Équations et inéquations polynomiales (degré 2 et 3)

## Introduction Les équations et inéquations polynomiales constituent un outil fondamental de l'analyse mathématique. En classe de Première, série Technologies de l'Information (TI), vous approfondissez l'étude des polynômes de degré 2 et de degré 3. La maîtrise de la forme canonique, du discriminant, de la factorisation et de l'étude du signe est indispensable pour la résolution de problèmes concrets en informatique, en modélisation de données ou en algorithmique. Cette fiche de cours développe intégralement le programme officiel du MINESEC, en suivant une progression rigoureuse : d'abord les équations et inéquations du second degré, puis le tableau des signes, ensuite les polynômes de degré 3 avec leurs zéros et la factorisation, et enfin le signe et la résolution des équations et inéquations de degré 3. ## I. Équations et inéquations de degré 2 dans R (forme canonique, discriminant) ### 1. Définition et forme canonique **Définition :** On appelle polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) toute expression de la forme $P(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$. **Théorème (forme canonique) :** Pour tout polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, il existe une écriture unique appelée forme canonique : $$P(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$$ **Démonstration :** On factorise par $a$ (puisque $a \neq 0$) : $$P(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)$$ On reconnaît le début d'un carré parfait : $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$. En remplaçant : $$P(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right] = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$$ En réduisant au même dénominateur : $-\frac{b^2}{4a} + c = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$. D'où la forme canonique. > **À retenir :** La forme canonique de $P(x) = ax^2 + bx + c$ est $P(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$, où $\Delta = b^2 - 4ac$ est le discriminant. ### 2. Le discriminant et la résolution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ **Définition :** Le discriminant du trinôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ est le réel noté $\Delta$ défini par : $$\Delta = b^2 - 4ac$$ **Théorème (résolution de l'équation du second degré) :** Soit l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$ et $\Delta = b^2 - 4ac$. - Si $\Delta > 0$ : l'équation admet deux solutions réelles distinctes : $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$ - Si $\Delta = 0$ : l'équation admet une solution réelle double : $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$ - Si $\Delta < 0$ : l'équation n'admet aucune solution réelle. **Démonstration :** À partir de la forme canonique, l'équation $P(x) = 0$ équivaut à $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a} = 0$, soit $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}$. - Si $\Delta > 0$ : on prend la racine carrée, ce qui donne $x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$, d'où les deux solutions. - Si $\Delta = 0$ : on obtient $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0$, donc $x = -\frac{b}{2a}$. - Si $\Delta < 0$ : le membre de droite est négatif, or un carré est toujours positif ou nul, donc aucune solution réelle. **Exemple 1 :** Résoudre $2x^2 - 3x - 5 = 0$. Ici $a = 2$, $b = -3$, $c = -5$. Calculons $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-5) = 9 + 40 = 49$. Comme $\Delta = 49 > 0$, on a deux solutions : $$x_1 = \frac{3 - \sqrt{49}}{4} = \frac{3 - 7}{4} = -1 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$ L'ensemble des solutions est $S = \{-1; \frac{5}{2}\}$. **Exemple 