliser la formule directe avec $u(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$. Calculons $u'(x)$ : $$ u'(x) = \frac{1 \times (x - 1) - (x + 1) \times 1}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2} $$ Donc : $$ h'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{\frac{-2}{(x - 1)^2}}{\frac{x + 1}{x - 1}} = \frac{-2}{(x - 1)^2} \times \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{-2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{-2}{x^2 - 1} $$ **Alternative :** On peut aussi utiliser $\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \ln(x+1) - \ln(x-1)$, puis dériver : $$ h'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{-2}{x^2 - 1} $$ On retrouve le même résultat. **Exemple 4 :** Dériver $k(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 4})$ sur $\mathbb{R}$. **Résolution :** On peut écrire $k(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4)$. Alors : $$ k'(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{x^2 + 4} = \frac{x}{x^2 + 4} $$ **Exemple 5 :** Dériver $m(x) = \ln\left(\frac{1}{x}\right)$ sur $]0; +\infty[$. **Résolution :** On peut écrire $m(x) = -\ln(x)$. Donc : $$ m'(x) = -\frac{1}{x} $$ ### IV.3. Tableau de variation de la fonction $\ln$ > **Propriété (à retenir) :** La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. **Justification :** $\ln'(x) = \frac{1}{x} > 0$ pour tout $x > 0$. Donc $\ln$ est strictement croissante. **Tableau de variation :** | $x$ | $0$ | | $+\infty$ | |-----|-----|-----|-----------| | $\ln'(x)$ | | $+$ | | | $\ln(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | **Valeurs remarquables :** $\ln(1) = 0$, $\ln(e) = 1$. --- ## V. Primitives de type $x \mapsto \frac{a}{bx + c}$ et de fonctions contenant $\ln$ ### V.1. Primitives de $\frac{a}{bx + c}$ > **Propriété (à retenir) :** Soient $a$, $b$, $c$ des réels avec $b \neq 0$. Sur tout intervalle où $bx + c \neq 0$, une primitive de $f(x) = \frac{a}{bx + c}$ est : > $$ > F(x) = \frac{a}{b} \ln|bx + c| + K > $$ > où $K$ est une constante réelle. **Démonstration :** On vérifie que $F'(x) = \frac{a}{b} \times \frac{b}{bx + c} = \frac{a}{bx + c} = f(x)$. **Exemple 1 :** Trouver une primitive de $f(x) = \frac{3}{2x + 1}$ sur $\left]-\frac{1}{2}; +\infty\right[$. **Résolution :** Ici $a = 3$, $b = 2$, $c = 1$. Donc : $$ F(x) = \frac{3}{2} \ln(2x + 1) + K $$ Sur l'intervalle considéré, $2x + 1 > 0$, donc on peut écrire sans valeur absolue. **Exemple 2 :** Trouver une primitive de $g(x) = \frac{5}{3x - 2}$ sur $\left]\frac{2}{3}; +\infty\right[$. **Résolution :** $a = 5$, $b = 3$, $c = -2$. Donc : $$ G(x) = \frac{5}{3} \ln(3x - 2) + K $$ **Exemple 3 :** Trouver une primitive de $h(x) = \frac{1}{4x + 7}$ sur $\left]-\frac{7}{4}; +\infty\right[$. **Résolution :** $a = 1$, $b = 4$, $c = 7$. Donc : $$ H(x) = \frac{1}{4} \ln(4x + 7) + K $$ **Exemple 4 :** Trouver une primitive de $p(x) = \frac{2}{x}$ sur $]0; +\infty[$. **Résolution :** $a = 2$, $b = 1$, $c = 0$. Donc : $$ P(x) = 2\ln(x) + K $$ ### V.2. Primitives de fonctions contenant $\ln$ **Méthode :** Pour trouver une primitive d'une fonction contenant $\ln$, on utilise souvent la formule de dérivation d'un produit ou la reconnaissance de la forme $u'(x) \times u(x)^n$. > **Propriété (à retenir) :** Une primitive de $f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$ est $F(x) = \ln|u(x)| + K$, où $u$ est une fonction dérivable ne s'annulant pas sur l'intervalle considéré. **Exemple 1 :** Trouver