Systèmes d’équations à deux ou trois inconnues (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève pourra :** - Écrire l’équation réduite d’un cercle connaissant son centre et son rayon. - Déterminer les points d’intersection d’une droite et d’un cercle, ou de deux cercles, en résolvant un système d’équations du premier ou du second degré. - Utiliser le cercle comme outil géométrique pour résoudre des problèmes de localisation, de distance ou de optimisation (activités d’intégration). - Justifier chaque étape de résolution en invoquant les propriétés du cercle (symétrie, puissance d’un point, axe radical). **Prérequis nécessaires :** - Maîtrise de la résolution des systèmes linéaires à deux inconnues (substitution, combinaison linéaire). - Connaissance du théorème de Pythagore et de la distance entre deux points dans le plan. - Savoir manipuler des expressions du second degré (factorisation, trinôme du carré parfait, discriminant). ## Introduction contextualisée Dans la première partie du chapitre, nous avons étudié les systèmes linéaires et leurs applications simples. Ici, nous étendons la résolution aux systèmes où au moins une équation est du second degré, en nous concentrant sur le cercle, figure fondamentale de la géométrie euclidienne. Le cercle apparaît naturellement lorsqu’on cherche l’ensemble des points situés à une distance fixe d’un point donné (le centre). Cette propriété se traduit par une équation du second degré, ce qui conduit à des systèmes mixtes (linéaire‑quadratique ou quadratique‑quadratique). Leur résolution permet de répondre à des questions concrètes : où se rencontrent une route et un rond‑point ? Quel est le cercle circonscrit à un triangle donné ? Comment déterminer le lieu des points ayant une puissance égale par rapport à deux cercles ? Ces questions forment le cœur des **activités d’intégration** qui clôturent le chapitre. ## I. Cercles ### Définition et équation réduite > **Définition** : Un cercle est l’ensemble des points du plan situés à une distance constante, appelée rayon $R$, d’un point fixe appelé centre $C(a,b)$. L’équation analytique du cercle provient directement de la définition de la distance : $$ \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=R $$ En élevant au carré, on obtient l’équation réduite : > $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$ ### Propriétés essentielles > **Propriété 1** : Le centre $C(a,b)$ est le seul point dont les coordonnées satisfont l’équation lorsque $R=0$. > **Propriété 2** : La symétrie par rapport au centre transforme tout point $(x,y)$ du cercle en $(2a-x,2b-y)$, également sur le cercle. > **Propriété 3** : La puissance d’un point $P(x_0,y_0)$ par rapport au cercle vaut $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-R^2$ ; elle est nulle si $P$ appartient au cercle, positive si $P$ est extérieur, négative si $P$ est intérieur. > **Propriété 4** : L’axe radical de deux cercles est le lieu des points ayant la même puissance par rapport aux deux cercles ; c’est toujours une droite. ### Démonstration de l’équation du cercle Partons de la définition : tout point $M(x,y)$ du cercle vérifie $CM=R$. Par la formule de la distance, $$ CM=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}. $$ En posant $CM=R$ et en élevant au carré, on élimine la racine carrée : $$ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. $$ Réciproquement, si un couple $(x,y)$ satisfait cette égalité, alors la distance $CM$ vaut exactement $R$ (racine carrée positive), donc $M$ appartient au cercle. L’équation est donc équivalente à la définition géométrique. ### Exemple 