2 :** Résoudre $x^2 + 2x + 5 = 0$. Ici $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$. $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$. L'équation n'admet aucune solution réelle : $S = \emptyset$. **Exemple 3 :** Résoudre $9x^2 - 12x + 4 = 0$. $\Delta = 144 - 144 = 0$. Solution double : $x_0 = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. $S = \{\frac{2}{3}\}$. ### 3. Factorisation du trinôme **Théorème (factorisation) :** Si $\Delta > 0$, alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines. Si $\Delta = 0$, alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$. Si $\Delta < 0$, le trinôme n'est pas factorisable dans $\mathbb{R}$. **Exemple :** Factoriser $2x^2 - 3x - 5$. On a trouvé $x_1 = -1$ et $x_2 = \frac{5}{2}$. Donc $2x^2 - 3x - 5 = 2(x + 1)(x - \frac{5}{2})$. ### 4. Inéquations du second degré : méthode générale Pour résoudre une inéquation du type $ax^2 + bx + c > 0$, $< 0$, $\geq 0$ ou $\leq 0$, on étudie le signe du trinôme. La méthode repose sur le théorème suivant. **Théorème (signe du trinôme) :** Soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ et $\Delta$ son discriminant. - Si $\Delta > 0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines (c'est-à-dire pour $x < x_1$ ou $x > x_2$) et du signe de $-a$ entre les racines ($x_1 < x < x_2$). - Si $\Delta = 0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$, et $P(x_0) = 0$. - Si $\Delta < 0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. **Exemple :** Résoudre $2x^2 - 3x - 5 \leq 0$. On a $a = 2 > 0$, $\Delta = 49 > 0$, racines $x_1 = -1$ et $x_2 = \frac{5}{2}$. Le trinôme est négatif entre les racines. Donc $S = [-1; \frac{5}{2}]$. **Exemple :** Résoudre $-x^2 + 4x - 4 > 0$. Ici $a = -1$, $\Delta = 16 - 16 = 0$, racine double $x_0 = 2$. Le trinôme est du signe de $a = -1$ (négatif) pour tout $x \neq 2$, et nul en $x = 2$. L'inéquation $> 0$ n'a donc aucune solution : $S = \emptyset$. > **À retenir :** Pour résoudre une inéquation du second degré, on calcule $\Delta$, on trouve les racines (si elles existent), puis on applique la règle du signe : « signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe de $-a$ entre les racines ». ## II. Tableau des signes d'un polynôme du second degré ### 1. Principe général Le tableau des signes est un outil systématique pour étudier le signe d'un polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$. On y indique les valeurs qui annulent le polynôme (les racines) et on détermine le signe sur chaque intervalle. **Méthode :** Pour construire le tableau des signes de $P(x) = ax^2 + bx + c$ : 1. Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$. 2. Déterminer les racines selon le signe de $\Delta$. 3. Placer les racines dans l'ordre croissant sur la première ligne. 4. Remplir la ligne du signe de $P(x)$ en appliquant la règle du signe. ### 2. Cas $\Delta > 0$ : deux racines distinctes Soient $x_1 < x_2$ les deux racines. Le tableau est : | $x$ | $-\infty$ | $x_1$ | $x_2$ | $+\infty$ | |-----|-----------|-------|-------|-----------| | $P(x)$ | signe de $a$ | $0$ | signe de $-a$ | $0$ | signe de $a$ | **Exemple :** Dresser le tableau des signes de $P(x) = -2x^2 + 3x + 2$. Calculons $\Delta = 9 - 4 \times (-2) \times 2 = 9 + 16 = 25 > 0$. Racines : $x_1 = \frac{-3 - 5}{-4} = 2$ et $x_2 = \frac{-3 + 5}{-4} = -\frac{1}{2}$. On ordonne : $x_1 = -\frac{1}{2}$ et $x_2 = 2$. Ici $a = -2 < 0$, donc $P(x)$ est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles. | $x$ | $-\infty$ | $-\frac{1}{2}$ | $2$ | $+\infty$ | |-----|-----------|----------------|-----|-----------| | $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | ### 3. Cas $\Delta = 0$ : une racine double Soit $x_0$ la