une primitive de $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$. **Résolution :** On reconnaît $u(x) = x^2 + 1$, $u'(x) = 2x$. Donc : $$ F(x) = \ln(x^2 + 1) + K $$ (Pas de valeur absolue car $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$.) **Exemple 2 :** Trouver une primitive de $g(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 1}$ sur $]-1; +\infty[$. **Résolution :** On reconnaît $u(x) = x^3 + 1$, $u'(x) = 3x^2$. Donc : $$ G(x) = \ln(x^3 + 1) + K $$ **Exemple 3 :** Trouver une primitive de $h(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ sur $]0; +\infty[$. **Résolution :** On reconnaît la forme $u'(x) \times u(x)$ avec $u(x) = \ln(x)$ et $u'(x) = \frac{1}{x}$. Donc : $$ H(x) = \frac{(\ln(x))^2}{2} + K $$ **Vérification :** $H'(x) = \frac{1}{2} \times 2\ln(x) \times \frac{1}{x} = \frac{\ln(x)}{x} = h(x)$. **Exemple 4 :** Trouver une primitive de $k(x) = \frac{1}{x\ln(x)}$ sur $]1; +\infty[$. **Résolution :** On reconnaît la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = \ln(x)$ et $u'(x) = \frac{1}{x}$. Donc : $$ K(x) = \ln(\ln(x)) + K $$ **Vérification :** $K'(x) = \frac{1}{\ln(x)} \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln(x)} = k(x)$. **Exemple 5 :** Trouver une primitive de $m(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 3}$ sur $\mathbb{R}$. **Résolution :** On reconnaît $u(x) = x^2 + x + 3$, $u'(x) = 2x + 1$. Donc : $$ M(x) = \ln(x^2 + x + 3) + K $$ (Pas de valeur absolue car $x^2 + x + 3$ a un discriminant $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$, donc le trinôme est toujours positif.) **Exemple 6 :** Trouver une primitive de $n(x) = \frac{1}{2x + 3} + \frac{x}{x^2 + 1}$ sur $\left]-\frac{3}{2}; +\infty\right[$. **Résolution :** On primitive chaque terme séparément : - Pour $\frac{1}{2x + 3}$ : $a = 1$, $b = 2$, donc primitive $= \frac{1}{2}\ln(2x + 3)$. - Pour $\frac{x}{x^2 + 1}$ : $u(x) = x^2 + 1$, $u'(x) = 2x$, donc $\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{x^2 + 1}$, primitive $= \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)$. Donc : $$ N(x) = \frac{1}{2}\ln(2x + 3) + \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + K $$ --- ## VI. Détermination de l'ensemble de définition d'une fonction logarithme népérien ### VI.1. Méthode générale > **Méthode (à retenir) :** Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction $f(x) = \ln(u(x))$, on résout l'inéquation $u(x) > 0$. L'ensemble de définition est l'ensemble des solutions de cette inéquation. **Cas particuliers :** - Si $u(x)$ est un polynôme du second degré, on étudie son signe (discriminant, racines). - Si $u(x)$ est un quotient, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur. - Si $u(x)$ est une fonction composée, on procède par étapes. ### VI.2. Exemples détaillés **Exemple 1 :** $f(x) = \ln(5 - 2x)$ **Résolution :** On doit avoir $5 - 2x > 0 \iff -2x > -5 \iff x < \frac{5}{2}$. Donc $D_f = \left]-\infty; \frac{5}{2}\right[$. **Exemple 2 :** $g(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$ **Résolution :** On étudie le signe de $x^2 - 4x + 3$. Le discriminant est $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$. Les racines sont : $$ x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \quad ; \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 $$ Le trinôme est positif à l'extérieur des racines (coefficient dominant $a = 1 > 0$). Donc $x^2 - 4x + 3 > 0$ pour $x \in ]-\infty; 1[ \cup ]3; +\infty[$. Donc $D_g = ]-\infty; 1[ \cup ]3; +\infty[$. **Exemple 3 :** $h(x) = \ln\left(\frac{x - 2}{x + 5}\right)$ **Résolution :** On doit avoir $\frac{x - 2}{x + 5} > 0$. Tableau de signes : | $x$ | $-\infty$ | $-5$ | $2$ | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----|-----------| | $x - 2$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $x + 5$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | Quotient | $+$ | $\Vert $ | $-$ | $0$ | $+$ | Donc $\frac{x - 2}{x + 5} > 0$ pour $x \in ]-\infty; -5[ \cup ]2; +\infty[$. Donc $D_h = ]-\infty; -5[ \cup ]2; +\infty[$. **Exemple 4 :** $k(x) = \ln(\ln(x))$ **Résolution :** On doit avoir $\ln(x) > 0 \iff x > e^0 = 1$. De plus, il faut $x > 0$ pour que $\ln(x)$ existe. La condition $\ln(x) > 0$ implique $x > 1$, ce qui est plus restrictif que $x > 0$. Donc $D_k = ]1; +\infty[$. **Exemple 5 :** $m(x) = \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x - 1}\right)$ **Résolution :** On doit avoir $\frac{x^2 + 1}{x - 1} > 0$. Le numérateur $x^2 + 1$ est toujours strictement positif (somme d'un carré et de $1$). Donc le signe du quotient est celui de $x - 1$. On doit avoir $x - 1 > 0 \iff x > 1$. Donc $D_m = ]1; +\infty[$. **Exemple 6 :** $n(x) = \ln(2x^2 + 3x + 4)$ **Résolution :** Le discriminant de $2x^2 + 3x + 4$ est $\Delta = 9 - 32 = -23 < 0$. Le coefficient dominant est $a = 2 > 0$. Donc le trinôme est toujours strictement positif. Par conséquent, $2x^2 + 3x + 4 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $D_n = \mathbb{R}$. **Exemple 7 :** $p(x) = \ln\left(\frac{x + 1}{x^2 + 2x + 2}\right)$ **Résolution :** Le dénominateur $x^2 + 2x + 2$ a pour discriminant $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0$, et coefficient dominant $a = 1 > 0$. Donc $x^2 + 2x + 2 > 0$ pour tout $x$. Le signe du quotient est donc celui de $x + 1$. On doit avoir $x + 1 > 0 \iff x > -1$. Donc $D_p = ]-1; +\infty[$. --- ## VII. Calcul de limites, dérivées et primitives de fonctions du type $\ln(ax + b)$ ### VII.1. Limites de $\ln(ax + b)$ > **Propriété (à retenir) :** Pour $a \neq 0$ et $b$ réels, la fonction $f(x) = \ln(ax + b)$ est définie sur $\left]-\frac{b}{a}; +\infty\right[$ si $a > 0$, ou sur $\left]-\infty; -\frac{b}{a}\right[$ si $a < 0$. Ses limites aux bornes de son domaine sont : > - Si $a > 0$ : $\lim_{x \to -\frac{b}{a}^+} \ln(ax + b) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln(ax + b) = +\infty$. > - Si $a < 0$ : $\lim_{x \to -\infty} \ln(ax + b) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\frac{b}{a}^-} \ln(ax + b) = -\infty$. **Exemple 1 :** $f(x) = \ln(2x + 3)$. Domaine : $\left]-\frac{3}{2}; +\infty\right[$. Limites : $$ \lim_{x \to -\frac{3}{2}^+} \ln(2x + 3) = -\infty \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \ln(2x + 3) = +\infty $$ **Exemple 2 :** $g(x) = \ln(4 - x)$. Domaine : $]-\infty; 4[$. Limites : $$ \lim_{x \to -\infty} \ln(4 - x) = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to 4^-} \ln(4 - x) = -\infty $$ **Exemple 3 :** Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(2x + 1)}{x}$. **Résolution :** On écrit : $$ \frac{\ln(2x + 1)}{x} = \frac{\ln(2x + 1)}{2x + 1} \times \frac{2x + 1}{x} $$ Quand $x \to +\infty$, $2x + 1 \to +\infty$, donc $\frac{\ln(2x + 1)}{2x + 1} \to 0$. De plus, $\frac{2x + 1}{x} = 2 + \frac{1}{x} \to 2$. Par produit : $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(2x + 1)}{x} = 0 $$ **Exemple 4 :** Calculer $\lim_{x \to +\infty} \left[\ln(3x + 2) - \ln(x)\right]$. **Résolution :** On utilise $\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$ : $$ \ln(3x + 2) - \ln(x) = \ln\left(\frac{3x + 2}{x}\right) = \ln\left(3 + \frac{2}{x}\right) $$ Quand $x \to +\infty$, $3 + \frac{2}{x} \to 3$. Par continuité de $\ln$ en $3$ : $$ \lim_{x \to +\infty} \left[\ln(3x + 2) - \ln(x)\right] = \ln(3) $$ ### VII.2. Dérivées de $\ln(ax + b)$ > **Propriété (à retenir) :** Pour $a \neq 0$, la dérivée de $f(x) = \ln(ax + b)$ sur son domaine de définition est : > $$ > f'(x) = \frac{a}{ax + b} > $$ **Exemple 1 :** $f(x) = \ln(5x + 2)$. Alors $f'(x) = \frac{5}{5x + 2}$. **Exemple 2 :** $g(x) = \ln(3 - 2x)$. Alors $g'(x) = \frac{-2}{3 - 2x} = \frac{2}{2x - 3}$. **Exemple 3 :** $h(x) = \ln(7x)$. Alors $h'(x) = \frac{7}{7x} = \frac{1}{x}$. **Exemple 4 :** $k(x) = \ln\left(\frac{x + 1}{2}\right)$. On peut écrire $k(x) = \ln(x + 1) - \ln(2)$. Donc $k'(x) = \frac{1}{x + 1}$. **Exemple 5 :** $m(x) = \ln(\sqrt{2x + 1})$. On écrit $m(x) = \frac{1}{2}\ln(2x + 1)$. Donc $m'(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{2x + 1} = \frac{1}{2x + 1}$. ### VII.3. Primitives de $\frac{a}{bx + c}$ (rappel et approfondissement) > **Propriété (à retenir) :** Une primitive de $f(x) = \frac{a}{bx + c}$ sur un intervalle où $bx + c > 0$ est : > $$ > F(x) = \frac{a}{b} \ln(bx + c) + K > $$ **Exemple 1 :** Trouver une primitive de $f(x) = \frac{4}{2x + 1}$ sur $\left]-\frac{1}{2}; +\infty\right[$. **Résolution :** $a = 4$, $b = 2$. Donc : $$ F(x) = \frac{4}{2} \ln(2x + 1) + K = 2\ln(2x + 1) + K $$ **Exemple 2 :** Trouver une primitive de $g(x) = \frac{6}{3x - 5}$ sur $\left]\frac{5}{3}; +\infty\right[$. **Résolution :** $a = 6$, $b = 3$. Donc : $$ G(x) = \frac{6}{3} \ln(3x - 5) + K = 2\ln(3x - 5) + K $$ **Exemple 3 :** Trouver une primitive de $h(x) = \frac{1}{2x + 3}$ sur $\left]-\frac{3}{2}; +\infty\right[$. **Résolution :** $a = 1$, $b = 2$. Donc : $$ H(x) = \frac{1}{2} \ln(2x + 3) + K $$ **Exemple 4 :** Trouver une primitive de $k(x) = \frac{5}{x + 2}$ sur $]-2; +\infty[$. **Résolution :** $a = 5$, $b = 1$. Donc : $$ K(x) = 5\ln(x + 2) + K $$ **Exemple 5 :** Trouver une primitive de $m(x) = \frac{3}{4x - 1}$ sur $\left]\frac{1}{4}; +\infty\right[$. **Résolution :** $a = 3$, $b = 4$. Donc : $$ M(x) = \frac{3}{4} \ln(4x - 1) + K $$ **Exemple 6 (primitive avec condition initiale) :** Trouver la primitive $F$ de $f(x) = \frac{2}{3x + 1}$ sur $\left]-\frac{1}{3}; +\infty\right[$ telle que $F(0) = 1$. **Résolution :** Une primitive est $F(x) = \frac{2}{3}\ln(3x + 1) + K$. On impose $F(0) = 1$ : $$ F(0) = \frac{2}{3}\ln(1) + K = \frac{2}{3} \times 0 + K = K = 1 $$ Donc $K = 1$ et : $$ F(x) = \frac{2}{3}\ln(3x + 1) + 1 $$ ### VII.4. Représentation graphique de la fonction $\ln$ Pour visualiser la fonction logarithme népérien, voici sa courbe représentative avec quelques points caractéristiques : ```onbuch-plot {"title":"Courbe de la fonction ln(x)","type":"line","series":[{"label":"y = ln(x)","points":[[0.1,-2.302585],[0.2,-1.609438],[0.3,-1.203973],[0.4,-0.916291],[0.5,-0.693147],[0.6,-0.510826],[0.7,-0.356675],[0.8,-0.223144],[0.9,-0.105361],[1,0],[1.2,0.182322],[1.4,0.336472],[1.6,0.470004],[1.8,0.587787],[2,0.693147],[2.5,0.916291],[3,1.098612],[3.5,1.252763],[4,1.386294],[4.5,1.504077],[5,1.609438],[6,1.791759],[7,1.94591],[8,2.079442],[9,2.197225],[10,2.302585]]}]} ``` **Propriétés graphiques :** - La courbe coupe l'axe des abscisses au point $(1; 0)$. - La droite $x = 0$ (axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe. - La fonction est concave sur $]0; +\infty[$ (sa dérivée seconde est $-\frac{1}{x^2} < 0$). --- ## VIII. Synthèse et exercices types ### VIII.1. Tableau récapitulatif des formules essentielles > **Formulaire complet (à retenir) :** > > **Définition :** $\ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt$ pour $x > 0$. > > **Propriétés algébriques :** $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln(a^n) = n\ln(a)$ ; $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$. > > **Limites :** $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ ; $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ ; $\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ ; $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$. > > **Dérivée :** $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ ; $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$. > > **Primitive :** $\int \frac{a}{bx+c} dx = \frac{a}{b} \ln|bx+c| + K$ ; $\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + K$. ### VIII.2. Exercice type 1 : Étude complète d'une fonction **Énoncé :** Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln(2x + 1) - x$. 1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. 2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine. 3. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. 4. Dresser le tableau de variation de $f$. 5. Tracer la courbe représentative de $f$. **Résolution :** **1. Ensemble de définition :** On doit avoir $2x + 1 > 0 \iff x > -\frac{1}{2}$. Donc $D_f = \left]-\frac{1}{2}; +\infty\right[$. **2. Limites :** - En $-\frac{1}{2}^+$ : $\lim_{x \to -\frac{1}{2}^+} \ln(2x + 1) = -\infty$ et $\lim_{x \to -\frac{1}{2}^+} (-x) = \frac{1}{2}$. Donc $\lim_{x \to -\frac{1}{2}^+} f(x) = -\infty$. - En $+\infty$ : On écrit $f(x) = \ln(2x + 1) - x = x\left(\frac{\ln(2x + 1)}{x} - 1\right)$. Or $\frac{\ln(2x + 1)}{x} \to 0$ (vu précédemment). Donc $f(x) \sim -x$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. **3. Dérivée :** $$ f'(x) = \frac{2}{2x + 1} - 1 = \frac{2 - (2x + 1)}{2x + 1} = \frac{1 - 2x}{2x + 1} $$ Le dénominateur $2x + 1 > 0$ sur $D_f$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $1 - 2x$. - $1 - 2x > 0 \iff x < \frac{1}{2}$ - $1 - 2x < 0 \iff x > \frac{1}{2}$ **4. Tableau de variation :** | $x$ | $-\frac{1}{2}$ | | $\frac{1}{2}$ | | $+\infty$ | |-----|----------------|-----|----------------|-----|-----------| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $f\left(\frac{1}{2}\right)$ | $\searrow$ | $-\infty$ | Calculons $f\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(2 \times \frac{1}{2} + 1) - \frac{1}{2} = \ln(2) - \frac{1}{2} \approx 0,693 - 0,5 = 0,193$. **5. Courbe représentative :** ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = ln(2x+1) - x","type":"line","series":[{"label":"f(x) = ln(2x+1) - x","points":[[-0.49,-4.60517],[-0.45,-2.995732],[-0.4,-2.197225],[-0.35,-1.609438],[-0.3,-1.203973],[-0.25,-0.916291],[-0.2,-0.693147],[-0.15,-0.510826],[-0.1,-0.356675],[-0.05,-0.223144],[0,-0.105361],[0.05,0],[0.1,0.09531],[0.15,0.182322],[0.2,0.262364],[0.25,0.336472],[0.3,0.405465],[0.35,0.470004],[0.4,0.530628],[0.45,0.587787],[0.5,0.641854],[0.55,0.693147],[0.6,0.741937],[0.65,0.788457],[0.7,0.832909],[0.75,0.875469],[0.8,0.916291],[0.85,0.955511],[0.9,0.993252],[0.95,1.029619],[1,1.064711],[1.1,1.131402],[1.2,1.193922],[1.3,1.252763],[1.4,1.308333],[1.5,1.360977],[1.6,1.410985],[1.7,1.458615],[1.8,1.504077],[1.9,1.547563],[2,1.589235],[2.2,1.667707],[2.4,1.740466],[2.6,1.808289],[2.8,1.871802],[3,1.931522],[3.5,2.079442],[4,2.197225],[4.5,2.302585],[5,2.397895]]}]} ``` ### VIII.3. Exercice type 2 : Problème avec primitives **Énoncé :** Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\frac{1}{2}; +\infty\right[$ par $f(x) = \frac{3}{2x + 1}$. 