Limites et continuité d'une fonction numérique

# Limites et continuité d'une fonction numérique ## Introduction L'étude des limites et de la continuité constitue une étape fondamentale dans l'analyse des fonctions numériques. Ces notions permettent de comprendre le comportement d'une fonction lorsque la variable s'approche d'une valeur particulière ou tend vers l'infini, et d'étudier la régularité de sa représentation graphique. Dans le cadre des séries Technologies de l'Information, ces outils sont essentiels pour l'analyse algorithmique, le traitement numérique du signal et la modélisation de phénomènes discrets ou continus. Ce chapitre développe successivement les limites (à gauche, à droite, en un réel, à l'infini), les opérations sur les limites, la comparaison de fonctions, puis la continuité et ses propriétés, jusqu'au prolongement par continuité. ## I. Limites d'une fonction numérique ### I.1. Limite finie en un réel Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$, sauf éventuellement en $a$ lui-même. On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$ si, lorsque $x$ s'approche de $a$ en prenant des valeurs de plus en plus proches de $a$ (sans jamais être égal à $a$), les valeurs $f(x)$ se rapprochent de $\ell$. > **Définition (limite finie en un réel)** : On écrit $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ (avec $\ell \in \mathbb{R}$) si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x$ vérifiant $0 < |x - a| < \delta$, on a $|f(x) - \ell| < \varepsilon$. **Exemple** : Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ définie pour $x \neq 1$. Pour $x \neq 1$, on a $f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$. Ainsi, $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$. La fonction n'est pas définie en $1$, mais sa limite en $1$ existe et vaut $2$. ### I.2. Limite à gauche et limite à droite Lorsque la variable $x$ s'approche de $a$ par valeurs inférieures (c'est-à-dire $x < a$), on parle de limite à gauche, notée $\lim_{x \to a^-} f(x)$. Lorsque $x$ s'approche de $a$ par valeurs supérieures ($x > a$), on parle de limite à droite, notée $\lim_{x \to a^+} f(x)$. > **Définition (limite à gauche et à droite)** : > - $\lim_{x \to a^-} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ tend vers $\ell$ lorsque $x$ tend vers $a$ avec $x < a$. > - $\lim_{x \to a^+} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ tend vers $\ell$ lorsque $x$ tend vers $a$ avec $x > a$. > **Propriété (existence de la limite)** : La fonction $f$ admet une limite $\ell$ en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \ell$. **Exemple** : Considérons la fonction partie entière $E(x)$, définie comme le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. En $a = 2$ : - Pour $x < 2$ et proche de $2$, $E(x) = 1$, donc $\lim_{x \to 2^-} E(x) = 1$. - Pour $x > 2$ et proche de $2$, $E(x) = 2$, donc $\lim_{x \to 2^+} E(x) = 2$. Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc $\lim_{x \to 2} E(x)$ n'existe pas. ### I.3. Limite infinie en un réel On dit que $f$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $a$ si les valeurs de $f(x)$ deviennent arbitrairement grandes et positives lorsque $x$ s'approche de $a$. > **Définition (limite infinie en un réel)** : > - $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ si pour tout $M > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $0 < |x-a| < \delta \Rightarrow f(x) > M$. > - $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ si pour tout $M > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $0 < |x-a| < \delta \Rightarrow f(x) < -M$. **Exemple** : Soit $f(x) = \dfrac{1}{(x-3)^2}$ définie pour $x \neq 3$. Lorsque $x$ s'approche de $3$, $(x-3)^2$ devient très petit positif, donc $\dfrac{1}{(x-3)^2}$ devient très grand. On a $\lim_{x \to 3} f(x) = +\infty$. ### I.4. Limite en l'infini On étudie le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$. > **Définition (limite en l'infini)** : > - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (avec $\ell \in \mathbb{R}$) si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $A > 0$ tel que pour tout $x > A$, on a $|f(x) - \ell| < \varepsilon$. > - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ si pour tout $M > 0$, il existe $A > 0$ tel que pour tout $x > A$, on a $f(x) > M$. > - Les définitions analogues s'appliquent pour $x \to -\infty$. **Exemples** : 1. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ : en effet, plus $x$ est grand, plus $\dfrac{1}{x}$ est proche de $0$. 