racine double. Le tableau est : | $x$ | $-\infty$ | $x_0$ | $+\infty$ | |-----|-----------|-------|-----------| | $P(x)$ | signe de $a$ | $0$ | signe de $a$ | **Exemple :** $P(x) = 4x^2 - 4x + 1$. $\Delta = 16 - 16 = 0$, $x_0 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. $a = 4 > 0$, donc $P(x) \geq 0$ pour tout $x$, avec $P(\frac{1}{2}) = 0$. ### 4. Cas $\Delta < 0$ : pas de racine réelle Le polynôme ne s'annule jamais et garde un signe constant (celui de $a$) sur tout $\mathbb{R}$. | $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ | |-----|-----------|-----------| | $P(x)$ | signe de $a$ | signe de $a$ | **Exemple :** $P(x) = x^2 + x + 1$. $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, $a = 1 > 0$, donc $P(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. ### 5. Application à la résolution d'inéquations Le tableau des signes permet de résoudre directement toute inéquation du second degré. **Exemple :** Résoudre $3x^2 - 5x - 2 < 0$. $\Delta = 25 + 24 = 49 > 0$. Racines : $x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}$ et $x_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2$. $a = 3 > 0$, donc le trinôme est négatif entre les racines. Tableau : | $x$ | $-\infty$ | $-\frac{1}{3}$ | $2$ | $+\infty$ | |-----|-----------|----------------|-----|-----------| | $3x^2 - 5x - 2$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | L'inéquation $< 0$ donne $S = (-\frac{1}{3}; 2)$. > **À retenir :** Le tableau des signes d'un trinôme du second degré se construit en trois étapes : discriminant, racines, règle du signe. Il permet de résoudre toutes les inéquations du second degré. ### 6. Représentation graphique de la parabole La courbe représentative de $P(x) = ax^2 + bx + c$ est une parabole. Son sommet a pour coordonnées $\left(-\frac{b}{2a}; P\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. Si $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut ; si $a < 0$, vers le bas. Les racines sont les abscisses des points d'intersection avec l'axe des abscisses. ```onbuch-plot {"title":"Parabole P(x) = x^2 - 2x - 3","type":"line","series":[{"label":"P(x) = x^2 - 2x - 3","points":[[-3,12],[-2.8,10.44],[-2.6,8.96],[-2.4,7.56],[-2.2,6.24],[-2,5],[-1.8,3.84],[-1.6,2.76],[-1.4,1.76],[-1.2,0.84],[-1,0],[-0.8,-0.76],[-0.6,-1.44],[-0.4,-2.04],[-0.2,-2.56],[0,-3],[0.2,-3.36],[0.4,-3.64],[0.6,-3.84],[0.8,-3.96],[1,-4],[1.2,-3.96],[1.4,-3.84],[1.6,-3.64],[1.8,-3.36],[2,-3],[2.2,-2.56],[2.4,-2.04],[2.6,-1.44],[2.8,-0.76],[3,0],[3.2,0.84],[3.4,1.76],[3.6,2.76],[3.8,3.84],[4,5],[4.2,6.24],[4.4,7.56],[4.6,8.96],[4.8,10.44],[5,12]]}]} ``` ## III. Polynômes de degré 3, zéros d'un polynôme, factorisation et divisibilité par $x - a$ ### 1. Définition et zéros d'un polynôme **Définition :** On appelle polynôme de degré 3 toute expression de la forme $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, où $a$, $b$, $c$, $d$ sont des réels avec $a \neq 0$. **Définition :** On appelle zéro (ou racine) d'un polynôme $P$ tout réel $\alpha$ tel que $P(\alpha) = 0$. **Théorème (zéro et factorisation) :** Un réel $\alpha$ est un zéro de $P$ si et seulement si $P(x)$ est divisible par $(x - \alpha)$, c'est-à-dire s'il existe un polynôme $Q(x)$ tel que : $$P(x) = (x - \alpha) Q(x)$$ Si $P$ est de degré 3, alors $Q$ est de degré 2. **Démonstration :** Si $P(x) = (x - \alpha)Q(x)$, alors $P(\alpha) = (\alpha - \alpha)Q(\alpha) = 0$. Réciproquement, si $P(\alpha) = 0$, on effectue la division euclidienne de $P(x)$ par $(x - \alpha)$ : il existe un polynôme $Q$ et un reste constant $r$ tels que $P(x) = (x - \alpha)Q(x) + r$. En évaluant en $x = \alpha$ : $P(\alpha) = 0 + r = r$, donc $r = 0$. D'où $P(x) = (x - \alpha)Q(x)$. ### 2. Recherche d'un zéro