1. Trouver une primitive $F$ de $f$ sur $\left]-\frac{1}{2}; +\infty\right[$. 2. Déterminer la primitive $F_0$ telle que $F_0(0) = 2$. 3. Calculer $F_0(2)$. **Résolution :** **1.** $f(x) = \frac{3}{2x + 1}$ avec $a = 3$, $b = 2$. Donc : $$ F(x) = \frac{3}{2} \ln(2x + 1) + K $$ **2.** On impose $F_0(0) = 2$ : $$ F_0(0) = \frac{3}{2} \ln(1) + K = \frac{3}{2} \times 0 + K = K = 2 $$ Donc : $$ F_0(x) = \frac{3}{2} \ln(2x + 1) + 2 $$ **3.** $$ F_0(2) = \frac{3}{2} \ln(5) + 2 \approx \frac{3}{2} \times 1,609 + 2 = 2,414 + 2 = 4,414 $$ ### VIII.4. Exercice type 3 : Équation avec changement de variable **Énoncé :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(\ln(x))^2 - 3\ln(x) + 2 = 0$. **Résolution :** 1. **Domaine :** $x > 0$. 2. **Inconnue auxiliaire :** Posons $X = \ln(x)$. L'équation devient : $$ X^2 - 3X + 2 = 0 $$ Le discriminant est $\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$. Les racines sont : $$ X_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \quad ; \quad X_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 $$ 3. **Retour :** $X = 1 \iff \ln(x) = 1 \iff x = e$. Et $X = 2 \iff \ln(x) = 2 \iff x = e^2$. 4. **Vérification :** $e > 0$ et $e^2 > 0$. Donc $S = \{e; e^2\}$. ### VIII.5. Exercice type 4 : Inéquation avec logarithme **Énoncé :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(x^2 - 1) \geq \ln(2x + 1)$. **Résolution :** 1. **Domaine :** $x^2 - 1 > 0 \iff x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$ et $2x + 1 > 0 \iff x > -\frac{1}{2}$. L'intersection donne $D = ]1; +\infty[$. 2. **Résolution :** $\ln(x^2 - 1) \geq \ln(2x + 1) \iff x^2 - 1 \geq 2x + 1$ (car $\ln$ est strictement croissante). $$ x^2 - 1 \geq 2x + 1 \iff x^2 - 2x - 2 \geq 0 $$ Le discriminant est $\Delta = 4 + 8 = 12 > 0$. Les racines sont : $$ x_1 = \frac{2 - \sqrt{12}}{2} = 1 - \sqrt{3} \approx -0,732 \quad ; \quad x_2 = \frac{2 + \sqrt{12}}{2} = 1 + \sqrt{3} \approx 2,732 $$ Le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Donc $x^2 - 2x - 2 \geq 0$ pour $x \in ]-\infty; 1 - \sqrt{3}] \cup [1 + \sqrt{3}; +\infty[$. 3. **Intersection avec le domaine :** $D = ]1; +\infty[$. L'intersection donne $S = [1 + \sqrt{3}; +\infty[$. --- ## Conclusion La fonction logarithme népérien est un outil mathématique essentiel pour les séries littéraires. Nous avons vu sa définition rigoureuse comme primitive de la fonction inverse, ses propriétés algébriques qui transforment produits en sommes et quotients en différences, ses limites fondamentales qui permettent de lever des formes indéterminées, sa dérivée simple $\frac{1}{x}$, et les techniques de calcul de primitives associées. La maîtrise de ces notions est indispensable pour résoudre des équations et inéquations logarithmiques, étudier des fonctions comportant des logarithmes, et calculer des intégrales simples. Ces compétences seront mobilisées dans les épreuves du Baccalauréat camerounais et constituent une base solide pour des études supérieures, même dans des filières littéraires où la culture mathématique et la rigueur de raisonnement sont valorisées.