1 : Intersection d’une droite et d’un cercle **Problème** : Trouver les points d’intersection de la droite $d:\; y=2x+1$ et du cercle $\mathcal{C}:\; (x-3)^2+(y+2)^2=25$. **Résolution** : 1. Substituer $y$ de l’équation de la droite dans celle du cercle : $$ (x-3)^2+\bigl((2x+1)+2\bigr)^2=25. $$ 2. Simplifier : $$ (x-3)^2+(2x+3)^2=25. $$ 3. Développer les carrés : $$ (x^2-6x+9)+(4x^2+12x+9)=25. $$ 4. Regrouper les termes semblables : $$ 5x^2+6x+18=25\;\Longrightarrow\;5x^2+6x-7=0. $$ 5. Calculer le discriminant : $\Delta=6^2-4\cdot5\cdot(-7)=36+140=176=16\cdot11$. $$ x=\frac{-6\pm\sqrt{176}}{2\cdot5}=\frac{-6\pm4\sqrt{11}}{10}=\frac{-3\pm2\sqrt{11}}{5}. $$ 6. Déduire $y$ avec $y=2x+1$ : - Pour $x_1=\dfrac{-3+2\sqrt{11}}{5}$ : $$ y_1=2\left(\frac{-3+2\sqrt{11}}{5}\right)+1=\frac{-6+4\sqrt{11}}{5}+1=\frac{-1+4\sqrt{11}}{5}. $$ - Pour $x_2=\dfrac{-3-2\sqrt{11}}{5}$ : $$ y_2=2\left(\frac{-3-2\sqrt{11}}{5}\right)+1=\frac{-6-4\sqrt{11}}{5}+1=\frac{-1-4\sqrt{11}}{5}. $$ **Réponse** : Les points d’intersection sont $$ \boxed{\left(\frac{-3+2\sqrt{11}}{5},\;\frac{-1+4\sqrt{11}}{5}\right)\quad\text{et}\quad\left(\frac{-3-2\sqrt{11}}{5},\;\frac{-1-4\sqrt{11}}{5}\right)}. $$ ### Exemple 2 : Intersection de deux cercles **Problème** : Déterminer les points d’intersection des cercles $$ \mathcal{C}_1:\;(x+1)^2+(y-2)^2=16,\qquad \mathcal{C}_2:\;(x-4)^2+(y+3)^2=9. $$ **Résolution** : 1. Étendre les deux équations : $$ \begin{aligned} \mathcal{C}_1&:\;x^2+2x+1+y^2-4y+4=16 \;\Longrightarrow\; x^2+y^2+2x-4y-11=0,\\ \mathcal{C}_2&:\;x^2-8x+16+y^2+6y+9=9 \;\Longrightarrow\; x^2+y^2-8x+6y+16=0. \end{aligned} $$ 2. Soustraire $\mathcal{C}_2$ de $\mathcal{C}_1$ pour éliminer les termes du second degré : $$ (x^2+y^2+2x-4y-11)-(x^2+y^2-8x+6y+16)=0, $$ ce qui donne $$ 10x-10y-27=0\;\Longrightarrow\;x-y=\frac{27}{10}. $$ 3. Exprimer $x$ en fonction de $y$ : $x=y+\dfrac{27}{10}$. 4. Substituer dans $\mathcal{C}_1$ : $$ \bigl(y+\tfrac{27}{10}\bigr)^2+y^2+2\bigl(y+\tfrac{27}{10}\bigr)-4y-11=0. $$ 5. Développer et simplifier : $$ y^2+\tfrac{27}{5}y+\tfrac{729}{100}+y^2+2y+\tfrac{27}{5}-4y-11=0, $$ $$ 2y^2+\Bigl(\tfrac{27}{5}+2-4\Bigr)y+\Bigl(\tfrac{729}{100}+\tfrac{27}{5}-11\Bigr)=0, $$ $$ 2y^2+\tfrac{17}{5}y+\tfrac{169}{100}=0. $$ 6. Multiplier par 100 pour éviter les fractions : $$ 200y^2+340y+169=0. $$ 7. Calculer le discriminant : $$ \Delta=340^2-4\cdot200\cdot169=115600-135200=-19600<0. $$ Comme le discriminant est négatif, le système n’admet pas de solution réelle : les deux cercles ne se coupent pas. En effet, la distance entre leurs centres $C_1(-1,2)$ et $C_2(4,-3)$ est $\sqrt{(4+1)^2+(-3-2)^2}=\sqrt{5^2+(-5)^2}= \sqrt{50}\approx7,07$, alors que la somme des rayons est $4+3=7$. Comme $d>R_1+R_2$, les cercles sont extérieurs l’un à l’autre. **Réponse** : Aucun point d’intersection réel ; les cercles sont disjoints. ## II. Activités d’intégration ### Résolution de problèmes géométriques Les systèmes d’équations permettent de traduire des conditions géométriques (appartenance à une droite, à un cercle, égalité de distances) en équations algébriques. Leur résolution fournit alors les coordonnées des points recherchés (centres, sommets, points de tangence, etc.). ### Application à des problèmes de mouvement Dans un référentiel orthonormé, la trajectoire d’un point mobile peut être décrite par une équation paramétrique ou cartésienne. Imposer que ce point se trouve à un instant donné sur un cercle conduit à un système où l’inconnue est le temps ou le paramètre. ### Exemple 1 : Cercle circonscrit à un triangle **Problème** : Trouver l’équation du cercle circonscrit au