évident Pour un polynôme de degré 3 à coefficients entiers, on cherche d'abord un zéro parmi les diviseurs du terme constant $d$. **Théorème (zéro entier) :** Si $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ avec $a$, $b$, $c$, $d$ entiers et $a \neq 0$, et si $P$ admet un zéro entier $\alpha$, alors $\alpha$ divise $d$. **Exemple :** Soit $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$. Les diviseurs de $6$ sont $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Testons : $P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$. Donc $1$ est un zéro. On factorise par $(x - 1)$. ### 3. Division euclidienne et factorisation **Méthode (division euclidienne) :** Pour factoriser $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ par $(x - \alpha)$ où $\alpha$ est un zéro, on effectue la division euclidienne de $P(x)$ par $(x - \alpha)$. Le quotient est un polynôme du second degré $Q(x) = a'x^2 + b'x + c'$. **Exemple détaillé :** Factoriser $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$. On a trouvé $\alpha = 1$. On effectue la division de $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ par $x - 1$ : - $x^3$ divisé par $x$ donne $x^2$. On multiplie $(x - 1)$ par $x^2$ : $x^3 - x^2$. On soustrait : $(x^3 - 2x^2) - (x^3 - x^2) = -x^2$. On abaisse $-5x$. - $-x^2$ divisé par $x$ donne $-x$. On multiplie : $-x^2 + x$. On soustrait : $(-x^2 - 5x) - (-x^2 + x) = -6x$. On abaisse $+6$. - $-6x$ divisé par $x$ donne $-6$. On multiplie : $-6x + 6$. On soustrait : $(-6x + 6) - (-6x + 6) = 0$. Le quotient est $Q(x) = x^2 - x - 6$. Donc $P(x) = (x - 1)(x^2 - x - 6)$. On factorise ensuite $Q(x) = x^2 - x - 6$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$, racines $x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2$ et $x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$. Donc $Q(x) = (x + 2)(x - 3)$. Finalement : $$P(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)$$ Les zéros de $P$ sont $1$, $-2$ et $3$. > **À retenir :** Pour factoriser un polynôme de degré 3, on cherche un zéro évident $\alpha$ (parmi les diviseurs du terme constant), puis on effectue la division euclidienne par $(x - \alpha)$, et on factorise le quotient du second degré obtenu. ### 4. Méthode de Horner (schéma de Horner) La méthode de Horner est un algorithme efficace pour évaluer un polynôme en un point et pour effectuer la division par $(x - \alpha)$. **Algorithme :** Pour $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, on construit le tableau : | Coefficients | $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | |--------------|-----|-----|-----|-----| | Multiplicateur $\alpha$ | | $a\alpha$ | $(a\alpha + b)\alpha$ | $((a\alpha + b)\alpha + c)\alpha$ | | Résultats | $a$ | $a\alpha + b$ | $(a\alpha + b)\alpha + c$ | $((a\alpha + b)\alpha + c)\alpha + d$ | Le dernier résultat est $P(\alpha)$. Les autres résultats sont les coefficients du quotient. **Exemple :** Pour $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ et $\alpha = 1$ : | Coefficients | $1$ | $-2$ | $-5$ | $6$ | |--------------|-----|------|------|-----| | Multiplicateur $1$ | | $1$ | $-1$ | $-6$ | | Résultats | $1$ | $-1$ | $-6$ | $0$ | $P(1) = 0$, quotient $Q(x) = x^2 - x - 6$. On retrouve le résultat précédent. ### 5. Cas des polynômes de degré 3 sans zéro évident Si aucun diviseur du terme constant n'est un zéro, on peut utiliser la méthode de Cardan (hors programme) ou une factorisation par groupement de termes lorsque c'est possible. **Exemple :** Factoriser $P(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$. On reconnaît l'identité remarquable $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$. Donc $P(x) = (x + 1)^3$. Le zéro est $-1$ (triple). **Exemple :** Factoriser $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$. Testons les diviseurs de $2$ : $\pm 1, \pm 2$. $P(1) = 2 - 3 - 3 + 2 = -2 \neq 0$. $P(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0$. Donc $-1$ est un zéro. Division par $(x + 1)$ : - $2x^3$ divisé par $x$ donne $2x^2$. On multiplie : $2x^3 + 2x^2$. On soustrait : $-3x^2 - 2x^2 = -5x^2$. On abaisse $-3x$. - $-5x^2$ divisé par $x$ donne $-5x$. On multiplie : $-5x^2 - 5x$. On soustrait : $-3x + 5x = 2x$. On abaisse $+2$. - $2x$ divisé par $x$ donne $2$. On multiplie : $2x + 2$. On soustrait : $0$. Quotient : $Q(x) = 2x^2 - 5x + 2$. $\Delta = 25 - 16 = 9$, racines $x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ et $x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$. Donc $Q(x) = 2(x - \frac{1}{2})(x - 2)$. Finalement : $P(x) = (x + 1) \times 2(x - \frac{1}{2})(x - 2) = 2(x + 1)(x - \frac{1}{2})(x - 2)$. > **À retenir :** La factorisation d'un polynôme de degré 3 passe par la recherche d'un zéro $\alpha$, puis la division euclidienne par $(x - \alpha)$. Le quotient est un trinôme du second degré que l'on factorise à l'aide du discriminant. ## IV. Signe et résolution des équations et inéquations de degré 3 ### 1. Signe d'un polynôme de degré 3 factorisé Lorsque le polynôme de degré 3 est factorisé sous la forme $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$ avec $x_1 < x_2 < x_3$, on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes. **Méthode :** On construit un tableau de signes avec une ligne par facteur et une ligne pour le produit. **Exemple :** Étudier le signe de $P(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)$ sur $\mathbb{R}$. Les zéros sont $-2$, $1$, $3$ (dans l'ordre croissant). On dresse le tableau : | $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $1$ | $3$ | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----|-----|-----------| | $x + 2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $x - 1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | $x - 3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | Donc $P(x) > 0$ sur $(-2; 1) \cup (3; +\infty)$, $P(x) < 0$ sur $(-\infty; -2) \cup (1; 3)$, et $P(x) = 0$ en $x = -2$, $x = 1$, $x = 3$. ### 2. Règle générale du signe d'un polynôme de degré 3 **Théorème :** Soit $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ avec $a \neq 0$. Si $P$ admet trois racines réelles distinctes $x_1 < x_2 < x_3$, alors $P(x)$ est du signe de $a$ sur $(-\infty; x_1)$, du signe de $-a$ sur $(x_1; x_2)$, du signe de $a$ sur $(x_2; x_3)$, et du signe de $-a$ sur $(x_3; +\infty)$. **Démonstration :** On écrit $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Pour $x < x_1$, les trois facteurs $(x - x_1)$, $(x - x_2)$, $(x - x_3)$ sont négatifs, leur produit est négatif, donc $P(x)$ est du signe de $a \times (-) = -a$. Pour $x_1 < x < x_2$, deux facteurs sont négatifs et un positif, le produit est positif, donc $P(x)$ est du signe de $a$. Et ainsi de suite. **Cas particuliers :** Si une racine est double (par exemple $x_1 = x_2$), le polynôme s'écrit $P(x) = a(x - x_1)^2(x - x_3)$. Le facteur $(x - x_1)^2$ est toujours positif ou nul, donc le signe de $P(x)$ est celui de $a(x - x_3)$. ### 3. Résolution d'équations de degré 3 **Méthode :** Pour résoudre $P(x) = 0$ où $P$ est de degré 3 : 1. Chercher un zéro évident $\alpha$. 2. Factoriser $P(x) = (x - \alpha)Q(x)$. 3. Résoudre $Q(x) = 0$ (équation du second degré). 4. L'ensemble des solutions est l'union des solutions trouvées. **Exemple :** Résoudre $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$. On a factorisé : $P(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)$. L'équation devient $(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0$. Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Donc $x - 1 = 0$ ou $x + 2 = 0$ ou $x - 3 = 0$. Les solutions sont $x = 1$, $x = -2$, $x = 3$. $S = \{-2; 1; 3\}$. **Exemple :** Résoudre $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0$. On a factorisé : $P(x) = 2(x + 1)(x - \frac{1}{2})(x - 2)$. Solutions : $x = -1$, $x = \frac{1}{2}$, $x = 2$. $S = \{-1; \frac{1}{2}; 2\}$. ### 4. Résolution d'inéquations de degré 3 **Méthode :** Pour résoudre $P(x) > 0$, $P(x) < 0$, $P(x) \geq 0$ ou $P(x) \leq 0$ : 1. Factoriser $P(x)$. 2. Dresser le tableau des signes. 3. Lire les intervalles solutions. **Exemple :** Résoudre $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \geq 0$. On utilise le tableau de signes établi précédemment pour $P(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)$ : | $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $1$ | $3$ | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----|-----|-----------| | $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $P(x) \geq 0$ sur $[-2; 1] \cup [3; +\infty)$. Donc $S = [-2; 1] \cup [3; +\infty)$. **Exemple :** Résoudre $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 < 0$. $P(x) < 0$ sur $(-\infty; -2) \cup (1; 3)$. Donc $S = (-\infty; -2) \cup (1; 3)$. **Exemple avec racine double :** Résoudre $(x - 1)^2(x + 2) > 0$. Le facteur $(x - 1)^2$ est strictement positif pour $x \neq 1$ et nul en $x = 1$. Le signe de $P(x)$ est celui de $(x + 2)$ pour $x \neq 1$. Donc $P(x) > 0$ lorsque $x + 2 > 0$ et $x \neq 1$, c'est-à-dire $x > -2$ et $x \neq 1$. $S = (-2; 1) \cup (1; +\infty)$. > **À retenir :** Pour résoudre une inéquation de degré 3, on factorise complètement le polynôme, on dresse le tableau des signes en tenant compte de chaque facteur, puis on lit les intervalles solutions. Une racine double ne change pas le signe du polynôme. ### 5. Représentation graphique d'un polynôme de degré 3 La courbe représentative d'un polynôme de degré 3 est une cubique. Elle coupe l'axe des abscisses aux points dont les abscisses sont les racines réelles du polynôme. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6","type":"line","series":[{"label":"P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6","points":[[-3,-24],[-2.8,-18.752],[-2.6,-14.056],[-2.4,-9.904],[-2.2,-6.288],[-2,-3.2],[-1.8,-0.632],[-1.6,1.424],[-1.4,2.976],[-1.2,4.032],[-1,4.6],[-0.8,4.688],[-0.6,4.304],[-0.4,3.456],[-0.2,2.152],[0,0.4],[0.2,-1.792],[0.4,-4.416],[0.6,-7.464],[0.8,-10.928],[1,-14.8],[1.2,-19.072],[1.4,-23.736],[1.6,-28.784],[1.8,-34.208],[2,-40],[2.2,-46.152],[2.4,-52.656],[2.6,-59.504],[2.8,-66.688],[3,-74.2],[3.2,-82.032],[3.4,-90.176],[3.6,-98.624],[3.8,-107.368],[4,-116.4],[4.2,-125.712],[4.4,-135.296],[4.6,-145.144],[4.8,-155.248],[5,-165.6]]}]} ``` ## Conclusion Ce chapitre a permis de développer l'ensemble des outils nécessaires à la résolution des équations et inéquations polynomiales de degré 2 et 3. Pour le second degré, la forme canonique et le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ fournissent une méthode complète de résolution et l'étude du signe se résume par la règle : signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe de $-a$ entre les racines. Pour le degré 3, la recherche d'un zéro évident, la division euclidienne par $(x - \alpha)$ et la factorisation du quotient du second degré permettent de ramener toute équation ou inéquation à des cas déjà maîtrisés. Le tableau des signes, construit à partir des racines, est l'outil universel pour résoudre les inéquations. Ces compétences sont essentielles pour la suite du cursus, notamment pour l'étude de fonctions, l'optimisation et la modélisation algorithmique en informatique.