2. $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ : les valeurs de $x^2$ dépassent tout seuil fixé. 3. $\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ : le cube d'un grand nombre négatif est un grand nombre négatif. **Exemple détaillé** : Soit $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$ définie pour $x \neq 2$. Pour $x \neq 0$, on peut écrire : $$f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2} = \dfrac{3 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$$ Lorsque $x \to +\infty$, $\dfrac{1}{x} \to 0$ et $\dfrac{2}{x} \to 0$, donc : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \dfrac{3 + 0}{1 - 0} = 3$$ De même, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$. La droite d'équation $y = 3$ est une asymptote horizontale. ### I.5. Asymptotes > **Définition (asymptote)** : > - Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell$, la droite d'équation $y = \ell$ est une **asymptote horizontale** à la courbe de $f$. > - Si $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ ou $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$, la droite d'équation $x = a$ est une **asymptote verticale** à la courbe de $f$. **Exemple** : Pour $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$ : - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$ : la droite $y = 3$ est asymptote horizontale. - $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ (car le numérateur tend vers $7 > 0$ et le dénominateur tend vers $0^+$) et $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ : la droite $x = 2$ est asymptote verticale. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = (3x+1)/(x-2) avec asymptotes","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (3x+1)/(x-2)","points":[[-10,2.583],[-9,2.727],[-8,2.9],[-7,3.111],[-6,3.375],[-5,3.714],[-4,4.167],[-3,4.8],[-2,5.75],[-1,7],[-0.5,8],[-0.1,9.667],[0.1,-10.333],[0.5,-5],[1,-4],[1.5,-11],[1.9,-67],[2.1,73],[2.5,17],[3,10],[4,6.5],[5,5.333],[6,4.75],[7,4.4],[8,4.167],[9,4],[10,3.875]]},{"label":"Asymptote y=3","points":[[-10,3],[10,3]]},{"label":"Asymptote x=2","points":[[2,-15],[2,15]]}]} ``` ## II. Opérations sur les limites et comparaison de fonctions ### II.1. Limites et opérations algébriques > **Propriété (limites et opérations)** : Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des limites (finies ou infinies) en $a$ (où $a$ peut être un réel, $+\infty$ ou $-\infty$). On note $L = \lim_{x \to a} f(x)$ et $M = \lim_{x \to a} g(x)$. Alors, lorsque les expressions ont un sens : > - $\lim_{x \to a} (f + g)(x) = L + M$ > - $\lim_{x \to a} (f \times g)(x) = L \times M$ > - $\lim_{x \to a} \left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{L}{M}$ si $M \neq 0$ > - $\lim_{x \to a} (k \cdot f)(x) = k \cdot L$ pour tout $k \in \mathbb{R}$ **Cas particuliers des formes indéterminées** : Les formes suivantes sont dites indéterminées et nécessitent une transformation de l'expression : $$+\infty - \infty, \quad 0 \times \infty, \quad \dfrac{\infty}{\infty}, \quad \dfrac{0}{0}$$ **Exemple 1 (forme $\dfrac{0}{0}$)** : Calculer $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$. Pour $x \neq 2$ : $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$. Donc $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$. **Exemple 2 (forme $\dfrac{\infty}{\infty}$)** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 5x + 2}$. On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur : $$\dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 5x + 2} = \dfrac{x^2\left(2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = \dfrac{2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}}$$ Lorsque $x \to +\infty$, $\frac{3}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$, $\frac{5}{x} \to 0$, $\frac{2}{x^2} \to 0$. Donc : $$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 - 5x + 2} = \dfrac{2 + 0 - 0}{1 - 0 + 0} = 2$$ **Exemple 3 (forme $+\infty - \infty$)** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x)$. On multiplie par la quantité conjuguée : $$\sqrt{x^2 + 1} - x = \dfrac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \dfrac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$$ Lorsque $x \to +\infty$, le dénominateur tend vers $+\infty$, donc : $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x) = 0$$ ### II.2. Limites des fonctions polynômes et rationnelles > **Propriété (limite d'un polynôme en l'infini)** : La limite d'une fonction polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ est celle de son terme de plus haut degré. **Exemple** : $\lim_{x \to +\infty} (-3x^3 + 2x^2 - 5x + 1) = \lim_{x \to +\infty} (-3x^3) = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} (-3x^3 + 2x^2 - 5x + 1) = \lim_{x \to -\infty} (-3x^3) = +\infty$. > **Propriété (limite d'une fonction rationnelle en l'infini)** : La limite d'une fonction rationnelle $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ en $+\infty$ ou $-\infty$ est égale à la limite du quotient de leurs termes de plus haut degré. **Exemple** : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5x^3 - 2x + 1}{2x^3 + 7x^2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{5x^3}{2x^3} = \dfrac{5}{2}$. ### II.3. Comparaison de fonctions (théorèmes de comparaison) > **Théorème (théorème des gendarmes)** : Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies au voisinage de $a$ (où $a$ peut être un réel, $+\infty$ ou $-\infty$). Si pour tout $x$ au voisinage de $a$, on a $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$, et si $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$. > **Théorème (comparaison avec une fonction tendant vers l'infini)** : > - Si $f(x) \geq g(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim_{x \to a} g(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$. > - Si $f(x) \leq g(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim_{x \to a} g(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$. **Exemple (théorème des gendarmes)** : Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$. Pour tout $x > 0$, on a $-1 \leq \sin x \leq 1$, donc $-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$. Or $\lim_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$. **Exemple (comparaison avec l'infini)** : Montrer que $\lim_{x \to +\infty} (x + \sin x) = +\infty$. Pour tout $x$, on a $\sin x \geq -1$, donc $x + \sin x \geq x - 1$. Or $\lim_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty$. Par comparaison, $\lim_{x \to +\infty} (x + \sin x) = +\infty$. ## III. Continuité d'une fonction numérique ### III.1. Continuité en un point > **Définition (continuité en un point)** : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a \in I$. On dit que $f$ est **continue en $a$** si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Cette définition signifie que trois conditions sont réunies : 1. $f$ est définie en $a$ (c'est-à-dire $f(a)$ existe) ; 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe ; 3. Cette limite est égale à $f(a)$. > **Définition (continuité à gauche et à droite)** : > - $f$ est **continue à droite** en $a$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. > - $f$ est **continue à gauche** en $a$ si $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$. > **Propriété** : $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ est continue à gauche et à droite en $a$. **Exemple** : Soit $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 2 \\ 5 & \text{si } x = 2 \\ 3x - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$ - $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = 4 + 1 = 5$ - $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 1) = 6 - 1 = 5$ - $f(2) = 5$ Les limites à gauche et à droite sont égales à $f(2)$, donc $f$ est continue en $2$. ### III.2. Continuité sur un intervalle > **Définition (continuité sur un intervalle)** : Une fonction $f$ est **continue sur un intervalle ouvert** $]a, b[$ si elle est continue en chaque point de $]a, b[$. Elle est **continue sur un intervalle fermé** $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$. > **Propriété (continuité des fonctions usuelles)** : Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles (sur leur domaine de définition), les fonctions trigonométriques $\sin$ et $\cos$, la fonction racine carrée (sur $[0, +\infty[$), la fonction valeur absolue, sont continues sur leur domaine de définition. > **Propriété (opérations et continuité)** : Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ (ou sur un intervalle $I$), alors $f + g$, $f \times g$, $k \cdot f$ (pour $k \in \mathbb{R}$) sont continues en $a$ (ou sur $I$). De plus, $\dfrac{f}{g}$ est continue en $a$ (ou sur $I$) si $g(a) \neq 0$ (ou si $g$ ne s'annule pas sur $I$). > **Propriété (composition)** : Si $u$ est continue en $a$ et $v$ est continue en $u(a)$, alors $v \circ u$ est continue en $a$. **Exemple** : La fonction $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ car $x \mapsto x^2 + 1$ est continue sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme), $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$, et $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. ### III.3. Lien entre continuité et limite > **Propriété (caractérisation séquentielle)** : $f$ est continue en $a$ si et seulement si pour toute suite $(u_n)$ convergeant vers $a$, la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(a)$. Cette propriété est fondamentale en informatique : elle justifie que pour approcher $f(a)$, il suffit de calculer $f$ en des valeurs de plus en plus proches de $a$. > **Propriété (lien avec les limites)** : Si $f$ est continue en $a$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Réciproquement, si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ et si on définit $f(a) = \ell$, alors $f$ devient continue en $a$. **Exemple** : Soit $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ pour $x \neq 0$. On sait que $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$. Si on définit $f(0) = 1$, alors $f$ est continue en $0$. ### III.4. Propriétés des fonctions continues > **Théorème (théorème des valeurs intermédiaires)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$. > **Corollaire (théorème de la valeur intermédiaire avec changement de signe)** : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a) \cdot f(b) < 0$ (c'est-à-dire $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires), alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$. > **Théorème (image d'un intervalle)** : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. > **Théorème (théorème des bornes atteintes)** : Si $f$ est continue sur un intervalle fermé borné $[a, b]$, alors $f$ est bornée sur $[a, b]$ et atteint ses bornes : il existe $x_1, x_2 \in [a, b]$ tels que $f(x_1) = \min_{x \in [a,b]} f(x)$ et $f(x_2) = \max_{x \in [a,b]} f(x)$. **Exemple (théorème des valeurs intermédiaires)** : Montrer que l'équation $x^3 - 2x - 5 = 0$ admet au moins une solution dans $[2, 3]$. Soit $f(x) = x^3 - 2x - 5$. $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[2, 3]$. $f(2) = 8 - 4 - 5 = -1$ et $f(3) = 27 - 6 - 5 = 16$. On a $f(2) < 0$ et $f(3) > 0$, donc $f(2) \cdot f(3) < 0$. Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in ]2, 3[$ tel que $f(c) = 0$. **Exemple (théorème des bornes atteintes)** : Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur $[0, 4]$. $f$ est continue sur $[0, 4]$. On a $f(x) = (x-2)^2 - 1$, donc le minimum est $-1$ atteint en $x = 2$, et le maximum est $f(0) = 3$ et $f(4) = 3$, donc le maximum est $3$. Les bornes sont bien atteintes. ### III.5. Prolongement par continuité > **Définition (prolongement par continuité)** : Soit $f$ une fonction définie sur $I \setminus \{a\}$ (où $a \in I$). Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ existe et est finie, alors la fonction $\tilde{f}$ définie par : > $$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a \\ \ell & \text{si } x = a \end{cases}$$ > est appelée le **prolongement par continuité** de $f$ en $a$. La fonction $\tilde{f}$ est continue en $a$. **Exemple 1** : Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Pour $x \neq 1$ : $f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$. $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$. Le prolongement par continuité de $f$ en $1$ est $\tilde{f}(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x \neq 1 \\ 2 & \text{si } x = 1 \end{cases}$, c'est-à-dire $\tilde{f}(x) = x + 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. **Exemple 2** : Soit $g(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$. On sait que $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$. Le prolongement par continuité de $g$ en $0$ est : $$\tilde{g}(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$ ```onbuch-plot {"title":"Prolongement par continuité de g(x) = sin(x)/x","type":"line","series":[{"label":"g(x) = sin(x)/x","points":[[-10,0.054],[-9,0.045],[-8,0.124],[-7,-0.094],[-6,-0.047],[-5,-0.192],[-4,-0.189],[-3,-0.047],[-2,-0.455],[-1,-0.841],[-0.5,-0.959],[-0.2,-0.993],[-0.1,-0.998],[0.1,0.998],[0.2,0.993],[0.5,0.959],[1,0.841],[2,0.455],[3,0.047],[4,-0.189],[5,-0.192],[6,-0.047],[7,-0.094],[8,0.124],[9,0.045],[10,0.054]]},{"label":"Point (0,1)","points":[[0,1]]}]} ``` **Exemple 3 (application en informatique)** : En traitement numérique du signal, la fonction $\text{sinc}(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ est utilisée pour la reconstruction de signaux. Elle n'est pas définie en $0$, mais $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x} = 1$. On la prolonge par continuité en posant $\text{sinc}(0) = 1$. Ce prolongement est essentiel pour les algorithmes d'interpolation. ## Conclusion Les notions de limites et de continuité sont indissociables et constituent le socle de l'analyse mathématique. Les limites permettent de décrire le comportement local d'une fonction (en un point, à gauche, à droite) et son comportement asymptotique (en $+\infty$ et $-\infty$), tandis que les opérations sur les limites et les théorèmes de comparaison fournissent des outils efficaces pour le calcul effectif. La continuité, quant à elle, garantit la régularité des fonctions et fonde des résultats majeurs comme le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème des bornes atteintes, indispensables pour la résolution d'équations et l'optimisation. Le prolongement par continuité permet enfin de combler les « trous » d'une fonction tout en préservant sa régularité, une technique fréquemment utilisée en modélisation numérique et en algorithmique. Ces concepts préparent directement l'étude de la dérivation, qui constitue l'étape suivante du programme.