triangle dont les sommets sont $A(1,2)$, $B(5,2)$ et $C(3,6)$. **Résolution** : Le centre $O(x_0,y_0)$ du cercle circonscrit est équidistant des trois sommets : $$ OA=OB=OC. $$ On travaille avec les carrés des distances pour éviter les racines : $$ \begin{cases} (x_0-1)^2+(y_0-2)^2=(x_0-5)^2+(y_0-2)^2\\[2mm] (x_0-1)^2+(y_0-2)^2=(x_0-3)^2+(y_0-6)^2 \end{cases} $$ Première équation : les termes en $y_0$ se simplifient, on obtient $$ (x_0-1)^2=(x_0-5)^2\;\Longrightarrow\;x_0^2-2x_0+1=x_0^2-10x_0+25\;\Longrightarrow\;8x_0=24\;\Longrightarrow\;x_0=3. $$ Seconde équation, en remplaçant $x_0=3$ : $$ (3-1)^2+(y_0-2)^2=(3-3)^2+(y_0-6)^2\;\Longrightarrow\;4+(y_0-2)^2=(y_0-6)^2. $$ Développer : $$ 4+y_0^2-4y_0+4=y_0^2-12y_0+36\;\Longrightarrow\;8-4y_0=-12y_0+36\;\Longrightarrow\;8y_0=28\;\Longrightarrow\;y_0=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}. $$ Le rayon $R$ vaut la distance $OA$ : $$ R=\sqrt{(3-1)^2+\left(\frac{7}{2}-2\right)^2} =\sqrt{4+\left(\frac{3}{2}\right)^2} =\sqrt{4+\frac{9}{4}} =\sqrt{\frac{25}{4}} =\frac{5}{2}. $$ **Équation du cercle circonscrit** : > $$(x-3)^2+\left(y-\frac{7}{2}\right)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2.$$ ### Exemple 2 : Problème de mélange (alliage) **Problème** : On dispose de deux alliages d’or et d’argent. Le premier contient 70 % d’or, le deuxième 40 % d’or. On veut obtenir 10 kg d’un alliage contenant 55 % d’or. Quelle masse de chaque alliage faut‑il prendre ? **Résolution** : Soit $x$ la masse (en kg) du premier alliage, $y$ celle du second. $$ \begin{cases} x+y=10\\[1mm] 0,70x+0,40y=0,55\times10=5,5 \end{cases} $$ Du premier équation, $y=10-x$. Substituer dans la seconde : $$ 0,70x+0,40(10-x)=5,5\;\Longrightarrow\;0,70x+4-0,40x=5,5\;\Longrightarrow\;0,30x=1,5\;\Longrightarrow\;x=5. $$ Alors $y=10-5=5$. **Réponse** : Il faut prendre 5 kg de chaque alliage. ## Synthèse du chapitre - **Équation réduite d’un cercle** : $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. - **Méthode de résolution** : substitution ou combinaison linéaire pour réduire le système à une équation du second degré, puis résolution par le discriminant. - **Interprétation géométrique** : les solutions représentent les points d’intersection (0, 1 ou 2 points) entre les figures considérées. - **Puissance d’un point** : $P_{C}(M)=(x_M-a)^2+(y_M-b)^2-R^2$ ; son signe indique la position de $M$ par rapport au cercle. - **Axe radical** : lieu des points de même puissance par rapport à deux cercles ; toujours une droite obtenue par soustraction des équations des cercles. - **Applications** : détermination du cercle circonscrit à un triangle, problèmes de mélange, localisation d’un mobile par rapport à une trajectoire circulaire. ## Glossaire - **Cercle** : ensemble des points situés à une distance fixe (rayon) d’un point donné (centre). - **Équation réduite** : forme $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ d’un cercle de centre $C(a,b)$ et rayon $R$. - **Discriminant** : quantité $\Delta=b^2-4ac$ d’un trinôme du second degré $ax^2+bx+c=0$ ; détermine le nombre de racines réelles. - **Puissance d’un point** : valeur $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-R^2$ ; nulle si le point appartient au cercle. - **Axe radical** : droite constituée des points ayant la même puissance par rapport à deux cercles donnés. - **Substitution** : méthode consistant à exprimer une inconnue à partir d’une équation et à l’insérer dans l’autre. - **Combinaison linéaire** : opération consistant à ajouter ou soustraire des équations après les avoir multipliées par des coefficients appropriés. - **Système mixte** : ensemble d’équations où au moins une est du second degré (ici, linéaire‑quadratique ou quadratique‑quadratique). ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 Déterminer les points d’intersection de la droite $y=-x+4$ et du cercle $(x-2)^2+(y+1)^2=9$. **Corrigé** : 1. Substituer $y$ : $(x-2)^2+(-x+4+1)^2=9$ → $(x-2)^2+(-x+5)^2=9$. 2. Développer : $(x^2-4x+4)+(x^2-10x+25)=9$ → $2x^2-14x+29=9$. 3. Simplifier : $2x^2-14x+20=0$ → diviser par 2 : $x^2-7x+10=0$. 4. Factoriser : $(x-5)(x-2)=0$ → $x=5$ ou $x=2$. 5. $y=-x+4$ donne : pour $x=5$, $y=-1$ ; pour $x=2$, $y=2$. **Réponse** : $(5,-1)$ et $(2,2)$. ### Exercice 2 Trouver le centre et le rayon du cercle passant par les points $A(0,0)$, $B(4,0)$ et $C(0,3)$. **Corrigé** : Le centre $O(x,y)$ vérifie $OA=OB=OC$. Égaliser $OA^2$ et $OB^2$ : $x^2+y^2=(x-4)^2+y^2$ → $x^2=x^2-8x+16$ → $8x=16$ → $x=2$. Égaliser $OA^2$ et $OC^2$ : $x^2+y^2=x^2+(y-3)^2$ → $y^2=y^2-6y+9$ → $6y=9$ → $y=3/2$. Rayon $R=OA=\sqrt{2^2+(3/2)^2}=\sqrt{4+9/4}=\sqrt{25/4}=5/2$. **Réponse** : centre $O(2,\frac32)$, rayon $R=\frac52$. ### Exercice 3 Un point $M$ se déplace de telle sorte que sa distance au point $F(1,2)$ est toujours égale à sa distance à la droite $d:\;x+ y-5=0$. Trouver l’équation du lieu géométrique de $M$. **Corrigé** : Condition : $MF = d(M,d)$. $MF^2=(x-1)^2+(y-2)^2$. Distance au point à la droite : $\dfrac{|x+y-5|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{|x+y-5|}{\sqrt2}$. Égalité des carrés : $(x-1)^2+(y-2)^2=\dfrac{(x+y-5)^2}{2}$. Multiplier par 2 : $2[(x-1)^2+(y-2)^2]=(x+y-5)^2$. Développer : $2[x^2-2x+1+y^2-4y+4]=x^2+y^2+25+2xy-10x-10y$. → $2x^2-4x+2+2y^2-8y+8 = x^2+y^2+2xy+25-10x-10y$. Regrouper : $x^2+y^2-2xy+6x+2y-15=0$. Reconnaître $(x-y)^2+(6x+2y)-15=0$ → compléter le carré : $(x-y)^2+6x+2y=15$. On peut réécrire sous forme de parabole, mais l’équation demandée est celle obtenue. **Réponse** : $(x-1)^2+(y-2)^2=\dfrac{(x+y-5)^2}{2}$ (ou la forme développée ci‑dessus). ### Exercice 4 On souhaite obtenir 12 kg d’un alliage contenant 48 % de zinc en mélangeant deux alliages : l’un contient 30 % de zinc, l’autre 60 % de zinc. Quelle quantité de chaque alliage utiliser ? **Corrigé** : Soit $x$ kg du premier alliage (30 % Zn), $y$ kg du second (60 % Zn). $$ \begin{cases} x+y=12\\ 0,30x+0,60y=0,48\times12=5,76 \end{cases} $$ De la première, $y=12-x$. Substituer : $0,30x+0,60(12-x)=5,76$ → $0,30x+7,2-0,60x=5,76$ → $-0,30x=-1,44$ → $x=4,8$. Alors $y=12-4,8=7,2$. **Réponse** : 4,8 kg du premier alliage et 7,2 kg du second. ### Exercice 5 Déterminer l’équation du cercle tangente à la droite $y=2x-3$ en le point $T(1,-1)$ et ayant son centre sur la droite $x+y=0$. **Corrigé** : Le centre $C(h,k)$ appartient à $x+y=0$ → $k=-h$. Le rayon $R$ vaut la distance $CT$ : $R=\sqrt{(h-1)^2+(k+1)^2}$. La droite tangentielle en $T$ est perpendiculaire au rayon $CT$. Le vecteur directeur de la tangentielle est $\vec v=(1,2)$ (puisque $y=2x-3$). Le vecteur $\vec{CT}=(h-1,k+1)$ doit être orthogonal à $\vec v$ : $(h-1)\cdot1+(k+1)\cdot2=0$ → $h-1+2(k+1)=0$ → $h-1+2k+2=0$ → $h+2k+1=0$. En utilisant $k=-h$ : $h+2(-h)+1=0$ → $h-2h+1=0$ → $-h+1=0$ → $h=1$, donc $k=-1$. Centre $C(1,-1)$ coïncide avec $T$ → le cercle serait de rayon nul, ce qui est impossible car la tangente en un point du cercle nécessite un centre distinct. On remarque une erreur : la condition d’orthogonalité doit être faite avec le vecteur normal à la droite, pas le directeur. La normale à $y=2x-3$ est $\vec n=(2,-1)$ (puisque $2x-y+3=0$). Orthogonalité : $\vec{CT}\cdot\vec n=0$ → $(h-1)\cdot2+(k+1)\cdot(-1)=0$ → $2h-2 -k-1=0$ → $2h -k -3=0$. Avec $k=-h$ : $2h -(-h) -3=0$ → $3h-3=0$ → $h=1$, $k=-1$ → même résultat. En fait, le point $T(1,-1)$ appartient bien à la droite $y=2x-3$ (vérif : $-1=2·1-3$). Le cercle tangente en $T$ ayant son centre sur $x+y=0$ doit avoir son centre situé sur la normale passant par $T$. La normale en $T$ a pour équation : $(y+1)=-\frac12(x-1)$ (puisque pente $-\frac12$). Intersection avec $x+y=0$ : $y=-x$ et $y+1=-\frac12(x-1)$ → $-x+1=-\frac12(x-1)$ → multiplier par 2 : $-2x+2=-(x-1)$ → $-2x+2=-x+1$ → $-x=-1$ → $x=1$, $y=-1$. Ainsi le seul point d’intersection est $T$ lui‑même → le cercle de rayon nul est la seule solution géométrique, ce qui indique que les données sont incompatibles pour un cercle de rayon non nul. **Conclusion** : Aucun cercle de rayon positif ne satisfait simultanément les deux conditions ; le problème n’a pas de solution. *(Cet exercice montre l’importance de vérifier la compatibilité des contraintes géométriques.)* ### Exercice 6 Un satellite décrit une trajectoire circulaire de centre $O(0,0)$ et de rayon $R=6000$ km. À un instant donné, il se trouve au point $P(3000,3000\sqrt{3})$. Calculer l’angle $\theta$ (en radians) que fait le rayon $OP$ avec l’axe des $x$ positif. **Corrigé** : Les coordonnées de $P$ sont $(R\cos\theta,R\sin\theta)$. Donc $\cos\theta=\dfrac{x}{R}=\dfrac{3000}{6000}=\dfrac12$ et $\sin\theta=\dfrac{y}{R}=\dfrac{3000\sqrt3}{6000}=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Le couple $(\cos\theta,\sin\theta)=(\frac12,\frac{\sqrt3}{2})$ correspond à $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ (puisque $\cos\frac{\pi}{3}=1/2$, $\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt3/2$). **Réponse** : $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ rad. ## Erreurs fréquentes 1. **Oublier de mettre au carré les deux côtés lors de l’élimination de la racine** - *Piège* : écrire $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=R$ puis conclure directement $(x-a)+(y-b)=R$. - *Correction* : toujours élever au carré les deux membres : $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. 2. **Confondre le signe du terme linéaire lors du développement d’un carré parfait** - *Piège* : développer $(x-3)^2$ comme $x^2-3x+9$. - *Correction* : utiliser la formule $(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$ ; ici $-2\cdot3x=-6x$. 3. **Ne pas vérifier la compatibilité d’un système avant de résoudre** - *Piège* : résoudre un système qui n’a pas de solution (ex. deux cercles concentriques de rayons différents) et obtenir des valeurs complexes sans s’en rendre compte. - *Correction* : calculer d’abord la distance entre les centres et la comparer à la somme et à la différence des rayons ; si elle est en dehors de l’intervalle $[|R_1-R_2|,R_1+R_2]$, il n’y a pas d’intersection réelle. 4. **Mauvaise identification du vecteur normal lorsqu’on utilise la condition de tangence** - *Piège* : prendre le vecteur directeur de la droite comme orthogonal au rayon. - *Correction* : le rayon est orthogonal à la **normale** de la droite ; la normale à $ax+by+c=0$ est le vecteur $(a,b)$. 5. **Erreur de signe lors du passage d’une équation à l’autre après soustraction** - *Piège* : oublier de changer le signe de tous les termes du second membre. - *Correction* : distribuer le moins sur chaque terme ou réécrire l’équation soustraite avec les signes inversés avant d’additionner. 6. **Confondre le diamètre et le rayon dans les formules** - *Piège* : utiliser $D$ au lieu de $R$ dans l’équation du cercle. - *Correction* : rappeler que le diamètre $D=2R$ et vérifier l’homogénéité des unités. --- *Fin du cours.*